Resolução -Vestibular Insper 2015-1 Análise Quantitativa e Lógica
Por profa. Maria Antônia Conceição Gouveia.
1. A fila para entrar em uma balada é encerrada às 21h e, quem chega exatamente nesse horário, somente consegue
entrar às 22h, tendo que esperar uma hora na fila. No entanto, quem chega mais cedo espera menos tempo: a cada dois
minutos de antecipação em relação às 21h que uma pessoa consegue chegar, ela aguarda um minuto a menos para
conseguir entrar. Se uma pessoa não quiser esperar nem um segundo na fila, o horário máximo que ela deve chegar é
(a) 19h.
(b) 19h15min.
(c) 19h30min.
(d) 19h45min.
(e) 20h.
RESOLUÇÃO:
1
da hora.
60
No entanto, quem chega mais cedo espera menos tempo: a cada dois minutos de antecipação em relação às 21h que uma
pessoa consegue chegar,......
Supondo que determinada pessoa chegou com 2m minutos de antecipação, o seu horário de chegada pode ser
representado por:
2m
1260  2m
HC = 21 
 HC =
.
60
60
Se a cada dois minutos de antecipação em relação às 21h que uma pessoa consegue chegar, ela aguarda um minuto a
menos para conseguir entrar, o seu horário de entrada pode ser representado por
1260  2m 
m  1320  3m
HE 
 1   
60
60
 60 
O minuto representa
Para uma pessoa que entrou na balada no momento em que chegou na fila:
1260  2m 1320  3m

 1260  2m  1320  3m  m  60 .
60
60
1260  2m 1260  120 1140
Então H C 


 19h.
60
60
60
HC  H E 
RESPOSTA: Alternativa a.
2. Uma rede de cafeterias vende copos térmicos para que o cliente possa comprar seu café e levá-lo em seu próprio
recipiente. Como, nesse caso, a empresa economiza com os copos descartáveis, quando o cliente usa o copo térmico da
rede, recebe um desconto de R$0,25 no café. Para decidir se compraria um copo térmico, um cliente calculou que seria
necessário receber este desconto 397 vezes para que ele recuperasse o valor a ser pago no copo. O preço do copo
térmico é um valor entre
(a) R$85,00 e R$90,00.
(d) R$105,00 e R$110,00.
(b) R$90,00 e R$95,00.
(e) R$110,00 e R$115,00.
(c) R$95,00 e R$100,00.
RESOLUÇÃO:
O valor do desconto total calculado pelo cliente é de 397 × 0,25 = 99,25.
Logo o valor do copo está entre R$95,00 e R$100,00.
RESPOSTA: Alternativa c.
1
Utilize as informações a seguir para as questões 3 e 4.
O Sr. Antônio resolveu construir um poço em seu sítio. Ele passou ao engenheiro o esquema abaixo, indicando a
posição da piscina e do vestiário em relação à localização da casa.
3. O Sr. Antônio disse ao engenheiro que queria o poço numa localização que estivesse à mesma distância da casa, da
piscina e do vestiário. Para atendê-lo o engenheiro deve construir o poço na posição, em relação à casa, dada por,
aproximadamente,
(a) 4,2 m para o leste e 13,8m para o norte.
(d) 3,4m para o oeste e 12,5m para o norte.
(b) 3,8m para o oeste e 13,1m para o norte.
(e) 3,4m para o leste e 12,5m para o norte.
(c) 3,8m para o leste e 13,1m para o norte.
RESOLUÇÃO:
Representando o ponto onde o poço será localizado por P” (x, y), a casa
por C, a piscina por P e o vestuário por V, e sendo
P”P = P”V = P”C:

2
2
2
2
 ( x  0)  ( y  0)  ( x  12)  ( y  24)


 ( x  0) 2  ( y  0) 2  ( x  8) 2  ( y  20)
 x 2  y 2  x 2  24 x  144  y 2  48 y  576 24 x  48 y  720


 2
 x  y 2  x 2  16 x  64  y 2  40 y  400
16 x  40 y  464
 x  2 y  30
5 x  10 y  150
34


 9 x  34  x 
 3,777...

9
2 x  5 y  58 4 x  10 y  116 
 P’’(3,8; 13,1)
9 y  118
 x  2 y  30
 x  30  2 y




118  y  13,111....
2 x  5 y  58 60  4 y  5 y  58  y 
9

RESPOSTA: Alternativa c.
2
4. Aproveitando que iria iniciar uma obra, o Sr. Antônio decidiu construir uma quadra. Sua esposa, no entanto, exigiu as
seguintes condições para que se definisse a localização da quadra, para que ninguém viesse suado para a casa:
• as localizações da quadra, do vestiário e da casa devem estar sobre uma mesma linha reta;
• o vestiário deve ser um ponto do segmento de reta que liga a casa à quadra.
O Sr. Antônio fez uma anotação adicional em seu esquema para o arquiteto. Das opções a seguir, a única que atende às
exigências impostas pela esposa do Sr. Antônio é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
RESOLUÇÃO:
A equação da reta que passa pelos pontos C(0, 0) e V(-8,20) tem a
5
 20  0 
forma y  
x  b  y   x  b .

8

0
2


Como a reta determinada por esta equação passa no ponto C(0,0) o
5
valor de b é zero e a equação é y   x .
2
Nesta equação substituindo as coordenadas dos pontos determinados
em cada item, para verificar qual o ponto que satisfaz à equação e à
condição de pertencer ao segmento CQ (sendo Q o ponto onde será
construída a quadra) :
5
a) (20, 50)  50   (20)  50  50 (V);
2
5
b) (20, 50)  50   (20)  50  50 (F)
2
5
c) (4, 10)  10   (4)  10  10 (V);
2
5
d) (8, 20)  20   (8)  20  20 (V);
2
5
e) (8, 20)  20   (8)  20  20 (F).
2
5
x.
2
Porém apenas para Q (20,50), o ponto V(8, 20) pertence ao segmento CQ.
Os pontos (20, 50), (4, 10) e (8, 20) pertencem à reta y  
RESPOSTA: Alternativa a.
5. O rótulo de uma embalagem de suco concentrado sugere que o mesmo seja preparado na proporção de sete partes de
água para uma parte de suco, em volume. Carlos decidiu preparar um copo desse suco, mas dispõe apenas de copos
cônicos, mais precisamente na forma de cones circulares retos.
Para seguir exatamente as instruções do rótulo, ele deve acrescentar no copo, inicialmente vazio, uma quantidade de
suco até
(a) metade da altura.
(c) um oitavo da altura.
(b) um sétimo de altura.
(d) seis sétimos da altura.
(e) sete oitavos da altura.
3
RESOLUÇÃO:
A mistura do suco concentrado com a água vai ser na razão de 1/7, ou
seja, será constituído de 1 parte de suco e 7 partes de água, então, a
mistura será composta de 8 partes.
Logo a razão entre o volume de suco e o volume de mistura será de 1/8:
3
Vs
1 h
1
h 1
H
      h 
VM 8  H 
8
H 2
2
RESPOSTA: Alternativa a.
Utilize as informações a seguir para as questões 6 e 7.
Informação I
A figura a seguir exibe parte do gráfico da função f(x) = log0,85 x, cujo domínio é
{x  R | 0 < x ≤ 0,85}.
Observação: foram utilizadas escalas diferentes nos dois eixos para facilitar a visualização do gráfico.
Informação II
Um carro, que no ato da compra vale R$ 40.000,00, tem uma desvalorização de 15% ao ano. Ou seja, após um ano, o
carro tem, a cada instante, um valor 15% menor do que o valor que tinha exatamente um ano antes.
6. Para que o carro perca 80% do seu valor, é necessário que se passem
(a) entre 5 e 6 anos.
(c) entre 7 e 8 anos.
(e) entre 9 e 10 anos.
(b) entre 6 e 7 anos.
(d) entre 8 e 9 anos.
4
RESOLUÇÃO:
Como a desvalorização do carro é de 15% ao ano,
em cada novo ano o valor do carro passa a ser 85%
do seu valor no ano anterior, ou seja
V  0,85n .40000
Para que o carro perca 80% do seu valor, é
necessário que: 0,85n .40000  0,20.40000 
0,85n  0,20  n  log0,85 0,20 .
Analisando o gráfico conclui-se que o tempo
pedido se aproxima de 10 anos.
RESPOSTA: Alternativa e.
7. Passados 20 anos, o carro valerá cerca de
(a) R$ 600,00.
(c) R$ 6.000,00.
(b) R$ 1.600,00.
(d) R$ 16.000,00.
(e) R$ 25.000,00.
RESOLUÇÃO:
Passados 20 anos, o carro valerá cerca de
V  0,8520.40000
Pelo gráfico:
20  log0,85 0,04  (0,85) 20  0,04 
V  0,8520.40000  0,04.40000  V  1600
RESPOSTA: Alternativa b.
8. Considere que a seguinte afirmação é verdadeira:
“Se uma pessoa é inteligente, então ela tem opiniões bem embasadas ou está disposta a ouvir os
argumentos dos outros.”
Uma pessoa está disposta a ouvir os argumentos dos outros. Então,
(a) ela é inteligente.
(b) ela tem opiniões bem embasadas.
(c) se ela tiver opiniões bem embasadas, ela é inteligente.
(d) mesmo que tenha opiniões bem embasadas, pode não ser inteligente.
(e) se ela não tiver opiniões bem embasadas, não é inteligente.
5
RESOLUÇÃO:
Sejam as proposições:
p: “uma pessoa é inteligente”. (?)
q: “uma pessoa tem opiniões bem embasadas”. (?)
r: “uma pessoa está disposta a ouvir os argumentos dos outros”. (V)
(qr): “uma pessoa tem opiniões bem embasadas ou está disposta a ouvir os argumentos dos outros”
p(qr): “Se uma pessoa é inteligente, então ela tem opiniões bem embasadas ou está disposta a ouvir os argumentos
dos outros.”
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
r
V
V
V
V
qr
V
V
V
V
p(qr)
V
V
V
V

Pela tabela conclui-se que, sendo sempre verdadeira a proposição (qr), como r é verdadeira, q pode ser falsa
ou verdadeira.
 Sendo (qr) sempre verdadeira e p(qr) também verdadeira, p pode ser falsa ou verdadeira.
Então a única alternativa verdadeira é: “mesmo que tenha opiniões bem embasadas, pode não ser inteligente”.
RESPOSTA: Alternativa d.
9. Um determinado micro-organismo tem o seguinte ciclo de vida:
• 1 dia após ser gerado, produz 2 cópias de si mesmo;
• 2 dias após ser gerado, produz outras 2 cópias de si mesmo e, imediatamente, morre.
Considere uma cultura que, no início do dia 1, possuía apenas 1 micro-organismo, imediatamente após ser gerado. A
tabela a seguir mostra a evolução da população ao longo dos 3 primeiros dias.
Quantidade de
micro-organismos...
com 1 dia de vida
recém gerados
que acabaram de morrer
vivos, no total
no final do dia
1
1
2
0
3
Passados 6 dias, logo após as gerações e as mortes, a cultura terá
(a) 46 indivíduos.
(c) 564 indivíduos.
(b) 448 indivíduos.
(d) 1073 indivíduos.
no final do dia
2
2
6
1
8
no final do dia
3
6
16
2
22
(e) 2048 indivíduos.
RESOLUÇÃO:
Completando a tabela e representando com a mesma cor os micro-organismos e as suas duplicatas de acordo com as
informações:
Um determinado micro-organismo tem o seguinte ciclo de vida:
• 1 dia após ser gerado, produz 2 cópias de si mesmo;
• 2 dias após ser gerado, produz outras 2 cópias de si mesmo e, imediatamente, morre.
RESPOSTA: Alternativa b.
6
10. Uma universidade decidiu fazer uma análise sobre a quantidade de alunos cursando dependências, ou seja, aqueles
que foram reprovados em alguma matéria em determinado semestre e tiveram de cursá-la novamente no semestre
seguinte. As conclusões, todas referentes a uma mesma turma de um curso, foram:
• Cerca de 30% dos alunos tiveram dependência em pelo menos uma matéria ao término do 1o
semestre do curso;
• Ao término do 2o semestre, cerca de 80% dos que não cursavam dependências foram aprovados em todas as matérias,
ao passo que apenas 30% dos que cursavam alguma dependência foram aprovados em todas as matérias;
• As mesmas porcentagens do 2o semestre se repetiram ao final do 3o semestre.
Assim, ao término do 3o semestre, os alunos livres de dependências para o semestre seguinte representavam
(a) 35,0% da turma.
(c) 50,0% da turma.
(e) 65,0% da turma.
(b) 37,5% da turma.
(d) 62,5% da turma.
RESOLUÇÃO:
Alunos com dependência em pelo
menos uma matéria.
Alunos livres de dependência.
Início 2o
semestre
Início 3o semestre
Início 4o semestre
0,30
0,2×0,7+0,7×0,3=0,35
0,2×0,65+0,7×0,35=0,375
0,70
0,8×0,7+0,3×0,3=0,65
0,8×0,65+0,3×0,35=0,625
RESPOSTA: Alternativa d.
Utilize as informações a seguir para as questões 11 e 12.
Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do filme,
sendo que:
• nos 10 primeiros dias desse período, as vendas foram feitas exclusivamente nas bilheterias;
• nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultaneamente nas bilheterias e pela internet.
Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões,
até o tempo t.
11. Durante as vendas exclusivas nas bilheterias, a capacidade de atendimento dos guichês dos cinemas do mundo todo,
ao longo do tempo, era sempre a mesma, totalizando a venda de 2 milhões de ingressos por dia. Assim, o gráfico que
melhor descreve v(t) para esse período, em função de t, é
a)
b)
d)
e)
c)
7
RESOLUÇÃO:
Pelos dados da questão, são vendidos 2 milhões de ingressos por dia. A função em questão é definida pela equação v(t)
= 2t, sendo t dado em dias, e o valor de v(t), em milhões de ingressos.
Determinando os valores de v(t) para 0 dias e 10 dias, sucessivamente:
v(0) = 0 e v(10) = 20 milhões de ingressos.
Analisando os gráficos conclui-se que o gráfico é o da alternativa c.
RESPOSTA: Alternativa c.
12. No período de vendas simultâneas nas bilheterias e pela internet, a função v(t) é dada por:
v(t) = −0,1t2 + 4t − 10.
O número de ingressos vendidos apenas nos 10 dias que antecederam a exibição do filme foi
(a) 10 milhões.
(c) 30 milhões.
(e) 50 milhões.
(b) 20 milhões.
(d) 40 milhões.
RESOLUÇÃO:
O número de ingressos vendidos nos 10 dias que antecederam a exibição do filme foi de
v(20) – v(10) = (−0,1×400 + 4×20 – 10) – (−0,1×100 + 4×10 – 10) 
v(20) – v(10) = (− 40 + 80 – 10) – (−10 + 40 – 10)  v(20) – v(10) = 30 – 20 = 10
RESPOSTA: Alternativa a.
Utilize as informações a seguir para as questões 13 a 15.
A figura abaixo mostra o alvo de uma academia de arco e flecha. A pontuação que um jogador recebe ao acertar uma
flecha em cada uma das faixas circulares está indicada na respectiva faixa. O raio do círculo maior mede 60 cm, o do
menor mede 10 cm e a diferença entre os raios de quaisquer dois círculos consecutivos é de 10 cm. Todos os círculos
têm o mesmo centro.
13. A soma das áreas das faixas em cinza na figura é igual a
(a) 900π cm2.
(c) 1300π cm2.
2
(b) 1100π cm .
(d) 1500π cm2.
(e) 1700π cm2.
8
RESOLUÇÃO:
A área da faixa cinza da figura 1é: 2500 cm2 – 1600 cm2 = 900 cm2 .
A da figura 2 é: 900 cm2 – 400 cm2 = 500 cm2 .
A da figura 3 é: 100 cm2 .
A área pedida é 900 cm2 +500 cm2 + 100 cm2 = 1500 cm2 .
RESPOSTA: Alternativa d.
14. Para treinar, Rafael posicionou o seu arco a 5 metros do alvo e lançou uma flecha utilizando uma mira a laser,
mostrando que sua flecha foi lançada numa direção perpendicular ao plano do alvo, na direção do centro dos círculos.
Entretanto, o vento e o efeito da gravidade deslocaram sua flecha, que atingiu o alvo 12 cm para a esquerda e 9 cm para
baixo em relação ao centro dos círculos. Rafael afastou o arco para 15 metros de distância do alvo, mantendo a mesma
direção da mira e lançou mais uma flecha. Se o desvio provocado pelo vento e pelo efeito da gravidade nesse novo
lançamento se manteve proporcional à distância de lançamento, a pontuação correspondente à faixa em que essa
segunda flecha atingiu o alvo foi
(a) 10 pontos.
(c) 40 pontos.
(e) 160 pontos.
(b) 20 pontos.
(d) 80 pontos.
RESOLUÇÃO:
O primeiro lançamento da flecha está representado pela figura I.
O ponto central do alvo, e as ordenadas do ponto atingido pela flecha formam um triângulo retângulo de catetos 9cm e
12cm e hipotenusa OF = xcm.
Pelo Teorema de Pitágoras: x 2  144  81  x  225  x  15  OF = 15cm  o ponto F está na região cuja
pontuação é 160 pontos.
O segundo lançamento da flecha está representado pela figura II.
Como Rafael afastou o arco para 15 metros de distância do alvo, manteve a mesma direção da mira para o lançamento
da flecha, e o desvio provocado pelo vento e pelo efeito da gravidade nesse novo lançamento foi proporcional à
distância de lançamento, o segmento OF agora mede 3xcm = 45cm  40cm < OF < 50cm  o ponto F está localizado
na região cuja pontuação é 20 pontos.
RESPOSTA: Alternativa b.
9
15. O treinador de Rafael propôs a ele o cálculo de um índice de precisão que avalie a sua habilidade como atirador.
Para calculá-lo, Rafael precisa:
• multiplicar cada pontuação possível do alvo pela probabilidade de ele acertar uma flecha na
faixa correspondente;
• somar os resultados das multiplicações feitas para as 6 faixas.
Rafael registrou na tabela a seguir as pontuações que ele obteve durante um treino no qual ele lançou 200 flechas.
Pontuação
Acertos
10
20
20
30
40
40
80
50
160
40
320
20
Usando os dados da tabela para estimar as probabilidades, o índice de precisão de Rafael é
(a) 96.
(b) 97.
(c) 98.
(d) 99.
(e) 100.
RESOLUÇÃO:
Rafael teve um total de acertos igual a: (20+30+40+50+40+20) = 200.
Multiplicando cada pontuação possível do alvo pela probabilidade de ele acertar uma flecha na
faixa correspondente e somando os resultados:
20
30
40
50
40
20
I p  10 
 20 
 40 
 80 
 160 
 320 
 1  3  8  20  32  32  96
200
200
200
200
200
200
RESPOSTA: Alternativa a.
16. Na figura, AD é um diâmetro da circunferência que contém o lado BC do quadrado sombreado, cujos vértices E e
F pertencem à circunferência.
Se a é a medida do segmento AB e ℓ é a medida do lado do quadrado, então
(a)
5  2.
(b)
5 1
.
2
(c)
5 1
.
2
(d)
5
. (e)
2

é igual a
a
5 2.
RESOLUÇÃO:
Deve-se considerar que  e a são números estritamente positivos por
serem medidas de dois segmentos.
Na figura ao lado foi destacado o triângulo retângulo BOE cujos


lados medem , e a  .
2
2
2


Pelo Teorema de Pitágoras:     2   a 
2
 

2
2
 2  a 2  a   2  a  a 2  0   2  a  a 2  0   



2


 
2
2
       a  2a     
2
2
 
2 2
a  a 2  4a 2
aa 5


2
2
a 1 5
 1 5
 
2
a
2
RESPOSTA: Alternativa c.
10
17. Em uma noite, a razão entre o número de pessoas que estavam jantando em um restaurante e o número de garçons
que as atendiam era de 30 para 1. Em seguida, chegaram mais 50 clientes, mais 5 garçons iniciaram o atendimento e a
razão entre o número de clientes e o número de garçons ficou em 25 para 1. O número inicial de clientes no restaurante
era
(a) 250.
(b) 300.
(c) 350.
(d) 400.
(e) 450.
RESOLUÇÃO:
Considerando como x o número inicial de pessoas que estavam jantando no restaurante, y o de garçons que as atendiam
e sendo a razão entre x e y igual a 30, tem-se: x = 30y.
Como com a chegada de mais 50 clientes, o número de garçons aumentou em 5 passando a razão a ser de 25 clientes
para 1 garçon: x + 50 = 25(y + 5).
x  30y
30y  50  25y  125 y  15


Resolvendo o sistema: 
.
x  50  25(y  5) 5y  75
x  450
Então o número inicial de clientes era 450.
RESPOSTA: Alternativa e.
18. Uma empresa tem 15 funcionários e a média dos salários deles é igual a R$4.000,00. A empresa é dividida em três
departamentos, sendo que:
• A média dos salários dos 6 funcionários administrativos é igual a R$3.750,00.
• A média dos salários dos 4 funcionários de desenvolvimento de produto é igual a R$4.125,00.
A média dos salários dos outros funcionários, do departamento comercial, é igual a
(a) R$3.800,00.
(c) R$4.000,00.
(e) R$4.200,00.
(b) R$3.900,00.
(d) R$4.100,00.
RESOLUÇÃO:
Se a média dos salários dos 6 funcionários administrativos é igual a R$3.750,00, o total pago a esses funcionários é
R$3.750,00 × 6 = R$ 22.500,00.
Se a média dos salários dos 4 funcionários de desenvolvimento de produto é igual a R$4.125,00, o total pago a esses
funcionários é R$4.125,00× 4 = R$ 16.500,00.
Se a média dos salários dos outros 5 funcionários é igual a x reais, o total pago a esses 5 funcionários é 5x reais.
Como a média dos salários dos 15 funcionários da empresa é igual a R$4.000,00, o total da folha de pagamento da
empresa é R$4.000,00× 15 = R$ 60.000,00.
Tem-se a equação: 22.500 + 16.500 + 5x = 60.000  5x = 21.000  x = 4.200.
RESPOSTA: Alternativa e.
19. Um bazar beneficente arrecadou R$633,00. Nenhum dos presentes contribuiu com menos de R$17,00, mas também
ninguém contribuiu com mais de R$33,00. O número mínimo e o número máximo de pessoas presentes são,
respectivamente, iguais a
(a) 19 e 37.
(c) 20 e 38.
(e) 20 e 39.
(b) 20 e 37.
(d) 19 e 38.
RESOLUÇÃO:
*Sendo 633 = 33 × 19 + 6 e considerando-se que todos os presentes contribuíram no máximo com 33 reais, tem-se que
(19 + 1) é o número mínimo de pessoas presentes ao evento.
*Sendo 633 = 17 × 37 + 4 e considerando-se que todos os presentes contribuíram no mínimo com 17 reais, tem-se que
37 é o número máximo de pessoas presentes ao evento.
RESPOSTA: Alternativa b.
11
20. Para percorrer 1 km, o jovem Zeno adota a estratégia de dividir seu movimento em várias etapas, percorrendo, em
cada etapa, metade da distância que ainda falta até o ponto de chegada. A tabela mostra a distância percorrida por ele
em cada etapa.
Etapa
Distância percorrida (km)
1
1
2
1
2
4
1
3
8
.....
......
1
n
2
n
Ao final da etapa n, a distância total percorrida por Zeno será igual a
(a)
2n  1
2n
(b)
2n  1
2
n
(c)
n
2
(d)
n
2n  1
2
n
(e)
2n  1
2n
RESOLUÇÃO:
1 1 1
1 
As distâncias percorridas desde a etapa 1 determinam a PG.:  , , ,.....,  na qual a1 
4
8
2n 
2
termos igual a n.
1
2
, r
1
e o número de
2
n

1   1 
   1

n
2  2 
a  qn 1
  S   1  1  S  1  1  S  2  1
A soma dos termos dessa PG é: S n 
 Sn  
 n

n
n
n
1
q 1
2n
2n
2

1
2


RESPOSTA: Alternativa a.
21. Na figura, que mostra o gráfico da função polinomial p(x) = 3x3 − 16x2 + 19x, os valores a e c são tais que a + c = 4.
Dessa forma, o valor de c é igual a
(a) 1 + 7 .
(b) 2 +
3.
(c) 2 +
6.
(d) 3 +
2.
(e) 3 +
5.
12
RESOLUÇÃO:
p(x) = 3x3 − 16x2 + 19x  p(x) = x(3x2 − 16x + 19)
Pelo gráfico, a, b e c são números positivos e p(a) = p(b) = p(c) = 4  a, b e c são raízes da equação
p(x) =4  3x3 − 16x2 + 19x = 4  3x3 − 16x2 + 19x – 4 = 0.
(16) 16
16
A soma das raízes é igual a
.
 abc
3
3
3
16
16
4
Como a + c = 4, então, 4  b   b   4  b  .
3
3
3
(4)
4 4
abc  
 a(4  a)    a(4  a)  1  a 2  4a  1  0 
3
3 3
a
4  16  4
42 3
4
a 
, como 0  a   a  2  3
2
2
3
Sendo c = 4 – a  c  4  (2  3 )  c  2  3 .
RESPOSTA: Alternativa b.
22. Certa comunidade mística considera 2015 um ano de sorte. Para tal comunidade, um ano é considerado de sorte se,
e somente se, é formado por 4 algarismos distintos, sendo 2 pares e 2 ímpares. No período que vai do ano 1000 até o
ano 9999, o número total de anos de sorte é igual a
(a) 1680.
(b) 1840.
(c) 1920.
(d) 2160.
(e) 2400.
RESOLUÇÃO:
Os anos de sorte que começam por algarismo de paridade ímpar são em número de:
C5,1  (C4,1  C5,2 )  P3,3  5  (4 10)  6  1200 .
Os anos de sorte que começam por algarismo de paridade par são em número de:
C4,1  (C4,1  C5,2 )  P3,3  4  (4 10)  6  960 .
Então, no período que vai do ano 1000 até o ano 9999, o número total de anos de sorte é igual a
1200 + 960 = 2160.
RESPOSTA: Alternativa d.
23. A proposição “se você trabalhar muito, então você enriquecerá” é equivalente à proposição:
(a) “se você não trabalhar muito, então não enriquecerá”.
(b) “se você enriquecer, então você trabalhará muito”.
(c) “não trabalhe muito, ou você enriquecerá”.
(d) “se você enriquecer, então você não trabalhará muito”.
(e) “se você trabalhar muito, então não enriquecerá”.
RESOLUÇÃO:
Sejam as proposições p: “você trabalhar muito” e q: “você enriquecerá” .
Considerando que a proposição “se você trabalhar muito, então você enriquecerá” é verdadeira.
Tem-se:
(a) “se você não trabalhar muito, então não enriquecerá”.
(b) “se você enriquecer, então você trabalhará muito”.
(a)
(b)
p
q
~p
~q
q
p
pq
~p  ~q
qp
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
13
(c) “não trabalhe muito, ou você enriquecerá”.
(d) “se você enriquecer, então você não trabalhará muito”.
p
V
F
F
V
q
V
V
F
F
pq
V
V
V
F
~p
F
V
V
F
(c)
q
V
V
F
F
~p  q
V
V
V
F
q
V
V
F
F
(d)
~p
F
V
V
F
q  ~p
F
V
V
F
(e) “se você trabalhar muito, então não enriquecerá”.
(e)
p
q
p
~q
pq
p  ~q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
RESPOSTA: Alternativa c.
Utilize as informações a seguir para as questões 24 e 25.
Uma artista plástica está criando uma nova obra, que será um quadro com alto relevo de formas geométricas. Para
iniciar o projeto, ela desenhou o quadrado base da obra, mostrada abaixo.
Esse quadrado tem 40 cm de lado e o ponto P foi posicionado 8 cm para a direita e 8 cm para baixo do ponto A.
Traçando a diagonal do quadrado e tomando o ponto P como vértice, ela construiu o triângulo em preto e, usando a
simetria em relação à diagonal, ela construiu o triângulo em branco, com vértice no ponto Q.
Em seguida, reproduzindo esse quadrado base 16 vezes, ela construiu o quadro em relevo mostrado abaixo, elevando 2
tetraedros sobre cada quadrado base, cada um com altura de 6 cm em relação ao plano do quadrado base, conforme
ilustra a figura a seguir.
24. A área do triângulo PBC do quadrado base é igual a
(a) 320 cm2.
(b) 480 cm2.
(c) 640 cm2.
(d) 800 cm2.
(e) 960 cm2.
14
RESOLUÇÃO:
AP é diagonal do quadrado AEPG e mede 8 2 cm; AO é a metade da diagonal
AD , então mede 20 2 cm; então PO mede (20 2  8 2 )  12 2cm . AD  BC
porque são diagonais do quadrado ABCD, portanto têm a mesma medida 40 2 cm
.
A área do triângulo PBC é: S 
40 2  12 2
 480cm 2
2
RESPOSTA: Alternativa b.
25. Para garantir o efeito visual que desejava, a artista plástica fez as faces dos tetraedros de material transparente e
encheu com um líquido contendo material reflexivo. O volume de líquido necessário para encher todo o quadro é de,
aproximadamente,
(a) 45 litros.
(b) 47 litros.
(c) 49 litros.
(d) 51 litros.
(e) 53 litros.
RESOLUÇÃO:
Como a artista reproduziu o quadrado base 16 vezes, e construiu o quadro em relevo
mostrado ao lado, elevando 2 tetraedros sobre cada quadrado base, cada um com
altura de 6 cm em relação ao plano do quadrado base, o volume do material líquido
contido nos 4×4×2 tetraedros é:
1
40cm  40cm
32   6cm 
 51200cm 3  51,2dm3  51,2 .
3
2
RESPOSTA: Alternativa d.
 x y  x y 8

26. Considere dois números positivos x e y, com x > y, tais que 
2
2

 x  y  15.
Nessas condições, 2x é igual a
(a) 31.
(b) 32.
(c) 33.
(d) 34.
(e) 35.
RESOLUÇÃO:
 x  y  x  y  8
No sistema 
fazendo, a  x  y e b  x  y tem-se
 x  y  x  y  15.
a  b  8 b  8  a
a  5  x  y  5




Resolvendo este sistema: ab  15
a(8  a)  15 b  3  x  y  3
a  b  8
.

ab  15
.
2 x  34

 x  y  5  x  y  25 

  x  17  2 x  34

x y 9
x

y

3


y  8


RESPOSTA: Alternativa b.
15
27. No jogo da multiplicação unitária deve-se preencher cada um dos círculos sombreados na figura com um dos
números 1 ou −1. Em seguida, deve-se multiplicar os números dois a dois, obtendo um resultado para cada linha que
liga dois círculos. Por último, deve-se somar os resultados de todas essas multiplicações, obtendo o resultado do jogo.
O menor resultado que esse jogo pode ter é
(a) 0.
(b) −1.
(c) −2.
(d) −4.
(e) −6.
RESOLUÇÃO:
Se for feito o preenchimento
conforme se vê ao lado e efetuar-se
as devidas operações tem-se dois
resultados iguais a 6, dois resultados
iguais a 0 e um resultado igual a -2
que é o menor entre os resultados.
RESPOSTA: Alternativa c.
28. O gráfico abaixo representa o número de gols marcados (barras em cinza) e o número de gols sofridos (barras em
preto) por uma equipe de futebol de salão nos 10 jogos de um campeonato.
Em cada partida, o saldo de gols da equipe é dado pela diferença entre os gols marcados e os gols sofridos. A media dos
saldos de gols da equipe nesses dez jogos é igual a
(a) -0,3.
(b) -0,1.
(c) 0.
(d) 0,1.
(e) 0,3.
RESOLUÇÃO:
(3  1)  (4  2)  (2  4)  (5  1)  (4  4)  (2  4)  (5  5)  (3  4)  (2  5)  (4  1) 3

 0,3 .
10
10
RESPOSTA: Alternativa e.
16
29. A figura abaixo representa o gráfico da função f(x) = a cos(x) + b.
O soma a + b e a diferença b − a são, respectivamente, iguais a
(a) 3 e 1.
(b) 1 e −3.
(c) π e 1.
(d) −1 e π.
(e) 3 e −1.
RESOLUÇÃO:
f(x) = a cos(x) + b
Pelo gráfico tem-se:
Se x = 0  f(x) = 3  a + b = 3.
Se x =   f(x) = 1   a + b =  1  b  a = 1.
RESPOSTA: Alternativa e.
30. O número n de pessoas presentes em uma festa varia ao longo do tempo t de duração da festa, em horas, conforme
mostra o gráfico a seguir.
Das opções abaixo, aquela que melhor descreve a função n(t) é
(a) n(t) = −10t2 + 4t + 50.
(d) n(t) = −t2 + 40t.
2
(b) n(t) = −10t + 40t + 50.
(e) n(t) = −10t2 + 40t.
2
(c) n(t) = −10t + 4t.
RESOLUÇÃO:
O gráfico da função representada acima é uma parábola cuja equação é do tipo n(t) = at2 + bt .
Analisando o gráfico tem-se que n(0) = 0 e n(4) =0, logo 0 e 4 são raízes da função.
A equação da função pode ser escrita do seguinte modo: n(t) = a(t – 0)(t – 4)  n(t) = at(t – 4) .
Pelo gráfico a função atinge o valor máximo 40 pessoas exatamente às 2 horas do início da festa,
logo n(2) = 40  2a(2 – 4) = 40  –4a = 40  a = –10  n(t) = –10t2 + 40t.
RESPOSTA: Alternativa c.
17
31. Uma operadora de telefonia celular oferece a seus clientes dois planos:
Superminutos: o cliente paga uma tarifa fixa de R$100,00 por mês para os primeiros 200 minutos que utilizar. Caso
tenha consumido mais minutos, irá pagar R$0,60 para cada minuto que usou a mais do que 200.
Supertarifa: o cliente paga R$60,00 de assinatura mensal mais R$0,40 por minuto utilizado.
Todos os meses, o sistema da operadora ajusta a conta de cada um de seus clientes para o plano mais barato, de acordo
com as quantidades de minutos utilizadas. Nesse modelo, o plano Superminutos certamente será selecionado para
consumidores que usarem
(a) menos do que 60 minutos no mês.
(b) entre 40 e 220 minutos no mês.
(c) entre 60 e 300 minutos no mês
(d) entre 100 e 400 minutos no mês.
(e) mais do que 400 minutos no mês.
RESOLUÇÃO:
Custo da conta pelo Superminutos: C(t) = 0,60(t – 200) + 100  C(t) = 0,60t – 20.
Custo da conta pelo Supertarifa: C(t) = 0,40t + 60.
 0,60t – 20 < 0,40t + 60  0,20t < 80  t < 400
 0,40t + 60 > 100  0,40t > 40  t > 100.
 Nesse modelo, o plano Superminutos certamente será selecionado para consumidores que usarem
uma quantidade de minutos pertencente ao intervalo: 100 < t < 400.
RESPOSTA: Alternativa d.
32. A relação entre o investimento x (em milhões de reais) na propaganda para a divulgação de um produto e o número
k de potenciais consumidores (em milhões) atingidos por essa campanha é dada por uma função k(x), cujo gráfico está
representado a seguir.
Para avaliar o retorno dessa campanha, calculam-se dois índices, como se segue:
• identificam-se os valores x1, x2 e x3 para os quais 1, 2 e 4 milhões de potenciais consumidores
são atingidos, respectivamente:
x
• a razão 2 resulta no índice Ia;
x1
• a razão
x3
resulta no índice Ib.
x2
Ib  I a
é
Ib  I a
(c) 4.
Para a função k(x) acima, o valor de
(a) 2.
(b) 3.
(d) 5.
(e) 6.
18
RESOLUÇÃO:
Pelo gráfico:
1
Sendo x1   k(x1) = 1 milhão.
3
Sendo x2 = 1, k(x2) = 2 milhões.
Sendo x3 = 5, k(x3) = 4 milhões.
x2
1
 I a  Ia  1:  3
x1
3
x3
 Ib  Ib  5 :1  5
x2
Ib  I a 5  3 8

 4
Ib  I a 5  3 2
RESPOSTA: Alternativa c.
33. O esquema abaixo mostra as duas rodas dentadas e a correia do sistema de transmissão de uma bicicleta.
Considere que a correia se ajuste sem folga aos dentes de ambas as rodas. Se R é a medida do raio da circunferência que
R
dá forma à roda maior e r é a medida do raio da circunferência que dá forma à roda menor, então a razão
é igual a
r
(a) 2,0.
(b) 2,5.
(c) 3,0.
(d) 3,5.
(e) 4,0.
RESOLUÇÃO:
Analisando a figura percebe-se que a roda maior tem
4 ×5=20 dentes e a menor, 8 dentes.
Considerando-se que os comprimentos das rodas sejam
20 R
R
   2,5
proporcionais, tem-se:
8
r
r
RESPOSTA: Alternativa b.
19
Utilize as informações a seguir para as questões 34 e 35.
Considere o polinômio dado por p(x) = x3 – x2 − 22x + 40.
A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, dada por f(x) = α·p(x), em que α é um
número real.
34. O valor de α é
(a) 0,05. (b) 0,5.
(c) 2.
(d) 5.
(e) 20.
RESOLUÇÃO:
p(x) = x3 – x2 − 22x + 40 e f(x) = α·p(x).
Pelo gráfico f(2) = 0, f(0) = 2 e f(-1) = 3.
1
De f (0)  2   40  2   
   0,05.
20
RESPOSTA: Alternativa a.
35. A diferença entre a maior e a menor raiz de p(x) é igual a
(a) 5.
(b) 6.
(c) 7.
(d) 8.
(e) 9.
RESOLUÇÃO:
Analisando o gráfico conclui-se que 2 é uma das raízes de f(x) 
1
 p( x) , então 2 também é raiz de p(x). Conclui-se
20
que p(x) = x3 – x2 − 22x + 40 é divisível por x – 2 .
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
2
1
1
–1
1
–22
– 20
+ 40
0
Então, p(x) = (x – 2) (x2 + x – 20)  p(x) = (x – 2) (x + 5) (x – 4)  que as raízes de p(x) são 2, – 5 e 4 .
A diferença entre a maior e a menor raiz de p(x) é igual a 4 – (– 5) = 9.
RESPOSTA: Alternativa a.
20