MODELAGEM MATEMÁTICA UTILIZANDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Virgínia Moreira Justo (PIBIC/CNPq-UNICENTRO), Maria José de Paula
Castanho (Orientadora), e-mail: [email protected]
Universidade Estadual do Centro-Oeste /Setor de Ciências Exatas
Guarapuava-PR.
Palavras-chave:
movimento.
ballet
clássico,
equações
diferenciais
ordinárias,
Resumo:
Muitos fenômenos na Física são descritos por meio de equações
diferenciais. Este trabalho tem por objetivo, o estudo de Equações
Diferenciais Ordinárias e suas soluções. São aplicadas para descrever
movimentos de rotação e trajetória no ballet clássico, e, o caminhar de uma
pessoa.
Introdução
A modelagem matemática é considerada uma importante ferramenta para o
estudo de Física, uma vez que proporciona a elaboração de modelos
matemáticos que resultam da interpretação de problemas físicos. Tendo em
mente que a ciência é empírica e teórica, os fenômenos observados
empiricamente devem ser representados teoricamente, podendo assim
recorrer ao modelo matemático.
O objetivo deste trabalho, além de estudar as soluções analíticas de
diversas equações diferenciais ordinárias [1], é aplicá-las para modelar
problemas reais que envolvem fenômenos físicos, mais precisamente, a
Mecânica Clássica. As aplicações visam descrever alguns movimentos do
ballet clássico, envolvendo conceitos como rotação, equilíbrio, e trajetória
[2]. Além disso, estudar a equação que Kokshenev [3] utilizou para
descrever o caminhar de um ser humano.
Materiais e Métodos
Algumas grandezas físicas como velocidade e aceleração, podem ser
representadas por meio de derivadas, e como equações diferenciais são
equações que envolvem uma função incógnita e suas derivadas, além de
outras variáveis dependentes [4], são apropriadas para descrever
fenômenos físicos como movimento. A seguir, são descritos alguns
movimentos do ballet clássico [5] e do caminhar [3].
Anais da SIEPE – Semana de Integração Ensino, Pesquisa e Extensão
26 a 30 de outubro de 2009
Ballet Clássico
Movimentos de rotação, como pirueta (rotação em torno de um eixo vertical ,
em que um dos pés é mantido no chão), são comuns na dança. A bailarina
 dL 


dt


começa este movimento com uma posição seguida por um torque
 dw 


exercido contra o chão. Este torque causa a aceleração angular  dt  que
produz o movimento de rotação. Para descrever o torque utiliza-se o
momento de inércia (I ) que depende da massa do corpo (m) e sua
distribuição relativa ao eixo de rotação (r). Para calculá-lo utiliza-se a
Segunda Lei de Newton para o movimento:
dL 1
dw
= m.r 2
dt 3
dt .
(1)
dθ 

dθ
L= I

= w
dt  , em que dt
O momento angular 
é a velocidade angular, é
constante se não há torque agindo sobre um corpo. Desta forma, uma
bailarina girando em torno de seu eixo vertical de rotação (r) com os braços
estendidos e com velocidade angular ( w1 ) tem momento de inércia em
relação ao eixo igual a I 1 . Fechando os braços, o momento de inércia
diminui para I 2 e sua velocidade angular passa a ser ( w2 ) . Como o
momento angular é constante porque não há nenhuma força agindo sobre
ela ( I 1 w1 = I 2 w2 ) , a velocidade aumenta ( w2 > w1 ) .
Saltos envolvem aceleração vertical e forças. Por causa da ação da
gravidade, o salto só é possível se houver uma força vertical maior que o
peso do corpo (mg), suficiente para alcançar a velocidade desejada. Para
obter força suficiente, uma bailarina deve estar na posição denominada plié.
Saltos combinados com movimentos horizontais, como o grand jeté,
produzem trajetórias como movimentos de projéteis. Uma vez que o corpo
perde o contato com o chão, o centro de gravidade seguirá uma trajetória
parabólica que é completamente determinada pelas condições iniciais no
solo. Começará com uma velocidade (v 0 ) que diminuirá enquanto a bailarina
sobe no ar até alcançar a altura máxima (v = 0) . A seguir, diminui a
aceleração até alcançar o chão. Supõe-se que, quando a velocidade é (v 0 ) ,
o centro de gravidade do corpo faz um ângulo θ com o solo. A velocidade
v = v 0 senθ
inicial tem, então, as componentes: v 0 x = v0 cos θ e 0 y
. Uma vez
dv x
= 0
que não há aceleração horizontal, isto é dt
, a componente x da
Anais da SIEPE – Semana de Integração Ensino, Pesquisa e Extensão
26 a 30 de outubro de 2009
velocidade é constante. Como a aceleração vertical é constante, isto é
dv y
= c
v = v 0 y − gt
dt
, a componente y é dada por y
. Desta forma, tem-se a
trajetória em x e y em função do tempo t:
dx
vx =
dt ⇒
t
∫v
x=
0
t
0x
dx
⇒
x = v0 x t
(2)
dy
1
⇒ y = ∫ v0 y dy ⇒ y = v0 y t − gt 2
dt
2
0
A equação geral da trajetória pode ser obtida eliminando-se a variável t.
2
v0 y
g x 
gx 2

y=
x − 
y = xtgθ −
v0 x
2  v0 x 
x = y0 = 0
2v 0 cos θ .
Fazendo 0
tem-se
ou
Esti
l nae pqi2 a
ngern p i ` éNVpudV`quctedo(m V
p `que çte `eliu j`eli€
vy =
(5)
Fy (t ) = mg + mw02 [ ∆ h0 cos( w0 t ) − ∆ h1 cos(2 w0 t )]
As soluções das equações diferenciais não homogêneas, então, são
encontradas, como:
(2
)
()
.
3
1
( )²