SAÍDA DO MODELO BAROTRÓPICO DA ATMOSFERA PARA O REGIME
QUASE-GEOSTRÓFICO SOB A INFLUÊNCIA DO ATRITO TURBULENTO
Vladimir Kadychnikov
Darci Pegoraro Casarin
Universidade Federal de Pelotas
Abstract
The present study considers the barotropic model of the hydrostratic atmosphere in which
the mechanisms of vertical and horizontal turbulence mixing are included. The mechanisms
correspond to the approach used in hydrodynamic modeling of large scale atmospheric
processes. In the adiabatic case, the energy of all auto-oscillations of the model, i. e., of
Rossby waves, that satisfies the quasi-geostrophic balance, and of Lamb waves, that does
not satisfy it, is conserved. Therefore, any adjustment can not be established. When the
turbulence is included, Lamb waves attenuate much more rapidly than Rossby waves. This
provides the exit of the model to the quasi-geostrophic state.
1
Introdução
Uma propriedade importante dos processos atmosféricos da grande escala é que eles são
hidrostáticos e quase-geostróficos. Esta propriedade permite simplificar significativamente
as equações hidrotermodinâmicas básicas, usando-as na previsão numérica do tempo.
Entretanto, das leis fundamentais físicas, a saber, a segunda lei de Newton, o primeiro
princípio da termodinâmica e condição da continuidade, a propriedade hidrostática e
quase-geostrófica, no caso adiabático, não decorre.
2
Balanço
As equações hidrotermodinâmicas linearizadas admitem três tipos de auto-oscilações da
atmosfera: ondas de Rossby e também ondas acústicas e de gravidade. Observações
mostram que em processos da grande escala praticamente não há ondas acústicas e as
amplitudes das ondas de gravidade são pequenas. A ausência das ondas acústicas permite
usar modelos hidrostáticos da atmosfera os quais não têm estas ondas. O pequeno papel
das ondas de gravidade permite usar os modelos quase-geostróficos os quais não têm ondas
acústicas e nem de gravidade (Holton, 1992).
A razão da ausência das ondas acústicas, que aliás violentariam o balanço hidrostático dos
processos de grande escala, e do pequeno papel das ondas de gravidade, que aliás
violentariam o balanço quase-geostrófico, não é bastante clara. Realmente, os trabalhos
conhecidos da teoria do ajustamento geostrófico (Rossby, 1937; Obukhov, 1949; Kibel,
1955; Blumen, 1972) consideram o processo do ajustamento dos desvios no plano infinito,
sob a condição que eles são inicialmente localizados. Porém, se a região é periódica, como
a Terra, cada auto-oscilação, no modelo adiabático, conserva a sua energia. Esta
circunstância importante leva a óbvia consequência: o caráter dos desvios atmosféricos (o
grau da proximidade deles ao balanço hidrostático ou geostrófico) não muda com o tempo.
Por isso, se não existir algum mecanismo adicional diabático, que filtre as ondas que
violentam o balanço, então os desvios arbitrários não atingirão o balanço.
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Possível Mecanismo do Ajustamento
Lorenz (1986) exprimiu uma idéia que no modelo numérico hidrostático (isto é, já sem
ondas acústicas), caso os desvios sejam inicialmente arbitrários, as amplitudes das ondas de
gravidade (que são admissíveis pelo modelo na mesma forma como as ondas de Rossby,
importantes para o tempo) devem diminuir por causa do atrito turbulento. Por isso, o
próprio modelo vai entrando no regime quase-geostrófico.
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Modelo
Um modelo hidrotermodinâmico mais simples possível para justificar esta idéia é o modelo
hidrostático barotrópico porque ele, por um lado, é bastante simples, e, por outro lado, junto
com as ondas de Rossby, que cumprem o balanço quase-geostrófico, admite as ondas de
Lamb, que se propagam com a velocidade do som e não cumprem o balanço.
O atrito turbulento foi incluido no modelo da seguinte maneira. O mecanismo turbulento
principal na atmosfera é a mistura turbulenta na camada limite planetária (CLP).
Considerando-a estacionária e homogênea, para a velocidade vertical na fronteira superior
da camada, obtemos o valor
w=
ν vert
∆Φ ,
2f 3
(1)
onde ν vert é o coeficiente da mistura turbulenta vertical, f é o parâmetro de Coriolis, ∆Φ é
o laplaciano plano do geopotencial (Kibel, 1957; Holton, 1992). De acordo com Kibel
(1957), a influência da CLP pode ser levada em conta considerando toda a atmosfera como
sendo livre, mas a velocidade vertical na sua fronteira inferior não será igual a zero, como
no caso adiabático, mas igual ao valor (1), isto é, o tamanho da CLP (cerca de 1 km) pode
ser desprezado em comparação com toda a atmosfera. Além disso, na atmosfera existe a
mistura turbulenta horizontal. Para tê-la em conta, adicionamos às equações do movimento
horizontal e à termodinâmica os laplacianos planos das funções correspondentes com o
coeficiente da mistura turbulenta horizontal ν hor .
As equações do modelo barotrópico da atmosfera no plano β, linearizadas em relação ao
escoamento U, tendo em vista ambos estes fatores diabáticos, podem ser escritas como
u t + Uu x + Φ x − fv = ν hor ∆u ,
ζ t + Uζ x + fD + βv = ν hor ∆ζ ,
(2)
′ ∆Φ,
Φ t + UΦ x + c 2 D = ν vert
onde u, v são as componentes horizontais do vento, a vorticidade ζ = v x − u y , a divergência
D = ux + vy ,
coeficiente
c 2 = RT (R é a constante dos gases, T é a temperatura média no solo), o
′ =g
ν vert
ν vert
,
2f 3
(3)
g é a aceleração da gravidade.
5
Auto-oscilações
Procuramos a solução do sistema (2) das equações com os coeficientes constantes na forma
das ondas elementares
ψ = ψˆ exp i (kx + ly − λt )
(ψ ≡ u, v, Φ ) .
(4)
Colocando as apresentações (4) nas equações (2), obtemos a seguinte equação cúbica em
relação a λ
~
~ ~ 2 σ2
~~
c2k 2 β
x + ( β + iν ) x − ( 2 − iβ ν ) x −
− iν~ = 0.
f
f2
3
Aqui
′ − ν hor )
λ − Uk + iν hor ρ 2
ρ 2 (ν vert
~ β
, ν~ =
, β = , ρ 2 = k 2 + l 2, σ 2 = c2 ρ 2 + f 2.
f
f
kf
(5)
No caso adiabático ( (ν vert = ν hor = 0) , todas as três raízes da equação cúbica são reais, isto
é, as amplitudes das ondas (4) não dependem do tempo. Por isso, nenhum ajustamento,
neste caso, acontece.
x=
Para as ondas longas, os valores aproximados das raízes são
~
f2 2 2 β
x1 = − 2 (c k
+ iν~ ),
σ
f2
σ
1
x 2,3 = ± −
c2k 2 + f
2
f 2σ
[(
2
)β~ + ic
2
]
ρ 2ν~ .
Por isso, todas as ondas (auto-oscilações) tornam-se atenuadas. Mas os decrementos
logarítmicos da atenuação das ondas de Rossby (primeira solução) e as de Lamb (segunda
e terceira soluções), como vemos, são diferentes. Usando as denotações (5), obtemos
Imλ1 =
6
ρ2 2
′ + c 2 ρ 2ν hor ),
( f ν vert
2
σ
Imλ 2,3 =
ρ2
σ2
 c2 ρ 2

c2 ρ 2 + 2 f 2
′ +

ν vert
ν hor  .
2
 2

(6)
Condições do Ajustamento. Conclusões
As condições do ajustamento exigem que o primeiro valor (6) seja menor do que o
segundo. Daqui segue que
′ > ν hor .
ν vert
(7)
Em modelagem numérica dos processos de escala grande, habitualmente usam-se os
valores
ν vert ≈ 4 m 2 s −1 ,
ν hor ≈ 5 ⋅ 10 5 m 2 s −1 .
′ ≈ 1,4 ⋅ 10 7 m 2 s −1 , isto é, a desigualdade (7) é obedecida
Nesse caso, de acordo com (3), ν vert
com grande certeza. O mecanismo do ajustamento é muito efetivo, isto é, a velocidade do
estabelecimento do balanço, sob a influência da turbulência, é alta. Na realidade, para o
tempo de vida das ondas longas de Lamb com comprimento, por exemplo, de 3.000 km,
usando os valores mencionados dos coeficientes da mistura turbulenta, obtemos, de acordo
com (6), somente 4 horas. Dentro deste período, a amplitude da onda de Rossby diminui
apenas 2%.
7
Referências Bibliográficas
Blumen, W., 1972: Geostrophic adjustament. Rev. Geophys. and Space Phys., 10, 485-528.
Holton, J. R., 1992: An introduction to dynamic meteorology. Academic Press. New York.
Kibel, I. A., 1955: On the adjustment of atmospheric motion to the geostrophic. Dokl.
Akad. Nauk USSR, 104(1), 60-63.
Kibel, I. A., 1957: Introduction to hydrodynamic methods of short-term weather prediction.
Gostekhizdat, Moscou.
Lorenz, E. N., 1986: On the existence of a slow manifold. J. of Atm. Scie., 43, No 15,
1547-1557.
Obukhov, A. M., 1949: On the question of the geostrophic wind. Izv. Akad. Nauk USSR,
Ser. Geogr. and Geophys., 4, 281-306.
Rossby, C. G., 1937: On the mutual adjusment of pressure and velocity distributions in
certain simple current systems. I. Maritime Res., 1, 15-28.