Matrizes e Vectores
Conceitos
¾ Matriz, Vector, Coluna, Linha.
¾ Matriz Triangular Inferior; Matriz Triangular Superior; Matriz Diagonal.
¾ Operações entre Matrizes.
¾ Característica de uma matriz; Característica máxima de uma matriz.
¾ Matriz Invertível, Matriz Transposta, Matriz Inversa, Inversa à Esquerda, Inversa à Direita.
¾ Matriz dos Coeficientes, Matriz Aumentada, Forma Escalonada/Escada, Líder/Pivot.
¾ Método de Eliminação de Gauss (para que serve?).
Em que consiste o Método de Elimimação de Gauss?
O Método de Elimimação de Gauss é o processo que consiste na execução de sucessivas etapas
dos seguintes três tipos:
¾
permuta de duas linhas
¾
multiplicação de uma linha por um escalar não-nulo
¾
substituição de uma linha por essa somada/subtraída com outra,
até obter uma matriz escalonada, i.e., uma matriz da seguinte forma:
¾
a 1ª entrada não-nula de cada linha (se existir) é 1, designado por líder;
¾
se uma coluna contém um líder, então todas as entradas abaixo são nulas
¾
se uma linha contém um líder, todas as linhas acima têm líders à esquerda desse.
Para que serve o Método de Elimimação de Gauss?
¾
Inverter Matrizes (vamos fazer neste volume)
¾
Resolver e classificar sistemas (vamos fazer no volume seguinte)
¾
Estudar a natureza de sistemas em função de parâmetros (vamos fazer no volume seguinte)
¾
determinar Núcleos e imagens de transformações (vamos fazer num volume seguinte)
Conteúdo deste Volume
Conceitos ......................................................................................................................... 1
Exercícios Propostos 1.................................................................................................... 3
Exercícios Propostos 2.................................................................................................... 5
Soluções dos Exercícios Propostos 1 ............................................................................. 6
Soluções dos Exercícios Propostos 2 ............................................................................. 8
Tópicos Teoricos ............................................................................................................. 9
1 Definição de Matriz. Matrizes Especiais. .................................................................. 9
2 Operações Algébricas com Matrizes........................................................................ 11
2.1 Adição de Matrizes ............................................................................................... 11
2.2 Multiplicação de Matrizes por um Escalar .......................................................... 11
2.3 Multiplicação de Matrizes .................................................................................... 12
2.4 Potência de uma Matriz Quadrada ...................................................................... 13
3 Operações Elementares e Característica de uma Matriz....................................... 14
4 Cálculo da Inversa Usando o Método de Gauss ..................................................... 15
Resumo .......................................................................................................................... 17
2
Exercícios Propostos 1
I. Determine, se possível, a soma A + B :
a) A = [ 1 2 3] ,
⎡4⎤
B = ⎢⎢ −1⎥⎥
⎢⎣ −2 ⎥⎦
⎡1 2 ⎤
⎡ −3 − 2 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
b) A = ⎢3 4 ⎥ , B = ⎢ 1 −5 ⎥
⎢⎣ 4 3 ⎥⎦
⎢⎣5 6 ⎥⎦
⎡
⎢
c) A = ⎢
⎢
⎢
⎣
−1⎤
2 ⎥⎥
,
−1 4 ⎥
⎥
−2 3 ⎦
3
0
⎡2 3
B = ⎢⎢ 3 2
⎢⎣ 4 1
1 4⎤
−1 0 ⎥⎥
2 3 ⎥⎦
II. Determine, se possível, o produto AB :
⎡2 3
⎢
a) A = ⎢ 3 2
⎢⎣ 4 1
⎡
⎢
⎢
A
=
b)
⎢
⎢
⎣
⎡
1 4⎤
⎢
⎥
−1 0 ⎥ , B = ⎢
⎢
2 3 ⎥⎦
⎢
⎣
−1⎤
2 ⎥⎥
,
−1 4 ⎥
⎥
−2 3 ⎦
3
0
c) A = [ 1 2 3] ,
3 −1⎤
0 2 ⎥⎥
−1 4 ⎥
⎥
−2 3 ⎦
⎡2 3
B = ⎢⎢ 3 2
⎢⎣ 4 1
1 4⎤
−1 0 ⎥⎥
2 3 ⎥⎦
⎡4⎤
B = ⎢⎢ −1⎥⎥
⎢⎣ −2 ⎥⎦
⎡2⎤
⎢ ⎥
d) A = ⎢ 3 ⎥ , B = [ 2 0 5]
⎢⎣ −4 ⎥⎦
⎡ 1 −1⎤
III. Considere a matriz B = ⎢
⎥ ∈ M 2 (]) . Determine as matrizes:
⎣ 2 − 3⎦
a) B 0 ;
b) B 2 ;
d) B −1
e) B −2
c) B 3 ;
3
IV. Considere a matriz
⎡0 1 0
⎢ 1 2 −3
C=⎢
⎢ −1 − 2 1
⎢
⎣0 0 0
0⎤
0 ⎥⎥
∈ M 4×4 ( \ )
0⎥
⎥
3⎦
a) Utilizando unicamente transformações elementares nas linhas, obtenha a partir de C
uma matriz triangular superior, D .
b) Comente a afirmação: “ DT é uma matriz triangular superior”.
c) Justifique que a matriz C é invertível.
⎡1 − 1⎤
⎢0 2 ⎥
⎥
B=⎢
⎢3 0 ⎥
⎢
⎥
⎣1 4 ⎦
1⎤
⎡2
V. Considere as matrizes reais A = ⎢
⎥,
⎣ − 3 − 2⎦
⎡1
⎢2
e C=⎢
⎢0
⎢
⎣2
2⎤
5 ⎥⎥
.
1⎥
⎥
4⎦
Indique qual das afirmações seguintes é FALSA:
A) É possível calcular as matrizes BA + C
e
AB T + C T
B) A 2 = I 2
⎡4 − 7 ⎤
⎢9
4 ⎥⎥
T
⎢
C) CA =
⎢1 − 2 ⎥
⎢
⎥
⎣8 − 14⎦
D) A matriz A tem característica máxima.
VI. Sejam A ∈ M3, B a matriz que se obtém de A trocando as linhas 1 e 3; e C a matriz
que se obtém de B adicionando à linha 2 a linha 3 multiplicada por 5. Indique qual das
afirmações seguintes é VERDADEIRA:
⎡ 0 0 1 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤
⎥
⎥⎢
⎢
A) C = ⎢0 1 0⎥ ⎢0 1 0⎥ A
⎢⎣1 0 0⎥⎦ ⎢⎣0 5 1⎥⎦
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 0 0 1 ⎤
⎥
⎥⎢
⎢
C) C = ⎢0 1 5⎥ ⎢0 1 0⎥ A
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 0 0⎥⎦
⎡ 0 0 1 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤
⎥
⎥⎢
⎢
B) C = ⎢0 1 0⎥ ⎢0 1 5⎥ A
⎢⎣1 0 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 0 0 1 ⎤
⎥
⎥⎢
⎢
D) C = ⎢0 1 0⎥ ⎢0 1 0⎥ A
⎢⎣0 5 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 0 0⎥⎦
4
⎡0
⎢2
VII. Considere a matriz D = ⎢
⎢1
⎢
⎣1
0⎤
−1⎥⎥
∈ M 4 (\)
2 −1 0 ⎥
⎥
1 3 −1⎦
0
3
1
1
a) Utilizando unicamente transformações elementares nas linhas, obtenha a partir de D
uma matriz em forma de escada.
b) Indique, justificando, a característica da matriz D.
c) Utilizando a alínea anterior, analise se D é invertível.
Exercícios Propostos 2
2.I. Obtenha uma fórmula para a potência An ( n ∈ ` ) de cada uma das seguintes
matrizes:
⎡π 0 ⎤
a) ⎢
⎥
⎣0 π ⎦
⎡0 −1⎤
b) ⎢
⎥
⎣1 0 ⎦
⎡cos α
c) ⎢
⎣ sin α
− sin α ⎤
cos α ⎥⎦
Sugestão: Use o Método de Indução Matemática.
⎡ 0 −1⎤
2.II. Comente a afirmação: “A matriz ⎢
⎥ é uma raiz quadrada da matriz − I 2 ”
⎣1 0 ⎦
2.III Quando é que uma matriz diagonal é invertível? Qual é a sua inversa?
5
Soluções dos Exercícios Propostos 1
1.I.
a) o número de colunas e linhas da matriz A, é diferente do número de linhas e colunas
da matriz B, logo a soma não é possível.
⎡ −2 0 ⎤
⎢
⎥
b) A + B = ⎢ 4 −1⎥
⎢⎣ 9 9 ⎥⎦
c) o número de colunas e linhas da matriz A, é diferente do número de linhas e colunas
da matriz B, logo a soma não é possível.
1.II.
⎡ −3 20 ⎤
⎢
⎥
a) AB = ⎢10 −3⎥
⎢⎣ 4 15 ⎥⎦
b) o número de colunas da matriz A, duas, é diferente do número de linhas da matriz B,
três, logo o produto não é possível.
c) AB = [ − 4] .
⎡ 4 0 10 ⎤
⎢
⎥
d) AB = ⎢ 6 0 15 ⎥
⎢⎣ −8 0 −20 ⎥⎦
1.III.
⎡1 0 ⎤
a) B 0 = I 2 = ⎢
⎥;
⎣0 1 ⎦
⎡ −1 2 ⎤
b) B 2 = B.B = ⎢
⎥;
⎣ −4 7 ⎦
⎡ 3 −5 ⎤
c) B 3 = B 2 .B = ⎢
⎥;
⎣10 −17 ⎦
⎡ 3 −1⎤
d) B −1 = ⎢
determinada pelo Método de Gauss: [ BI ] → ⎡⎣ IB −1 ⎤⎦ .
⎥
⎣ 2 −1⎦
2
⎡ 3 −1⎤
e) B −2 = B −1 , com B −1 = ⎢
⎥ da alínea anterior.
⎣ 2 −1⎦
( )
6
1.IV
(a) Uma forma de obter a partir da matriz C uma matriz em forma de escada, utilizando
unicamente transformações elementares nas linhas, é a seguinte:
⎡0 1 0
⎢ 1 2 −3
⎢
⎢ −1 −2 1
⎢
⎣0 0 0
0⎤
⎡ 1 2 −3
⎥
⎢0 1 0
0⎥
⎢
⎯⎯⎯
→
A ↔A
0 ⎥ 1 2 ⎢ −1 −2 1
⎥
⎢
3⎦
⎣0 0 0
0⎤
⎡1
⎥
⎢0
0⎥
⎢
⎯⎯⎯⎯
→
A + A →A
0⎥ 1 3 3 ⎢0
⎥
⎢
3⎦
⎣0
2 −3 0 ⎤
1 0 0 ⎥⎥
0 −2 0 ⎥
⎥
0 0 3⎦
b) Falso. DT é uma matriz triangular inferior.
c) Pela alínea anterior, a matriz em forma de escada foi obtida a partir da matriz C por
transformações elementares nas linhas. Nestas condições, sabe-se que a característica da
matriz C é igual ao número de linhas não nulas desta matriz em forma de escada.
Logo c(C) = 4 .
A
matriz
quadrada
C
é
invertível
se,
e
só
se,
c(C) = ordem da matriz C = 4 . Como, pela alínea anterior, c(C) = 4 , segue-se que C
é uma matriz invertível.
1.V.
C.
1.VI
C.
1.VII.
(a) Uma forma de obter a partir da matriz D uma matriz em forma de escada, utilizando
unicamente transformações elementares nas linhas, é a seguinte:
0⎤
⎡1 2 −1 0 ⎤
⎡1 2 −1 0 ⎤
⎥
⎢
⎥
⎢0 −1 3 −1⎥
−1⎥
2 3 1 −1⎥
⎢
⎢
⎥
⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯→
A ↔A →
−2 A + A → A
2 −1 0 ⎥ 1 3 ⎢ 0 0 1 0 ⎥ − A1 1+ A 4 2→A 4 2 ⎢0 0 1 0 ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
1 3 −1⎦
⎣1 1 3 −1⎦
⎣0 −1 4 −1⎦
⎡1 2 −1 0 ⎤
⎡1 2 −1 0 ⎤
⎢0 −1 3 −1⎥
⎢0 −1 3 −1⎥
⎢
⎥ (matriz em f.e.)
⎢
⎥
⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯⎯
→
− A 2 + A 4 →A 4
⎢ 0 0 1 0 ⎥ − A 3 + A 4 →A 4 ⎢ 0 0 1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 0 ⎦
⎣0 0 1 0 ⎦
⎡0
⎢2
⎢
⎢1
⎢
⎣1
0
3
1
1
7
(b) Pela alínea anterior, a matriz em forma de escada foi obtida a partir da matriz D por
transformações elementares nas linhas. Nestas condições, sabe-se que a característica da
matriz D é igual ao número de linhas não nulas desta matriz em forma de escada.
Logo, c(D) = 3 .
(c) A matriz quadrada D é invertível se, e só se, c(D) = ordem da matriz D = 4. Como,
pela alínea anterior, c(D) = 3 , segue-se que D não tem característica máxima, pelo que
D não é uma matriz invertível.
Soluções dos Exercícios Propostos 2
⎡π
2.I. a) ⎢
⎣0
n
0⎤
⎥
πn⎦
⎧ I 2 , n = 4k
⎪
⎡ 0 −1⎤ ⎪ A , n = 4k + 1
b) ⎢
⎥ =⎨
⎣1 0 ⎦ ⎪ − I 2 , n = 4k + 2
⎩⎪ − A , n = 4k + 3
n
⎡ cos ( nα ) − sin ( nα ) ⎤
c) ⎢
⎥
⎣ sin ( nα ) cos ( nα ) ⎦
2.II. Verdadeira, porque
2.III. Quando os elementos da diagonal forem todos não nulos. A matriz inversa é
também diagonal em que os elementos são os inversos aritméticos da matriz inicial.
8
Tópicos Teoricos
1 Definição de Matriz. Matrizes Especiais.
Definição Uma matriz de tipo m × n é um quadro com m.n números reais dispostos em
m linhas e n colunas.
Seja A uma matriz do tipo m × n . Representa-se por a ij o elemento da matriz A situado
na linha i e na coluna j. Assim, representaremos a matriz A por:
... a1 j
... a1n ⎤
⎡ a11 a12
⎢a
... a 2 j
... a 2 n ⎥⎥
⎢ 21 a 22
⎢ ...
...
...
...
...
... ⎥
A=⎢
⎥
...
aij
... ain ⎥
⎢ ai1 ai 2
⎢ ...
...
...
...
...
... ⎥
⎥
⎢
... a mn ⎦⎥
⎣⎢ a m1 a m 2 ... a mj
[ ]
Não existindo risco de confusão, a matriz anterior pode representar-se por A = aij .
Definição Uma matriz diz-se quadrada de ordem n se m=n, isto é, se tiver igual número
de linhas e de colunas.
Se m ≠ n então diz-se matriz rectangular.
Se m = 1 , isto é, se a matriz tiver uma só linha, chama-se matriz linha.
Se n = 1 , isto é, se a matriz tiver uma só coluna, chama-se matriz coluna.
Definição Os elementos a11 , a 22 , a33 ,..., a nm da matriz quadrada dizem-se principais ou
diagonais e formam a primeira diagonal. Os elementos a1n , a 2,n −1 , a3,n − 2 ,..., a n1 formam a
chamada segunda diagonal.
[ ]
Definição Uma matriz quadrada A = aij diz-se triangular superior se aij = 0 sempre
que i > j , isto é, se todos os elementos por debaixo da primeira diagonal são nulos. Se
aij = 0 sempre que i < j , então, diz-se triangular inferior.
Definição Uma matriz quadrada diz-se diagonal se aij = 0 sempre que i ≠ j .
[ ]
Definição Uma matriz quadrada A = aij diz-se escalar se for diagonal e os elementos
principais forem todos iguais ao escalar k, isto é:
⎧0 se i ≠ j
aij = ⎨
⎩k se i = j
Definição Chama-se matriz identidade de ordem n à matriz escalar In em que os
elementos principais são iguais a 1.
9
Definição O elemento genérico δ ij , da matriz identidade é definido da seguinte forma:
⎧0 se i ≠ j
δ ij = ⎨
⎩1 se i = j
e é habitualmente conhecido por símbolo de Kronecker.
Se A = [aij ] , é uma matriz escalar com os elementos principais iguais a λ, então:
aij = λδ ij , isto é:
[ ]
[ ]
A = λδ ij
Definição Uma matriz A = aij do tipo m × n diz-se nula se todos os seus elementos
são nulos, isto é:
a ij = 0, ∀ i ,1 ≤ i ≤ m, ∀ j ,1 ≤ j ≤ n
Uma matriz nula representa-se habitualmente por [0].
[ ]
[ ]
Definição Duas matrizes A = aij e B = bij são iguais se:
aij = bij , ∀ i ,1 ≤ i ≤ m, ∀ j ,1 ≤ j ≤ n
isto é, se os seus elementos homólogos forem iguais.
[ ]
[ ]
Definição Chama-se simétrica da matriz A = aij do tipo m × n à matriz B = bij do
mesmo tipo, tal que:
aij = −bij , ∀ i ,1 ≤ i ≤ m, ∀ j ,1 ≤ j ≤ n
[
]
A matriz simétrica de A representa-se habitualmente por − A = − aij .
[ ]
[ ]
Definição Chama-se transposta da matriz A = aij do tipo m × n à matriz B = bij , do
tipo n × m , tal que:
aij = b ji , ∀ i ,1 ≤ i ≤ m, ∀ j ,1 ≤ j ≤ n
A matriz transposta de A representa-se habitualmente por AT.
Não é difícil verificar que (AT ) = A .
T
Definição Uma matriz diz-se simétrica se é igual à sua transposta, isto é, se A = AT .
Uma matriz simétrica é sempre uma matriz quadrada. Com efeito, se A é do tipo
m × n , AT é do tipo n × m e como por definição de matriz simétrica A = AT , vem m = n .
Além disso, sendo A = aij tem-se aij = b ji , isto é, os elementos simétricos
[ ]
relativamente à diagonal principal são iguais.
Definição Uma matriz A diz-se anti-simétrica se A = − AT .
Uma matriz anti-simétrica é sempre uma matriz quadrada e se A = aij , temos
[ ]
A = − AT ⇔ aij = −a ji . Fazendo i = j, obtemos aii = −aii ⇒ aii = 0 .
Logo, numa matriz anti-simétrica os elementos principais são nulos e os elementos
colocados simetricamente em relação à diagonal principal são simétricos.
10
2 Operações Algébricas com Matrizes
2.1 Adição de Matrizes
[ ]
[ ]
Definição Sejam A = aij e B = bij duas matrizes do tipo m × n . Chama-se soma de
[ ]
duas matrizes à matriz C = cij , do tipo m × n , cujo elemento genérico é cij = aij + bij .
Diz-se então que C = A + B.
2.1.1 Propriedades da adição de matrizes
As propriedades da adição de matrizes são consequência imediata das propriedades da
adição de números reais.
1. A adição de matrizes é comutativa: A + B = B + A , para quaisquer matrizes A, B e
C do mesmo tipo.
2. A adição de matrizes é associativa: A + ( B + C ) = ( A + B) + C , para quaisquer
matrizes A e B do mesmo tipo.
3. É uma operação que tem elemento neutro: a matriz nula; A + 0 = 0 + A = A ,
qualquer que seja a matriz A do tipo m × n .
4. Toda a matriz tem uma e uma só matriz simétrica: dada uma matriz A do tipo
m × n , existe uma matriz, -A, também do tipo m × n , tal que
A + (− A) = (− A) + A = 0 .
5. A transposta da soma é igual à soma das transpostas: ( A + B) T = AT + B T ,
quaisquer que sejam A e B matrizes do mesmo tipo.
2.2 Multiplicação de Matrizes por um Escalar
[ ]
Definição Seja A = aij uma matriz do tipo m × n e λ um escalar. Chama-se produto
escalar λ pela matriz A, à matriz que se representa por λA e cujo elemento genérico é
λaij , isto é, a matriz que se obtém de A multiplicando todos os seus elementos por λ .
2.2.1 Propriedades da multiplicação de um escalar por uma matriz
1. λ ( A + B) = λA + λB , qualquer que seja λ ∈ IR , quaisquer que sejam as matrizes A
e B do mesmo tipo.
2. (λ + µ ) A = λA + µA , quaisquer que sejam os números reais λ e µ, qualquer que
seja a matriz A.
3. (λµ ) A = λ ( µA) , quaisquer que sejam os números reais λ e µ, qualquer que seja a
matriz A.
11
2.3 Multiplicação de Matrizes
Definição As matrizes A e B dizem-se encadeadas se o número de colunas de A é igual
ao número de linhas de B.
Definição Sejam
[ ]
A = aij
[ ]
e B = bij
duas matrizes do tipo m × n e n × p
[ ]
respectivamente. Chama-se produto de matriz A pela matriz B à matriz C = cij do tipo
m × p , cujo elemento genérico cij se obtém somando os produtos dos elementos da
linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B, isto é,
cij = ai1b1 j + ... + aik bkj + ... + ain bnj
= ∑ aik bkj , com i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,... p.
Nestas circunstâncias, escreve-se, C = AB.
Assim, cij , elemento da linha i e da coluna j do produto obtém-se a partir da linha i
da matriz A e da coluna j da matriz B através do esquema:
cij = [ai1 ai 2 ... aik
⎡b1 j ⎤
⎢b ⎥
⎢ 2j⎥
⎢# ⎥
... ain ]⎢ ⎥
⎢ bkj ⎥
⎢# ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ bnj ⎥⎦
= ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + aik bkj + ... + ainbnj
É evidente que o produto C=AB tem o mesmo número de linhas que a matriz A e o
mesmo número de colunas que a matriz B, isto é, AB é do tipo m × p. Em esquema temse: (m × n) × (n × p) = (m × p).
2.3.1 Propriedade da multiplicação de matrizes
Proposição A multiplicação de matrizes verifica as seguintes propriedades:
1. A multiplicação de matrizes é associativa, isto é,
( AB)C = A( BC )
em que A = aij é do tipo m × n , B = bij do tipo n × p e C = cij do tipo p × q .
[ ]
[ ]
[ ]
2. A multiplicação de matrizes é distributiva relativamente à adição, isto é,
A( B + C ) = AB + AC
( D + E ) F = DF + EF
desde que os produtos indicados existam.
3. A transposta do produto é igual ao produto das transpostas, por ordem inversa, isto
é:
( AB) T = B T + AT
[ ]
[ ]
( A = aij é do tipo m × n e B = bij do tipo n × p).
T
4. Qualquer que seja a matriz A a matriz AAT é simétrica.
12
5. Seja A uma matriz quadrada de ordem n e seja In a matriz identidade de ordem n.
Então,
AI n = I n A = A
6. A multiplicação de matrizes não é comutativa. Na verdade, AB e BA podem não
estar simultaneamente definidas. Se A é do tipo m × n e B é do tipo n × p o produto BA
só será definido se p = m. Neste caso, AB é do tipo m × m e BA é do tipo n × n . Se
m ≠ n AB e BA são de tipos diferentes e não podem ser iguais. Se m = n , isto é, se A e
B são matrizes quadradas da mesma ordem, AB e BA também são quadradas da mesma
ordem, mas em geral, BA ≠ A
7. O produto de duas matrizes AB pode ser nulo sem que nenhuma delas seja nula.
8. A equação AB = AC não implica B = C, mesmo quando a matriz A é não nula.
Definição Duas matrizes quadradas A e B da mesma ordem dizem-se permutáveis se
AB = BA .
2.4 Potência de uma Matriz Quadrada
Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Define-se:
A 2 = AA, A3 = AA 2 ,..., A n = AA n−1
⎡ 2 4⎤
Exemplo Sendo A = ⎢
⎥, resulta,
⎣ − 1 2⎦
⎡ 0 0⎤
⎡− 16 0⎤
, A3 = ⎢
A2 = ⎢
⎥
⎥
⎣ − 4 0⎦
⎣ − 8 0⎦
Se n é um número inteiro positivo então An é invertível e ( An ) −1 = ( A−1 ) n .
13
3 Operações Elementares e Característica de uma Matriz
Definição Chama-se característica duma matriz A ao número máximo de colunas
(interpretadas como vectores) linearmente independentes da matriz A, ou ao número
máximo de linhas (interpretadas como vectores) linearmente independentes da matriz
A. Este número representa-se por c(A).
Definição Uma matriz do tipo m × n diz-se uma matriz em escada se:
1. As primeiras k linhas (k ≤ n) contém elementos não nulos e as restantes linhas, se
existirem, só contêm elementos nulos.
2. O 1º elemento não nulo (a contar da esquerda para a direita) em cada linha não nula
aparece à direita do 1º elemento não nulo (a contar da esquerda para a direita) de
qualquer linha acima dele.
Definição O primeiro elemento não nulo (a contar da esquerda para a direita) de cada
linha de uma matriz em escada chama-se pivot/elemento redutor.
Teorema Seja A uma matriz em escada do tipo m × n , então:
1. As linhas não completamente nulas são linearmente independentes em IR n .
2. As colunas que contêm os redutores são linearmente independentes em IR m .
3. O número máximo de linhas linearmente independentes é igual ao número máximo
de colunas linearmente independentes, parâmetros estes, ambos, iguais ao número de
redutores da matriz.
Definição Chamam-se operações elementares sobre linhas (ou colunas) de uma matriz
às seguintes operações:
1. Troca entre si de 2 linhas (ou colunas) da matriz.
2. Multiplicação dos elementos de uma linha (ou coluna) por um escalar diferente de
zero.
3. Adição a uma linha (ou coluna) uma outra linha (ou coluna) multiplicada por uma
constante.
Teorema As operações elementares sobre linhas (ou colunas) não alteram a
dependência ou independência linear das linhas (ou colunas) de uma matriz.
Teorema As operações elementares sobre linhas (ou colunas) não alteram a
dependência ou independência linear das colunas (ou linhas) de uma matriz.
Teorema O número máximo de linhas independentes de uma matriz é igual ao número
máximo de colunas independentes dessa matriz.
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4 Cálculo da Inversa Usando o Método de Gauss
Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz A diz-se invertível se
existe uma matriz A′ , quadrada de ordem n, tal que:
AA′ = A′A = I n
A matriz A′ chama-se inversa de A e representa-se habitualmente por A−1.
Teorema A inversa de uma matriz quando existe é única.
Propriedades Associadas à Inversão de Matrizes
1. Se A é invertível então A−1 também é invertível ( A−1 ) −1 = A .
2. Se A e B são invertíveis então a matriz AB também é invertível e
( AB) −1 = B −1 A−1
3. Se A é invertível e n é um número inteiro positivo então An é invertível e
( A n ) −1 = ( A −1 ) n .
[ ]
Analisemos o problema da determinação da inversa de uma matriz quadrada A = aij
[ ]
de ordem n. Suponha-se que A é invertível e seja B = bij a sua matriz inversa, isto é,
−1
A = B . Nestas circunstâncias:
AB = I n
isto é,
⎡b11 b12
⎢b
b
A × ⎢ 21 22
⎢" "
⎢
⎣bn1 bn 2
" b1n ⎤ ⎡ 1 0 " 0 ⎤
" b2 n ⎥⎥ ⎢⎢ 0 1 " 0 ⎥
⎥
=
" " ⎥ ⎢" " " "⎥
⎥ ⎢
⎥
" bnn ⎦ ⎣ 0 0 " 1 ⎦
Sabendo que a multiplicação de A pela j-ésima coluna de B, permite obter a, j-ésima
coluna da matriz produto, a igualdade anterior é equivalente às seguintes, n igualdades:
⎡b11 ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎢b ⎥ ⎢ 0 ⎥
A × ⎢ 21 ⎥ = ⎢ ⎥,
⎢ " ⎥ ⎢"⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣bn1 ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎡ b12 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢b ⎥ ⎢ 1 ⎥
A × ⎢ 22 ⎥ = ⎢ ⎥ , ...,
⎢ " ⎥ ⎢"⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣bn 2 ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎡ b1n ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢b ⎥ ⎢ 0 ⎥
A × ⎢ 2n ⎥ = ⎢ ⎥
⎢ " ⎥ ⎢"⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣bnn ⎦ ⎣ 1 ⎦
Assim, a determinação de B passa pela resolução destes n sistemas de equações lineares
o que pode ser feito simultaneamente reduzindo a matriz,
⎡ a11
⎢a
[A | I n ] = ⎢ 21
⎢"
⎢
⎣a n1
a12 " a1n
a 22 " a 2 n
"
"
"
a n 2 " a nn
0⎤
0 ⎥⎥
| " " " "⎥
⎥
| 0 0 " 1⎦
|
|
1
0
0
1
"
"
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que se obtém de A ampliando esta matriz com a matriz identidade I n . O método de
Gauss conduzir-nos-á à matriz,
⎡1 0 " 0 |
⎢0 1 " 0 |
[I n | B] = ⎢
⎢" " " " |
⎢
⎣0 0 " 1 |
" b1n ⎤
b21 b22 " b2 n ⎥⎥
" " " "⎥
⎥
bn1 bn 2 " bnn ⎦
b11
b12
que apresenta no lado direito da linha vertical a matriz inversa procurada.
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Resumo
Adição de Matrizes
Sejam A = aij e B = bij
[ ]
[ ] duas matrizes do tipo m × n . Chama-se soma de duas
matrizes à matriz C = [c ], do tipo m × n , cujo elemento genérico é c = a + b . Diz-se
ij
ij
ij
ij
então que C = A + B.
[ ]
[ ]
Produto de Matrizes Sejam A = aij e B = bij duas matrizes do tipo m × n e n × p
[ ]
respectivamente. Chama-se produto de matriz A pela matriz B à matriz C = cij do tipo
m × p , cujo elemento genérico cij se obtém somando os produtos dos elementos da
linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B, isto é,
cij = ai1b1 j + ... + aik bkj + ... + ain bnj
= ∑ aik bkj , com i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,... p.
Nestas circunstâncias, escreve-se, C = AB.
Definição Chama-se característica duma matriz A ao número máximo de colunas
(interpretadas como vectores) linearmente independentes da matriz A, ou ao número
máximo de linhas (interpretadas como vectores) linearmente independentes da matriz
A. Este número representa-se por c(A).
Definição Chamam-se operações elementares sobre linhas (ou colunas) de uma matriz
às seguintes operações:
1. Troca entre si de 2 linhas (ou colunas) da matriz.
2. Multiplicação dos elementos de uma linha (ou coluna) por um escalar diferente de
zero.
3. Adição a uma linha (ou coluna) uma outra linha (ou coluna) multiplicada por uma
constante.
Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz A diz-se invertível se
existe uma matriz A′ , quadrada de ordem n, tal que:
AA′ = A′A = I n
A matriz A′ chama-se inversa de A e representa-se habitualmente por A−1.
Inversa usando o Método de Eliminação de Gauss
[A| I ] →
Método
n
Gauss
⎡⎣ I n | A−1 ⎤⎦
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