Matrizes – noções gerais e notações
Definição Designa-se por matriz de números reais a um quadro do tipo





a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
. . . a1n
. . . a2n
..
..
.
.
. . . amn
am1 am2





onde os elementos aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) são números reais (m e n são números
inteiros positivos).
ˆ os ı́ndices que afectam os elementos aij da matriz genérica da definição dão-nos a
posição dos elementos na matriz: o ı́ndice i (1º ı́ndice) indica a linha e o ı́ndice j (2º
ı́ndice) indica a coluna. Assim:
– numa matriz as filas horizontais são as linhas da matriz e as filas verticais são
as colunas da matriz (m representa o número de linhas e n representa o número
de colunas).
– aij designa o elemento da matriz que está na linha i e na coluna j, ou na entrada
(i, j).
ˆ Uma matriz com m linhas e n colunas diz-se do tipo m × n. Se m = n (⇒ matriz
quadrada), também se diz que a matriz é de ordem n.
Exemplos:
1.
A=
2.
3.
£
1 2 3 4
¤
matriz 1 × 4


2
B =  −4 
0
matriz 3 × 1


1 2
C= 3 4 
5 6
1
matriz 3 × 2
4.

1
4 0
 −2 3 1
D=
 2 −7 0
1
0 0
d22
d32

8
0 

2 
5
matriz 4 × 4, ou de ordem 4

 está na 2ª linha e na 2ª coluna
= 3 ou
da matriz D

está na entrada (2, 2)

 está na 3ª linha e na 2ª coluna
= −7 ou
da matriz D

está na entrada (3, 2)



A matriz genérica A = 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
am1 am2
. . . a1n
. . . a2n
..
...
.
. . . amn



 também se representa por A = [aij ] i=1, 2, ..., m

j=1, 2, ..., n
Com esta notação, ficamos a saber que A representa uma matriz de elemento genérico aij ,
com m linhas (i = 1, 2, ..., m) e n colunas (j = 1, 2, ..., n), ou seja, do tipo m × n.
Definição Seja A uma matriz do tipo m × n. Chama-se submatriz de A a uma matriz
do tipo r × s (r ≤ m, s ≤ n)
de A, respectivamante.

1 0
Exemplo: Seja A =  0 1
2 4
cujas linhas e colunas estão contidas em r linhas e s colunas

3 8 5
0 0 0  .
0 0 0 3×5
São submatrizes de A:
1.


8
 0 
0
2.
·
3.
·
0 1
2 4
1 3
0 0
2
¸
¸
4.
·
5.
1 0 5
2 4 0
£
2 4
¸
¤
Não são submatrizes de A:
1.
·

 
1
1 3
 0 0  , pois a coluna  0  não está contida em nenhuma coluna de A
4
4 0

2.
1 2 3 8 5
0 1 0 0 0
¸
, pois a linha
£
1 2 3 8 5
¤
não está contida em nenhuma linha de A
Matrizes especiais
ˆ Uma matriz do tipo 1 × n diz-se uma matriz-linha;
ˆ Uma matriz do tipo m × 1 diz-se uma matriz-coluna;
ˆ Uma matriz do tipo m × n, com m 6= n, diz-se uma matriz rectangular;
ˆ Uma matriz do tipo m × n, com m = n, diz-se uma matriz quadrada (matriz de
ordem n);
ˆ Uma matriz de qualquer tipo, cujos elementos são todos nulos, diz-se uma matriz
nula.
Representação:
– 0m×n matriz nula do tipo m × n
– 0n matriz nula de ordem n
Exemplos:
1.
A=
£
1 4 5 0 8
3
¤
1×5
matriz-linha
2.


1
B= 2 
−3 3×1
3.
·
1 2
3 4
C=
4.
·
D=
¸
matriz quadrada (de ordem 2)
2×2
1 −2 3
−4 5 −6
5.
·
023 =
6.
·
02 =
matriz-coluna
0 0
0 0
¸
matriz rectangular
2×3
0 0 0
0 0 0
¸
matriz nula
2×3
¸
matriz nula (de ordem 2)
2×2
Matrizes quadradas – mais alguns conceitos
Seja A = [aij ]
i=1, 2, ..., n
j=1, 2, ..., n
uma matriz quadrada de ordem n.
ˆ Os elementos aii , i = 1, 2, ..., n, chamam-se elementos principais de A e formam
a diagonal principal de A.
½
superior
ˆ A matriz A diz-se triangular
se são iguais a zero todos os elementos
inferior
½
abaixo
situados
da diagonal principal.
acima
ˆ Se os elementos não principais de A são todos iguais a zero, diz-se que A é uma
matriz diagonal.
ˆ Se A é uma matriz diagonal cujos elementos principais são todos iguais, diz-se que
A é uma matriz escalar.
ˆ Se A é uma matriz escalar cujos elementos principais são iguais a 1, diz-se que A é a
matriz identidade de ordem n. Representa-se por In .
4
Exemplos:
1.


1 0 0
A =  2 −3 0 
3 0 0 3×3
matriz triangular inferior; elementos principais: 1, −3, 0
2.


8 0 0
B= 0 4 2 
0 0 1 3×3
3.
matriz triangular superior; elementos principais: 8, 4, 1


3 0 0
C= 0 1 0 
0 0 2 3×3
matriz diagonal
(matriz simultaneamente triangular superior e triangular inferior)
4.
5.


3 0 0
D= 0 3 0 
0 0 3 3×3

1
 0
I4 = 
 0
0
6.
·
I2 =
0
1
0
0
0
0
1
0
1 0
0 1

0
0 

0 
1 4×4
matriz escalar
matriz identidade de ordem 4
¸
matriz identidade de ordem 2
2×2
5
Álgebra de matrizes
Definição As matrizes A = [aij ] e B = [bij ] dizem-se iguais, e escreve-se A = B, se são
do mesmo tipo (ou seja, têm o mesmo número de linhas e de colunas) e os seus elementos
homólogos são iguais, isto é, aij = bij , ∀i, j.
elementos homólogos ≡ ocupam a mesma posição na matriz A e na matriz B
Exemplo:
·
1 2
3 4
A=
¸
·
, B=
1 2
3 4
¸
·
, C=
1 3
2 4
¸
A = B; A 6= C; B 6= C
Adição de matrizes
Sejam A e B matrizes do tipo m × n. A + B é uma matriz do tipo m × n, cujos elementos
se obtêm por adição dos elementos homólogos em A e B.
Exemplos:
1.
·
A=
·
A+B =
¸
1 2 3
−1 0 2
·
, B=
7
0 −8
3 −1
0
¸
¸ ·
¸ ·
¸ ·
¸
1 2 3
7
0 −8
1+7
2+0
3 + (−8)
8
2 −5
+
=
=
−1 0 2
3 −1
0
−1 + 3 0 + (−1)
2+0
2 −1
2
2.
·
A=
1 2 3
−1 0 2


0 −1
, B =  1 −4 
1
2 3×2
¸
2×3
Não é possı́vel adicionar A e B, pois não são matrizes do mesmo tipo.
Propriedades:
Sejam A, B e C matrizes do tipo m × n.
6
1. A + B = B + A (propriedade comutativa)
2. A + (B + C) = (A + B) + C
(propriedade associativa)
3. A + Om×n = A (Om×n é o elemento neutro para a adição de matrizes)
Multiplicação de uma matriz por um escalar
Seja A = [aij ] uma matriz do tipo m × n e λ um número real (λ é um escalar). O produto
do escalar λ por A, λ A, é a matriz do tipo m × n obtida multiplicando cada elemento de
A por λ.
Exemplo:
·
A=
1
2 −3
4 −5
6
¸
·
− 2A =
−2 −4
6
−8 10 −12
¸
Propriedades:
Sejam A e B matrizes do tipo m × n, λ e µ escalares.
1. λ (A + B) = λ A + λ B
2. (λ + µ) A = λ A + µ A
3. λ (µ A) = (λ µ) A → exemplo: 2 (3 A) = 6A
4. 1 A = A
Definição Chama-se matriz simétrica de A à matriz −1 A = −A.
Observe-se que:
∀Am×n ∃ − Am×n : A + (−A) = −A + A = Om×n
(existência de simétrico)
Subtracção de matrizes
Sejam A e B matrizes do mesmo tipo. A subtracção de matrizes define-se como A − B =
A + (−B).
Em geral, tem-se: A − B 6= B − A
[A − B = −(B − A)]
7
Exemplos:
1.
·
¸
0 1
A=
, B=
−2 3
·
¸
·
¸
1
2
−1 −2
A−B =
, B−A=
1 −3
−1
3
2.
1 3
−1 0
¸
·
·
¸
·
¸
1 −2
3
3 0 2
C=
, D=
4
5 −6
−7 1 8
·
¸ ·
¸ ·
¸
2 −4
6
9 0 6
−7 −4
0
2C − 3D =
−
=
8 10 −12
−21 3 24
29
7 −36
Multiplicação de matrizes
Sejam A = [aij ] uma matriz do tipo m × p e B = [bij ] uma matriz do tipo p × n. A matriz
produto A B = C = [cij ] é uma matriz do tipo m × n tal que
b1j
b2j
..
.
×
cij = ai1 ai2 . . . aip
|
{z
}
linha i de A
= ai1 × b1j + ai2 × b2j + . . . + aip × bpj
bpj
| {z }
coluna j de
B
i = 1, 2, . . . , m
j = 1, 2, . . . , n
Exemplos:
1.
£
1 6
2.
£
·
3.
1 5
2 1
1 6
·
¤
1×2
·
¸
×
2×2
×
·
¤
×
1×2
3 2
0 1
4 3 6
0 1 2
3
0
¸
=
=
£
1×3+6×0
¤
=
£
3
¤
1×1
2×1
£
1×3+6×0 1×2+6×1
¤
=
£
3 8
2×2
¸
·
=
2×3
¸
1×4+5×0 1×3+5×1 1×6+5×2
2×4+1×0 2×3+1×1 2×6+1×2
8
¤
1×2
¸
·
=
4 8 16
8 7 14
¸
2×3
Notas:
ˆ Atendendo ao modo como se efectua a multiplicação de matrizes, conclui-se que a
matriz produto A B tem tantas linhas como A e tantas colunas como B.
ˆ Só é possı́vel efectuar a multiplicação A × B se o número de colunas de A for igual
ao número de linhas de B.
Exemplo:
·
A=
2 1
4 3

1 4
, B= 2 5 
3 6 3×2

¸
2×2
Não é possı́vel efectuar a multiplicação A × B, pois nº colunas de A 6= nº linhas de B
Propriedades:
Sejam A e B matrizes do tipo m × p e p × n, respectivamente.
1. (A B) C = A (B C), com C matriz do tipo n × t
2.
A (B ± C) = |{z}
A
|{z}
lado
esquerdo
B ±
lado
esquerdo
A
|{z}
C, com C matriz do tipo p × n
lado
esquerdo
(B ± C) |{z}
D = B |{z}
D ± C |{z}
D , com C matriz do tipo p × n e D matriz do
lado
direito
lado
direito
lado
direito
tipo n × q
3. λ (A B) = (λ A) B = A (λ B), λ ∈ R
4. A 0p×n = 0m×n e 0t×m A = 0t×p
5. A Ip = A e Im A = A
De notar que se A é uma matriz de ordem n,
ˆ A In = In A = A
ˆ A 0n = 0n A = 0n
(existência de elemento neutro)
(existência de elemento absorvente)
9
Observações:
ˆ Se A é do tipo m × p e B do tipo p × n, com m 6= n, pode calcular-se A B mas não
B A, pelo que a multiplicação de matrizes não goza da propriedade comutativa.
ˆ Quando m = n, os produtos A B e B A são ambos possı́veis, mas geralmente A B 6= B A.
Exemplos:
1.
A=
£
AB =
2.
1 2
£
5
·
¤
1×2
¤
, B=
·
, BA=
−3
4
¸
2×1
−3 −6
4
8
¸
·
¸
·
¸
1 −1
3 −1
A=
, B=
0
1 2×2
−1
0 2×2
¸
·
¸
·
3 −4
4 −1
, BA=
AB =
−1
1
−1
0
Portanto, em geral, A B 6= B A. Mas pode acontecer a igualdade; então:
Definição As matrizes A e B tais que A B = B A dizem-se matrizes permutáveis ou
comutáveis.
Exemplo:
·
A=
·
AB =
·
BA=
1
2
3
2
¸
1 2
,
2 1
¸ ·
2
×
1
¸ ·
2
×
3
·
B
3
2
1
2
¸
3 2
=
2 3
¸ ·
2
7
=
3
8
¸ ·
2
7
=
1
8
8
7
8
7
A e B são matrizes permutáveis.
10
¸
¸
Mais algumas observações acerca do produto de matrizes:
ˆ A lei do anulamento do produto dos números reais (em R: se a × b = 0, então a = 0
ou b = 0) não se generaliza ao produto de matrizes.
De um modo geral, Am×p × Bp×n = 0m×n não implica Am×p = 0m×p ou Bp×n = 0p×n .
Exemplo:
·
A=
·
AB =
0 0
0 0
0 1
0 0
¸
·
, B=
1 0
0 0
¸
¸
= 02 e, no entanto, A 6= 02 , B 6= 02
ˆ A “lei do corte” dos números reais (em R: se a 6= 0 e a × b = a × c, então b = c)
não se generaliza ao produto de matrizes.
De um modo geral, A × B = A × C não implica B = C.
Exemplo:
·
A=
1 0
0 0
¸
·
, B=
·
A × B=A × C=
0 0
1 0
0 0
0 0
¸
·
, C=
0 0
0 0
¸
= 02
¸
= 02 e, no entanto, B 6= C
Associada à multiplicação de matrizes está a
Potenciação de matrizes
Definição A potência de ordem k (k ∈ N) da matriz A (quadrada), Ak , é dada por
Ak = A
| ×A×
{z. . . × A}
k factores
Nota: Por definição, tem-se que
A0
|{z}
potência de ordem 0
11
= In , com n a ordem da matriz A.
Exemplos:
1.
2.


2 1 1
A= 3 1 0 
0 1 2

 
 

2 1 1
2 1 1
7 4 4
A2 =  3 1 0  ×  3 1 0  =  9 4 3 
0 1 2
0 1 2
3 3 4
·
¸
2 1
B=
1 3
·
¸ ·
¸ ·
¸ ·
¸
2 1
2 1
2 1
15 20
3
B =
×
×
=
1 3
1 3
1 3
20 35
Transposição de matrizes (não tem analogia com qualquer operação aritmética)
Definição Chama-se matriz transposta da matriz A à matriz cujas colunas são as linhas
de A (pela mesma ordem). Representa-se por AT .
Observe-se que se A é do tipo m × n, AT é do tipo n × m.
Exemplo:
·
A=
1
2
3
4 −5 −6

¸
2×3

1
4
AT =  2 −5 
3 −6 3×2
Propriedades:
1. (A ± B)T = AT ± B T , com A e B matrizes do mesmo tipo
2. (AT )T = A
3. (AB)T = B T AT , com A matriz do tipo m × p e B matriz do tipo p × n
4. (λ A)T = λ AT , λ ∈ R → a transposição só afecta as matrizes (não afecta os escalares)
5. (Ak )T = (AT )k , k ∈ N → exemplo: (A5 )T = (AT )5
12
Nota: A propriedade 3 generaliza-se a produtos de três ou mais matrizes. Por exemplo:
(ABC)T = C T B T AT
(ABCD)T = DT C T B T AT
Definição Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se AT = A.
Exemplo:

1 2 3
A= 2 5 1 
3 1 4


1 2 3
AT =  2 5 1  = A, pelo que A é simétrica.
3 1 4

Observação: Só as matrizes quadradas podem ser simétricas (ser quadrada é, portanto,
uma condição necessária para ser simétrica).
13