Momento de Inércia
e
Conservação do Momento Angular
(Demonstração)
Física I
Semestre ímpar 2009/2010
Objectivos
• Usando a definição de momento de inércia, determinar experimentalmente
em relação ao mesmo eixo os momentos de inércia de
• um disco
• um anel
• um sistema constituído pelo disco e pelo anel
• Verificação experimental da conservação do momento angular
• Determinação do momento de inércia de um anel usando a dinâmica do
sistema.
Momento de Inércia
de um disco
usando a definição de momento de inércia
Momento de Inércia do disco em relação a um eixo que passa pelo CM usando a definição
1
I D = M D DD2
8
DD
[%δ(I D )] = [%δ(M D )] + 2 × [%δ(DD )]
Onde,
δ(M D )
[%δ(M D )] =
×100
MD
δ(DD )
[%δ(DD )] =
× 100
DD
A incerteza do momento de inércia do disco é dada por
[
%δ(I D )]
δ( I D ) =
× ID
100
Cálculo do Momento de Inércia do disco em relação a um eixo que passa pelo CM
M D = (1421.14 ± 0.01) g
DD
I D = 9.27512 ×10 −3 kg m 2
[%δ(I D )] = 0,7%
1
I D = M D DD2
8
4 alg. sig. por RM6b
DD = 228.5 ± 0.5 mm
[%δ(M D )] = 0.0008%
[%δ(DD )] = 0.3%
I D = 9.275 ×10 −3 kg m 2
δ(I D ) = 6.49 ×10 −5 kg m 2
I D = (9.28 ± 0.07 )× 10 −3 kg m 2
δ(I D ) = 7 ×10 −5 kg m 2
Momento de Inércia
de um anel
usando a definição de momento de inércia
Momento de Inércia do anel em relação a um eixo que passa pelo CM usando a definição
D1
D2
(
1
I A = M A D12 + D22
8
)
∂I A
∂I A
∂I A
δ( I A ) =
× δ(M A ) +
× δ(D1 ) +
× δ(D2 )
∂M A
∂D1
∂D2
Onde,
1
∂I A
= D12 + D22
∂M A 8
(
)
;
∂I A 1
= M A D1 ;
∂D1 4
∂I A
1
= M A D2
∂D2 4
A incerteza do momento de inércia do anel é dada por
(
)
1 2
1
1
2
δ(I A ) = D1 + D2 × δ(M A ) + M A D1 × δ(D1 ) + M A D2 × δ(D2 )
8
4
4
Cálculo do Momento de Inércia do anel em relação a um eixo que passa pelo CM
D1
(
1
I A = M A D12 + D22
8
D2
1
M A D12 = 2.0693 ×10 −3 kg m 2
8
De acordo com RM6b
Logo, de acordo com RM6a
)
M A = (1428.49 ± 0.01) g
D1 = 107.65 ± 0.05 mm
D2 = 127.90 ± 0.05 mm
e
1
M A D22 = 2.9210 × 10 −3 kg m 2
8
I A = 4.9903 ×10- 3 kg m 2
Cálculo da incerteza usando a equação geral de propagação de incertezas
∂I A
× δ(M A ) = 3.49 ×10 −8 kg m 2
∂M A
∂I A
× δ(D1 ) = 1.922 × 10 −6 kg m 2
∂D1
∂I A
× δ(D2 ) = 2.284 × 10 −6 kg m 2
∂D2
δ(I A ) = 4.241×10 −6 kg m 2
I A = (4.990 ± 0.005)× 10 −3 kg m 2
Momento de Inércia
do conjunto disco+anel
usando a definição de momento de inércia
Cálculo do Momento de Inércia do conjunto disco+anel em relação ao eixo da figura
I D+ A = I D + I A
δ( I D + A ) = δ( I D ) + δ( I A )
I D = (9.28 ± 0.07 )× 10 −3 kg m 2
I D + A = 14.270 ×10 −3 kg m 2
I A = (4.990 ± 0.005)× 10 −3 kg m 2
δ(I D + A ) = 0.075 × 10 −3 kg m 2
I D + A = (14.27 ± 0.08)× 10 −3 kg m 2
Conservação
do
Momento angular
Conservação do momento linear
Quando o momento das forças exteriores resultante em relação ao eixo de rotação é um
vector nulo, existe conservação do momento angular do sistema disco+anel.




dL
= ∑τ ext = 0 ⇒ L é constante
dt
Como o eixo de rotação é fixo:
L = Iω

L

L
Logo,
Lt1 = Lt2

I Dωt1 = I D + Aωt2
Instante t1
Instante t2
Conservação do momento linear
Resultados experimentais
O momento angular antes da colisão
O momento angular depois da colisão
Lt1 = I Dωt1
Lt2 = I D + Aωt2
I D = (9.28 ± 0.07 )× 10 −3 kg m 2
I D + A = (14.27 ± 0.08)× 10 −3 kg m 2
[%(I D )] = 0.8%
[%(I D + A )] = 0.6%
(%δ(ω )) = (%δ(ω )) = 5%
t1
t2
⇒
(%δ( L )) = (%δ( L )) = 6%
t1
Segue-se a realização da experiência
(Conservação do momento angular.xls)
t2
Momento de Inércia
de um disco
estudando a dinâmica do sistema em rotação em torno de um eixo fixo,
desprezando o atrito no eixo de rotação
Determinação do Momento de Inércia usando a dinâmica do sistema de rotação
Disco
Disco
Base
Massa
suspensa
Massa suspensa

T1

a1
Y

mg



T1 + mg = ma1
⇓
− T1 + mg = ma1
d

T2

a2
Equações de ligação
T1 = T2
a1 = a2 = a
md 2 ( g − a )
ID =
4a
Segue-se a realização da experiência
(Momento de inercia disco pelo estudo dinâmico.xls)
∑τ = I
αD
D
⇓
d
T2 × = I Dα D
2
⇓
αD =
2a2
d
2a2
d
T2 × = I D
2
d
Momento de Inércia
de um disco
estudando a dinâmica do sistema em rotação em torno de um eixo fixo,
considerando o atrito no eixo de rotação
Determinação do Momento de Inércia usando a dinâmica do sistema de rotação
(Modelo que considera o atrito no eixo de rotação)
Disco considerando atrito no eixo
O disco a rodar acaba por
parar devido ao atrito de
rotação no eixo

T2
Instante t1
∑τ = I
d
⇓

a2
d
T2 × + τ atrito = I Dα D
2
αD =
Instante t2
τ atrito = I Dα atrito
Corpo suspenso
T2 = m( g − a )
d 2 m( g − a )
ID =
4a − 2dα atrito
αD
D
2a2
d
⇓
τ atrito = I Dα atrito
2a2
d
T2 × + I Dα atrito = I D
2
d
Equação de ligação
Segue-se a realização da experiência
(Momento de inercia disco pelo estudo dinâmico.xls)
a1 = a2 = a