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Tes
ologias
Matemática e suas Tecn
Prof. João Mendes
8
Como o GPS localiza com exatidão
qualquer ponto da superfície terrestre?
Geometria, para que te quero?
Grandes questionamentos nem sempre têm soluções complexas, têm, muitas vezes, ideias simples, porém geniais. Com
conhecimentos básicos de geometria, muita imaginação e
criatividade, cálculos aparentemente impossíveis de serem
realizados foram feitos por mentes brilhantes que por aqui já
passaram e deixaram seus feitos documentados ou gravados
no imaginário popular, passando de geração em geração, até
serem registrados por terceiros.
de amigos, contam alguns historiadores, caminharam de
Alexandria até Siena e estimaram a distância percorrida em
5000 estádios (cerca de 800 km). De volta a Alexandria e com
o conhecimento de que Alexandria e Siena ficavam praticamente sobre um mesmo meridiano, Eratóstenes imaginou os
prolongamentos da coluna (em Alexandria) e do poço (em
Siena) se encontrando no centro da Terra e aguardou ansiosamente o primeiro dia do verão do ano seguinte, quando
de um círculo o ângulo que os raios solares
estimou em
A TERRA É REDONDA?
O bibliotecário e diretor da Biblioteca de Alexandria, Eratóstenes de Cirênia (276 – 194 a.C.), conhecia um fato curioso que
chamava a atenção dos habitantes de Siena (atual Aswân).
Ao meio-dia do primeiro dia do verão, era comum ver pessoas olhando a superfície da água de um velho poço para ver
refletida a luz do sol.
Em um desses dias, em Alexandria, observando a sombra gerada por uma coluna, Eratóstenes pensou: “Se é fato que, nesse
momento, um poço profundo em Siena está refletindo a luz do
sol, e sendo a Terra plana, as colunas daqui de Alexandria não
eram para gerar sombra. Há alguma coisa errada. Se existe sombra, só há uma explicação: a Terra é redonda.”
formavam com a coluna.
Veja o seguinte modelo matemático compatível com os
dados conhecidos por Eratóstenes.
Nesse esquema, os ângulos alternos internos de retas
paralelas, a e b, são congruentes, ou seja, b =
SE A TERRA É REDONDA, QUAL É O COMPRIMENTO
DA MAIOR CIRCUNFERÊNCIA DA TERRA?
Não satisfeito com a dedução de que a Terra era redonda,
Eratóstenes decidiu calcular o comprimento da maior circunferência da Terra. Para isso, ele, atleta que era, e um grupo
de 360°.
Com isto, Eratóstenes concluiu que a distância de Alexandria a Siena (5000 estádios, 800 km) era
do com-
primento da maior circunferência da Terra. Ele encontrou,
assim, o comprimento de 250000 estádios (cerca de 40000
1
km) para a circunferência da Terra, algo em torno de 15% a
mais que o real. O erro ocorreu por duas razões: a distância
entre Siena e Alexandria não era exatamente 5000 estádios,
nem as duas cidades se localizavam no mesmo meridiano.
COMO UM NAVEGADOR, EM ALTO-MAR, PODE
DETERMINAR A SUA LATITUDE?
A medida em grau do menor arco de circunferência, sobre a
superfície terrestre, que liga um ponto à linha do equador é a
latitude do ponto.
Para o cálculo da latitude de um ponto sobre a superfície
terrestre, ao norte e ao sul da linha do equador, podem ser
tomadas como referências as estrelas Polaris e Sigma Octantis, respectivamente. Essas estrelas, consideradas pontos
do eixo de rotação da Terra, estão tão distantes da Terra que
os raios de luz delas provenientes e que incidem sobre nosso planeta são considerados paralelos. Assim, olhando para
uma dessas estrelas, de todos os pontos da Terra de onde é
possível visualizá-la, os raios visuais serão paralelos ao eixo de
rotação da Terra.
Se, por exemplo, de um ponto A ao norte da linha do equador, um navegador, utilizando um sextante, mira a estrela Polaris sob um ângulo de 40º com o plano horizontal, a latitude do
ponto A é 40º norte.
COMO MEDIR O RAIO DA TERRA?
Eratóstenes, assim como Aristóteles, Arquimedes e outros
estudiosos gregos estimaram um perímetro para a circunferência máxima da Terra e, consequentemente, o seu raio. Não
se sabe ao certo quem, mas foi na antiga Grécia que alguém
idealizou o seguinte processo para o cálculo do raio da Terra.
Em uma praia, do alto de uma torre vertical, um observador
olha para um ponto P da linha do horizonte. Os olhos desse observador estão a uma altura h do solo, enquanto o raio visual e a
linha vertical da torre formam um ângulo de medida θ.
Conhecendo o fato de que toda reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio no ponto de tangência, pode-se
criar o seguinte modelo matemático, no qual o ponto C representa o centro da Terra, e R, o raio.
Observe que o plano horizontal formando um
ângulo θ = 40° (alternos internos de retas paralelas) com o
eixo de rotação, o ângulo central α é tal que α = θ = 40°(α e θ
são complementos do mesmo ângulo β).
Com esse modelo e os conhecimentos rudimentares de
trigonometria, uma vez conhecidos h e θ, o cálculo da medida R do raio da Terra é relativamente simples. Veja:
Daí,
Assim, o arco
= α = 40° (ângulo central), mostrando
que a latitude de A é 40°.
.
2
COMO O GPS LOCALIZA COM EXATIDÃO
QUALQUER PONTO DA SUPERFÍCIE TERRESTRE?
O Sistema de Posicionamento Global (GPS) foi criado para fins
militares. No entanto, hoje, qualquer civil tem acesso a esse sistema, e seu uso é praticamente indispensável na localização de
endereços, rotas, rastreamento de veículos, pessoas ou animais.
Mas como se dá o funcionamento do GPS?
Com um período de 12 horas (tempo para dar uma volta),
orbitando em torno da Terra, a uma altitude de 20200 km,
existem 24 satélites enviando sinais para os receptores GPS.
Quando o receptor GPS detecta um dos satélites, a distância
entre eles é calculada. Com isso, já se sabe que o receptor se
encontra na superfície de uma esfera cujo centro é o satélite e
cujo raio é a distância calculada. Sabendo que o receptor está
na superfície da Terra, as possíveis posições ficam restritas à
circunferência que representa a intersecção dessa esfera com
a Terra (note que o satélite não fica obrigatoriamente acima
do receptor).
A posição do receptor é a intersecção das três circunferências geradas, respectivamente, nas três esferas pela superfície da Terra.
Matemática. Manuel Paiva – Textos diversos, coletados e
adaptados.
Exercitando para o Enem
1.Em certo momento, do observatório astronômico A, a Lua é vista
no zênite, isto é, na vertical, sob um ângulo β, e, no observatório B, a Lua é vista na linha do horizonte, conforme as figuras
seguintes.
Quando o receptor detecta um segundo satélite, a distância entre eles é calculada e uma segunda esfera é formada,
gerando uma segunda circunferência com as possíveis posições do receptor. Agora, as possíveis posições do receptor
estão reduzidas a dois pontos, intersecções das duas circunferências determinadas.
Figura 1
Figura 2
Um estudante de astronomia, que já conhece a medida R do raio
da Terra e a medida α do ângulo central
, que é igual à medida
do arco , está interessado em determinar a medida r do
raio da Lua. Para isso, ele estimou em β a medida do ângulo
de visão da Lua (TÂT), a partir do observatório A. Já usando o
cosseno de α na figura 1, ele encontrou
.
Com base nessas informações e considerando a distância
AL = d, a medida r do raio da Lua é igual a:
Um terceiro satélite é detectado e, de modo análogo,
uma terceira circunferência é gerada na superfície da Terra
com as possíveis posições do receptor.
a)
3
b)
c)
d)
04.(Cesgranrio-RJ) Supondo a Terra esférica de centro C, o comprimento (perímetro) do paralelo PP’, mostrado na ilustração, é metade do comprimento
da linha do equador EE’.
A latitude desse paralelo é:
e)
02.Em uma noite de lua cheia, Paulo e Renata realizaram a seguinte
experiência: Paulo fechou um dos olhos, e Renata segurou uma
moeda de 2,5 cm de diâmetro entre a Lua e o olho aberto de
Paulo, de modo que o jovem visse a moeda coincindindo com
a imagem do disco lunar. A seguir, mediram a distância entre a
moeda e o olho aberto de Paulo, obtendo 290 cm. Sabendo que
a distância da Terra à Lua é 4 · 105 km, os jovens estimaram a
medida do diâmetro da Lua.
Com esses dados, a melhor estimativa para a medida do diâmetro da Lua, em quilômetros, é:
a) 3,30 · 103
b) 3,35 · 103
c) 3,40 · 103
d) 3,45 · 103
e) 3,50 · 103
a) 30º
03.(UFSCar-SP) Os satélites de comunicação são posicionados em sincronismo com a Terra, o que significa dizer que cada satélite fica sempre sobre
o mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um satélite cujo raio da
órbita seja igual a 7 vezes o raio da Terra. Na figura, P e Q representam duas
cidades na Terra, separadas pela maior distância possível em que um sinal
pode ser enviado e recebido, em linha reta, por esse satélite.
b) 40º
c) 45º
d) 60º
e) 70º
05.Consideremos a Terra como uma esfera de centro C e raio R. Qualquer
plano secante à superfície terrestre e perpendicular ao seu eixo de rotação determina nessa superfície uma circunferência chamada de paralelo
terrestre. Sejam A e B dois pontos distintos de um paralelo de raio
.
Se um navio, indo de A até B, sobre esse paralelo, percorre 120º, então a
medida α do ângulo
é:
a) 30º
b) 150º
c) 90º
d) 60º
E) 120º
Exercitando para o Enem
Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando
pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância de:
a)
d)
b)
c)
e)
4
01
02
03
04
05
a
d
d
d
d