Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Departamento de Engenharia Civil - MIEC
ESTRUTURAS DE BETÃO 1
04 de Fevereiro de 2010
Recurso
Duração: 3 horas
IMPORTANTE:
− Responda com precisão e de forma concisa às questões formuladas, justificando as respostas.
− Em caso de dúvida na interpretação de qualquer questão tome uma opção e explicite-a com clareza.
Não consulte o docente.
0.25
1) (4 valores) Na figura está representada a secção quadrada de um tirante de betão armado pré-esforçado,
armada com 4φ20 de aço S500 e com um cabo de pré-esforço com 4 cordões de 0.5” (Ap = 4cm2). É ainda
fornecido o gráfico do comportamento instantâneo do tirante
N (kN)
(idade t0 = 28 dias), expresso em termos do esforço axial N e da
correspondente deformação média ε = Δl/l (Ncr representa o Nu = 1360
esforço de fissuração e Nu o esforço de rotura do tirante, em
valores médios). Após o esticamento do cabo, na idade t0,
instalou-se um pré-esforço inicial P0, que conduziu a um
encurtamento do tirante ε0 = −0.2×10−3 (ver gráfico). O tirante
destina-se a suportar as seguintes acções (valores característicos):
NGk = +400kN (tracção), NQ1k = +350kN (tracção, ψ0 = 0.5) e
NQ2k = −50kN (compressão, ψ0 = 0.7). Materiais: Ap1870/1680
Ncr = 673
(fpk = 1870MPa, fp0.1k = 1680MPa, Ep = 200GPa), S500, C30/37.
4φ20
a) Determine o valor do pré-esforço inicial P0, após retirada do
macaco de esticamento. Supondo que o macaco aplicou uma
A p=4cm2
força máxima de P’0 = 1.1P0, verifique se a tensão σ’po
0.25m
instalada no cabo na fase de esticamento satisfaz o limite
especificado no EC2.
b) Determine as tensões de tracção na armadura ordinária e no
ε
εo= −0.2×10−3
aço de pré-esforço para a combinação característica de acções.
Os limites de tensões do EC2 são satisfeitos? Justifique.
c) Verifique a segurança da peça em relação ao estado limite último de resistência.
2) (4 valores) A secção transversal indicada, referente a um pilar de betão armado com 8φ25, está submetida
a flexão composta, caracterizada por pares de esforços (N, M) no centro de
4φ25
gravidade G da secção de betão. Dados: C25/30, S500, ambiente da classe
0.055
de exposição XF.
a) Recorrendo a equações de equilíbrio, e para o estado limite último em
flexão composta, determine o valor do momento flector de cálculo MEd
que actuando em simultâneo com NEd = 970kN conduz à rotura da
secção. Admita as seguintes hipóteses: (i) o eixo neutro está localizado
entre as duas camadas de armaduras longitudinais; (ii) todas armaduras
longitudinais estão em cedência. Nota: no final da resolução confirme
que as hipóteses (i) e (ii) estão correctas.
0.40
M
G
×
N
0.055
4φ25
0.35m
b) Justifique que as armaduras longitudinais adoptadas para a secção respeitam as disposições
construtivas do EC2 relativas a pilares. Especifique o diâmetro e espaçamento a adoptar para as
armaduras transversais, e justifique se a disposição adoptada para as cintas é adequada.
c) Na combinação característica de acções a secção está submetida ao seguinte par de esforços:
Ncc = 650kN, Mcc = 40kNm. Demonstre que nesta combinação a secção de betão não fissura (considere
Es/Ec = 8). A tensão de compressão máxima no betão respeita o limite recomendado no EC2 para um
ambiente da classe de exposição XF? Justifique.
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Estruturas de Betão 1 (MIEC)
Recurso – 04 Fev. 2010
3) (4 valores) A pala de cobertura à entrada de um edifício, representada na planta, é constituída por uma laje
em consola apoiada na viga V (ver corte A-B), estando esta viga ligada monoliticamente a dois pilares P.
A secção S-S’ da viga V, com uma secção transversal de 0.30×0.70m2 e as armaduras longitudinais
indicadas, está submetida aos seguintes esforços de cálculo (simultâneos): MEd = 160kNm, VEd = 90kN e
TEd = 80kNm. Materiais: C25/30, S500.
S
Pilar P
Viga V
A
Pilar P
S’
2.0m
Laje
Planta
B
1.5m
5.0m
1.5m
Corte A-B
Secção S-S’
4Ø20
0.70
V
Laje
0.70
3Ø16
0.05
3Ø16
4Ø16
0.30
0.30
a) Estabeleça a diferença entre torção de equilíbrio e torção de compatibilidade. Indique em qual destas
situações se enquadra o caso da viga V. Justifique.
b) Para a actuação conjunta de VEd e TEd determine o menor ângulo θ que é possível adoptar para as
escoras inclinadas de betão (pode considerar que as armaduras longitudinais não condicionam o valor
de θ). Para o ângulo θ encontrado dimensione as armaduras transversais a dispor na secção S-S’. Nota:
se não determinou o ângulo considere θ = 35º.
c) Considerando o ângulo θ utilizado em b) verifique se as armaduras longitudinais indicadas na figura
são suficientes para fazer face à actuação conjunta do momento flector de cálculo MEd e do momento
torsor de cálculo TEd.
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Estruturas de Betão 1
Época Normal – 12 Jan. 2010
4) (4 valores) A viga AD representada, apoiada em B e D sem continuidade com os pilares, recebe em A e C
cargas concentradas com os valores característicos a seguir indicados: (i) em A pode actuar
exclusivamente a acção variável Qk1 = 60kN (ψ0 = 0.7); (ii) em C uma viga secundária introduz uma
acção permanente Gk = 70kN e pode fazer actuar a acção variável Qk2 = 40kN (ψ0 = 0.5). O peso próprio
da viga AD já está simplificadamente incluído no valor da carga permanente Gk; as acções Qk1 e Qk2 são
independentes. Na figura representam-se também os diagramas de cálculo MEd, tendo em vista o
dimensionamento das armaduras longitudinais da viga. Materiais: C25/30, S400.
Secção transversal
( d = 0.60m)
A
Qk 1= 60kN
0.65
0.30
B
0.30
2.00
Qk 2= 40kN
Gk = 70kN
C
D
0.30
4.00
0.30
4.00
MEd [kN.m]
Combinação 1
Combinação 2
-180
50
309
a) Em esquemas estruturais represente as cargas concentradas (com os correspondentes coeficientes
parciais de segurança) que conduzem às combinações 1 e 2 assinaladas nos diagramas de cálculo MEd
(não é necessário desenhar diagramas de momentos flectores).
b) Considerando uma cotg θ = 2.5 para as diagonais comprimidas do modelo de treliça, justifique (com
apoio num desenho esquemático) por que razão é necessário considerar uma translação al no diagrama
de MEd para dimensionar as armaduras longitudinais de uma viga. Para a viga AD trace o diagrama de
momentos flectores envolvente de cálculo resultante desta translação.
c) Dimensione uma solução de armaduras longitudinais inferiores para o vão BD da viga utilizando
varões φ25, e proceda a um escalonamento em que esta armadura seja reduzida para 50%. Desenhe à
escala a solução final de armaduras inferiores para este vão BD, cotando devidamente as
correspondentes interrupções.
d) Calcule o comprimento de amarração estritamente necessário para a armadura inferior no apoio D.
Demonstre que é possível realizar esta amarração sem recurso a dobragem de varões.
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Estruturas de Betão 1 (MIEC)
Recurso – 04 Fev. 2010
5) (4 valores) O edifício industrial cuja planta se encontra representada, de um único piso, está contraventado
nas direcções X e Y. Os efeitos de 2ª ordem no pilar P1, em que se pretende estudar o fenómeno da
encurvadura, são desprezáveis na direcção X, mas têm de ser considerados na direcção Y. As fundações
de P1 e P2 não asseguram transmissão de momentos flectores, sendo o pórtico P1-P2 solicitado por uma
carga de cálculo uniformemente distribuída pEd = 60kN/m aplicada na viga, e por duas forças
concentradas de cálculo FEd = 990kN aplicadas nos nós (ver figura). O diagrama de momentos flectores
de cálculo de 1ª ordem M0Ed,x do pórtico P1-P2 encontra-se representado na figura (admita M0Ed,y = 0); o
esforço axial de cálculo em P1 vale NEd = 1200kN. Dados: C20/25, S500, cnom=25mm, ϕef = 2.5.
0.3
0.4
1.0
FEd=990 kN
0.3
FEd=990 kN
pEd=60 kN/m
P1
-138
-138
138
Y
Z
229.5 kN.m
viga (0.25x0.5)
X
5.0
7.0
-138
P2
1.0
0.3
6.0
6.0 m
P1
M0Ed,X
7.0
Z
P2
x
X
Y
a) Determine a esbelteza do pilar P1 segundo a direcção Y. Recorrendo ao método do EC2 baseado numa
curvatura nominal avalie os efeitos de 2ª ordem deste pilar na direcção Y. Identifique, justificando, a
localização da correspondente secção crítica de encurvadura.
b) Considerando que na direcção Y o efeito das imperfeições geométricas na secção crítica de
encurvadura de P1 pode ser representado por uma excentricidade de 0.01m, determine os esforços
finais para o dimensionamento do pilar P1. Justifique.
c) Dimensione a armadura a dispor no pilar P1 (A’/A=1.0). Desenhe a secção final à escala 1/10,
assinalando todas as armaduras necessárias. Nota: se não tiver resolvido as alíneas anteriores
dimensione o pilar atendendo apenas aos esforços de 1ª ordem.
Área dos varões:
φ6
φ8
φ10
φ12
φ16
φ20
φ25
φ32
2
2
2
2
2
2
2
0.28cm 0.50cm 0.79cm 1.13cm 2.01cm 3.14cm 4.91cm 8.04cm2
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