Ângulos
Dimas Crescencio
Arcos e Ângulos
Recordando alguns conceitos...
• arco geométrico: é uma das partes da
circunferência delimitada por dois pontos. Se
os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo
ou arco de uma volta.
AB
B
arco AB
O
O
A
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Arcos e Ângulos
• arco e ângulo central: todo arco de
circunferência tem um ângulo central que o
subtende.
D
B
O
A
O
C
arco: AB
ângulo central: AÔB
arco: CD
ângulo central: CÔD
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Arcos e Ângulos
• comprimento da circunferência de raio r: C= 2πr.
• comprimento e medida de arco: a medida de
um arco é a medida do ângulo central que o
subtende, independentemente do raio da
circunferência que contém o arco. Usam-se
geralmente unidades como o grau e o radiano
para medir arcos.
• O comprimento do arco é a medida linear do
arco, sendo usadas unidades como “metro”,
“centímetro”, etc.
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Unidades para medir arcos
• Grau: quando dividimos uma circunferência
em 360 partes congruentes, cada uma dessas
partes é um arco de um grau (1°).
Considere o arco AB, que vai de A para B no
sentido anti-horário:
B
A B
A
A
AB
B
arco: AB de 90° arco: AB de 180° arco: AB de 270° arco AB de 360° ou 0°
(um quarto de volta) (meia volta) (três quartos de volta) (volta inteira ou nulo)
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Conversão de unidades
Sabe-se que um ângulo de π radianos equivale
a um ângulo de 180°.
3π
Então, quantos graus temos em
radianos?
4
π
E em radianos?
6
π
3π
π
180.π
6
π
180

.3
π
 4 
 π.x 180  y  6  π.y
180
x
4
30π  πy  y  30
45.3 π  πx  x  135
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Exercícios
1) Converta em graus: 2) Converta em radianos:
5
5π
rad
a) 300 
a)
rad  150
3
6
π
11
b) rad  45
rad
b) 330 
4
6
2π
4
c)
rad  120
rad
c) 240 
3
3
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Medindo arcos
O método mais prático para se medir arcos é
fazendo uma regra de três simples. Para isso,
algumas informações que já vimos são muito
importantes, vamos enfatizá-las novamente:
• O comprimento C da circunferência de raio r é
dado por: C  2πr
• 1 π rad = 180°
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Exemplos
Calcule as medidas dos arcos AB a seguir
dessa circunferência cujo raio mede 5 cm.
a)
A
5π
rad
8
B
b)
A
30
B
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Resolução
2πr
AB
5πr 5π(5 cm) 25π
a)

 AB 


cm
2π rad 5π rad
8
8
8
8
2πr
AB
2πr.30
b)

 360AB  2πr.30  AB 
360 30
360
2πr
πr 5π
AB 
 AB  
cm
12
6
6
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Exercício
Qual seria, em radianos, a medida do ângulo
central correspondente a um arco de
comprimento 15 cm contido numa circunferência
de raio 3 cm?
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Resolução
O comprimento de uma circunferência de raio r
é dado por 2πr .
Um ciclo completo tem a medida
do ângulo central de 2π radianos.
Sabemos que o
arco mede 15 cm.
Acharemos o ângulo x, em
radianos, para esse arco.
2πr
15
(15)2π rad

x
 x  5 rad.
2π rad x
2π (3)
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Exercício
Qual é o comprimento de um arco
correspondente a um ângulo central de 45°
contido numa circunferência de raio 2 cm?
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Resolução
Sabemos que o comprimento de uma
circunferência de raio r é dado por 2πr . Isso,
para um ciclo completo, ou seja, 360°. Como
temos 45°, vamos fazer uma regra de três e
descobrir o valor x desse arco:
2πr
x

360 45
2πr.45 2πr πr π(2) π
x

 
 cm
360
8
4
4
2
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Resolução
Poderíamos resolver isso de forma mais
rápida, pois sabemos que 45° representa um
oitavo de volta, então, é só dividir o
comprimento de uma volta por oito para achar
esse arco, sem precisar fazer regra de três.
2πr πr π(2) π
x
 
 cm
8
4
4
2
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Exercício
O ponteiro dos minutos de um relógio de
parede mede 12 cm. Quantos centímetros sua
extremidade percorre durante 25 minutos?
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Resolução
Vamos ilustrar a situação para facilitar o nosso
entendimento: Faremos a regra de três, já que
sabemos que o ponteiro percorreu
150° (30° a cada 5 minutos).
2πr
x
150.2πr 5.2πr

x

360 150
360
12
5.π(12cm)
60π
x
x
cm
6
6
raio: 12 cm
A extremidade do ponteiro percorreu 10 cm.
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Exercício
Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no
seu movimento, suas posições extremas
formam um ângulo de 60°. Qual o comprimento
do arco que a extremidade do pêndulo
descreve?
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Resolução
Mais uma vez, vamos ilustrar a situação para
facilitar a compreensão do enunciado:
Posições extremas do pêndulo
2πr
60.2πr
x
x

30°
30°
360 60
360
Pêndulo
2π(15)
π(15)
x
60°
6
3
x  5π cm.
O comprimento do arco que a extremidade do
pêndulo descreve mede 5π cm.
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Exercício
Ao projetar prédios muito altos, os
engenheiros devem ter em mente o
movimento de oscilação, que é típico de
estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais
alto de um edifício de 400 m descreve um
arco de 0,5, qual é a medida do arco descrito
por esse ponto em metros?
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Resolução
0,5°
(1/2)º
Apesar de ser pequena, a
oscilação de 0,5° forma um arco.
Para acharmos sua medida,
aplicaremos a regra de três:
2πr
x
0,5.2πr
πr

x

400 m
360 0,5
360
360
π(400) 40π 10π
x


m.
360
36
9
10π
O arco descrito mede
metros.
9
400m
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