XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS CONSTITUTIVOS NO PROCESSO DE
CRISTALIZAÇÃO USANDO O ALGORITMO DE COLÔNIA DE VAGALUMES
Fran Sérgio Lobato - [email protected]
Ricardo Amâncio Malagoni - [email protected]
Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Engenharia Química
CEP: 38400-902 - Uberlândia, MG, Brasil
Resumo. Dentre as operações unitárias em engenharia química, o processo de cristalização é
uma das mais importantes devido a quantidade de aplicações práticas que podem ser
encontradas. Esta operação tem como principal finalidade a obtenção de material
particulado de alta pureza. Matematicamente, o fenômeno de cristalização é modelado por
um sistema integro-diferencial que representa os balanços de população de cristais, de massa
e de energia, associado a equações constitutivas que representam as taxas de crescimento e
nucleação de cristais. Neste cenário, faz-se necessário, para cada tipo de solução, determinar
estes parâmetros para fins de controle e otimização deste processo. Diante do que foi
apresentado, este trabalho tem por objetivo determinar os parâmetros destas equações
constitutivas através da formulação e resolução de um problema inverso através da
aplicação do algoritmo de Colônia de Vagalumes. Os resultados obtidos demonstram que a
estratégia empregada configura-se como uma interessante estratégia para a resolução do
problema inverso proposto.
Palavras-Chave: Processo de cristalização, estimação de parâmetros,
constitutivas, algoritmo de colônia de vagalumes, problema inverso.
1.
equações
INTRODUÇÃO
A cristalização é uma operação unitária que tem como finalidade a obtenção de material
particulado de alta pureza, com grande aplicabilidade em processos químicos e farmacêuticos.
Tradicionamente, esta técnica tem sido empregada como um método para a separação de
misturas de substâncias representadas por materiais crus ou por produtos de reação. A
cristalização pode ocorrer com formação de partículas, como a solidificação de um líquido ou
com formação de sólidos dispersados em uma solução (Giulietti et al., 2001).
A cristalização pode ocorrer com formação de partículas, como a solidificação de um
líquido ou com formação de sólidos dispersados em uma solução, classificado em três fases.
A primeira fase é a geração da força motriz, que é ocasionada pela supersaturação. Esta ocorre
quando se consegue quantidade de soluto superior à quantidade de saturação, sem que ocorra
a precipitação do soluto. A segunda fase é a nucleação, que influencia significativamente o
tamanho dos cristais, a qual pode não existir quando se opera na região metaestável. Na
última fase da cristalização, o principal fenômeno envolvido é o crescimento dos cristais, que
envolve o transporte de massa do soluto de uma solução, para a superfície do cristal (Saito et
al., 2002; Santos, 2005).
Matematicamente, o fenômeno de cristalização é constituído por sistema integrodiferencial que modela o balanço da população de cristais, o balanço de massa e o balanço de
energia, associado a equações constitutivas que representam as taxas de crescimento e
nucleação de cristais (Myerson, 1993). Do ponto de vista prático, estas equações constitutivas
apresentam parâmetros que devem ser estimados para um conjunto de condições avaliadas
experimentalmente.
XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
Diante do que foi apresentado, a presente contribuição tem por objetivo determinar os
parâmetros das equações constitutivas no modelo do cristalizador empregando o Algoritmo de
Colônia de Vagalumes (ACV), proposto por Yang (2008). Este trabalho está estruturado
como segue: a seção 2 apresenta o modelo matemático que caracteriza o proceso de
cristalização, bem como a técnica empregada para a resolução do problema direto. Na seção 3
é apresentado a concepção do ACV, além da formulação do problema inverso. Os resultados
obtidos com a aplicação da metodologia proposta são apresentados na seção 4. Finalmente, as
conclusões e perspectivas são apresentadas na última seção.
2. MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROCESSO DE CRISTALIZAÇÃO
A modelagem matemática do processo de cristalização consiste dos balanços de massa e
de energia e da descrição da distribuição de tamanho de cristais (modelos de balanço
populacional), já que nesta operação unitária é produzida uma massa discreta de partículas de
vários tamanhos. A seguir são apresentadas as equações que descrevem o processo de
cristalização.
2.1 Balanço de Massa
O balanço material do soluto é realizado baseando-se no fato de que uma mudança de
concentração resulta em uma mudança da massa de cristais por unidade de volume. Neste
caso, o balanço de massa para o soluto que esta sendo cristalizado e para o solvente no
cristalizador pode ser representado pelo seguinte modelo matemático (Myerson, 1993; Costa,
2003):
∞
dC M fo
=
C fo − C ) − 3ρ c kv ∫ G ( L, t ) n ( L, t ) L2 dL
(
dt
M
0
(1)
onde C é a concentração de cristais, t é o tempo de operação, L é a dimensão característica do
cristal, M é a massa do solvente no cristalizador, Mfo e Cfo reprsentam o fluxo mássico de
solvente e a concentração de soluto, respectivamente, ρc é a densidade do cristal, kv é o fator
de forma referente ao volume, G é a taxa de crescimento, n é a função distribuição de
tamanho de cristais.
2.2 Balanço de Energia
Em se tratanto de cristalização por resfriamento, o fluxo de calor é removido do sistema.
Assim, o calor de cristalização é a quantidade de calor a ser adicionado ou removido a
temperatura constante durante a cristalização e é igual ao oposto do calor de solução que se
aplica quando cristais são dissolvidos em uma solução saturada (Myerson, 1993; Costa,
2003). Neste cenário, o balanço de energia genérico para um cristalizador deve considerar as
diferenças de entalpia das correntes de entrada e saída do cristalizador, o calor de cristalização
e o calor removido pelo sistema de resfriamento, conforme descrito pela seguinte equação
(Rawlings et al., 1993, 2001):
ρ C pVsusp
∞
dT d ( PVsusp )
=
− ∑ Qk H k − 3 ρ c kvV ∆H c ∫ n ( L, t ) G ( L, t ) L2 dL − UA c (T − Tc )
dt
dt
k
0
(2)
XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
onde T é a temperatura do cristalizador, Cp é o calor específico da lama, ρ é a densidade da
lama, ∆Hc é o calor de cristalização, V é vazão volumétrica, Vsusp é o volume total da
suspensão, P é a pressão dos sitema, Hk e Qk representam a entalpia por unidade de volume e
a vazão volumétrica da corrente k, n é a densidade de distribuição (da população), U é o
coeficiente de transferência de calor, Ac é a área de transferência de calor e Tc é a temperatura
do fluido refrigerante.
2.3 Balanço de População
Matematicamente, a população de cristais pode ser representada por uma função que
descreve a distribuição (em número, massa ou volume) dos mesmos. Uma população que
tenha um grande número de cristais pequenos e um pequeno número de cristais bastante
grandes pode ter sua representação em número com um aspecto bastante diferente da
representação dessa mesma população em massa, pois grande parte da massa da população
pode estar localizada na parte da população dos maiores cristais (Costa, 2003).
A distribuição do tamanho dos cristais pode ser prevista a partir do balanço do número de
partículas. Para essa finalidade, as equações de balanço de população são empregados para
descrever a forma como a distribuição de tamanho de uma população de cristais se
desenvolve no tempo como resultado de vários processos cinéticos (Rawlings et al., 1993,
2001). Genericamente, a equação geral para o balanço de densidade em número de um
cristalizador tendo volume V é dada por:
Vn
∂n ∂ ( Gn )
∂V
+
+n
+ D ( L) − B ( L) + ∑ k k = 0
∂t
∂L
V ∂t
V
k
(3)
onde o termo ∂n/∂t representa a mudança da densidade com relação ao tempo, ∂(Gn)/∂L
descreve a diferença entre cristais crescendo para dentro ou para fora do intervalo dL devido à
taxa de crescimento de cristal G=dL/dt, o termo n(∂V/V∂t) considera mudanças no volume em
relação ao tempo, os termos D(L) e B(L) representam as taxas de desaparecimento e
aparecimento, respectivamente, e o último termo fornece a soma de todos os fluxos de
partículas entrando e saindo do cristalizador (Costa, 2003).
O modelo descrito é formado por um sistema integro-diferencial que requer, para a sua
simulação, a utilização de equações constitutivas para os termos B, D e G. Estas equações,
que são funções de parâmetros, são determinados a partir do uso de dados experimentais via
formulação de um problema de otimização.
2.1 Resolução do Problema Direto
O sistema integro-diferencial apresentado pode ser resolvido a partir da aplicação de
inúmeras técnicas, dentre as quais pode-se citar: Método das Diferenças Finitas, Método dos
Volumes Finitos, Método dos Elementos Finitos, Colocação Ortogonal, Método dos
Momentos, Método das Características, Método das Classes (Myerson, 1993; Rawlings et al.,
1993, 2001; Costa, 2003; Shi et al, 2006; Mesbah, 2010).
Neste trabalho optou-se por empregar o Método dos Momentos para a resolução do
problema direto. Assim, por definição, o momento j é dado por:
XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
∞
µ j ≡ ∫ Lj n ( L ) dL
(4)
0
Fisicamente, o momento zero (µ0) fornece o número total de cristais no sistema. Já o
primeiro momento (µ1) fornece o comprimento total dos cristais do sistema. A área superficial
total do sistema é fornecida pela multiplicação do segundo momento (µ2) pelo fator de forma
em área, enquanto o volume total dos cristais é equivalente à multiplicação do terceiro
momento (µ3) pelo fator de forma em volume. A massa total de cristais é a multiplicação do
terceiro momento com a densidade dos cristais e o fator de forma em volume (Myerson, 1993;
Rawlings et al., 1993, 2001; Costa, 2003; Shi et al, 2006; Mesbah, 2010). Cabe ressaltar que,
para o processo de cristalização, a utilização de momentos fora os mencionados não tem
empregabilidade prática, assim, são considerados na prática, informações sobre o momento
zero, dois e três, já que o comprimento total dos cristais (µ1) é informação com pouca
aplicabilidade.
Com a aplicação do Método dos Momentos, a equação de balanço populacional é
transformada em um sistema de equações diferenciais ordinárias. Para essa finalidade,
multiplica-se o balanço de população por Lj e integra-se, resultando em equações em termos
dos momentos (Randolph e Larson, 1971):
∞
 ∂n
∫ L  ∂t +
j
0
∂ ( Gn )
∂L
+n
Vn
∂V
+ D ( L) − B ( L) + ∑ k k
V ∂t
V
k

 dL = 0

(5)
Para um sistema em regime de opearção batelada, considerando o crescimento
independente do tamanho e que os termos de aparecimento e desaparecimento podem ser
expressos em termos médios, o sistema de equação diferenciais para os três primeiros
momentos são dados por:
 µ0   B0 + B − D 

  
d  µ1   µ0 G + B − D 
=
dt  µ 2   2 µ1G + B − D 

  
 µ3  3µ 2 G + B − D 
(6)
onde a condição inicial para cada momento é computada a partir da distribuição inicial de
cristais no cristalizador de acordo com a Eq. (4).
3. ALGORITMO DE COLÔNIA DE VAGALUMES
O ACV é fundamentado na característica bio-luminescente dos vagalumes, insetos
coleópteros notórios por suas emissões luminosas. Dentre as funções desempenhadas por esta
luminescência pode-se enumerar (Yang, 2008): (i) ferramenta de comunicação e atração para
potenciais parceiros na reprodução; (ii) isca para atração de eventuais presas para o vagalume;
(iii) mecanismo de alerta para potenciais predadores.
A função da comunicação através dessa bioluminescência advém do fato observado de
que, em determinadas espécies de vagalumes, a taxa de intermitência e a intensidade dos
flashes luminosos é parte essencial do mecanismo que os vagalumes utilizam para o ritual de
acasalamento (as fêmeas são atraídas pelo brilho emitido pelos machos) (Yang, 2008).
XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
3.1 Descrição do Algoritmo
No algoritmo proposto por Yang (2008), as seguintes hipóteses são consideradas: (i) os
vagalumes não possuem sexo, portanto qualquer vagalume poderá atrair ou ser atraído; (ii) a
atratividade é proporcional ao brilho emitido e decai conforme aumenta a distância entre os
vagalumes (regra baseada em observação do comportamento animal); (iii) o brilho emitido
por um vagalume é determinado pela sua avaliação frente ao objetivo (i.e., quanto melhor
avaliado, mais brilhante), (iv) a atratividade de um vagalume é determinada pela intensidade
da luz emitida, e (v) a determinação da intensidade emitida é função de sua avaliação.
Neste sentido, a intensidade de emissão de luz de um vagalume é proporcional à função
objetivo, i.e., I(x) ≈ J(x), que decai em função da distância entre os vagalumes devido à
absorção da luz pelo meio. Assim, a intensidade percebida por um vagalume é dada por: I(r) =
Io×exp(γr2), em que Io é a intensidade da luz emitida; r é a distância Euclidiana entre os
vagalumes i e j, sendo i o vagalume mais brilhante e j o vagalume menos brilhante; e γ é o
parâmetro de absorção da luz pelo meio. O fator de atratividade ω, responsável pela
aproximação dos vagalumes, é definido como:
ω = ωo exp ( −γ r 2 )
(7)
em que ωo é a atratividade para uma distância r = 0. A movimentação em um dado passo de
tempo t do vagalume i em direção a um melhor vagalume j, em termos da função objetivo, é
definida como:
xit = xit −1 + ω ( x tj−1 − xit −1 ) + κ ( rand − 0 ,5 )
(8)
Na equação acima, o segundo termo do lado direito insere o fator de atratividade ω,
enquanto o terceiro termo, ponderado pelo parâmetro κ, regula a inserção de certa
aleatoriedade no caminho percorrido pelo vagalume, onde rand é um número aleatório entre 0
e 1.
Na literatura pode-se encontrar algumas aplicações do ACV, dentre as quais são citadas:
sincronização de sensores em rede (Werner-Allen et al., 2005), projeto de redes sem fio
(Leidenfrost e Elmenreich, 2008), otimização de funções matemáticas (Yang, 2008),
resolução de um problema inverso de condução de calor Luz et al. (2009), desenvolvimento
de uma estratégia auto-adaptativa usando modelos caóticos para a atualização dos parâmetros
do ACV (Lobato e Steffen Jr, 2010), projeto de sistemas de engenharia (Lobato et al, 2011a),
otimização de hidrociclones (Lobato et al., 2011b), estimação de parâmetros de controladores
em processos químicos (Souza et al, 2012), controle ótimo (Lobato et al, 2012), dentre outras
aplicações.
3.2 Formulação e Resolução do Problema Inverso
O problema inverso consiste na minimização do funcional F, ie., obter o valor do vetor de
variáveis de projeto de modo a minimizar o somatório dos desvios entre os valores
experimentais e os valores calculados pela resolução do problema direto, conforme a seguinte
equação:
nexp
F ≡ ∑ ( Ciexp − Cical )
i =1
2
(9)
XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
onde Ccal e Cexp são as concentrações calculadas e experimentais e nexp é o número de pontos
experimentais considerados.
Como em qualquer procedimento experimental existem erros de medida, tal aspecto será
considerado neste trabalho através de um ruído acrescido à solução calculada, com desvio
padrão conhecido, através da seguinte relação:
Ciexp = Cical + rζ
(10)
onde r é um número aleatório entre -1 e 1 e ζ o desvio padrão associado ao procedimento
experimental.
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Para aplicação da metodologia proposta será considerado o modelo de um cristalizador
batelada não isotérmico que produz cristais de sulfato de potássio proposto por Rawlings et al.
(1993) e estudado por vários autores (Rawlings et al., 2001; Shi et al, 2006; Paengjuntuek et
al, 2008; Gamez-Garcia et al, 2012). Matematicamente este é definido pelo seguinte sistema
de equações:
∞
dC
= −3ρ c kv G ( t ) ∫ n ( L, t ) L2 dL, C (0) = 0,1743
dt
0
(11)
∞
∆H c
UA c
dT
= −3ρ c kvV
G ( t ) ∫ n ( L, t ) L2 dL −
(T − Tc ) , T (0) = 50
dt
Cp
MC p
0
(12)
∂ (n)
∂n
+G
=0
∂t
∂L
B
n(0, t ) =
G
0,0032(300-L)(L -250)
n( L, 0) = 
0

(13)
250 µ m ≤ L ≤ 300 µ m
L < 250 µ m ou L > 300 µ m
(14)
onde B e D são nulos.
Para a simulação do problema direto são considerados as seguintes equações constitutivas
(Rawlings et al., 1993):
 C − Cs 
B = kb exp ( − Eb RT ) 

 Cs 
b ∞
 C − Cs 
G = k g exp ( − E g RT ) 

 Cs 
∫ L n ( L, t ) dL
3
(15)
0
g
(16)
onde Eb é a energia de ativação da nucleação, Eg é a energia de ativação do crescimento, b e g
são os exponetes relativos a taxa de nucleação e crescrimento para a supersaturação e Cs é a
concentração de saturação do soluto, dada por (Rawlings et al., 1993):
Cs = 6, 29 × 10-2 + 2, 46 × 10-3 T - 7,14 × 10-6 T 2
(17)
XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
onde a temperatura T é dada em oC. A temperatura Tj varia linearmente de 50oC a 30oC, o que
implica em resfriamento controlado.
4.1 Simulação do Problema Direto
Para resolver o sistema de equações foi empregado o Método dos Momentos, conforme
descrito na seção 2.1. Neste caso, as condições iniciais para o quatro primeiros momentos são
computados a partir integração da condição inicial para a distribuição de cristais (n(L,0))
conforme apresentado pela Eq. (14).
A Fig. 1 apresenta os perfis de concentração, temperatura e dos primieros quatro
momentos considerando os parâmetros definidos na Tab. 1 (Rawlings et al., 1993; 2001).
Tabela 1: Parâmetros considerados para a simulação do cristalizador batelada.
b (-)
1,45
g (-)
1,5
kb (min µm3)-1
1,710E4
kg (µm/min)
8,640E9
Eb/R (K)
7517
Eg/R (K)
4859
U (kJ/m2 minK)
300
Ac (m2)
0,25
44,5
3,8
∆Hc (kJ/kg)
Cp (kJ/Kkg)
3
2,66E-12
M (kg)
27,0
ρ (g/µm )
kv (-)
1,5
t (min)
30
700
µ1 (#µm/gsolvente)
µ0(#/gsolvente)
600
500
400
300
200
100
0
5
10
15
t (min)
20
25
1,0x10
5
8,0x10
4
6,0x10
4
4,0x10
4
2,0x10
4
30
0
5
10
15
20
25
30
25
30
t (min)
(a) µ0 (#/gsolvente).
(b) µ1 (#µm/gsolvente).
7
10
1,2x10
7
2,5x10
µ3 (#µm /gsolvente)
10
7
2,0x10
1,0x10
9
8,0x10
3
2
µ2 (#µm /gsolvente)
3,0x10
7
1,5x10
7
1,0x10
9
6,0x10
9
4,0x10
9
2,0x10
6
5,0x10
0
5
10
15
t (min)
20
(c) µ2 (#µm2/gsolvente).
25
30
0
5
10
15
t (min)
20
(d) µ3 (#µm3/gsolvente).
XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
50,0
0,1760
47,5
45,0
0,1650
0,1595
o
T ( C)
C (g/gsolvente)
0,1705
0,1540
42,5
40,0
0,1485
37,5
0,1430
35,0
0,1375
32,5
0,1320
30,0
0
5
10
15
t (min)
20
25
(e) Perfil de Concentração.
30
0
5
10
15
t (min)
20
25
30
(f) Perfil de Tempartura.
Figura 1: Perfis de Concentração, temperatura e momentos para o modelo do
cristalizador proposto.
Na Fig. 1(e) é possível observar que, assim como esperado, descresce com a evolução do
tempo, conforme os resultados obtidos por Shi et al (2006).
4.2 Resolução do Problema Inverso
Para a resolução do problema inverso, ie., identificação dos parâmetros [b g kb kg] foram
considerados os seguintes parâmetros no ACV: população com 50 vagalumes, número de
gerações igual a 250, coeficiente de absorção igual a 1 e coeficiente de atratividade igual a
0,9. É importante ressaltar que para os parâmetros considerados, são necessárias 50+50×250
avaliações da função objetivo em cada execução. Também são considerados ruídos da ordem
de 2, 5 e 7% para gerar os dados experimentais sintéticos. Cada um dos estudos de caso foram
simulados dez vezes com o seguinte vetor de sementes iniciais para o gerador de números
aleatórios rand do software Matlab® ([0 1 ... 9].
A Tab. 2 apresentam os resultados médios (e os desvios padrões) obtidos com a aplicação
do ACV na resolução do problema inverso.
Tabela 2: Resultados obtidos pelo ACV para o problema inverso.
g (-)
kb (s µm3)-1
kg (µm/s)
b (-)
Ruído (%)
1,45
1,5
1,710E4
8,640E9
F (Eq. (9))
1,4499
1,499
1,690E4
8,639E9
5,31E-9
0
(1E-5)
(1E-6)
(5E-4)
(2E-5)
(1,13E-11)
1,4394
1,489
1,652E4
8,623E9
4,15E-6
2
(1E-4)
(2E-5)
(1E-4)
(1E-5)
(3,43E-8)
1,4294
1,444
1,634E4
8,609E9
3,15E-5
5
(1E-3)
(1E-5)
(3E-3)
(4E-4)
(6,37E-7)
1,4097
1,404
1,605E4
8,568E9
2,22E-3
7
(1E-3)
(1E-3)
(1E-2)
(3E-3)
(2,33E-5)
A partir dos resultados apresentados na tabela acima é possível concluir que o ACV
foi capaz de estimar satisfatoriamente o valor dos parâmetros constitutivos. Além disso,
XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
conforme esperado, o aumento do ruído acrescido aos dados experimentais faz com que o
valor da função objetivo aumente em relação ao resultado obtido sem ruído.
5. CONCLUSÕES
Este trabalho teve por objetivo a determinação de parâmetros constitutivos no processo
de cristalização. Para essa finalidade, foram gerados dados experimentais sintéticos a partir da
resolução do problema direto usando o Método do Momentos, que transforma o problema
integro diferencial original em um sistema de equações diferenciais ordinárias. Os parâmetros
foram estimados usando o Algoritmo de Colônia de Vagalumes com diferentes sementes
iniciais para a obtenção dos valores médios apresentados. De forma geral observa-se, para os
estudos de caso propostos, que a metodologia apresentada configurou-se como uma
alternativa interessante para a resolução do problema inverso proposto. Como proposta de
trabalho futuros pode-se citar a utilização de dados experimentais reais para o levantamento
das equações constitutivas, além da formulação e da resolução de um problema de controle
ótimo.
Agradecimentos
Os autores agradecem a FAPEMIG e a CAPES pelo suporte financeiro deste trabalho.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Costa, C. B. B. “Modelagem e Controle Ótimo do Processo de Cristalização do Ácido Adípico”, Dissertação de
Mestrado, Universidade Estadual de Campinas, 2003.
Gamez-Garcia, V., Flores-Mejia, H. F., Ramirez-Muñoz, J., Puebla, H., “Dynamic optimization and robust
control of batch crystallization”, Procedia Engineering, 42, 471–481, 2012.
Giulietti, M., Seckler, M. M., Derenzo, S., Ré, M. I., Cekinski, E. “Industrial crystallization and precipitation
from solutions: state of the technique”. Brazilian Journal of Chemical Engineering, São Paulo, v. 18, n. 4, p.
423-440, 2001.
Leidenfrost, R., Elmenreich, W. (2008), “Establishing Wireless Time-Triggered Communication using a Firefly
Clock Synchronization Approach”. Proceedings of the 2008 International Workshop on Intelligent Solutions
in Embedded Systems, 1-18.
Lobato, F. S., Steffen Jr, V., (2010), “Desenvolvimento de uma Estratégia de Otimização Auto-Adaptativa
usando Modelos Caóticos de Busca e o Algoritmo Vagalume”. XIII Encontro de Modelagem Computacional,
Instituto Politécnico (IPRJ), Campus Regional da UERJ, Nova Friburgo/RJ, Brasil.
Lobato, F. S., Arruda, E. B., Cavalini Jr, A. Ap., Steffen Jr, V. (2011a), Engineering System Design using Firefly
Algorithm and Multi-objective Optimization, Proceedings of the ASME 2011 International Design
Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE
2011, Washington, DC, USA, August 28-31.
Lobato, F. S., Vieira, L. G. M., Barrozo, M. A. S., (2011b), “Estudo do Desempenho de Hidrociclones usando a
Metodologia de Superfície de Respostas e Otimização Multiobjetivo”. XIV Encontro de Modelagem
Computacional, Instituto Politécnico (IPRJ), Campus Regional da UERJ, Nova Friburgo/RJ, Brasil.
Lobato, F. S., Santos, K. G., Malagoni, R. A., (2012), “Resolução de Problemas de Controle Ótimo usando
Técnicas de Otimização Bio-Inspiradas na Natureza”. XIX Congresso Brasileiro de Engenharia Química,
Búzios-RJ.
Luz, E. F. P., Becceneri, J. C., Campos Velho, H. F., (2009), “Conceitualização do Algoritmo Vagalume e sua
Aplicação na Estimativa de Condição Inicial da Equação de Calor”. IX Workshop do Curso de Computação
Aplicada do INPE (WORCAP 2009), São José dos Campos.
Mesbah, A. “Optimal Operation of Industrial Batch Crystallizers - A Nonlinear Model-based Control
Approach”, Tese de Doutorado, 2010.
Myerson, A. S. “Handbook of Industrial Crystallization”. Boston: Butterworth-Heinemann, 242 p, 1993.
XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
Paengjuntuek, W., Kittisupakorn, P., Arpornwichanop, A., “Optimization and nonlinear control of a batch
crystallization process”, Journal of the Chinese Institute of Chemical Engineers, 39, p. 249–256, 2008.
Randolph, A. D., Larson, M. A., “Theroy of Particulate Processes”. 1st. ed. New York: Academic Press, Inc.,
251p, 1971.
Rawlings, J.B., Miller, S.M., Witkowski, W.R. “Model identification and control of solution crystallization
process”. Industrial & Engineering Chemistry Research, 32, 1275–1296, 1993.
Rawlings, J.B., Slink, C.W., Miller, S.M., “Control of crystallization processes”. In: Myerson, A.S. (Ed.),
Handbook of Industrial Crystallization, Second ed., pp. 201–230, 2001.
Saito, A. A., Igarashi, K., Azuma, M., Ooshima, H. “Aggregation of p-acetanisidide molecules in the under- and
super-saturated solution and its effect on crystallization”. Journal of Chemical Engineering of Japan, Tokyo,
v. 35, n. 11, p. 1133-1139, 2002.
Santos, L. M. B. “Obtenção de cristais ornamentais de sacarose”. Faculdades Associadas de Uberaba, 2005.
Shi, D, El-Farra, N. H., Li, M., Mhaskar, P., Christofides, P. D., “Predictive control of particle size distribution
in particulate processes”. Chemical Engineering Science, 61, p. 268-281, 2006.
Souza, D. L., Gedraite, R., Lobato, F. S. (2012), “A Comparative Study using Bio-Inspired Optimization
Methods Applied to Controllers Tuning”, Frontiers in Advanced Control Systems, Intech, 7-27.
Werner-Allen, G., Tewari, G., Patel, A., Welsh, M., and Nagpal, R. (2005), “Firefly-Inspired Sensor Network
Synchronicity with Realistic Radio Effects”. Proceedings of the Third International Conference on
Embedded Networked Sensor Systems, 142-153.
Yang, X.-S. (2008). “Nature-Inspired Metaheuristic Algorithms”. Luniver Press, Cambridge.
DETERMINATION OF CONSTITUTIVE PARAMETERS IN CRYSTALLIZATION
PROCESS USING FIREFLY COLONY ALGORITHM
Abstract. Among the unit operations in chemical engineering, the crystallization process is
one of most important due to the amount practical applications that can be found. This
operation has as principal purpose the obtaining of particulate material with high purity.
Mathematically, the crystallization phenomenon is modeled by an integro-differential
equations system that represents the crystals population, mass and energy balances
associated with constitutive equations that represent the nucleation and crystals growth rates.
In this case, it necessary, for each type of solution, to determine these parameters for
simulation, control and optimization. In this contribution, the parameters of these constitutive
equations are found through the formulation and solution of an inverse problem using the
Firefly Colony algorithm. The results demonstrate that the methodology proposed is
configured as an interesting strategy to solve the inverse problem formulated.
Palavras-Chave: Crystallization process, parameters estimation, constitutive equations,
firefly colony algorithms, inverse problem.