UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
SETOR DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS
Curso de Mecânica dos Fluidos
para a Engenharia de Materiais
(prof. Lucas Máximo Alves)
Ponta Grossa
2005
ÌNDICE
INTRODUÇÃO GERAL ........................................................................................................... 5
1. 1 – Objetivos do capítulo........................................................................................................ 5
1. 2 - Metodologia de Estudo-Aprendizado ............................................................................... 5
1. 3 - A importância das anotações............................................................................................. 6
1. 4 - Metodologia do curso em sala de aula .............................................................................. 7
1. 5 - Metodologia para a solução dos exercícios....................................................................... 8
1. 6 - Divisões do livro .............................................................................................................. 9
1. 7 - Objetivo final do curso...................................................................................................... 9
1. 8 - Questões básicas em Mecânica dos Fluidos...................................................................... 9
1. 9 – A Mecânica dos Fluidos na engenharia de Materiais ..................................................... 11
1. 10 - Visão geral do curso...................................................................................................... 12
1. 11 – O que você deve saber sobre Mecânica dos Fluidos .................................................... 16
I - Conceitos Fundamentais ............................................................................................. 16
II - Estática dos Fluidos ................................................................................................... 16
III - Dinâmica de Fluidos Ideais, Viscosos Incompressíveis e Compressíveis ............... 16
1. 12 – Exercícios e Problemas................................................................................................. 18
1. 13 – Referências Bibliográficas............................................................................................ 19
CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................................... 20
2. 1 – Objetivos do capítulo...................................................................................................... 20
2. 2 - As equações básicas da Mecânica Classica..................................................................... 21
2.2.1 - As leis da mecânica ou leis de Newton ................................................................ 21
2. 3 - Estudo da consistência de um corpo sólido por meio da análise de causa e efeito ......... 23
2.3.1 - Estudo da deformação de um corpo sólido .......................................................... 24
2.3.2 - Lei de Hooke na sua forma simplificada.............................................................. 25
2.3.3 - Coeficiente de Poisson ......................................................................................... 27
2.3.4 - Estados múltiplos de carregamento; generalização da lei de Hooke ................... 28
2. 4 - A Lei de Hooke generalizada aplicada a sólidos............................................................. 30
2. 5 – Tensão superficial de líquidos ........................................................................................ 35
2. 6 – Pressão de vapor de substâncias ..................................................................................... 36
2. 7 - Medidas, unidades e dimensões ...................................................................................... 38
2.7.1 - Sistema de Medidas.............................................................................................. 38
2.7.2 - Sistema de unidades ............................................................................................. 38
2.7.3 - Lei da homogeneidade dimensional..................................................................... 39
2. 8 - Exercícios e Problemas ................................................................................................... 41
2. 9 – Referências Bibliográficas.............................................................................................. 42
FLUIDOS E CLASSIFICAÇÃO DE FLUIDOS E SEUS COMPORTAMENTOS ............... 43
3. 1 – Objetivos do capítulo...................................................................................................... 43
2
3. 2 – A hipótese do contínuo ................................................................................................... 44
3. 3 – A densidades generalizadas ............................................................................................ 46
3. 4 – O fluido como contínuo.................................................................................................. 46
3. 5 – Definição de fluido ......................................................................................................... 47
3. 6 – Condição de não deslizamento ....................................................................................... 49
3. 7 – Estudo da consistência de um corpo fluídico em termos da sua viscosidade, por meio da
análise de causa e efeito............................................................................................................ 49
3. 8 – Classificação dos fluidos quanto a sua viscosidade........................................................ 49
3.8.1 - Lei da viscosidade de Newton - coeficiente de viscosidade e Fluidos
Newtonianos ............................................................................................................................. 50
3.8.2 - Fluidos Plásticos de Bingham .............................................................................. 51
3. 9 – Comportamento da viscosidade dos fluidos em função da taxa de deformação ............ 52
3.9.1 - Fluido de comportamento dilatante...................................................................... 52
3.9.2 - Fluido de comportamento Pseudoplástico............................................................ 52
3.9.3 – Modelo de Ostwald de Waele para fluidos ou Lei da Potência........................... 53
3. 10 – Comportamento da viscosidade dos fluidos em função do tempo ............................... 54
3.10.1 - Fluido Thixotrópico ........................................................................................... 54
3.10.2 - Fluido Reopéxico ............................................................................................... 55
3. 11 – A consistência de um corpo em função da temperatura ............................................... 55
3. 12 – A consistência de um corpo em função do estado de escoamento de um fluido......... 55
Escoamento laminar ................................................................................................................. 56
Escoamento turbulento ............................................................................................................. 56
3. 13 – A classificação dos fluidos quanto a viscosidade e a compressibilidade ..................... 57
3. 14 – Aplicação de diferentes tipos de Fluidos ...................................................................... 58
3. 15 – Exercícios e Problemas................................................................................................. 60
3. 16 – Referências Bibliográficas............................................................................................ 61
CAMPOS ESCALARES, VETORIAIS E TENSORIAIS PARA FLUIDOS. ........................ 62
4. 1 - Objetivos do capítulo ...................................................................................................... 62
4. 2 - Quantidades escalares, vetoriais e tensoriais e campos................................................... 62
4.2.1 - Quantidades escalares .......................................................................................... 63
4.2.2 - Quantidades vetoriais ........................................................................................... 63
4.2.3 - Quantidades tensoriais.......................................................................................... 64
4. 3 - Fluxos generalizados ....................................................................................................... 65
4. 4 - Campo de tensões – forças de contato ou superfície e de campo, massa ou volume...... 65
4.4.1 - Forças de massa ou de campo .............................................................................. 65
4.4.2 - Forças superficiais ou de contato ......................................................................... 67
4.4.3 – Tensor das tensões generalizado descrito como fluxo de momento.................... 69
4.4.4 – O tensor das tensões e a tensão em um ponto ..................................................... 71
4.4.5 – Tensões Principais ............................................................................................... 73
4.4.6 – Diferença entre Tensão e Pressão Termodinâmica.............................................. 74
3
4.4.7 – A Pressão hidrostática e o Princípio de Pascal .................................................... 75
4.4.8 - A densidade volumétrica de forças superficiais ................................................... 79
4. 5 – A equação básica da fluidostática................................................................................... 80
4. 6 - Exercícios e Problemas ................................................................................................... 82
4. 7 - Referências Bibliográficas .............................................................................................. 84
ESTÁTICA DE FLUIDOS OU FLUIDOESTÁTICA ............................................................. 85
5. 1 –Objetivos do capítulo....................................................................................................... 85
5. 2 - Introdução
............................................................................................................ 86
5.2.1- Gradiente de uma grandeza ou de um campo escalar ........................................... 86
5.2.2 – Derivada direcional e o significado físico do Vetor gradiente ............................ 89
5.2.3 - Equilíbrio de forças em um fluido estático - Teorema de Stevin-Pascal ............. 90
5. 3 - Equações básicas da fluidoestática.................................................................................. 91
5.3.1 - Variação de pressão para um fluido em repouso.................................................. 91
5. 4 – Variação da pressão com a elevação (altitude) para um fluido estático compressível... 92
Caso - 1. Gás perfeito isotérmico. ................................................................................... 92
Caso – 2. A temperatura varia linearmente com a elevação............................................ 94
5. 5 - Manometria
............................................................................................................ 95
5.5.1 - Atmosfera normal................................................................................................. 95
5.5.2 - Atmosfera técnica (metros de coluna de água MCA) .......................................... 95
5.5.3 - Atmosfera local .................................................................................................... 95
5.5.4 - Pressão efetiva e pressão absoluta........................................................................ 96
5.5.5 - Definições ............................................................................................................ 97
5.5.6 - Classificação dos manômetros ............................................................................. 97
5.5.7 – Tipos de manômetros .......................................................................................... 98
5. 6 – Forças sobre superfícies planas submersas..................................................................... 98
5. 7 – Forças sobre superfícies curvas submersas .................................................................. 103
5. 8 – Empuxo em corpos submersos ..................................................................................... 103
5. 9 – Equilíbrio de corpos flutuantes..................................................................................... 105
5. 10 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 106
5. 11 – Referências Bibliográficas.......................................................................................... 109
4
Capítulo – I
INTRODUÇÃO GERAL
1. 1 – Objetivos do capítulo
i) Fornecer bases para uma discussão ampla sobre a aprendizagem de uma
disciplina exata como a Mecânica dos Fluidos. ii) Apresentar sugestões especificas para o
estudo e aprendizado de mecânica dos Fluidos. iii) Fornecer uma visão geral da estrutura
matemática que envolve a Mecânica dos Fluidos. iv) Apresentar as divisões do livro e os
tópicos dos capítulos que se seguirão.
Mecânica dos Fluidos é um curso que precisa observar as seguintes condições:
1. 2 - Metodologia de Estudo-Aprendizado
Papel do Professor: apresentação clara e concisa dos princípios fundamentais de
modo que o estudante possa ler e compreender
Papel do aluno: Desejo de estudar o texto antes de comparecer a aula.
Figura - 1. 1. Estrutura do conteúdo de uma disciplina
5
OBSERVAÇÃO: provavelmente haverá ocasiões em que o professor não
conseguirá atingir plenamente o seu objetivo. Quando isso ocorrer o professor gostaria de
conhecer sua deficiências, quer direta ou indiretamente.
1. 3 - A importância das anotações
O professor deve organizar o conteúdo em uma seqüência lógica, ascendente de
raciocínio, com crescimento suave e gradual do conhecimento para que o aluno possa anotar e
atingir a forma mais eficiente do aprendizado.
Figura - 1. 2. Estrutura seqüencial do aprendizado de uma disciplina na relação professor-conteúdo
aluno.
Fica faltando para o aluno o desenvolvimento do algoritmo de solução e o treino
através dos exercícios de aprendizado e fixação.
Figura - 1. 3. Estrutura seqüencial do aprendizado de uma disciplina na relação conteúdo-alunoexercícios.
OBSERVAÇÕES:
1 - O texto introdutório não explica tudo é preciso o aluno ir atrás de mais.
2 – Observar as abordagens alternativas existentes e utilizar material
complementar no aprendizado, como por exemplo (filmes, simulações, experimentos, etc.).
3 – Aprender praticando, ou seja adquirir os fundamentos básicos através da
prática dos exercícios.
6
4 – Evitar a tentação do “ler-e-solver”
É essencial resolver os exercícios!!
Figura - 1. 4. Estrutura seqüencial do aprendizado como ação.
1. 4 - Metodologia do curso em sala de aula
- Pré-requisitos: Estática, Dinâmica dos Corpos Rígidos, Matemática (Álgebra e
Geometria, Cálculo Diferencial e Integral), Termodinâmica
- Sistema Internacional de Unidades (70% dos exercícios).
- Sistema Inglês (30% dos exercícios).
- Há 108 exercícios resolvidos que serão utilizados para o aprendizado e criação
dos algoritmos de resolução.
- Procurar fugir do método convencional de dar aulas.
- Acrescentar outros materiais às preleções e expandir os tópicos especiais
(circulação sanguínea, escoamento de fluidos não-newtonianos, métodos de medida).
- Realizar discussões sobre o conteúdo do curso.
- Resolver problemas e explanar pontos difíceis dos trabalhos recomendados para
serem feitos em casa.
- Fazer um Workshop dos conteúdos dos cadernos a cada fim de tópico com os
exercícios resolvidos
- Apresentar diante mão um sumário dos objetivos de cada capítulo
7
- Há mais de 500 novos problemas para serem feitos em casa que poderão ser
usados como questões para as provas a cada tópico.
- Há 1161 problemas na 3ª Edição do livro texto do Fox & Mac Donald que
poderão ser utilizados num prazo mínimo de seis meses.
- Existem muitos filmes instrutivos para o esclarecimento dos conceitos básicos
listados no Apêndice C do livro texto do Fox & Mc Donald e também em homepage de
Universidades e Instituições com cursos de Mecânica dos Fluidos na Internet.
1. 5 - Metodologia para a solução dos exercícios
1 – Relacionar bem e concisamente (com sua palavras) as informações dadas.
2 – Relacionar as informações a serem determinadas
3 – Faça um esquema do sistema ou do volume de controle a ser usado na análise.
Assegure-se de assinalar os limites do sistema ou do “volume de controle” e de fixar,
convenientemente, os sentidos das coordenadas.
4 – Escreva o formulário matemático das leis básicas que você julga necessário
para resolver o problema
5 – Liste as hipóteses simplificadoras que você acha serem aplicáveis ao
problema.
6 – Resolva o problema algebricamente antes de substituir os valores numéricos,
para que você possa identificar métodos gerais de soluções e gerar algoritmos que evite você
fazer muitos problemas iguais sem necessidade.
7 – Substitua os valores numéricos (usando um sistema coerente(1) de unidades de
medida) para obter as respostas numéricas. Os algarismos significativos das respostas devem
ser compatíveis com os valores fornecidos (normalmente até 3 casas decimais).
8 – Verifique as respostas e reveja as hipóteses feitas na resolução a fim de
certificar-se de que são procedentes.
9 – Destaques as respostas e verifique se estas possuem grau de realidade, se não,
identifique os absurdos e refaça os cálculos.
10 – Relacione o que você aprendeu, isto é, o seu problema e as suas respostas
com o seu dia a dia ou com a sua realidade.
1
Todas as grandezas no mesmo sistema de unidades
8
1. 6 - Divisões do livro
1) Conceitos Introdutórios (Caps 1, 2 e 3) – Objetivos da Mecânica dos Fluidos,
Estática e Dinâmica dos Fluidos
2) Estabelecimento e aplicação do volume de controle, formas das equações
básicas (cap. 4) – Euler- Lagrange.
3) Estabelecimento e aplicação das formas diferenciais das equações básicas (cap
5 e 6) e formas integrais das equações básicas.
4) Análise dimensional e correlação dos dados experimentais (cap 7)
5) Aplicação dos escoamentos de fluidos incompressíveis (escoamentos internos
no cap. 8 e externos no cap. 9)
6) Análise e aplicações de escoamentos em canais (caps. 10)
7) Análise e aplicações de escoamentos unidimensionais de fluidos compressíveis
(caps. 11 e 12)
1. 7 - Objetivo final do curso
Os estudantes no final do curso devem estar aptos a aplicar as equações básicas e
resolver problemas novos, desenvolver confiança e habilidade, estar capacitado a encontrar
soluções para problemas com maiores graus de dificuldades e adquirir auto-confiança.
1. 8 - Questões básicas em Mecânica dos Fluidos
Antes de se iniciar qualquer assunto dentro da mecânica dos fluidos, pode-se fazer
as seguintes perguntas:
1 – De que trata a Mecânica dos Fluidos?
Mecânica – é a parte da ciência física que estuda o equilíbrio, o movimento e suas
causas. Basicamente trata do problema das forças e suas conseqüências, ou seja, deformação,
movimento, trabalho e dissipação de energia.
Fluido – É toda substância que se deforma continuamente sob a ação de um
esforço, uma tensão tangencial ou de cisalhamento, por exemplo, não importando quão
diminuto seja este esforço.
9
Portanto a Mecânica dos Fluidos estuda é a parte da ciência física que estuda o
equilíbrio, o movimento e suas causas, de corpos que podem se deformar continuamente sob a
açao de forcas tangenciais. Basicamente trata-se do problema
das forças e suas
conseqüências, ou seja, deformação, movimento, trabalho e dissipação de energia.
2 – Por que devo estudá-la? Qual é a sua importância?
Ela é uma ciência cujo conhecimento e compreensão dos seus princípios básicos e
conceitos são essenciais para analisar qualquer sistema no qual um fluido é utilizado,
normalmente, como um meio produtor de trabalho. É ai que reside a sua importância, pois,
trabalho equivale a energia e, energia significa custo e benefício. Portanto, estudar mecânica
dos fluidos representa poder dimensionar sistemas e processos em termos de eficiência, custo
e resultados finais.
Figura - 1. 5. Equivalência entra trabalho, energia e custo.
3 – Porque devo querer estudá-la? Qual é o motivo?
A mecânica dos fluidos insere-se no contexto da engenharia como uma ferramenta
de capacitação ao engenheiro para dimensionar materiais que resistirão ao tempo e ao espaço,
ou seja, através da mecânica dos fluidos é possível dimensionar fluxos, processos, barrreiras
para conter pressões proveniente de escoamento de fluidos, condutância de tubos para
transmissão de gases e líquidos, etc.
4 – Como se relacionam os assuntos de Mecânica dos Fluidos com os tratados em outras
áreas com as quais eu já estou familiarizado?
10
A Mecânica dos fluidos incluirá conceitos avançados estudados na Mecânica dos
Sólidos na Termodinâmica, Geometria e no Cálculo Diferencial e Integral, conforme mostra o
diagrama abaixo:
Figura - 1. 6. Inter-relação entre as áreas da física e da matemática.
Estas ciências se relacionam, de uma forma geral, da seguinte forma:
Leis fenomenológicas + Matemática (aritmética, álgebra, cálculo, geometria) =
ciência física
1. 9 – A Mecânica dos Fluidos na engenharia de Materiais
A Engenharia de Materiais possui uma estreita ligação com a Mecânica dos
Fluidos através da capacidade de se quantificar a energia necessária para conformação de
diversos tipos de materiais, possibilitando assim uma relação custo/benefício tanto do
processo como do produto final. Dos processos mais importantes de conformação destaca-se a
fundição, que é usada nas três principais áreas da Engenharia de Materiais, metais, cerâmica e
polímeros. Na área de metais a fundição de precisão necessita-se de uma grande quantidade
de calor pois o fundido que se comporta como um fluido é despejado no molde aquecido
formando assim a peça final. Neste tipo de processo de fabricação o molde possui, muitas
vezes, um elevado número de detalhes e uma relativa precisão dimensional, que o fluido do
metal fundido no estado liquido deve preencher. Portanto, observa-se que o entendimento das
propriedades viscosas deste tipo de material se torna importante neste processo. A quantidade
de calor torna o produto mais caro do que a fundição com matriz, na qual é possível utilizar
taxas rápidas de resfriamento.
A colagem por barbotina envolve uma suspensão de argila em água , que é vertida
em um molde poroso onde a água á absorvida através do molde. A medida que a peça fundida
seca se contrai e se desprende do molde podendo ser removida. A natureza da suspensão é
11
importante pois ela precisa ser muito fluida e derramável, essas características dependem da
proporção sólido/água bem como de agentes como os defloculantes que dificultam a formação
de flocos tornando a suspensão idealmente fluida.
No caso de polímeros a moldagem é o tipo mais comum de conformação. O
plástico granulado é fundido e forçado a escoar para o interior de um molde a uma
temperatura e pressão elevadas, a fim de preencher e assumir a forma deste molde. Na
moldagem por injeção o material peletizado de algum termoplástico é empurrado para o
interior de uma câmara de aquecimento onde se funde para formar um líquido viscoso. O
plástico fundido é impelido então através de um bico injetor para a cavidade fechada do
molde. A pressão é mantida até a total solidificação do material.
Na extrusão o processo acima se repete, sendo que o molde desta vez é aberto.
Isso implica em peças de reta constante e de longo comprimento.
O emprego de materiais em estado líquido e fluido viscoso é extremamente
necessário para a conformação dos três tipos de materiais, cerâmicos, metais e polímeros,
sendo indispensável o conhecimento das propriedades dos fluidos e das leis que os regem,
para empregar os diversos tipos de conformação e possibilitar a criação de novos métodos que
facilitem ou reduzam o custo de produção.
1. 10 - Visão geral do curso
Neste curso utilizaremos o conceito de grandezas escalares, pseudoescalares,
vetoriais, pseudo-vetoriais, e tensoriais. Também utilizaremos as três leis de Newton
(conservação da massa (inércia), a lei de força, conservação do momento linear, angular e da
energia) e as três leis da termodinâmica (1a , 2a e 3a Lei), modificadas, para retratar o
movimento de fluidos. Utilizaremos equações de origem puramente geométrica e outras de
origem fenomenológicas (equação da continuidade) para descrever comportamento de corpos
ou de fluidos em geometrias pré-definidas. Utilizaremos o conceito de produto escalar,
produto vetorial, produto misto, duplo produto escalar, e duplo produto vetorial, como
também o conceito de derivada material, gradiente, divergente e rotacional e dyádicos com
as suas respectivas interpretações geométricas. Desenvolveremos os teoremas, de Green, da
Divergência, Gauss, Reynolds e Stokes, para descrever comportamento de fluidos.
Entenderemos a equivalência entre diversas áreas da física tais como: Mecânica e
Eletromagnetismo e Termodinâmica. Portanto neste curso procuraremos explicar, com todo o
detalhamento necessário e possível, a linguagem dos conceitos através das fórmulas e dos
12
teoremas matemáticos. Fique atento ao que está implícito nas fórmulas por meio dos sinais de,

  

v (escalar), v (vetor), u  u  u o (variação finita), du (variação infinitesimal de escalar),

du (variação infinitesimal de vetor),  (somatória),  f ( x)dx (somatória infinitesimal de um


escalar),  J  dA (somatória infinitesimal de um vetor), interpretação geométrica dos
operadores gradiente, divergente e rotacional, etc.
Uma mesma equação, chamada de “equação da continuidade”, quando aplicada
sob a visão de cada uma das equações fenomenológicas da Figura - 1. 7 geram diferentes
fenomenologias contidas no mesmo grupo estrutural de equações matemáticas. Portanto, um
dos objetivos deste curso é ensinar ao aluno o uso de equações e teoremas de forma a misturar
essas equações para abordar fenomenologias mais complexas.
Figura - 1. 7. Leis fenomenológicas de fluxos proporcionais aos gradientes de suas respectivas
grandezas.
A evolução dos conceitos básicos dentro da física é mostrado na Figura - 1. 8.
Esta figura mostra como as diversas áreas da física estão classificadas mediante os seus
conceitos fundamentais e seu campo de aplicação.
13
Figura - 1. 8. Visão geral da Mecânica dos fluidos e sua relação com outras áreas da ciência física.
A mecânica dos fluidos possui um arcabouço matemático geral utilizado em
várias outras áreas da ciência física, conforme esquematiza a Figura - 1. 9. Pois de diferentes
leis fenomenológicas surgem diferentes contribuições à força que atua sobre um elemento de
um fluido em conjunto com as suas diferentes configurações geométricas, que podem ser:
cartesianas, cilíndricas, esféricas, hiperbólicas, etc.
14
Figura - 1. 9. Visão geral da Mecânica dos Fluidos e sua relação com outras áreas da ciência física,
que podem incluir efeitos clássicos e relativísticos.
Por se tratar de um assunto de grande abrangência, a Mecânica dos Fluidos,
envolve as áreas da Elasticidade e da Elastodinâmica, Hidrodinâmica e Mecânica dos Meios
Contínuos. Suas idéias estendem-se desde a mecânica tais como: Tensores, Lei de Hooke,
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Propriedades Elásticas dos Materiais, Dislocações, Comportamento Dinâmico de Ondas, etc.,
e suas equações estendem-se desde a equação da continuidade, equação de Euler, equações da
Hidrostática (Pascal e Stevin), da Hidrodinâmica (Bernoulli, Navier-Stokes) até Equações
Diferenciais Não-Lineares, que envolve turbulência e a propagação de sólitons. Por último, na
resolução dos problemas é preciso lembrar que todo valor de uma medida estará associado a
uma certa imprecisão experimental, por esta razão será adotado o uso de até três algarismos
significativos.
1. 11 – O que você deve saber sobre Mecânica dos Fluidos
I - Conceitos Fundamentais
O que é um fluido.
O que é a condição de não-deslizamento.
A lei da viscosidade de Newton.
Qual a relação entre taxa de deformação e gradiente de cisalhamento.
Como se expressa matematicamente um perfil linear de viscosidade.
Como se classificam os fluidos, quanto a taxa de cisalhamento, regime, temperatura, etc.
II - Estática dos Fluidos
O que é o princípio de Pascal.
O que significa um gradiente de pressão e como se expressa ele matematicamente.
A equação de Stevin.
O empuxo.
Como se dá o equilíbrio de corpos flutuantes e submersos.
Calcular centro de pressão em superfícies submersas.
III - Dinâmica de Fluidos Ideais, Viscosos Incompressíveis e Compressíveis
Qual a relação entre a deformação de um sólido e de um fluido.
O que significa um regime estacionário ou permanente.
A diferença entre sistema e volume de controle
A diferença entre o formalismo de Euler (Integral) e o de Lagrange (Diferencial)
Como se definem uma densidade generalizada, uma taxa generalizada e um fluxo
generalizado.
O que significa, trajetória, filete, linha de emissão e linha de corrente.
16
Saber aplicar o conceito de volume de controle e superfície de controle no cálculo de
escoamentos.
O que é a equação da continuidade, o que significa, saber aplicá-la aos cálculos (versão
integral e diferencial).
O teorema de Gauss, da divergência, de Green e de Stokes e saber aplicar.
Como expressar a compressibilidade, ou a incompressibilidade matematicamente e saber usála nos cálculos de escoamento.
A equação de Euler, saber aplicar (versão integral e diferencial).
A equação de Bernoulli, saber aplicar (versão integral e diferencial).
A relação da equação de Bernoulli com a termodinâmica.
A equação geral da viscosidade de um fluido.
A equação de Navier-Stokes para fluidos viscosos, saber aplicar pelo menos a fluidos
incompressíveis.
O que é uma camada de contorno e qual a sua importância
Qual a diferença do comportamento de um fluido dentro e fora da camada de contorno
A diferença entre fluido compressível e incompressível
Explicar matematicamente com base na mecânica dos fluidos o funcionamento de uma
injetora.
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1. 12 – Exercícios e Problemas
1. Sob determinadas condições, quais destes materiais são fluidos? alcatrão, gelatina,
massa de vidraceiro, argila pra moldes, cera, areia, pasta de dente, creme de barbear?
2. Qual é a importância da Mecânica dos Fluidos na Engenharia de Materiais
3. Cite três aplicações de fluidos na Engenharia de Materiais
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1. 13 – Referências Bibliográficas
- Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECÂNICA DOS FLUIDOS, Editora Thomson
- FOX, R. W., McDonald, A. T., Introdução á Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara
Koogan, 4ª Edição.
- Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blücher
- BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecânica dos Fluidos, LTC Editora.
- Incropera, P. I., DeWitt, D. P. Fundamentos da Transferência de Calor e Massa, Editora
LTC, 4ª Edição, 1998.
- FEYMANN, Richard, Lectures on Physics Vol – II Caps. 38, 39, 40, 41.
- Landau & Lifshitz – Teoria da Elasticidade
- Fetter & Walescka – Mecânica dos meios Contínuos (Exemplo e Aplicações)
- Arfken – Métodos Matemáticos em Física
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Capítulo – II
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
RESUMO
Neste capítulo serão vistas as noções fundamentais e os conceitos básicos
relacionados a mecânica newtoniana a termodinâmica, tensão superficial, e pressão de vapor.
Como se estuda fenomenologicamente a consistência de um corpo por meio das equações da
mecânica e saber quais são as unidades físicas importantes utilizadas na Mecânica dos
Fluidos. Todos os conceitos estudados neste capítulo serão úteis nos capítulos subseqüentes e
ao longo de todo o curso. Portanto, é imprescindível memorizar tais conceitos para a
resolução dos problemas que se seguirão.
Palavras Chave: fluido; sistema de unidades; leis de Newton ; leis da Termodinâmica.
PACS números:
2. 1 – Objetivos do capítulo
Ao terminar o estudo do Capítulo – II o estudante deve ser capaz de:
i) Descrever as três leis da Mecânica e as três Leis da Termodinâmica e a lei de Hooke
Generalizada. ii) Entender o comportamento mecânico dos sólidos para poder estender o
comportamento para fluidos. iii) Saber utilizar as dimensões e unidades, homogeneidade
dimensional, peso. iv) Citar os três sistemas básicos de medidas. v) Dar as unidades das
grandezas físicas no S.I., no Sistema Gravitacional Inglês e no Sistema Inglês de unidades
20
usadas na Engenharia. vi) Resolver os problemas do final do capítulo relativos a matéria
estudada.
2. 2 - As equações básicas da Mecânica Classica
A mecânica estuda as forças e distúrbios térmicos que atuam sobre um objeto nas
condições de repouso ou movimento. O estudo de corpos em repouso é chamada de estática, e
o de corpos em movimento é chamado de dinâmica.
2.2.1 - As leis da mecânica ou leis de Newton
As leis da mecânica ou leis de Newton são assim chamadas em homenagem a
Isaac Newton pelas contribuições fundamentais para a teoria.
Durante este curso as equações básicas que serão deduzidas e utilizadas no estudo
de fluidos são:
- 1a lei de Newton (Inércia ou conservação da massa), estabelece que quando a
resultante das forças que atuam em um corpo for nula, se ele estiver em repouso continuará
em repouso e, se ele estiver em movimento retilíneo uniforme continuará assim até que uma
força passe a atuar sobre ele. Matematicamente suas condições são descritas pelas equações:
Aceleração (a) = 0; velocidade (v) = 0  corpo em repouso.
(2. 1)
Aceleração (a) = 0; velocidade = constante  corpo em MRU.
Porém, esta lei é de difícil verificação na prática, devido a presença de outras
forças atuantes no corpo, como força de atrito, resistência do ar e gravidade.
A 2a lei de Newton para o movimento, estabelece que a força que age sobre uma
-
partícula é igual a variação do momento linear com o tempo.
 dp

F
 ma .
dt
(2. 2)

pnde, p é o momento limear e corresponde a


p  mv
(2. 3)
As forças atuantes são somente externas, forças exercidas sobre o corpo por outros
corpos ou campos. As forças são consideradas isoladamente e são representadas por vetores,
que se somam ou se subtraem, conforme suas orientações.
21
Figura - 2. 1. Ilustração da terceira lei de Newton
A 3a lei de Newton para o movimento, não descreve uma propriedade da natureza
separada; ela está contida no fato experimental da conservação do movimento linear e na
maneira pela qual a força é definida. È a lei da ação e reação, que afirma que para toda ação
corresponde uma reação de mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário. Como
exemplo, têm-se na Figura - 2. 1.
Figura - 2. 2. Exemplo de força interna que não realiza trabalho. Ventilador soprando um barco a
vela.
Se um corpo A exerce uma força FBA sobre um corpo B, então o corpo B deve
exercer uma força FAB sobre o corpo A. A força tem mesmo módulo e direção, mas sentido
contrário.


F AB  FBA
(2. 4)
Observa-se também que forças internas não realizam trabalho, conforme mostra o
exemplo da Figura - 2. 2.
22
- Conservação do momento linear, ou da quantidade de movimento, p = mv
- Conservação do momento angular, ou do momento da quantidade de movimento,
L = r x p.
As três leis de Newton são válidas para sistemas macroscópicos, porém na escala
microscópica utiliza-se as leis da Mecânica Quântica.
2. 3 - Estudo da consistência de um corpo sólido por meio da
análise de causa e efeito
O estudo da consistência de um corpo (sólido, líquido, ou gasoso) é um estudo
fenomenológico de causa e efeito, onde se aplica uma força deformante sobre a superfície
deste corpo em estudo e observa-se o efeito da deformação. Este estudo está baseado no fato
de que as forças exercidas sobre o contorno de um meio são transmitidas através do meio.
Figura - 2. 3. Estudo da consistência de um corpo nas direções normal e tangencial
Um corpo pode apresentar propriedades de consistência em duas direções
fundamentais (normal e tangencial) e os comportamentos básicos deste corpo em relação a
tensão de deformação são:
a) COMPORTAMENTO ELÁSTICO – (Reversível) é aquele em que cessando a
causa (tensão) cessa também o efeito (deformação).
b) COMPORTAMENTO PLÁSTICO – (Irreversível) é aquele em que cessando a
causa (tensão) o efeito permanece (deformação). A condição de não ruptura em todas as
partes do corpo deformado é necessária, para o estudo da consistência.
23
Figura - 2. 4. Comportamentos básicos de um corpo sujeito à uma tensão de deformação numa
direção genérica. a) elástico (reversível) b) plástico (irreversível).
2.3.1 - Estudo da deformação de um corpo sólido
Os materiais sólidos tendem a se deformarem (ou eventualmente) se romperem
quando submetidos a solicitações mecânicas. O diagrama de tensão-deformação é o
mecanismo gráfico de análise do comportamento dos sólidos frentes as tensões e suas
respectivas deformações. Este diagrama tensão-deformação varia muito de material para
material, e, para um mesmo material podem ocorrer resultados diferentes em vários ensaios
dependendo da temperatura do corpo de prova ou da taxa de crescimento da carga.
Os tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os materiais para uma
análise através do diagrama de tensão-deformação são:
a) TRAÇÂO – As forças atuantes tendem a provocar um alongamento do corpo na direção de
aplicação da força.
b) COMPRESSÃO – As forças atuantes tendem a produzir uma redução do corpo na direção
de aplicação da força.
c) FLEXÃO – As forças atuantes provocam uma deformação do corpo no eixo perpendicular
a direção da força
d) TORÇÃO – As forças que atuam no corpo se situam em um plano perpendicular ao eixo da
secção transversal do corpo tendendo a fazer girar uma parte do corpo em relação a outra.
e) FLAMBAGEM – É um esforço de compressão em uma barra de secção transversal
pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura da barra.
f) CISALHAMENTO – As forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um
deslocamento linear entre secções transversais.
24
Todos os tipos de esforços citados acima estão mostrados na
Figura - 2. 5.
Figura - 2. 5. Diferentes tipos de esforços que podem ser realizados sobre um corpo sólido, a)
esforço de tração, b) esforço de compressão, c) esforço de flexão, d) esforço de torção, e) esforço de flambagem,
f) esforço de cisalhamento.
2.3.2 - Lei de Hooke na sua forma simplificada
A lei de Hooke estabelece o grau no qual uma estrutura se deforma ou se o
esforço depende da magnitude da tensão imposta. Na parte inicial do diagrama, a tensão, , é
diretamente proporcional à deformação específica, , e podemos escrever:
  E .
(2. 5)
sendo que  = l/l. Esta relação é conhecida como Lei de Hooke sendo que o coeficiente E, é
chamado de módulo de elasticidade do material. Para uma força aplicada independentemente
nos os três eixos principais de um corpo temos de uma forma geral que:
 ii  E ii ,
(2. 6)
 ij  G ij ,
(2. 7)
e para o caso de cisalhamento
onde G é o módulo de cisalhamento.
No diagrama  x  do aço puro e de três tipos de aço (Figura - 2. 6), existem
várias diferenças de tensões de escoamento, tensões últimas e valores finais de deformação
específica (ductibilidade). Todos eles têm o mesmo módulo de elasticidade, ou seja, a sua
capacidade de resistir a deformações é a mesma, dentro da região linear do diagrama.
25
Figura - 2. 6. Diagrama  x  para diferentes aços.
O processo de deformação no qual a tensão e a deformação são proporcionais é
chamado de deformação elástica; um gráfico da tensão (ordenada) em função da deformação
(abcissa) resulta em uma relação linear, conforme mostrado na Figura - 2. 7. A inclinação
(coeficiente angular) deste segmento linear corresponde ao módulo de elasticidade E. esse
módulo pode ser considerado como sendo uma rigidez, ou uma resistência do material à
deformação elástica.
Figura - 2. 7. . Diagrama  x , mostrando as diferentes regiões de deformação.
A deformação elástica não é permanente, o que significa que quando a carga
aplicada é liberada, a peça retorna à sua forma original.
À medida que o material é deformado além do ponto P (Figura - 2. 7), a tensão
não é mais proporcional à deformação ( a Lei de Hooke deixa de ser válida), ocorrendo então
uma deformação permanente e não recuperável, ou chamada de deformação plástica.
26
2.3.3 - Coeficiente de Poisson
Quando uma tensão de tração é imposta a um corpo de prova metálico, por
exemplo, um alongamento elástico e sua deformação correspondente, Z, resultam na direção
da tensão aplicada ( no caso, direção, z) conforme mostra a Figura - 2. 8. Como resultado
deste alongamento, existirão constrições nas direções laterais (x e y), perpendiculares à tensão
aplicada; a partir dessas contrações, as deformações compressivas X e Y podem ser
determinadas. Se a tensão aplicada for uniaxial (apenas na direção z) e o material for
isotrópico, então X = Y. Um parâmetro conhecido por coeficiente de Poisson, , é definido
como sendo a razão entre as deformações lateral e axial, ou seja,
v
y
x
 .
z
z
(2. 8)
Figura - 2. 8. Alongamento axial (z) (deformação positiva) e contrações laterais (x e y)
(deformações negativas) em resposta à composição de uma tensão de tração. As linhas sólidas representam as
dimensões após a aplicação da tensão; as linhas tracejadas, antes da aplicação da tensão.
O sinal negativo está incluído nesta expressão para que  seja sempre um número
positivo, uma vez que X e Z terão sempre sinais opostos. Teoricamente, o coeficiente de
Poisson para materiais isotrópicos deve ser de ¼; adicionalmente, o valor máximo para  ( ou
aquele valor para o qual não existe qualquer alteração líquida no volume) é de 0,5. Para
muitos metais e outras ligas, os valores para o coeficiente de Poisson variam na faixa entre 0,2
e 0,35.
27
Para materiais isotrópicos, os módulos de cisalhamento e de elasticidade estão
relacionados entre si e com o coeficiente de Poisson de acordo com a expressão:
E  2G (1  v) .
(2. 9)
2.3.4 - Estados múltiplos de carregamento; generalização da lei de Hooke
Consideremos elementos estruturais sujeitos à ação de carregamentos que atuam
nas direções dos três eixos coordenados, produzindo tensões normais X, Y e Z todos
diferentes de zero (Figura - 2. 9).
Figura - 2. 9. Estado múltiplo de carregamentos.
Considerando um cubo elementar de um certo material adotando arestas de
comprimento unitário sobre a ação do carregamento multiaxial esse cubo elementar se
deforma tornando-se um paralelepípedo-retângulo cujos lados têm comprimentos 1 + X, 1 +
Y, 1 + Z, onde são as deformações específicas dos três eixos coordenados (Figura - 2. 10).
Figura - 2. 10. Ação do carregamento multiaxial.
28
Escrevendo as expressões das componentes de deformação, X, Y e Z em função
das componentes de tensão X, Y e Z, considerando separadamente o efeito provocado por
cada componente. Tal método se baseia no princípio da superposição. Este princípio afirma
que o efeito provocado em uma estrutura por determinado carregamento combinado pode ser
obtido determinando-se separadamente os efeitos dos vários carregamentos e combinando-se
os resultados obtidos.
Considerando em primeiro lugar a tensão X, essa componente causa na direção x,
a deformação específica de valor X/E, e nas direções dos eixos y e z, a deformação específica
é dada por: -X/E. Da mesma maneira, a componente de Y, aplicada separadamente provoca
as deformações específicas Y/E e na direção do eixo y e -Y/E nas outras direções.
Finalmente a componente Z causa as deformações específicas -Z/E na direção do eixo Z e -
Z/E nas direções x e y. Conhecendo-se os resultados acima, chegamos as expressões das
componentes das deformações específicas, correspondentes ao estado múltiplo de
carregamento, dado por:
 xx 
1
[ xx  v( yy   zz )] ,
E
(2. 10)
 yy 
1
[ yy  v( xx   zz )] ,
E
(2. 11)
 zz 
1
[ zz  v( xx   zz )] .
E
(2. 12)
As equações (2. 10), (2. 11) e (2. 12) exprimem a generalização da Lei de Hooke
para um carregamento multiaxial. Do mesmo modo um valor positivo de deformação
específica significa expansão na direção respectiva e um valor negativo indica contração.
Para o caso de cisalhamento, as equações utilizadas são as seguintes:
 xz 
 xz
,
G
(2. 13)
29
 xy 
 yz 
 xy
G
 yz
G
,
(2. 14)
.
(2. 15)
Generalizando as equações correspondentes ao estado de deformação e
cisalhamento, podemos escrever a matriz das tensões, , e a matriz das deformações, , e
através do determinante destas matrizes, obter o módulo de elasticidade e o módulo de
cisalhamento de um sólido e sua relação entre eles, para uma rede cúbica, da seguinte forma:
J ij  2G ij   ij  kk .
(2. 16)
onde o módulo de cisalhamento, G, é dado por:
G
E
.
2(1  v)
(2. 17)
E é o módulo elástico, v é o módulo de Poisson, e  é a constante de Lamé e vale

vE
.
(1  v)(1  2v)
(2. 18)
2Gv
.
(1  2v)
(2. 19)
ou

2. 4 - A Lei de Hooke generalizada aplicada a sólidos
Desenvolveremos a segunda parte da Lei de Hooke considerando inicialmente a
ação de um corpo sólido elástico isotrópico que se deforma de acordo com essa lei, a qual
pode ser escrita, na sua forma generalizada, para um corpo isotrópico da seguinte forma:
J ij  E ijkl S kl .
(2. 20)
Esta lei é utilizada para descrever a deformação contínua em um sólido até um certo limite.
30
Tomemos como exemplo a Lei de Hooke, na sua forma matricial dada pela
equação (2. 20). Considere um corpo em sua forma primitiva, não deformada, como mostrado
pela linha cheia na Figura - 2. 11. O corpo em sua geometria deformada está mostrado pela
linha interrompida.
Figura - 2. 11. Corpo deformado mostrando o ponto a deslocado após a deformação local s.

Um elemento a desloca-se para a posição a’, da distância S . Usando

componentes paralelas a uma referência convenientes x, y, z temos S .

S  iˆ  ˆj  kˆ .
Onde
(2. 21)
 , , e  , para dada deformação são funções das coordenadas de posição primitiva x, y,
z dos elementos do corpo. Podemos então definir deformações normais da seguinte maneira:
 xx 

,
x
(2. 22)
 yy 

,
y
(2. 23)
 zz 

.
z
(2. 24)
Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões e deformações normais estão
relacionadas com pequenas deformações pela Lei de Hooke da seguinte maneira:
31
 xx 
1
[ xx  v( yy   zz )] ,
E
(2. 25)
 yy 
1
[ yy  v( xx   zz )] ,
E
(2. 26)
 zz 
1
[ zz  v( xx   zz )] .
E
(2. 27)
Onde E é o módulo elástico de Young e v é o coeficiente de Poisson. Recordamos que o
módulo de cisalhamento, G, é relacionado com E e v, pela seguinte relação
G
E
.
2(1  v)
(2. 28)
Para chegar a lei de deformação de Hooke, obtemos as tensões normais em termos
dos deslocamentos. Para fazê-lo, somamos as equações (2. 25) a (2. 27) e coletamos os termos
da seguinte forma:
 xx   yy   zz 
1  2v
[ xx   yy   zz ] .
E
(2. 29)
Observando as definições de (2. 21) a (2. 24) pode-se verificar que o primeiro
membro da equação (3.9) é o divergente de S, ou .S, logo reordenando (2. 29), obtemos:
 xx   yy   zz 
E
.S .
1  2v
(2. 30)
Resolvendo a equação (2. 25) para xx, temos:
 xx  E xx  v( yy   zz )] ,
(2. 31)
Somando e subtraindo vxx no segundo membro da equação acima e substituindo xx por
/x, obtemos:
 xx  E

 v( xx   yy   zz )  v xx ,
x
32
(2. 32)
Empregando a equação (2. 30) para substituir a soma das tensões normais, podemos reordenar
a equação acima da seguinte forma:
 xx (1  v)  E

vE

.S ,
x 1  2v
Dividindo por (1 + v) e observando a equação (2. 30) junto com a definição de
 
(2. 33)
 , dada por:
1
 xx   yy   zz .
3
(2. 34)
1 E
.S ,
3 (1  2v)
(2. 35)
A partir de (2. 30) temos que:
 
Logo podemos escrever a equação (2. 33) na forma:
 xx 
E 
vE
1 E

.S 
.S   ,
(1  v) x (1  v)(1  2v)
3 (1  2v)
(2. 36)
Onde os últimos termos são adicionais, cuja soma é zero. Logo, pondo em evidência os
termos semelhantes
 xx 
E   v
1 E

 
.S   ,
(1  v) x  (1  v) 3  (1  2v)
(2. 37)
e combinado os coeficientes do termo .S, obtemos:
 xx 
E   2v  1  E

.S   ,
(1  v) x  3(1  v)  (1  2v)
(2. 38)
E  1 E

.S   ,
(1  v) x 3 (1  v)
(2. 39)
Ou
 xx 
Substituído agora E /(1  v ) por 2G, dado de acordo com (2. 28), obtemos:
 xx  2G
 2
 G.S   ,
x 3
33
(2. 40)
Coletando os termos e exprimindo as equações correspondentes para outros componentes de
tensão, obtemos as relações desejadas de tensão-deslocamento, ou seja:
 xx  2G
 2
 G.S   ,
x 3
(2. 41)
 yy  2G
 2
 G.S   ,
y 3
(2. 42)
 zz  2G
 2
 G.S   ,
z 3
(2. 43)
S i 2
 G.S   ,
x i 3
(2. 44)
S i
,
x j
(2. 45)
e
e
E de uma forma geral temos:
 ii  2G
e
 ij  2G
Portanto o tensor das tensões Jij é dado por:
2
J ij  2G ij  G ij kk .
3
(2. 46)
Estas equações serão muito úteis na generalização do problema de tensão e
deformação em fluidos. Elas formarão o escopo fundamental para o estudo de fluidos em
diversas condições físicas. Todas elas culminarão na equação de Navier-Stokes a qual
descreve a deformação contínua de um fluido compressível e viscoso.
34
2. 5 – Tensão superficial de líquidos
A força que existe na superfície de líquidos em repouso é denominada tensão
superficial. Esta tensão superficial é devida ás fortes ligações intermoleculares, as quais
dependem das diferenças elétricas entre as moléculas, e pode ser definida como a força por
unidade de comprimento que duas camadas.
35
2. 6 – Pressão de vapor de substâncias
A pressão de vapor é um fenômeno que ocorre em líquidos e sólidos. Sendo
diferente de uma substância para outra, é altamente dependente da pressão e temperatura do
ambiente. A pressão de vapor é a pressão resultante de moléculas que se desprende da
substância sólida ou líquida e permanece no estado gasoso. Vejamos o exemplo a seguir.
Considere um recipiente fechado contendo água à temperatura ambiente (25oC).
Nesta temperatura há uma quantidade de moléculas de água que se vaporizam até atingir o
equilíbrio com a fase líquida na pressão de 1,0 atm, sendo a pressão de vapor menor que a
pressão externa do ambiente (1,0 atm). Com o aumento da temperatura do líquido, ocorre o
aumento da quantidade de moléculas que se vaporizam. Quando a temperatura atinge a
temperatura de ebulição (100oC, nessas condições de pressão) a quantidade de moléculas que
se evaporam e condensam atinge o equilíbrio e então a pressão de vapor fica igual a pressão
externa. Isso também se aplica a recipientes abertos e pode ser melhor visualizado através da
Figura - 2. 12.
Figura - 2. 12. Esquema do aumento da pressão de vapor com o aumeto da temperatura.
Ao nível do mar, a temperatura de ebulição da água é de 100oC pois a pressão
externa é de 1,0 atm e para a ebulição ocorrer a pressão de vapor tem que ser igual a pressão
externa. Quando a altitude, em que o mesmo procedimento adotado, é maior do que o nível do
mar, a pressão externa é menor que 1,0 atm, portanto a temperatura de ebulição da água é
menor que 100oC, pois a pressão de vapor do líquido tem que ser igual a pressão externa
(conceito de ebulição).
Quando a pressão de vapor é maior que a pressão atmosférica ocorre uma
transferência de moléculas do estado líquido para o estado vapor. Isso ocorre a uma
36
temperatura maior que a temperatura de ebulição do líquido (condição de não-equilíbrio).
Quando a pressão de vapor é igual a pressão atmosférica a temperatura permanece constante
(temperatura de ebulição) e temos um estado de equilíbrio onde a mesma quantidade de
líquido é transformada em vapor e a quantidade de vapor é transformada em líquido, de
acordo com a Figura - 2. 13.
Figura - 2. 13. Pressão de vapor maior ou igual a pressão atmosférica.
Quando o líquido está na temperatura de ebulição o fornecimento de mais calor
altera o número de moléculas que passam do estado líquido para o estado de vapor (calor
latente) é a mudança de fase do sistema (Figura - 2. 13).
Figura - 2. 14. Gráfico de Temperatura em função do tempo para a água a uma pressão de 1,0 atm.
37
2. 7 - Medidas, unidades e dimensões
As grandezas básicas são o Espaço, Tempo, Massa, Carga elétrica e Temperatura.
A partir destas grandezas é que são construídas todas as outras através de relações
dimensionais. Normalmente designa-se a dimensão de uma grandeza com a seguinte notação:
Espaço: [L]; Tempo: [t], Massa: [M]; Carga elétrica: [Q] e Temperatura: [T].
2.7.1 - Sistema de Medidas
Dependendo da escolha das grandezas básicas, há diferentes sistemas de medidas
adotados conforme a necessidade. Como exemplo, utilizaremos apenas três deles:
a) Massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T].
b) Força [F], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T].
c) Força [F], massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T].
Para explicar os sistemas citados acima, podemos usar como exemplo a Segunda
Lei de Newton:


F ~ ma
(2. 47)
Em a) e b) a constante de proporcionalidade da equação (2. 47) é adimensional e
possui valor unitário, sendo que as suas grandezas derivadas são, a força [F] e a massa [M],
respectivamente. Para c) a constante de proporcionalidade possui dimensão {ML/Ft2] que é a
dimensão de gc na segunda lei de Newton, e as grandezas básicas são força [F] e massa [M].
As grandezas normalmente utilizadas em Mecânica dos Fluidos são:
Comprimento, área, volume, massa, densidade, força, energia, pressão, tensão
superficial, viscosidade, etc.
2.7.2 - Sistema de unidades
Há mais de um modo de escolher a unidade para cada grandeza básica.
Apresentaremos, para cada sistema de medidas, somente os sistemas de unidades mais
comuns em engenharia.
MLtT
O Sistema Métrico ou o Sistema Internacional de Unidades adota as seguintes
unidades para as grandezas:
38
Massa, [M] = Kilograma,[Kg]; comprimento, [L] = metro, [m]; tempo, [t] =
segundo, [s]; Temperatura, [T]; Kelvin [K]; Força, [F] = Newton [N].
Exemplo: utilizando-se a segunda lei de Newton dada em (2. 47) temos que:
1N  1Kg .m / s 2
(2. 48)
FLtT
O Sistema Gravitacional Inglês adota as seguintes unidades para as grandezas:
Força, [F] = libraforça, [lbf]; comprimento, [L] = pé, [ft]; tempo, [t] = segundo,
[s]; Temperatura, [T]; graus Rankine [R];
Como a massa é a grandeza derivada em termos da força, por exemplo:
utilizando-se a segunda lei de Newton dada em (2. 47) temos que:
1slug  1lbf . ft / s 2
(2. 49)
FMLtT
O Sistema Inglês usado na Engenharia
adota as seguintes unidades para as
grandezas.
Força, [F] = libraforça, [lbf]; Massa, [M] = libramassa, [lbm]; comprimento, [L] =
pé, [ft]; tempo, [t] = segundo, [s]; Temperatura, [T]; graus Rankine [R];.
A força e a massa são grandezas básicas então, por exemplo, utilizando-se a
segunda lei de Newton, dada em (2. 47), temos que:
 ma
F
gc
(2. 50)
Todos estes sistemas de unidades serão utilizados na resolução dos exercícios.
2.7.3 - Lei da homogeneidade dimensional
A lei da homogeneidade dimensional se divide em dois aspectos:
i) Invariância das leis físicas (mesmas leis para qualquer sistema de coordenadas)
Os fenômenos naturais são independentes das unidades empregadas pelo homem,
portanto as equações usadas para descrevê-los devem ter validade geral para qualquer sistema
39
de unidades ou de coordenadas. Este é um dos postulados da Teoria da Relatividade de
Einstein. Ele trabalhou em um Instituto de Pesos e Medidas em Zurich na Suiça e talvez tenha
recebido esta influência a partir de lá.
ii) Aditividade dos termos que possuem a mesma representação dimensional
Considere a seguinte equação termodinâmica:
TdS = du + PdV + dN
(2. 51)
Cada grupamento ou termo da equação deve possuir a mesma representação dimensional.
Tabela - I. 1. Tabela de conversão das unidades dos principais sistema de medidas
SISTEMA DE UNIDADES
UNIDADES
MKS
CGS
Inglês (I)
Inglês (II)
(engenharia)
(gravitacional)
Massa
1Kg
1000g
(1/0,4536)lbm
6,85x10-2slug
Comprimento
1m
100cm
(1/0,305)pé
(1/0,305)pé
Tempo
1s
1s
1s
1s
Temperatura
1K
1K
1,8oR
1,8oR
Carga elétrica
1C
StatC(x 300)
1C
1C
Força
1N
105dyn
(1/4,48)lbf
(1/4,48)lbf
Energia
1J
107ergs
(1/1,055)Btu
(1/1,055)Btu
Pressão
1N/m2=1Pa
10dyn/cm2
1/47,9lbf/pé2
1/47,9lbf/pé2
Viscosidade
1Kgm/s
10cp
lbm/pé.s
slug/pé.s
40
2. 8 - Exercícios e Problemas
1. Para cada grandeza abaixo listada indicar as dimensões no sistema MLTt e dar as
unidades típicas no SI e no Sistema Inglês de Unidades. a) Potência; b) Pressão; c)
Módulo de Elasticidade; d) Velocidade Angular; e) Energia; f) Quantidade de
Movimento; g) Tensão Tangencial; h) Calor Específico; i) Momento de uma Força j)
Modulo de Poisson.
2. Qual é a representação dimensional de: potência, módulo elástico, peso específico,
velocidade angular, energia, momento de uma força, módulo de Poisson, deformação,
pressão, densidade de energia.
3. Quantas unidades de escala de potência no sistema métrico, usando dinas centímetros
e segundo, correspondem a uma unidade no sistema inglês?
4. Quais são as duas leis da homogeneidade dimensional
5. A seguinte equação é dimensionalmente homogênea?
F
4 Ey
y
[(h  y )(h  )t  t 3 ]
2
2
2
(1  v )( Rd )
(3. 1)
Onde E: módulo elástico, v módulo de Poisson, d, y, h são distâncias ou comprimentos, R é a
razão entre distâncias, F = força, Quais as dimensões de t?
6. No fenômeno de formação de uma gota em uma câmara de bolhas, considere a
equação, T = ( - o)d.e2/H, onde  é o peso específico do vapor, o é o peso específico
do líquido, T é a tensão superficial. Para que a equação anterior seja dimensionalmente
homogênea, qual deve ser a dimensão de H?
7. Um conjunto pistão-cilindro contendo O2, m = 0,95J/Kg.K sofre uma variação de
temperatura de T1 = 27oC a T2 = 627oC, a uma pressão constante de 150KPa
(absolutos). Calcule a quantidade de calor recebido no processo do estado 1 para o
estado 2.
8. Mostre que o coeficiente de Poisson e igual a 0,5 para uma deformação que conserva o
volume.
41
2. 9 – Referências Bibliográficas
- CRAIG, R. R. Jr.; Mecânica dos Materiais, 2 ed. LTC.
- Apostila de vestibular: III Milênio; Física: Força e Movimento. P. 6.
- HALLIDAY, R. W. Fundamentos de Física, Mecânica, 4 ed. V.1, Rio de Janeiro – RJ;
LTC, p. 82-91, 1996.
- EISEBERG, R. M.; Física, Fundamentos e Aplicações, V.1, São Paulo; Mc. Graw Hill do
Brasil Ltda, p. 141-183, 1982.
- Van Wylen, Gordon J.; Sonntag, Richard E. Fundamentos da Termodinâmica Clássica. 2ª
Edição, São Paulo, Edgard Blücher, 1976.
- HALLIDAY, R. W. Fundamentos de Física, Mecânica, 4 ed. V.2, Rio de Janeiro – RJ;
LTC, p. 82-91, 1983.
- REGER, D; Goode, S. Mercer, E.; Química, Princípios e Aplicações. Lisboa, Fundação
Calouste Gulben Kijn, 1997.
- Deformação em sólidos. On line, disponivel em http://myspace.eng.br/eng/rmat1.asp.
Acessado em 25 de março de 2005.
- BEER, F. P. Resistência dos Materiais, 3a Ed. São Paulo: Makrom Books, p. 124-129, 1995.
- CALISTER Jr, W. D. Ciência e Engenharia dos Materiais: Uma introdução. 5 a Ed. São
Paulo, p. 82-85, LTC, 1998.
42
Capítulo – III
FLUIDOS E CLASSIFICAÇÃO DE FLUIDOS E
SEUS COMPORTAMENTOS
RESUMO
Neste capítulo serão vistas as noções fundamentais e os conceitos básicos
relacionados aos fluidos, ou seja: o que é um fluido, qual é a sua importância na engenharia e
na física, o que significa a hipótese do continuo. Aprenderemos sobre a Lei da Viscosidade de
Newton e suas implicações na classificação dos fluidos existentes na natureza. Todos eles
serão úteis nos capítulos subseqüentes e ao longo de todo o curso. Portanto, é imprescindível
memorizar tais conceitos para a resolução dos problemas que se seguirão.
Palavras Chave: fluido; coeficiente de viscosidade; fluido pseudoplástico; fluido dilatante.
PACS números:
3. 1 – Objetivos do capítulo
i) Entender a hipótese do contínuo e saber aplicá-la para o caso de fluido. ii) Saber dar a
definição prática de fluidos e saber utilizar a Lei da viscosidade de Newton e a condição de
não deslizamento. iii) Dar exemplos de fenômenos da nossa experiência diária e da moderna
tecnologia cuja compreensão a Mecânica dos Fluidos é importante. iv) Listar as cinco leis
básicas que governam o movimento dos fluidos. v) Saber diferenciar os diversos tipos de
fluidos e comportamentos destes fluidos no que diz respeito a sua lei de viscosidade. vi)
Resolver problemas de fluidos envolvendo a lei de Newton e a Lei de Ostwald de Waele.
43
3. 2 – A hipótese do contínuo
A hipótese do contínuo assume que os materiais, sólidos e fluidos que podem ser
gases ou líquidos, são distribuídos continuamente pela região de interesse do espaço, isto é, no
caso do fluido por exemplo, este é tratado como um meio contínuo.
Consideremos um gás (argônio) no interior de uma lâmpada fluorescente. O
espaço percorrido por um átomo ou molécula do gás entre duas colisões consecutivas é
chamado de caminho livre médio, l, (Figura - 3. 1).
Figura - 3. 1. Caminho livre médio, l, entre duas colisões consecutivas das moléculas de um gás.
Consideremos o caso onde o caminho livre médio, l, é da mesma ordem de
grandeza do volume de controle, L, isto é, L  l. Neste caso, os fenômenos físicos existentes
não fazem parte do âmbito da Mecânica do Contínuo ou da Mecânica dos Fluidos e sim da
Mecânica Estatística.
Contudo, se o caminho livre médio(2), l, entre duas colisões consecutivas for
muito menor do que a extensão física do volume de controle considerado, L, ou seja, quando
L >> l, a ciência capaz de tratar os fenômenos envolvidos neste volume de observação é a
Mecânica dos Fluidos. Por exemplo, para os gases, o caminho livre médio é aproximadamente
10-7mm. Logo qualquer volume de controle da ordem de milímetros está dentro do intervalo
de conceituação dada pela Mecânica dos Fluidos.
Portanto, a propriedade usada para
determinar se a idéia de contínuo é apropriada, ou não, é a massa específica, ou densidade, ,
definida por:
2
livre caminho médio, caminho médio livre de colisões
44
m
V 0 V
  lim
(3. 2)
Onde, m, é a massa incremental contida no volume, incremental,
V . Isto significa que a
densidade do fluido contido neste volume sofre flutuações desprezíveis para a descrição
matemática da Mecânica dos Fluidos de tal forma que esta pode ser calculada pela equação
(3. 2).
Figura - 3. 2. Hipótese do contínuo para o limite infinitesimal do volume de controle de um fluido.
a) Medida da densidade em um ponto. b) Variação desta medida com o volume considerado.
Fisicamente não se pode fazer V  0 , já que, quando V fica extremamente
pequeno a massa contida nele varia descontinuamente de pendendo do número de moléculas
em V . Na prática, existe um volume pequeno  abaixo do qual a idéia de contínuo falha,
como pose ver na Figura - 3. 2, pois abaixo desse volume, , tem-se um valor no qual as
distâncias lineares são da ordem do livre caminho percorrido pelas moléculas. Sendo assim, a
hipótese do contínuo é válida quando tem-se L >> l, ou seja, a distância linear (L) é maior
que o livre caminho médio ( l ) como já foi dito anteriormente, e não é válida para L  l.
Conforme o gráfico da Figura - 3. 2, a partir do ponto A entramos na região de
domínio da Mecânica dos Fluidos, onde  não depende mais da escala de observação do
volume de controle, ou seja, esta é a condição de continuidade da matéria. Nesta figura
mostra-se
como
uma
medida
é
aceitável
dentro
da
hipótese
do
contínuo.
Termodinamicamente falando este volume equivale àquele que contém um mínimo de 1015
partículas pois coincide com o limite termodinâmico, veja por exemplo a representação
mostrada na Figura - 3. 2a.
45
O limite superior da hipótese do contínuo, para acima do qual não é valida, é o
tamanho do próprio sistema que está sendo analisado, pois se analisarmos uma grandeza com
dimensões maiores que o tamanho do sistema este se torna insignificante. Por exemplo,
assumindo-se um rio como um sistema fluido, se for tomado um volume muitíssimo pequeno,
abaixo de , teremos L  l e assim, a hipótese do contínuo não é válida, e se tomarmos um
volume muito grande para analisar o sistema fluido rio, como o planeta terra, por exemplo,
como se estivéssemos sobrevoando-o em um avião a grande altitude, observando a terra, o rio
será considerado e visto como uma linha e não como um fluido em movimento.
3. 3 – A densidades generalizadas
Como conseqüência da hipótese do contínuo, nos devemos transformar as
grandezas da Mecânica Clássica e da Mecânica dos Sólidos em densidades generalizadas,
fazendo as grandezas originais se tornarem em grandezas por unidade de volume. Desta forma


uma grandeza X qualquer que pode ser massa, M, momento linear, p , Força, F , Energia,
U, etc., deverá ser transformada na sua respectiva densidade da seguinte forma:
X
.
 V  0 V
 X  lim

(3. 3)

Onde X = M, p , F , U, etc. Logo podemos escrever:
X 
dX dX dm

dV dm dV
(3. 4)
Desta forma ficamos com:
X  
dX
dm
(3. 5)
Esta definição será válida de uma forma geral.
3. 4 – O fluido como contínuo
A mecânica dos fluidos pode ser considerada como uma mecânica dos meios
contínuos, isto é, consideraremos as substâncias como sendo contínuas em sua estrutura, sem
qualquer referência a sua estrutura molecular.
46
Na hipótese do continuo assume-se que ambos, gases e líquidos, são distribuídos
continuamente pela região de interesse, isto é o fluido é tratado como um contínuo.
3. 5 – Definição de fluido
Fluido, é toda substância que se deforma continuamente sob a ação de um
esforço (tensão) tangencial, não importando quão diminuto seja este esforço. Exemplo:
líquidos e gases (ou vapores).
Figura - 3. 3. Diferença de comportamento mecânico entre um sólido e um fluido sob ação de um
esforço tangencial constante, mostrando as diferentes posições de um elemento do fluido nos tempos t1, t2, t3, t4,
t5, etc.
De acordo com a lei de Hooke, quando se aplica um esforço ou tensão tangencial,
, a um sólido este se deforma proporcionalmente ao esforço aplicado sobre ele, mas não
continuamente, porque isso só acontece até ao limite de sua resistência mecânica ao
cisalhamento, que corresponderia a um certo ângulo , mostrado na Figura - 3. 3a, ou seja:
  G ,
(3. 6)
onde G é chamado de módulo de cisalhamento e  é a deformação tangencial.
47
De forma análoga, quando se aplica um esforço ou uma tensão tangencial a um
fluido, a taxa temporal de deformação,  , com dimensão [1/t], é proporcional ao esforço nele
aplicado, por isso ele segue uma equação análoga a lei de Hooke, dada por:
  
(3. 7)
Portanto, um fluido pode ser tratado como um sólido que se deforma continuamente,
conforme mostra a Figura - 3. 3b. Isto significa que se fixássemos nossa atenção em um
determinado ponto A (arbitrário) no interior do fluido, veríamos que este ponto mudaria de
posição continuamente com o passar do tempo. Com isso podemos dizer que um fluido é toda
e qualquer substancia incapaz de manter-se em repouso quando submetido a um esforço
tangencial, da seguinte forma:
A analogia entre um sólido e um fluido pode ser vista considerando-se a seguinte
equação:
 
Mas

t
; [1 / t ]
(3. 8)
  dx / dy , logo explicitando (3. 8) temos:
 
  x 
 .
t  y 
(3. 9)
Trocando a ordem das derivadas podemos escrever:
  x    x 
    ,
t  y  y  t 
(3. 10)
onde x corresponde ao deslocamento infinitesimal do fluido na direção x, logo a velocidade
da fronteira do fluido, é dada por:
vx 
x
t
(3. 11)
Usando-se (3. 11) e (3. 10) em (3. 9) temos que:
 
v x
y
; [1 / t ]
48
(3. 12)
Assim, o elemento de fluido da Figura - 3. 3b quando submetido a um esforço
tangencial, xy sofre uma deformação continua com uma taxa temporal dada por, v x y , e
de acordo com (3. 7) temos finalmente que:
 xy ~
v x
v
  xy   x
y
y
(3. 13)
3. 6 – Condição de não deslizamento
A condição de não-deslizamento é uma condição de contorno para a equação de
viscosidade de um fluido e ela estabelece que um fluido em contato com uma superfície
apresenta a mesma velocidade da superfície. Desta forma, se esta superfície for o leito de um
rio, ou o fundo de um canal, por exemplo, a velocidade do fluido vizinho a superfície do
fundo do rio, ou do canal, será nula e a velocidade do fluido na superfície será máxima. No
caso de uma tubulação por onde um fluido passa, a velocidade do fluido em contato com as
paredes da tubulação em repouso terá velocidade nula, logo até o centro do tubo deverá haver
um gradiente de velocidade devido ao deslizamento das camadas do fluido, uma sobre as
outras, e a velocidade máxima do fluido será no centro da tubulação.
3. 7 – Estudo da consistência de um corpo fluídico em termos da
sua viscosidade, por meio da análise de causa e efeito
A propriedade de consistência na direção tangencial de um fluido é chamada de
viscosidade. Neste caso, o corpo em estudo é um corpo fluídico (líquido, solução, suspensão
ou gases) e os fenômenos a serem observados estão relacionados com a componente
tangencial da força deformante por unidade de superfície, também chamada de tensão
tangencial ou tensão de cisalhamento, cujos comportamentos mostrados na Figura - 2. 4
possuem seus análogos para um fluido submetido a uma tensão de cisalhamento, conforme a
Figura - 3. 4.
3. 8 – Classificação dos fluidos quanto a sua viscosidade
Existem fluidos de várias formas, como substâncias simples, como suspensão ou
como solução, dependendo da natureza dos componentes, da polaridade das moléculas, da
tensão superficial e da densidade relativa do veículo (meio de suspensão ou solvente).
49
3.8.1 - Lei da viscosidade de Newton - coeficiente de viscosidade e Fluidos
Newtonianos
Microscopicamente um fluido newtoniano pode ser entendido como formado de
esferas rígidas com atrito entre elas. Neste tipo de fluidos a taxa de deformação ou o gradiente
de velocidades é proporcional a tensão de cisalhamento.
O comportamento dos fluidos lineares ou “elásticos” foi descrito por Newton da
seguinte forma:
 ij ~
vi
,
x j
(3. 14)
onde  é a tensão tangencial, dada no CGS em dinas/cm2. A expressão v/y é o gradiente de
cisalhamento dado em s-1.
Portanto,
 ij  
vi
x j
(3. 15)
onde o coeficiente de consistência  é chamado de coeficiente de viscosidade (resistência ao
cisalhamento – [Ft/L2]). Os fluidos que apresentam tal comportamento são chamados de
“Fluidos Newtonianos”, como é o caso da água e da maioria dos líquidos. Por exemplo, a
água a 20oC possui uma viscosidade de 10-2poise = 1cp. A lei de Newton da forma como está
expressa em (3. 15) só vale para escoamento laminar.
Figura - 3. 4. Fenômeno da deformação das camadas de um fluido elástico submetido a uma tensão
tangencial.
50
Figura - 3. 5. Comportamentos básicos de um corpo fluídico submetido a uma tensão tangencial. a)
Newtoniano, b) Plástico de Bingham, c) Pseudoplástico, d) Pseudoplástico com tensão de fluência, e) Dilatante,
f) Dilatante com tensão de fluência.
3.8.2 - Fluidos Plásticos de Bingham
São corpos de Bingham (apresentam uma tensão de fluência) que podem ser
suspensões nas quais a fase dispersa é também sólida ou líquida.
Bingham descreveu o comportamento dos fluidos plásticos da seguinte forma:
 ij   o  
vi
,
x j
(3. 16)
onde o é chamado de tensão de fluência, e deve-se ao fato de que para pequenos valores de
tensão tangencial aplicadas a um fluido em escoamento esta não é suficiente para romper a
“fricção” das partículas suspensas do fluido e pô-lo em movimento. Esta grandeza distingue
os plásticos dos líquidos. Um exemplo de plástico de Bingham é o creme dental, pois ele não
escoa até que uma determinada tensão cisalhante atue sobre ele.
51
3. 9 – Comportamento da viscosidade dos fluidos em função da
taxa de deformação
Vejamos agora como a viscosidade de um fluido varia como função da taxa de
deformação. Pois há também diferentes formas de um fluido responder as deformações das
quais podemos citar:
3.9.1 - Fluido de comportamento dilatante
Um fluido dilatante é imaginado como contendo somente líquido suficiente para
encher os espaços vazios entre partículas em descanso ou submetidas a velocidades de
cisalhamento muito baixas. Para estes casos o fluido é quase newtoniano. A medida que
aumenta a velocidade de cisalhamento como as partículas se movem umas sobre as outras
mais rapidamente, elas necessitam de mais espaço; o fluido como um todo se dilata. Esta
expansão faz com que o líquido seja insuficiente para preencher os espaços vazios maiores, (a
essa expansão se opõem forças de tensão superficial ) resultando num aumento da viscosidade
aparente. Este comportamento está de acordo com a equação (3. 19) para n > 1. Exemplos:
Suspensões de amido, silicato de potássio e areia são exemplos de fluidos dilatantes. Isso
explica porque a areia úmida se torna aparentemente firme quando pisamos sobre ela. Outro
exemplo é o polvilho úmido da mandioca (amido) atua também como fluido dilatante.
3.9.2 - Fluido de comportamento Pseudoplástico
Soluções de polímeros e outras grandes moléculas alongadas comportam-se desta
maneira, assim como suspensões comuns ou coloidais de partículas assimétricas. Estas
moléculas se comportam como um emaranhado em baixas de taxas cisalhamento e a
tendência de tais moléculas se alinharem é desprezível, e elas permanecem, portanto
desorganizadas. À medida que o cisalhamento cresce o número de moléculas alinhadas cresce
e, portanto reduz-se a resistência friccional entre as camadas adjacentes, diminuindo a
viscosidade aparente. Se a curva tem sido experimentalmente obtida para uma taxa de
cisalhamento suficientemente alta pode haver um apreciável intervalo de tempo no retorno
das moléculas a sua posição normal e isto resultará no material um comportamento como o
de uma substancia thixotrópica e um loop de histerese se formará no comportamento viscoso.
Exemplo: As tintas atuam como pseudoplástico.
52
3.9.3 – Modelo de Ostwald de Waele para fluidos ou Lei da Potência
Ostwald de Waele procurou generalizar o comportamento de alguns fluidos
criando um modelo fenomenológico que generalizasse o comportamento dos fluidos em
termos de uma lei de potência da seguinte forma:
vi

 A ij ,
x j
(3. 17)
Como vale a relação entre gradiente de velocidade e taxa de deformação, onde:
v i
  ij ,
x j
(3. 18)
O modelo de Ostwald de Waele para fluidos não newtonianos pode ser escrito de outra forma
pela seguinte lei de potência:
n
 ij  k iijj
,
(3. 19)
em que: k, é o índice de consistência, n  1 /  , é o expoente de comportamento do fluido
(grau de desvio do comportamento newtoniano) cujo valor de n determina a classe de
comportamento do fluido da seguinte forma:
n  1 fluido pseudoplástico
n  1 fluido newtoniano
(3. 20)
n  1 fluido dila tan te
Mas para sua utilização na equação da 2a Lei de Newton para fluidos ela deve ser
linearizada da seguite forma:
n 1
 ij  k iijj
 ij
(3. 21)
O coeficiente de viscosidade, , de:
n 1
  k iijj
(3. 22)
 ij   ( ij ) ij
(3. 23)
temos:
53
Existem, contudo vários modelos rheológicos que tentam descrever o
comportamento dos fluidos. O modelo de Ostwald de Waele é um dos mais simples. A
principal diferença entre os modelos é a equação matemática que descreve o coeficiente de
viscosidade, cujos fatores dependem de diferentes variáveis referentes aos tipos de fluidos.
3. 10 – Comportamento da viscosidade dos fluidos em função do
tempo
Há ainda uma outra forma de um fluido responder a deformações. Podemos ter os
seguintes comportamentos de viscosidade em função do tempo.
3.10.1 - Fluido Thixotrópico
São aqueles fluidos cuja viscosidade diminui com o gradiente de cisalhamento.
Este fenômeno acontece quando no decurso do tempo (fluido sob regime de tensão) as
estruturas floculadas de um fluido são quebradas durante o cisalhamento a uma velocidade
constante, a viscosidade aparente decresce com o tempo até atingir um equilíbrio entre o
rompimento e a reconstrução das estruturas, e estas são reconstruídas por elas mesmo
isotermicamente quando o sistema é retornado ao repouso. Existem certas estruturas que não
se reconstroem quando quebradas, estas, estão associadas com o envelhecimento e não devem
ser confundidas com as thixotrópicas.
Medindo a tensão de cisalhamento fora do equilíbrio, a medida que aumentarmos
e depois diminuirmos a velocidade de cisalhamento, segundo uma variação uniforme,
podemos obter uma curva que representa a histerese thixotrópica. Soluções de altos polímeros
são geralmente tixotrópicas até certo grau. As atrações intermoleculares e retenções
mecanicas são reduzidas pelo cisalhamento, que reduz também a quantidade de solvente
imobilizado; o movimento browniano devolve o sistema ao seu estado inicial, se o deixarmos
em repouso algum tempo. A thixotropia é particularmente importante na indústria de tintas,
pois se deseja que a tinta escorra somente enquanto está sendo aplicada na superfície em
questão (alta velocidade de cisalhamento) e imediatamente após a aplicação.
Nota: Todo sistema thixotrópico é floculado, mas nem todo floculado apresenta
thixotropia.
54
3.10.2 - Fluido Reopéxico
São aqueles fluidos cuja viscosidade aumentam com o gradiente de cisalhamento.
Trata-se aqui do aumento da viscosidade com o cisalhamento dependente do tempo, e é
observada as vezes quando aceleramos a restauração thixotrópica. Por exemplo, suspensões
argilosas de bentonita sedimentam-se lentamente quando estão em repouso, e o fazem
rapidamente quando agitadas levemente.
Fluidos que após a sua deformação retornam a sua forma original são chamados
de viscoelásticos.
3. 11 – A consistência de um corpo em função da temperatura
A consistência de um corpo também possui dependência com a temperatura. Ela
pode possuir variação de sua viscosidade em função da temperatura, dada por:
1
,
T
(3. 24)
 ~T ,
(3. 25)
~
para líquidos e
para os gases.
De forma geral a dependência da viscosidade com a temperatura é geralmente
descrita pela multiplicação da equação (3. 22) por um termo exponencial. Ou seja, este
comportamento segue a Lei de Arrenhius dada por:
   o e  E A / KT
 o  m n 1
(3. 26)
onde EA é a energia de ativação, e K é a constante de Boltzmann e T é a temperatura.
3. 12 – A consistência de um corpo em função
escoamento de um fluido
do estado de
A consistência pode depender também do fluxo ou do estado de escoamento de
um fluido. Este pode ser classificado como laminar ou turbulento, dependendo da razão entre
o fluxo inercial e o fluxo viscoso.
55
Escoamento laminar
É o tipo de escoamento no qual as linhas de corrente não se sobrepõem umas as
outras, ou seja, neste tipo de escoamento as linhas de correntes formada pelo movimento das
partículas do fluido movem-se paralelamente umas as outras (Figura - 3. 6a).
Escoamento turbulento
È o tipo de escoamento no qual as linhas de corrente se sobrepõem umas as outras
ou seja, neste tipo de escoamento as linhas de correntes se cruzam umas com as outras (Figura
- 3. 6b).
O número de Reynolds é o parâmetro que determina se um regime de escoamento
será laminar ou turbulento, e este vale:
N o Reynolds 
J
Lv

 (1/ L)

(3. 27)
Onde, L, é um tamanho característico do escoamento, v é a velocidade média do escoamento,
, é a densidade do fluido e  é o coeficiente de viscosidade.
A dimensão característica, L, de um sistema é aquela sobre a qual a reologia trata,
a espessura da camada de fluido deformado seria seu comprimento característico.
Figura - 3. 6. Diferença no aspecto entre um fluxo a) laminar e b) turbulento.
56
Figura - 3. 7. Diagrama esquemático ilustrando as condições de fluxo laminar e turbulento. Um
número de Reynolds igual a 2000 é comumente tomado como um valor crítico que separa o regime laminar de
turbulento.
Figura - 3. 8. Gráfico da transição de fluxo laminar em turbulento para um fluido newtoniano.
3. 13 – A classificação dos fluidos quanto a viscosidade e a
compressibilidade
Os fluidos utilizados na engenharia têm diversas aplicações podem ser
classificados de várias maneiras, entre elas, quanto a sua viscosidade como víscidos e
invíscidos e quanto a sua compressibilidade como compressíveis e incompressíveis.
Fluidos compressíveis – que são os gases em geral, são utilizados na área de
produção através da automação movida por gases comprimidos e na área de termodinâmica.
Fluidos incompressíveis – que são os líquidos em geral, são usados
principalmente na área de hidráulica e transmissão de força, por exemplo, nos freios de
automóveis, guindastes, prensas hidráulicas entre outros.
A água e os líquidos de uma forma geral são incompressíveis, porém os gases são
compressíveis. Em aerodinâmica este conceito tende a mudar um pouco, por exemplo, se os
gases estão a uma velocidade inferior a 300mph eles são compressíveis e se estiverem a uma
velocidade superior eles são incompressíveis. A grandeza termodinâmica que mede a
compressibilidade de um fluido é o módulo de compressibilidade isotérmico ou adiabático, o
qual é definido como:
57
 T ,S 
1  V 


V  P T ,S
(3. 28)
Fluidos viscosos – todos os fluidos possuem uma certa viscosidade, mas os gases
em baixas velocidades podem ter sua viscosidade considerada nula. Os fluidos viscosos
podem ser utilizados na Engenharia de Materiais em processos de fabricação como a colagem
de barbotina e sinterização via fase líquida, metais e polímeros quando fundidos apresentam
propriedades de um fluido viscoso e são conformados com relativa facilidade.
Fluido não-viscoso: os gases com uma velocidade inferior a 300 milhas/hora são
considerados não-viscosos, e apresentam um escoamento em forma de lâminas (escoamento
laminar) e quando a velocidade é superior a essa eles apresentam um escoamento na forma de
lacunas turbulentas.
3. 14 – Aplicação de diferentes tipos de Fluidos
Existem diferentes tipos de fluidos que podem ser classificados quanto a seu
comportamento frente a compressibilidade ou frente a sua viscosidade.
Fluidos compressíveis são aqueles que, quando submetidos a uma variação de
pressão apresentam variação de seu volume devido ao acúmulo de energia elástica. E quando
retirada a pressão este volta ao seu volume inicial. Como por exemplo, os gases. No efeito
Joule-Thomson, um gás expande-se através de uma barreira porosa, de uma pressão constante
até outra, também constante, e ocorre uma diferença de temperatura provocada pela expansão.
O processo é adiabático, isto é sem perda de calor (Q = 0).
Por
outro
lado
fluidos
incompressíveis
são
aqueles
que
apresentam
comportamento oposto aos fluidos compressíveis, ou seja, não sofrem variação em seu
volume quando sujeitos a uma pressão externa. Uma aplicação deste principio é o chamado
“macaco hidráulico”, o qual utiliza geralmente o óleo para fazer a transferência de energia
mecânica do esforço físico para a suspensão de uma carga, como um veículo, por exemplo.
Neste processo a perda de energia elástica e térmica é desprezível. Uma outra aplicação é a
direção hidráulica.
Todos os fluidos reais possuem viscosidade e, portanto, quando submetido ao
movimento apresentam fenômenos de atrito com as superfícies adjacentes. A viscosidade
resulta fundamentalmente da aderência do fluido a superfície sobre a qual escoa e também
devido a coesão interna pela transferência da quantidade de movimento entre as lâminas do
58
fluido em decorrência do escoamento. Desta forma aparecem forças tangenciais ou de
cisalhamento entre as camadas em movimento.
]
Uma aplicação referente a viscosidade de fluidos são as tintas. Quando há o
movimento do pincel sobre a superfície, as moléculas da tinta, que são moléculas grandes e
alongadas, são alinhadas facilitando o seu deslizamento da tinta, o que diminui a sua
viscosidade. Quando, porém, cessa o movimento do pincel as moléculas voltam ao seu estado
caótico, aumentando a viscosidade da tinta, o que permite a sua fixação na superfície que está
sendo pintada. Neste estado ocorre um aumento de entropia até que ocorrerá toda a
evaporação do solvente.
Outras aplicações de fluidos são corte e perfuração de materiais por fluidos leves
com o uso de alta pressão, fabricação do vidro float, propulsão de foguetes, encanamentos de
líquidos (oleodutos) e gases (gasodutos).
Figura - 3. 9. Classificação dos fluidos quanto ao estado de escoamento
59
3. 15 – Exercícios e Problemas
1. Qual a diferença básica entre um sólido e um fluido.
2. Conceitue: a) Fluido; b) Condição de não deslizamento; c) Forca de campo e d) forca
de contato.
3. Mostre que a taxa de deformação de um fluido e equivalente ao gradiente de
cisalhamento.
4. Conceitue? a) fluido newtoniano; b) plástico de Bingham; c) Fluido Pseudo-Plástico;
d) Fluido Dilatante.
60
3. 16 – Referências Bibliográficas
- Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECÂNICA DOS FLUIDOS, Editora Thomson
- FOX, R. W., McDonald, A. T., Introdução á Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara
Koogan, 4ª Edição.
- Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blücher
- BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecânica dos Fluidos, LTC Editora.
- Fetter & Walescka – Mecânica dos meios Contínuos (Exemplo e Aplicações).
- ROMA, W. N. L.; Fenômenos de transporte para engenharia, Rima Editora, São Carlos,
2003.
- site disponível em http://www.mec.puc-rio.br/~edmecfl2/introduçãqo.pdf
- VENNARD, J. K. STREET, R. L. – Elementos de Mecânica dos Fluidos – 5a ed, Guanabara
DOIS, Rio de Janeiro - RJ, 1978, p. 16.
- ATJINS, P. W. Físico-Química, v. 1, 6a ed, Editora LTC, Rio de Janeiro - RJ, 1999.
61
Capítulo – IV
CAMPOS ESCALARES, VETORIAIS E
TENSORIAIS PARA FLUIDOS.
RESUMO
Neste capítulo serão vista as noções básicas de campos escalares e campos
vetoriais utilizados em Mecânica dos Fluidos. Aprenderemos também o que significa: força
de massa (ou de campo) e força de superfície (ou de contato), tensão em um ponto.
Palavras Chave: campo escalar, campo vetorial, gradiente de pressão.
PACS números:
4. 1 - Objetivos do capítulo
i) Aprender a diferenciar grandezas escalares de vetores e tensores, ii) saber
qualificar um campo, iii) saber decompor as forças ao redor de um ponto em torno dos eixos
cartesianos, iv) saber expressar matematicamente a tensão em um ponto em um campo
vetorial. v) saber a diferença entre tensão e pressão.
4. 2 - Quantidades escalares, vetoriais e tensoriais e campos
As quantidades utilizadas na descrição matemática dos fluidos podem ser
classificadas em:
62
4.2.1 - Quantidades escalares
É aquela grandeza que necessita apenas da especificação de sua magnitude para
uma completa descrição matemática. Exemplos: Temperatura T = T(x, y, z, t); tempo, t;
densidade  = (x, y, z, t); carga elétrica, Q = Q(x,y,z,t), massa M = M(x, y, z, t).
4.2.2 - Quantidades vetoriais
São aquelas grandezas que necessitam, além da magnitude, de uma especificação
direcional completa e somam-se de acordo com a régua do paralelogramo (i, j, k). Devido ao
espaço tridimensional euclidiano são empregados três valores associados com as direções
ortogonais convenientes para se especificar uma grandeza vetorial. As componentes x, y e z de
um vetor são escalares.
Figura - 4.1. Sistema de coordenadas tridimensional com um vetor de coordenadas
 
r  r ( x, y , z ) .
São exemplos de quantidades vetoriais, deslocamento e velocidade:


r  xiˆ  yˆj  zkˆ
(4. 1)

v  v x iˆ  v y ˆj  v z kˆ
(4. 2)

ou v = v (x, y, z, t), onde

e as componentes do vetor v são vx = vx(x, y, z, t), vy = vy(x, y, z, t) e vz = vz(x, y, z, t) são
iˆ  ˆj  kˆ  1 ,
63
(4. 3)
representa o módulo dos vetores unitários nas três direções ortogonais.
4.2.3 - Quantidades tensoriais
São aquelas grandezas que necessitam de nove ou mais componentes escalares
para uma completa descrição matemática. Ex: tensão, deformação e momento de inércia,
todos estes são exemplo de tensores de ordem 2 ou de segunda ordem.
  xx

 ij    yx

 zx
 xy  xz 

 yy  yz  tensor de ordem 2
 zy  zz 
(4. 4)
Isto porque, pode-se pensar que cada componente de um tensor é um vetor e cada componente
destes vetores são escalares. Logo, podemos generalizar os tensores da seguinte forma:
Escalar: descrição análoga ao ponto, portanto pode ser chamado de tensor de
ordem zero; Vetor: descrição análoga a uma reta, portanto pode ser chamado de tensor de
ordem um; Matriz: descrição análoga a um plano, portanto pode ser chamado de tensor de
ordem dois. Como poderia ser uma grandeza tensorial análogo a um sólido que envolvesse
três índices, ou seja, um tensor de ordem três.
Figura - 4. 2. Tensor de ordem 3 ou de 3a ordem ou uma hipermatriz
Este exemplo não será usado, contudo serve para ativar o senso de observação do
aluno.
64
4. 3 - Fluxos generalizados
Um fluxo acontece quando “algo” flui no espaço e no tempo, ou seja, é possível
identificar a variação de sua quantidade através de um volume em um determinado intervalo
de tempo. Desta forma é possível definir um fluxo generalizado como sendo a medida de uma
grandeza que atravessa um elemento de área em um intervalo infinitesimal de tempo,
Portanto:

d  dX
J X    
dA  dt



(4. 5)
Onde X é a grandeza em questão que pode ser massa, energia, momento linear, carga elétrica,


etc. X = M, p , F , U, etc.
Observe que para cada densidade,
 X generalizada existe um fluxo generalizado,
J X . A pergunta agora é qual é a relação fenomenológica que existe entre fluxo generalizado
e a sua densidade generalizada.
4. 4 - Campo de tensões – forças de contato ou superfície e de
campo, massa ou volume
Um campo é uma distribuição contínua de quantidades escalares, vetoriais ou
tensoriais descritas por funções contínuas de coordenadas espaciais e temporal. Na natureza,
quanto a sua forma de atuação existem dois tipos de forças, a saber:
4.4.1 - Forças de massa ou de campo
São aquelas desenvolvidas sem o contato físico e são distribuídas nos volumes dos
corpos em que atuam. Estas forças agem instantaneamente em todos os pontos do corpo. Ex.
Força gravitacional; Empuxo, Forças de Eletromagnéticas, conforme mostrado no exemplo da
Figura - 4. 3.
65
Figura - 4. 3. Corpo submerso sujeito a ação do próprio peso, W, com empuxo dado por: E = gV.
Sabemos da 2a Lei de Newton que:


Fv  mg
(4. 6)
Nesta Figura - 4. 3. foi considerado um elemento do próprio fluido com massa
infinitesimal, de tal forma que:
 
dFv  gdm
(4. 7)
Mas o elemento infinitesimal de massa dm pode ser descrito em termos do elemento
infinitesimal de volume, dV, da seguinte forma:
dm  dV .
(4. 8)
Onde  é a densidade do fluido no ponto considerado, logo


dFv  gdV .
(4. 9)
Definindo-se densidade volumétrica de forças como sendo, o incremento das
forças por unidade de volume, ou seja:

 dFv
f 
dV
(4. 10)
temos finalmente que:


f  g .
(4. 11)
Sendo  = M/V, para o caso especial de fluidos homogêneos, a densidade
volumétrica de forças é igual ao peso específico do fluido, onde:
66

 Mg W
f 

V
V
(4. 12)
Esta grandeza é também denominada pela letra, grega, , onde:


  g
(4. 13)
representa a força (gravitacional) por unidade de volume.
Observe que para o caso de elemento infinitesimal de densidade igual ao do fluido
o seu peso será igual ao empuxo, logo
 

E  V  W
(4. 14)
4.4.2 - Forças superficiais ou de contato
São aquelas que atuam nos meios contínuos pelo contato direto e são transmitidas
ao longo do corpo, tais como, tensão; tração, etc, veja por exemplo a Figura - 4. 9.
Figura - 4. 4. Conjugado de forças sobre uma superfície de um volume de controle, V.

Considere o corpo da Figura - 4. 4 sujeito a um conjugado de forças, C , onde a

força resultante, F , pode ser escrita como:

F  Fn nˆ  F ˆ
67
(4. 15)
Podemos definir as tensões normais e tangenciais sobre um elemento de área,

A  An nˆ , deste corpo, como sendo dado por:
Fn dFn

,
An 0 A
dA
n
n
(4. 16)
F dF

.
An 0 A
dA
n
n
(4. 17)
 nn  lim
e
 sn  lim
A tensão tangencial por sua vez pode ser decomposta em duas direções ortogonais
independentes, onde:
F 1 dF 1

An 0 A
dAn
n
(4. 18)
F 2 dF 2

,
An 0 A
dA
n
n
(4. 19)
 s1  lim
e
 s 2  lim
conforme mostra a Figura - 4. 5.
Figura - 4. 5. Elemento de área
normal e tangenciais.

dA sujeito a uma força oblíqua qualquer decomposta nas direções
Escrevendo o tensor das tensões na forma diferencial temos:


dF
[J p ]   ,
dA
68
(4. 20)
Ou ainda



F   [ J p ].dA ,
(4. 21)

Observe que o produto escalar da matriz do tensor das tensões, [ J p ] pelo vetor área resulta

em um vetor força, F . Calculando a densidade de forças temos:



dF
d
(4. 22)

[
J
].
d
A
,
p
dV dV 

A esta operação sobre o tensor, [ J p ] , chamaremos de divergente definindo da seguinte
forma:



d
.[ J p ] 
[
J
].
d
A
,
(4. 23)
p
dV 


Logo teremos que a densidade de forças, f , é igual ao divergente do tensor [ J p ] :


f  .[ J p ] ,
(4. 24)
Veja que esta é uma relação que procurávamos pois ela relaciona um fluxo
generalizado com uma densidade generalizada. Observe que a divisão dos dois vetores, força
e área, dá origem a um objeto matemático mais complexo chamado tensor das tensões
conforme podemos ver a seguir.
4.4.3 – Tensor das tensões generalizado descrito como fluxo de momento
Observe da equação (4. 16) e (4. 17) que o fluxo de momento pode ser escrito
como uma parte normal e outra tangencial, onde a normal é chamada de pressão e a tangencial
é chamada de tensão de cisalhamento, todas as duas são devidas a Newton, ou seja,


1 dp 

Jp 
 σ ii  τ ij
A dt

Portanto, a força superficial, FS , pode ser escrita como:

 
FS   J p .dA
S
Usando o teorema da divergência teremos:
69
(4. 25)
(4. 26)


FS   .J p dV
(4. 27)
V

Logo, a densidade volumétrica de força superficial, f S , é dada por:

 dFS
d
fS 

dV dV


.
J
 dV
(4. 28)
V
Portanto,


f S  .J p .
(4. 29)
Apesar deste ser um resultado aplicado para forças superficiais ele também á válido para
forças volumétricas e para qualquer um dos fluxos definidos anteriormente.

Sendo o fluxo J p dado pela identidade Erro! Fonte de referência não
encontrada., podemos escrever:

f S  .σ ii  .τ ij
(4. 30)
como sempre o divergente reduz a ordem do tensor, transformando uma matriz em um vetor,

por exemplo, observe que, como f S , é um vetor, necessariamente, as grandezas σ ii e
τ ij devem fazer parte de uma matriz completa, ou seja, de acordo com (4. 38) temos:
[σ]  [ τ ]  P[I ] ,
(4. 31)
No caso, esta matriz corresponde ao tensor das tensões dada em (4. 36), onde:

f S  .[σ ]
(4. 32)
Esta equação será muito útil para se deduzir a equação de Navier–Stokes para um
fluido viscoso. Mas, por enquanto estamos tratando com fluidos sem viscosidade. Neste caso
as componentes tangenciais da matriz dada em (4. 36) são nulas e a matriz é dada apenas em
termos de (4. 51), (4. 52) e (4. 64) logo:
0 
 P 0


 P[I ]   0  P 0 
 0
0  P 

70
(4. 33)
Logo,
.[σ]  .P[I ]  P
(4. 34)
Observe que somente neste caso um divergente é igual a um gradiente, por esta razão a
equação Erro! Fonte de referência não encontrada. fica


f  .[σ ]  a
(4. 35)
Esta equação é uma passo a mais na generalização da equação Erro! Fonte de
referência não encontrada.. Ela representa a 2a Lei de Newton para os fluidos e será, de
agora em diante, cada vez mais acrescentado termos até se chegar a equação final de NavierStokes onde o comportamento de um fluido com viscosidade e compressibilidade será
considerado completamente.
4.4.4 – O tensor das tensões e a tensão em um ponto
Considere um volume cúbico qualquer, em um fluido, a partir do qual podemos
escrever, de acordo com as equações anteriores, as tensões normais e tangencias sobre cada
face do cubo, conforme mostra a Figura - 4. 6.
Figura - 4. 6. Distribuição de tensão em um volume infinitesimal de um fluido.
Observe que, enquanto o tensor das tensões definido acima define a tensão em um
ponto da superfície, ele não é suficiente para definir a tensão no ponto dentro do corpo. Isto

porque o tensor das tensões depende da orientação da área dA . Pode-se mostrar que se as
71
tensões para três superfícies ortogonais, que se interceptam em um ponto, são conhecidas,
então a tensão no ponto pode ser determinada para qualquer superfície. Para descrever
totalmente o estado das tensões em um ponto, é, portanto necessário conhecer as tensões
sobre cada superfície. Cada superfície requererá três tensões, uma tensão normal e duas de
cisalhamento, tal que um total de nove tensões são necessárias.
Estas nove tensões definem o estado de tensão em um ponto “O”. Eles formam
nove componentes de um tensor de segunda ordem chamado de tensor das tensões, denotado
por [ij]. O tensor das tensões é freqüentemente escrito como uma matriz de suas
componentes da seguinte forma:
  xx


[ J p ]    yx

 zx
 xy
 yy
 zy
 xz 

 yz 
 zz 
(4. 36)
A Figura - 4. 6 mostra as três superfícies deslocadas do ponto “O”, para clareza, e
as tensões associadas que atuam sobre elas. A partir desta figura podemos escrever o seguinte
tensor (matriz das tensões) para o campo das tensões, ij, onde o primeiro índice representa a
direção normal ao plano associado com a tensão, enquanto o segundo índice indica a direção
da tensão em si, donde sabe-se que o tensor das tensões é simétrico, isto é,
 ij   ji , (p/ i  j)
(4. 37)
De uma forma geral o tensor das tensões pode ser escrito da seguinte forma:

[ J p ]  [σ ]  [ τ ] ,
(4. 38)
Onde  é o tensor das tensões normais e [] é chamado de tensor de tensão viscosa ou de
cisalhamento. O escalar P é chamado de pressão.
Para fluidos puramente viscosos, esta pressão pode ser identificada como a
pressão termodinâmica. Isto é, a pressão é definida por uma equação de estado relacionando
pressão, volume e temperatura. Contudo, no caso de um fluido incompressível, este não é o
caso e a pressão é definida como uma variável dinâmica [P] = P(x,y,z). Nós discutiremos isso
depois. Detalhes podem ser achados em Frederickson, A. G., Principles and Applications of
Rheology, Pretice Hall, NJ. (1964).
Uma vez que o tensor é conhecido, o vetor das tensões em qualquer superfície
com vetor normal unitário, n̂ , direcionado para fóra da superfície, é dado por:
72


T  [ J p ].nˆ ,
(4. 39)
onde o ponto indica um produto vetor-tensor.
Para concluir esta secção nós definimos uma convenção de sinais para tensões.
Tensões positivas são aquelas para as quais ambas a normal a superfície e a direção das
tensões no ponto estão na direção positiva ou negativa do eixo em consideração. Com esta
convenção as tensões positivas são trações, enquanto que as negativas são compressões.
4.4.5 – Tensões Principais
Em todo ponto em um corpo existe um plano, chamado de plano principal, tal que
o vetor tensão se estende ao longo da normal n a este plano. Isto é,
Ti  ni   ij n j
(4. 40)
onde  é a tensão normal que atua sobre este plano. A implicação é que não existe
cisalhamento agindo sobre o plano principal. A direção de n é referida à direção principal. A
introdução da equação (4. 40) na equação (4. 39) fornece:
( J ji   ij )n j  0
(4. 41)
A qual é uma série de três equações homogêneas para a direção dos cossenos ni que definem a
direção principal. Desde que nini = 1, então para evitar a solução trivial (0, 0, 0) devemos ter:
det J ji   ij n j  0
(4. 42)
a qual em uma forma matricial é:
 11  
 
 21
  31
 12
 13 
 22  
 23   0
 32
 33   
(4. 43)
Esta é uma equação cúbica em  que pode ser escrita como:
 3  I1 2  I 2  I 3  0
(4. 44)
Onde I1, I2, I3 são grandezas escalares que são independentes do sistema de coordenadas na
qual as componentes das tensões são expressos. Elas são chamadas de tensões invariantes
como:
73
I1   ii
(4. 45)
1
( ii  jj   ij  ij )
2
(4. 46)
1
I 3   ijk  pqr  ip  jq kr
6
(4. 47)
I2 
Em uma forma estendida temos:
I1   11   22   33
(4. 48)
2
2
I 2  ( 11 22   22 33   33 11 )   12   23   31
 11  12
I 3   21  22

 31  32
 13 
 23 
 33 
2
(4. 49)
(4. 50)
Devido à simetria do tensor das tensões existem três raizes reais (1, 2, 3),
referente as tensões principais da equação (4. 43). Associado a cada tensão principal existe
uma direção principal satisfazendo a equação (4. 41) e nini =1. As três direções principais e os
planos associados são mutuamente ortogonais.
4.4.6 – Diferença entre Tensão e Pressão Termodinâmica
Sabemos que se o fluido esta em repouso ou em movimento uniforme não há
tensões tangenciais, ou seja, não há taxa de cisalhamento, logo a matriz das tensões em um
ponto é dado por:
  xx

[ ii ]   0
 0

0
 yy
0
0 

0 
 zz 
74
(4. 51)
Figura - 4. 7. Campo de tensão para um fluido em repouso ou em movimento uniforme.
Contudo, se houver cisalhamento a matriz das tensões é dada por (4. 37) e estas
tensões de cisalhamento estão relacionadas com o gradiente de velocidade por meio da
equação (3. 13). Para um fluido em equilibro a tensão média é dada por:
1
  ( xx   yy   zz )
3
(4. 52)
A tensão em um fluido é chamada de pressão hidrostática se a força por unidade
de área sobre um elemento de área, dentro do fluido ou no contorno do fluido, atua na direção
normal ao elemento de área e é independente da orientação do elemento. Todos os fluidos tem
este tipo de estado de tensão quando eles são estacionários (não-permanentes).
4.4.7 – A Pressão hidrostática e o Princípio de Pascal
O princípio de Pascal estabelece que, forças exercidas sobre o contorno de um
meio são transmitidas para o interior (através) desse meio. Ou seja, as forças de superfícies,


f S se transformam em forças de volume, f V , e vice-versa, as forças de volume se

transformam em forças de superfícies, f S :


fV  f S

 .
f S  fV
(4. 53)
Para provar isso, devemos provar que as forças no interior de um fluido em equilíbrio não
dependem da direção.
75
Considere um volume infinitesimal delimitado em um fluido, conforme mostra a
Figura - 4. 6, este pode ser usado para calcular como deve ser a tensão em torno de um ponto.
Contudo, quando este fluido está em repouso ou em movimento uniforme, as tensões
tangenciais neste fluido são nulas, e há apenas a ação de forças normais ao fluido, conforme
está representado na Figura - 4. 7. Neste caso, vamos mostrar que a tensão é um escalar pois
não depende da direção.
Considere uma região em um fluido estático ou em movimento retilíneo uniforme,
na forma de um prisma triangular, conforme mostra a Figura - 4. 8.
Direção x:
  xx dydz   nn ds cos dz  0
(4. 54)
Cancelando os incrementos infinitesimais dz temos:
 xx dy   nn ds cos 
(4. 55)
Mas cos = dy/ds logo
 xx dy   nn ds
dy
ds
(4. 56)
Portanto
 xx   nn
(4. 57)
Figura - 4. 8. Região ou volume de um prisma triangular imaginário no interior de um fluido.
Direção y:
76
De acordo com a equação (4. 14), o peso do prisma de fluido é dado por: dW =
dV onde dV = dxdydz, logo
  yy dxdz   nn ds sen  dz  
dxdydz
0
2
(4. 58)
Cancelando os incrementos infinitesimais dz temos:
  yy dx   nn ds sen   
dxdy
0
2
(4. 59)
Mas sen = dx/ds logo
  yy dx   nn ds
dx
dxdy

0
ds
2
(4. 60)
dy
0
2
(4. 61)
Portanto
  yy   nn  
Agora fazendo o limite do volume indo a zero temos:
 yy   nn
(4. 62)
Portanto, a tensão em um ponto para um fluido estático ou em movimento
retilíneo uniforme é independente da direção, dessa forma é uma quantidade escalar. O
mesmo cálculo pode ser feito, usando um tetraedro, para o caso tridimensional. Este pode
ficar como exercício para o aluno.
De acordo com o Princípio de Pascal a tensão em um fluido isotrópico se
transmite igualmente para todos os pontos deste fluido e considerando que este fluido está em
repouso, ou em movimento retilíneo uniforme, não existe tensões tangenciais, logo as tensões
nas três direções independentes são iguais, Portanto temos que;
   xx   yy   zz
77
(4. 63)
Figura - 4. 9. Diferença entre tensão, , e pressão, P, aplicada sobre uma superfície.
Esta tensão equivale ao oposto da pressão termodinâmica, ou seja,
P  
(4. 64)
Por esta razão existem duas interpretações para o trabalho termodinâmico quando se trata de
pressão (trabalho realizado sobre o sistema).
dQ  dW  dU
; dW  PdV ,
(4. 65)
e tensão (quando se trata de trabalho realizado pelo sistema).
dQ  dW  dU
; dW   PdV ,
(4. 66)
devido ao sentido das forças pressão e tensão.

Figura - 4. 10. Diferença entre a) pressão aplicada sobre o sistema ( F
pelo sistema (tensão;

F // nˆ )
De qualquer forma devemos ter:
78
// nˆ ) e b) pressão aplicada
dQ  dU  PdV
(4. 67)
que corresponde a entalpia, dQ  dH do sistema.
4.4.8 - A densidade volumétrica de forças superficiais
A densidade volumétrica de forças superficiais pode ser descrita a partir de (4. 21)
por meio de gradientes de tensão,



FS   [ J p ].dA ,
(4. 68)
Derivando e integrando o equação (4. 68) acima temos:

d
FS 
dV
  [ J

].
d
A
dV ,
p

(4. 69)
Passando o operador derivada para dentro da integral obtemos o operador divergente de

[ J p ] , ou seja:

d
FS  
dV
 [ J

].
d
A
dV ,
p

(4. 70)
Veja que a equação (4. 68) fica agora escrita em termos do operador divergente:

FS   .[ J p ]dV ,
(4. 71)
Para que se satisfaça a situação de pressão uniforme e isotrópica (em todas as
direções) o tensor das tensões deve ser igual a matriz identidade vezes um fator P dado pela
pressão termodinâmica, ou seja:
P 0

[J p ]   0 P

 0 0
0
1 0 0
0   P 0 1 0  ,



0 0 1
P 
(4. 72)
Veja que não pode existir o divergente de um escalar e nesse caso tem-se o
gradiente de P. Logo a única situação em que o divergente de um tensor é igual ao gradiente
de um escalar é quando este tensor é dado pela matriz identidade, ou seja:
79
P
.[ J p ]  . 0

 0
0
P
0
0
0   P ,

P 
(4. 73)
Logo substituindo (4. 73) em (4. 71) temos:

FS    PdV ,
(4. 74)
conforme será mostrado na fluidoestática.
Contudo, a maioria dos fluidos não pode suportar uma tensão normal de tração
apreciável (dirigida para fóra do corpo). Exemplo: deposite suavemente uma agulha presa a
uma linha de costura sobre a superfície da água contida em uma vasilha plana. Em seguida,
tracionando a linha para fóra, tente retirar a agulha sobrenadante da superfície do líquido e
observe que a película fluida de filme, formada entre a agulha e a superfície do líquido, não
resiste a esta tração e rompe-se e separando o líquido da agulha. Logo, a pressão P deve ser
do tipo compressão.
Portanto a partir de (4. 74) temos que densidade de força superficial é dada por:

f S  P .
(4. 75)
4. 5 – A equação básica da fluidostática
De acordo com o princípio de Pascal para um fluido em repouso temos que:



f R   fV   f S  0 .
(4. 76)
Substituindo a equação (4. 11), (4. 24) e a equação (4. 75)


g  .[ J p ]  P  0 .
(4. 77)

Nesta situação de repouso as tensões tangenciais são todas nulas logo a matriz [ J p ] será dada
pela equação (4. 51). Considerando ainda o fluido incompressível, temos que as tensões
normais no interior do fluido são todas nulas restando apenas a média das tensões devido a
pressão no interior do fluido. Logo teremos que
80

[J p ]  0 .
(4. 78)

g   P  0 ,
(4. 79)
E portanto,
que dá origem a equação de Stevin, a qual será vista com detalhes no Capítulo – V.
Portanto, encerra-se aqui o capítulo referente a campos escalares e tensoriais para
fluidos. Sendo que toda a conceituação matemática desenvolvida neste capítulo será utilizada
nos capítulos posteriores. Guarde bem todos os conceitos desenvolvidos até então e boa sorte.
81
4. 6 - Exercícios e Problemas
1. O que é um escalar, um vetor e um tensor?
2. Dois vetores a e b, são dados pelas expressões:


a  xyî  y 2 ˆj  2kˆ b  x 2 iˆ  xyˆj  zkˆ
(1. 1)
x2 y2
O escalar, , é dado por  

. Calcular os seguintes produtos:
2
2

a

 
a) a.b
b) axb
c)
d) 
x
3. Dois vetores c e d, são dados pelas expressões:


c  xyzî  2 ˆj  y 2 kˆ d  x 2 iˆ  y 2 ˆj  xkˆ
(1. 2)
O escalar, , é dado por  = xy. Calcular os seguintes produtos:

a) c .d

c
c)
x
 
b) c xd
d) 
4. Dois vetores r e s, são dados pelas expressões:


r  x 2 yî  z 2 kˆ s  xziˆ  xyzˆj  x 2 ykˆ
(1. 3)
O escalar, , é dado por  =1/2( x2 – y2). Calcular os seguintes produtos:

a) r .s

s
c)
z
 
b) r xs
d) 
5. Como se define uma densidade generalizada? Explique cada termo da equação
6. Como se define um fluxo generalizado? Explique cada termo da equação?
7. Escrever as matrizes das tensões aplicadas nos objetos das figuras abaixo, designando
as tensões de cisalhamento e usando a notação de duplo índice. Diga também, quais
dessas tensões são as positivas e as negativas de acordo com a convenção.
a)
b)
8. Qual é a interpretação física para o vetor gradiente de um escalar?
82

9. Qual é a interpretação física do divergente de um vetor fluxo, J .
10. Relate tudo o que você aprendeu ate agora no curso comparando a Mecânica dos
Sólidos com a Mecânica dos Fluidos
11. Calcule a força viscosa que atua sobre o cone-cilindro da figura abaixo, que gira com
velocidade angular . Considere perfil linear para a distribuição de velocidade no
fluido e h1/r = 3.
83
4. 7 - Referências Bibliográficas
- Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECÂNICA DOS FLUIDOS, Editora Thomson
- FOX, R. W., McDonald, A. T., Introdução á Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara
Koogan, 4ª Edição.
- SUGAI, A. Y. Processamento descontínuo do purê de manga. Tese de Mestrado em
Engenharia de Alimentos. USP – 2002.
- site disponível em www.imp.cnrs.fr/intranet/fluent6.0/help/html/ug/node285.htm> acesso
em 14/04/05
- BILMEYER. Textbook of Polymer Science. Dover publications
- Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blücher
- BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecânica dos Fluidos, LTC Editora.
- INCROPERA, P. I., DeWitt, D. P. Fundamentos da Transferência de Calor e Massa, Editora
LTC, 4ª Edição, 1998.
- FEYMANN Lectures on Physics Vol – II Caps. 38, 39, 40, 41.
- Landau & Lifshitz – Teoria da Elasticidade
- Fetter & Walescka – Mecânica dos meios Contínuos (Exemplo e Aplicações)
- Arfken – Métodos Matemáticos em Física
84
Capítulo – V
ESTÁTICA DE FLUIDOS OU FLUIDOESTÁTICA
RESUMO
Neste capítulo serão vistas as noções básicas de equilíbrio de um fluido e qual é a
sua condição de repouso ou de movimento uniforme, o Teorema de Pascal e de Stevin. As
equações deduzidas neste capítulo serão úteis para o calculo de manômetro, barreiras
submersas, determinação do centro de pressão de corpos submersos, equilíbrio de
embarcações e corpos flutuantes. Elas também fornecerão subsídios técnicos para os cálculos
que se seguirão nos capítulos posteriores.
Palavras Chave: Gradiente de pressão, manômetros, equilíbrio, empuxo, centro de pressão
PACS números:
5. 1 –Objetivos do capítulo
i) Saber definir o gradiente de uma grandeza escalar, ii) entender o significado
físico e geométrico do operador gradiente, iii) saber escrever a equação básica do equilíbrio
para um fluido estático, iv) entender o principio de Pascal e reconhecer a equação de Stevin
aplicando-a a problemas em fluidostática, v) aplicar a equação de Stevin a problemas
envolvendo variação de pressão com a altitude, manômetros de pressão, empuxo, forças sobre
superfícies planas e curvas, equilíbrio de corpos submersos e flutuantes, distinguir os
diferentes tipos de manômetros e de leitura de pressão.
85
5. 2 - Introdução
Consideremos um fluido em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Nosso
objetivo inicial é obter uma equação que nos permita determinar o campo de pressões no
interior da massa fluida. Para tanto, escolhemos um elemento diferencial de massa, dm, de
arestas dx, dy e dz, como mostra a Figura - 5. 1.
Figura - 5. 1.Elemento diferencial de volume de um fluido sob forças e pressão em todas as faces.
5.2.1- Gradiente de uma grandeza ou de um campo escalar
Vamos agora estudar um novo operador diferencial, o gradiente de uma grandeza.
Seu significado físico e suas diferentes representações nos diversos sistemas de coordenadas
se encontram no Apêndices. Chamamos de gradiente ao operador diferencial que relaciona
campos vetoriais e escalares. Como conceito geométrico, o gradiente de um escalar
transforma esse escalar em um vetor. Basicamente o gradiente é uma operação de derivada na
direção de máxima variação do campo escalar determinando um campo vetorial.
Uma forma específica de gradiente, muito útil na Mecânica dos Fluidos, é o
gradiente de pressão, que relaciona campos vetoriais e escalares, de tal maneira, que passamos
de uma distribuição de pressão, P, (força superficial) para um campo vetorial f (força
volumétrica). Esta relação pode ser tomada como base a Figura - 5. 1. Para isso vamos agora
calcular a força superficial sobre as faces do cubo da Figura - 5. 1.
Usando-se uma expansão em Série de Taylor até a primeira ordem, a pressão nas
faces do cubo da Figura - 5. 1 pode ser calculada da seguinte forma:
86
Figura - 5. 2. Expansão em Série de Taylor par a função P(x) = ax +b.
A pressão na face frontal, de área yz, do cubo
PF  P 
P
( x F  x)
x
(5. 1)
1 P
x
2 x
(5. 2)
ou
PF  P 
A pressão na face traseira, de área yz, do cubo
PT  P 
P
( xT  x)
x
(5. 3)
1 P
x
2 x
(5. 4)
ou
PT  P 
A pressão na face esquerda, de área xz do cubo, é dada por:
PL  P 
P
( yL  y)
y
ou
87
(5. 5)
PL  P 
1 P
y
2 y
(5. 6)
A pressão na face direita, de área xz, do cubo
PR  P 
P
( yR  y)
y
(5. 7)
1 P
y
2 y
(5. 8)
ou
PR  P 
A pressão na face superior, de área xy, do cubo
PS  P 
P
( zS  z)
z
(5. 9)
1 P
z
2 z
(5. 10)
ou
PS  P 
A pressão na face inferior, de área xy, do cubo
PI  P 
P
( zI  z)
Z
(5. 11)
1 P
z
2 y
(5. 12)
ou
PI  P 
Calculado a força superficial resultante ao longo das três direções ortogonais
temos que:
FS  ( PL  PR )xz  ( PS  PI )xy  ( PF  PT )yz
(5. 13)
Substituindo as equações (5. 2), (5. 4), (5. 6), (5. 8), (5. 10), (5. 12), em (5. 13) temos:
88

P
P
P
FS  ( )xyziˆ  ( )xyzˆj  ( )xyzkˆ
x
y
z
(5. 14)

 P
P
P 
FS   ( )iˆ  ( ) ˆj  ( )kˆ  V
y
z 
 x
(5. 15)
Logo
Definindo-se o gradiente de p como sendo a força superficial por unidade de
volume, em um ponto:
p 
P ˆ P ˆ P ˆ
i
j
k
x
y
z
(5. 16)

FS  PV
(5. 17)

FS
 P
V
(5. 18)
A equação (5. 15) fica:
logo
Será mostrado posteriormente que toda vez que houver um gradiente de uma
determinada grandeza intensiva, que não se anula, ocorre um fluxo da sua grandeza extensiva
correspondente. Esta pode ser chamada de lei de fluxo generalizado de Gibbs.
5.2.2 – Derivada direcional e o significado físico do Vetor gradiente
Considere a derivada direcional do campo escalar, dada pela função P(x, y, z),
conforme mostra a Figura - 5. 3.

Esta derivada do campo escalar P na direção de um vetor r é dado por:
dP
  P nˆ.rˆ
dr
(5. 19)
dP
  P cos
dr
(5. 20)
Como cos   nˆ.rˆ temos:
sendo que cos  1 temos:
89
dP
 P
dr
(5. 21)
Figura - 5. 3. Derivada direcional na direção
r̂
e gradiente de um campo escalar
Portanto o módulo do gradiente corresponde está na direção de máxima variação
da derivada direcional, ou máxima variação do campo escalar.
5.2.3 - Equilíbrio de forças em um fluido estático - Teorema de Stevin-Pascal
Como só existem duas naturezas de forças que podem atuar sobre um fluido, isto é
as volumétricas e superficiais, logo para que haja um equilíbrio mecânico em um fluido
estático, as somatória das forcas volumétricas deve ser igual a somatória das forças
superficiais. Portanto, para que o fluido esteja em equilíbrio (repouso ou em movimento
uniforme) a somatória das forças superficiais deve ser igual
a resultante das forças
volumétricas, temos que:


FV  FS  0
(5. 22)
Substituindo (5. 17) em (5. 22) temos:

FV  PV  0
(5. 23)
Definindo a densidade volumétrica de força como sendo:

 dFV
f 
dV
(5. 24)
portanto no limite onde V  0 , temos que
90

f  P  0
(5. 25)
Esta equação significa que, para um corpo, toda força aplicada na superfície (força
superficial), no caso de um fluido em equilíbrio, se transmite para o seu interior, isto é, para o
volume e vice-versa. Esta é uma equação muito geral utilizada em outros ramos da mecânica,
tais como, a mecânica da fratura a elastostática dos sólidos, etc.
5. 3 - Equações básicas da fluidoestática
A partir da conclusão geral da equação (5. 25) vamos calcular a variação de
pressão em um fluido devido a sua profundidade.
5.3.1 - Variação de pressão para um fluido em repouso
Vamos considerar o equilíbrio de forças presente em um fluido em repouso ou em
movimento uniforme. Portanto, para o caso de pressão apenas na direção vertical e f = g
temos que:
P 
P
z
(5. 26)
Logo substituindo (5. 26) em (5. 25) temos:
g 
P
0
z
(5. 27)
integrando entre dois pontos de pressão diferentes temos:
P2  P1  g ( z 2  z1 )
(5. 28)
Para P1 = Pa (pressão atmosférica) com nível de energia potencial gravitacional
zero a nível do mar tem-se z1 = 0 e z2 = h. Portanto, para um fluido incompressível e em
repouso temos:
P  Pa  gh
(5. 29)
Esta equação é conhecida como equação de Stevin e será muito útil para resolver problemas
de equilíbrio de pressão e de corpos submersos. No caso tratado pela equação (5. 29) não se
considera qualquer compressibilidade no fluido, pois poderia ser que mesmo em repouso o
fluido fosse comprimido pelo seu próprio peso, o que não acontece.
91
5. 4 – Variação da pressão com a elevação (altitude) para um
fluido estático compressível.
Voltando a equação diferencial (5. 27), relacionado pressão, peso específico
elevação, devemos admitir agora que  = g é uma variável e é passível de efeitos de
compressibilidade. Devemos nos restringir ao gás perfeito (ou ideal), que é válido para o ar
ou a maioria de seus componentes para grandes faixas de temperatura e pressão. A equação
de estado, contendo v, ajuda-nos a avaliar a necessária variação funcional do peso específico,
, porque 1/v e  são relacionadas por suas definições, que são respectivamente, a massa e o
peso de um corpo por unidade de volume do corpo. Assim, usando a unidade de massa
conveniente, temos para uma massa unitária que:
1
g 
v
(5. 30)
Se fosse usado a outra unidade para massa (por exemplo, lbm), a relação acima ficaria
1 g

v go
(5. 31)
e, como g e go podem ser considerados com os mesmos valores numéricos na maioria das
aplicações práticas de fluidos, freqüentemente achamos a relação 1/v =  empregada em tais
circunstâncias. Devemos formular nossos resultados em termos de slugs (ou kgm) e fazer as
conversões apropriadas quando necessário durante a solução dos problemas.
Devemos calcular agora a relação entre pressão e elevação para dois casos, a
saber, o fluido isotérmico (temperatura constante) e o caso em que a temperatura do fluido
varia linearmente com a elevação. Estes ocorrem em certas regiões de nossa atmosfera.
Caso - 1. Gás perfeito isotérmico.
Para esse caso, a equação de estado PV = nRT indica que o produto PV é
constante pois a temperatura, T, é constante. Assim, em qualquer posição no fluido podemos
dizer,
PV  P1V1  cte
(5. 32)
Onde cte é uma constante e o índice 1 indica dados conhecidos. Resolvendo para v na equação
92
P
g
g
 P1 1  cte

1
(5. 33)
Devemos admitir que a faixa de elevação é tão pequena que g pode ser considerado constante.
Assim
P P1 cte
 
C
 1 g
(5. 34)
Usando a relação acima, podemos exprimir a equação diferencial básica (5. 27) da seguinte
forma:
dP
P

dz
C
(5. 35)
Separando as variáveis e integrando de P1 a P e de z1 a z, temos:
P2
z
dP
dz
 P   C
P1
z1
(5. 36)
Efetuando a integração obtemos:
z
ln P P1  
C
z
P
(5. 37)
z1
Substituindo os limites, a equação fica
ln
P
1
  ( z  z1 )
P1
C
(5. 38)
Da equação (5. 34), temos que P1/1 = C, e resolvendo para P, obtemos
 

P  P1 exp  ( z  z1 )
 P1

(5. 39)
Isso nos fornece a relação desejada entre elevação e pressão em termos das condições
conhecidas P1, 1, na elevação z1. Se a referência (z = 0) é colocada na posição dos dados
fornecidos, então z1, na equação acima, pode ser considerada nula.
93
Caso – 2. A temperatura varia linearmente com a elevação.
A variação de temperatura para esse caso é dada por:
T  T1  Kz
(5. 40)
Onde T1 é a temperatura na referência (z = 0) e K é uma constante é vale 0,0065K/m até uma
altitude, h = 11.000m. A fim de podermos separar as variáveis da equação (5. 29), devemos
resolver para  da equação de estado e, além disso, determinar dz pela equação (5. 40). Esses
resultados são, P 
nRo T nM o

V
V
 Ro

 Mo

 3
M
T ( ) e P 
RT  RT ; onde
V

Pg
RT
(5. 41)
dT
K
(5. 42)
e derivando a equação (5. 40) obtemos:
dz 
Substituindo na equação (5. 29), obtemos, após reordenar os termos,
dP
g dT

P
KR T
(5. 43)
Para integrar essa equação, devemos conhecer como g varia com a temperatura ou com a
pressão, para este problema. Entretanto, devemos admitir outra vez que g seja constante.
Assim, integrando da referência (z = 0), onde P1, T1, etc. são conhecidas, temos:
T
P
g
T 
ln 
ln 1  ln 1 
P1 KR T
T 
g / KR
(5. 44)
Resolvendo para P e substituindo a temperatura T por T1 + Kz, encontramos para expressão
final.
 T1 

P  P1 
 T1  Kz 
g / KR
(5. 45)
Onde se deve observar que T1, deve ser em graus absolutos.
3
Observe que a constante universal dos gases Ro = 8,31451J/K.mol é diferente do valor R = Ro/Mo, que é
específico para o gás considerado, devido ao acréscimo da massa molecular, Mo.
94
Ao concluir esta secção sobre fluidos compressíveis estáticos, devemos ressaltar
que se conhecemos a forma pela qual o peso específico varia, podemos usualmente separar as
variáveis na equação básica (5. 29) e integrá-la para obter uma equação algébrica entre
pressão e elevação.
5. 5 - Manometria
Na secção anterior, estudamos as leis de variação das pressões. Agora veremos a
Manometria, isto é, a medida das pressões.
5.5.1 - Atmosfera normal
De acordo com a experiência de Torricelli o valor da pressão atmosférica ao nível
do mar é:
Pa  10328kgf / m 2  1,033kgf / cm 2  760mmHg
(5. 46)
Esta atmosfera física ou atmosfera normal que equilibra uma coluna de mercúrio
com 760 mm de altura.
5.5.2 - Atmosfera técnica (metros de coluna de água MCA)
Para simplificar, é costume adotar
Pa  10.000kgf / m 2  1kgf / cm 2
(5. 47)
Que é chamada de atmosfera técnica
Se, em vez de mercúrio, Torricelli tivesse usado a água ( = 1000 kgf/m3), o valor
da atmosfera técnica corresponderia a 10mca (10 metros de coluna de água):
Pa  1atm  10.000kgf / m 2  1kgf / cm 2
 10mca  0,968 An  736mmHg
(5. 48)
5.5.3 - Atmosfera local
A pressão atmosférica diminui quando a altitude aumenta: a coluna de mercúrio
desce, aproximadamente 1mm para cada 15m de aumento de altitude. Para um ponto a 900m
de altitude, a atmosfera local será, de 900/15 = 60mmHg, logo
95
Pa  13590.(0,76  0,60)  9.513kgf / m 2  0,951kgf / cm 2
(5. 49)
Portanto, para uma altura qualquer tem-se:
Pa   m g (0,76m 
0,001m
altitude)
15m
(5. 50)
onde m = 13590Kg/m3 é a densidade do mercúrio ou do liquido barométrico, g é aceleração
da gravidade local ao nível do mar e equivale a g = 9,8m/s2.
5.5.4 - Pressão efetiva e pressão absoluta
Na medição das pressões em diferentes pontos de um fluido em repouso, como os
pontos A e B mostrados na Figura - 5. 4, toma-se Pa (pressão atmosférica) como referência
ou origem das medidas. Cada uma das medições será a pressão efetiva no ponto.
Figura - 5. 4. Pressão em diferentes pontos de um fluido em repouso.
Essa pressão efetiva pode ser: positiva, quando for superior a Pa e negativa
quando for inferior a Pa (vácuo parcial), nula, quando for igual a Pa.
A pressão efetiva é igual a pressão manométrica. A pressão em um ponto também
pode ser medida a partir do zero absoluto (vácuo perfeito ou total) obtendo-se a pressão
absoluta que é sempre positiva. Para os pontos citados acima têm-se:
PA  Pa  PAef
e
96
(5. 51)
PB  Pa  PBef
(5. 52)
5.5.5 - Definições
i) Manômetro: é um instrumento usado para medir a pressão efetiva
ii) Vacuômetro: é um manômetro que indica as pressões efetivas negativas,
positivas e nulas
iii) Piezômetro: é a mais simples forma de um manômetro, mede somente
pressões em um líquido.
iv) Barômetro: mede o valor absoluto de pressão atmosférica.
v) Altímetro: é um barômetro construído especialmente para medir a altitude,
esses podem ser encontrados no painel de aeronaves medindo a altitude em relação ao nível
do mar.
5.5.6 - Classificação dos manômetros
Os manômetros se classificam em manômetro de líquidos e manômetros
metálicos.
i) Manômetros de líquidos: esses manômetros são tubos recurvados contendo
líquidos manométricos, conforme mostra a Figura - 5. 5.
Figura - 5. 5. Manômetro líquidos a) com uma extremidade em contato com a atmosfera b)
com as duas extremidades em contato com a atmosfera.
ii) Manômetros metálicos: são aqueles que medem a pressão do fluido por meio
da deformação de um tubo metálico recurvado ou de um diafragma que cobre o recipiente
hermético do metal.
97
5.5.7 – Tipos de manômetros
i) Manômetro diferencial: é o manômetro de líquido utilizado para medir a
diferença de pressão entre dois pontos
ii) Micromanômetro: é o manômetro utilizado para medir pressões muito
pequenas, quando se torna dificil e impreciso a leitura das alturas manométricas em tubos
verticais. Para uma melhor leitura, inclina-se o tubo manométrico sob um ângulo  com a
horizontal.
5. 6 – Forças sobre superfícies planas submersas
Vamos agora estudar as forças hidrostáticas que atuam sobre uma superfície plana
submersa em um fluido incompressível estático. O objetivo desta parte é calcular e força
hidrostática resultante para que seja possível estimar a resistência mecânica de uma barreira
submersa. Como é estático não há tensão de cisalhamento, logo a força deve ser normal à
superfície.
Considere a Figura - 5. 6, onde a pressão, P, em uma altura, h, qualquer é dada
por:
P  Pa  gh
(5. 53)
Figura - 5. 6. Forças sobre um placa plana submersa a uma altura hc do centro de massa.
98
Portanto, se quisermos calcular a força resultante sobre a placa, desprezando-se a
pressão atmosférica, esta é dada por:
F   PdA   ghdA    hdA
(5. 54)
Como uma altura, h, qualquer é dada por:
h  y sen 
(5. 55)
hc  y c sen 
(5. 56)
Logo, teremos que:
Onde  é o ângulo de inclinação da placa submersa.
A força resultante, FR, é dada a partir da substituição de (5. 55) em (5. 54), onde:
FR   gy sen dA
(5. 57)
FR   y sen dA   sen   ydA
(5. 58)
ou
Sabendo que y c A   ydA , temos:
FR   sen y c A
(5. 59)
Usando (5. 56) em (5. 59) ficamos com:
FR  hc A  p c A
(5. 60)
O centro de pressão da placa submersa poderá ser em um ponto diferente do
centro de massa e, por isso, um torque poderá se desenvolver sobre esta placa tentando girá-la
em torno de sua posição de equilíbrio. Portanto, vamos calcular o torque resultante sobre a
placa da seguinte forma:
T  FR y´
(5. 61)
Por outro lado, o torque é dado pela composição de todos os elementos de força sobre a placa
integrada sobre toda sua área, ou seja:
99
T  FR y´   h ydA   sen   y 2 dA

y sen 
(5. 62)
I yy
Logo
y´
 sen  I yy
(5. 63)
FR
Substituindo (5. 59) em (5. 63) temos:
y´
I yy
(5. 64)
yc A
Sabemos pelo teorema dos eixos paralelos que:
I yy  I   Ay c
2
(5. 65)
Logo substituindo (5. 65) em (5. 64) temos:
2
I
Ay c
y´  
yc A yc A
(5. 66)
Onde a coordenada do centro de pressão é dada por:
y´ y c 
I 
yc A
(5. 67)
Observe que:
y´ y c
(5. 68)
Quando será que y´ = yc ? Para sabermos iso devemos multiplicar a equação (5.
67) por sen e obteremos:
y´sen   y c sen  
I 
sen 
yc A
o qual a partir de (5. 55) e (5. 56) fornece:
100
(5. 69)
h´ hc 
I 
sen 
yc A
(5. 70)
Logo, o termo sen deve ser nulo e isso só acontecerá quando o ângulo  for igual a zero.
Portanto, isso só acontecerá quando a placa estiver na horizontal, h´ hc , ou quando I = Iyy,
ou seja, quando yc = 0, para constatar observe a Figura - 5. 7 e a Figura - 5. 8.
Figura - 5. 7. Placa na horizontal, centro de pressão coincidente com o centro de massa do corpo.
Figura - 5. 8. Centro de pressão coincidente com o centro de massa do corpo.
Nos exercícios haverá muitas aplicações a problemas de placas planas como
barreiras e será necessário conhecer o momento de inércia destas barreiras para os cálculos de
hidrostática.
101
Figura - 5. 9. Placa retangular plana e o centro de massa do corpo.
Portanto, para uma placa plana retangular de lados b e l o momento de inércia
vale:
I CM
bl 3

12
(5. 71)
Para o problema de haver um apoio fixo na placa no ponto de coordenadas (x =
0, y = l) de uma barreira articulada, o torque da força é dado por:
P. y  FR ( y  y´)
(5. 72)
Figura - 5. 10. Placa apoiada sobre a extremidade fixa x = 0 e y = l, na forma de barreira
articulada.
102
5. 7 – Forças sobre superfícies curvas submersas
Para barreiras curvas a força resultante será dada por:
FR    sen ydA   sen   ydA .
(5. 73)
Para barreiras nos três eixos cartesianos temos:
FR  FRx iˆ  FRy ˆj  FRz kˆ .
(5. 74)
Mas o gradiente de pressão só possui componente z, ou seja:
P 
P
.
z
(5. 75)
E para barreiras curvas temos:
Figura - 5. 11. Forças de pressão sobre barreiras curvas submersas.
5. 8 – Empuxo em corpos submersos
A partir da equação de Stevin vamos considerar a resultante das forças sobre um
corpo de geometria qualquer, tomando um elemento cilíndrico de área, dA, conforme mostra a
Figura - 5. 12.
103
Figura - 5. 12. Corpo de geometria qualquer submerso é um fluido estático de densidade , .
dFR  dF2  dF1
(5. 76)
dFR  p2 dA  p1dA
(5. 77)
Onde
Usando a equação de Stevin dada em (5. 29) temos:
dFR  ( Pa  gh2 )dA  ( PA  gh1 )dA
(5. 78)
dFR  g (h2  h1 )dA
(5. 79)
Logo
Mas h = h2 –h1, é a altura do cilindro elementar inscrito no corpo de volume total, V, logo
dFR  ghdA
(5. 80)
Integrado sobre todo o volume do corpo temos:
dFR  g  hdA
(5. 81)
FR  g  dV
(5. 82)
Portanto
104
Ou simplesmente
FR  gV
(5. 83)
Observe que  é a densidade do fluido e V é o volume deslocado pelo corpo
submerso. Portanto, o empuxo sobre um corpo de geometria qualquer é proporcional ao seu
volume,V, que corresponde ao volume deslocado do fluido, que foi substituído pela presença
do corpo. Este princípio é chamado de Principio de Arquimedes, pois foi ele que descobriu ao
utilizar o cálculo para resolver o problema da coroa de Hirão na Grécia Antiga.
5. 9 – Equilíbrio de corpos flutuantes
Vamos agora estudar uma parte da mecânica dos fluidos que possui grande
aplicação a Engenharia Naval. Se um corpo está imerso ou flutua em um líquido, a força que
nele atua denomina-se “empuxo de flutuação”.
105
5. 10 – Exercícios e Problemas
1. Escreva a equação básica da Estática dos Fluidos e dê o significado de cada termo e da
equação como um todo.
2. A partir da equação básica da estática dos Fluidos desenvolva-a e encontre a Lei de
Stevin P = Pa + gh.
3. Defina as condições de pressão e temperatura para a atmosfera padrão.
4. Diga qual é a diferença entre pressão absoluta e manométrica.
5. Um bloco de ferro com 5Kg está pendurado em um dinamômetro e é imerso em um
líquido de densidade desconhecida. A escala do dinamômetro indica um peso aparente
de 6,16N. Qual é a densidade do líquido.
Solução
O resultante das forças em um corpo, imerso em um fluido, é dado pelo peso
aparente, Pap, que nada mais é do que a subtração do peso do corpo, P, pelo empuxo, E.
Pap  P  E ,
(5. 84)
Explicitando os termos em termos da massa do corpo, mc, da aceleração da gravidade, g, da
densidade do líquido, liq, e do volume do corpo, Vc, temos:
Pap  mc g   liq gVc
Logo, a densidade do líquido é dada por:
106
(5. 85)
 liq 
onde Vc 
(m c g  Pap )
gVc
 mg  Pap
 
 mc g

 c ,


(5. 86)
mc
. Observe que é um ótimo método para determinar a densidade de um fluido.
c
6. Demonstre que para qualquer ponto B, no interior da massa fluida, tem-se:
PB
 z B  constante

7. Os recipientes R e S contém água, sob pressões de 2,2kgf/cm2 e 1,3kgf/cm2
respectivamente. Determine o valor de hm da deflexão do mercúrio da figura abaixo:
8. A superfície inclinada da Figura é articulada , ao longo de 5m de largura. Determinar o
empuxo FR, da água sobre esta superfície. A componentes x’e y’do centro de pressão.
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5. 11 – Referências Bibliográficas
- Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECÂNICA DOS FLUIDOS, Editora Thomson
- FOX, R. W., McDonald, A. T., Introdução á Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara
Koogan, 4ª Edição.
- Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blücher
- BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecânica dos Fluidos, LTC Editora.
- Incropera, P. I., DeWitt, D. P. Fundamentos da Transferência de Calor e Massa, Editora
LTC, 4ª Edição, 1998.
- FEYMANN, Richard, Lectures on Physics Vol – II Caps. 38, 39, 40, 41.
- Landau & Lifshitz – Teoria da Elasticidade
- Fetter & Walescka – Mecânica dos meios Contínuos (Exemplo e Aplicações)
- Arfken – Métodos Matemáticos em Física.
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