o
anglo
resolve
a prova de
Conhecimentos
Específicos
da UNIFESP
A cobertura dos vestibulares
de 2004 está sendo feita
pelo Anglo em parceria com
a Folha Online.
É trabalho pioneiro.
Prestação de serviços com tradição de confiabilidade.
Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefa
de não cometer injustiças.
Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do Anglo.
No final, um comentário sobre as disciplinas.
A Universidade Federal de São Paulo — Escola Paulista de Medicina
(UNIFESP) é uma instituição pública voltada exclusivamente para a área da
Saúde.
Oferece os seguintes cursos (todos em período integral):
Tecnologia Oftálmica — 20 vagas
Ciências Biológicas (modalidade médica) — 30 vagas
Enfermagem — 80 vagas
Fonoaudiologia — 33 vagas
Medicina — 110 vagas
Seu vestibular é realizado numa única fase, em três dias consecutivos,
com provas de quatro horas de duração, assim distribuídas:
1º dia: Prova de Conhecimentos Gerais (peso 1) — 90 testes de múltipla
escolha, de Matemática, Física, Química, Biologia, História e
Geografia (15 testes de cada disciplina).
2º dia: Prova de Língua Portuguesa (35 testes), Língua Inglesa (15 testes)
e uma Redação dissertativa (valendo 50 pontos). Essa prova tem
peso 1.
3º dia: Prova de Conhecimentos Específicos (peso 2) — 25 questões discursivas, sendo 7 de Biologia, 6 de Química, 6 de Física e 6 de
Matemática.
A classificação final é a média ponderada das notas das 3 provas.
Observação: a Unifesp utiliza a nota dos testes do ENEM, aplicando-a de
acordo com a seguinte fórmula:
9,5 × CG + 0,5 × E
10
Código: 83589024
em que CG é a nota da prova de Conhecimentos Gerais e E é a nota da
parte objetiva do ENEM. O resultado só é levado em conta se favorece o
candidato.
▼
BI OLO GI A
Questão 01
Os espermatozóides estão entre as células humanas que possuem maior número de mitocôndrias.
a) Como se explica a presença do alto número dessas organelas no espermatozóide?
b) Explique por que, mesmo havendo tantas mitocôndrias no espermatozóide, dizemos que a herança mitocondrial é materna.
Resolução:
▼
a) O alto número de mitocôndrias nos espermatozóides está relacionado ao fato de se tratar de uma célula móvel (flagelada), o
que requer um alto consumo de energia.
b) As mitocôndrias do espermatozóide, localizadas na peça intermediária, normalmente não penetram no óvulo, por ocasião da
fecundação. Dessa forma, as mitocôndrias de um indivíduo, qualquer que seja seu sexo, são exclusivamente de origem
materna.
Questão 02
O esquema representa parte da membrana plasmática de uma célula eucariótica.
a) A que correspondem X e Y?
b) Explique, usando o modelo do “mosaico fluido” para a membrana plasmática, como se dá a secreção de produtos do meio
intracelular para o meio extracelular.
Resolução:
▼
a) X corresponde a uma camada dupla de fosfolipídeos, enquanto Y representa uma molécula de proteína.
b) As vesículas de secreção têm seu conteúdo delimitado por uma membrana lipoprotéica, semelhante à membrana plasmática.
A vesícula se desloca até a superfície da célula, onde ocorre a fusão entre as camadas bilipídicas da membrana da vesícula e
as da membrana plasmática. Como resultado, o material de secreção passa para o meio extracelular.
Questão 03
Analise os gráficos seguintes.
(Modificados de P. Jordano. Fruits and Frugivory, 1992.)
a) Considerando P, Q e Z, qual deles corresponde a água, a carboidratos e a fibras?
b) Com base no gráfico da semente, explique sucintamente qual a vantagem adaptativa de se apresentar tal proporção de
carboidratos, lipídios, proteínas e água na composição de seus tecidos.
UNIFESP/2004
3
ANGLO VESTIBULARES
Resolução:
▼
a) P corresponde aos carboidratos, Q à água, e Z às fibras.
b) A pequena quantidade de água existente na semente mantém o estado de dormência, até ocorrerem as condições ideais para
a germinação. A proporção das demais substâncias garante, por ocasião da germinação, o fornecimento de energia
(carboidratos e lipídios) e de material de construção (proteínas, carboidratos e lipídios).
Questão 04
Temperatura
corpórea (ºC) →
Analise o gráfico seguinte, que mostra a variação da temperatura corpórea de um mamífero endotérmico (homeotérmico)
durante a hibernação.
Tempo (dias) →
Variação da taxa metabólica
(unidades arbitrárias) →
a) De onde provém a energia necessária para a elevação da temperatura corpórea desse animal no fim do período de hibernação?
b) Considerando o fenômeno apresentado, copie em seu caderno de respostas o gráfico seguinte e faça um esquema representando como seria a variação da taxa metabólica (consumo de energia) desse animal em função do tempo.
Tempo (dias) →
Resolução:
▼
Variação da taxa metabólica
(unidades arbitrárias) →
a) No fim do período de hibernação, a energia necessária para a elevação da temperatura corpórea provém diretamente, sob
a forma de calor, da oxidação da reserva de gordura acumulada em algumas partes do corpo, no período que precedeu a
hibernação.
b)
Tempo (dias) →
Questão 05
Um geneticista estudou dois grupos, I e II, portadores de uma doença genética que se manifestava da seguinte maneira:
UNIFESP/2004
4
ANGLO VESTIBULARES
O pesquisador concluiu que não se tratava de uma doença com herança dominante ou recessiva ligada ao sexo, porém teve
dúvida se se tratava de herança autossômica recessiva ou autossômica dominante com penetrância incompleta.
a) O que levou o pesquisador a concluir que não se tratava de herança ligada ao sexo?
b) Por que o pesquisador teve dúvida quanto ao tipo de herança autossômica?
Resolução:
▼
a) Não se trata de uma herança dominante ligada ao sexo, porque, neste caso, as filhas de homens afetados seriam necessariamente doentes, o que não é o caso. Também não é uma herança recessiva ligada ao sexo, pelo que se observa na mulher da
geração F3 do grupo II: sendo ela afetada, seu pai deveria também ser afetado, o que não ocorre.
b) O número de pessoas analisado nos dois grupos é uma amostra pequena, insuficiente para permitir ao pesquisador decidir
entre a hipótese de herança autossômica recessiva ou de herança dominante com penetrância incompleta.
Questão 06
Alguns grupos radicalmente contrários ao uso de organismos geneticamente modificados (transgênicos) na agricultura divulgaram recentemente, no Sul do país, um folheto à população alertando sobre os perigos da ingestão de transgênicos na alimentação. Entre as advertências, constava uma que afirmava incorretamente que “para serem criadas plantas transgênicas são
usados os vírus da AIDS” e que tais plantas, se ingeridas, poderiam infectar com o vírus da AIDS toda a população.
a) O que são transgênicos ou organismos geneticamente modificados (OGMs)?
b) Explique por que o vírus da AIDS não poderia infectar uma planta e por que a ingestão de uma planta transgênica não seria
capaz de transmitir o vírus da AIDS.
Resolução:
▼
a) Organismos transgênicos são aqueles que recebem e expressam um ou mais genes da mesma ou de outra espécie.
b) O vírus da AIDS somente penetra nas células humanas que tenham receptores específicos, que não existem em células
vegetais. Pelo fato de o vírus da AIDS ser incapaz de infectar uma planta e nela se reproduzir, o consumo de um vegetal
transgênico não representaria nenhum perigo de infecção, mesmo que o vírus da AIDS tivesse sido usado como vetor.
Questão 07
Observe atentamente os dois gráficos apresentados.
(Programa Nacional de Imunização, Ministério da Saúde)
UNIFESP/2004
5
ANGLO VESTIBULARES
a) O gráfico 2 indica claramente a ocorrência de epidemias de sarampo em dois anos distintos no Brasil. Para reduzir rapidamente e de imediato o número de doentes durante uma epidemia, é mais eficiente o uso do soro ou da vacina? Justifique.
b) Considere, nos dois gráficos, o ano de 1997. É mais correto supor que, ao longo desse ano, os resultados representados no
gráfico 1 tenham influenciado os resultados representados no gráfico 2 ou o inverso? Justifique.
Resolução:
a) No caso de uma epidemia, seria mais eficiente a utilização do soro terapêutico. Isso porque, no soro, existem anticorpos
específicos que irão promover a imediata neutralização dos antígenos presentes no organismo do doente.
b) É mais razoável supor que, para o ano de 1997, os resultados representados no gráfico 2 (incidência de cerca de 20% da
doença) tenham influenciado os resultados representados no gráfico 1 (cobertura de vacinação próxima a 100%). Isso
porque a eclosão de um grande número de casos da doença, ao longo do ano, pode ter estimulado as pessoas — alertadas
ou não por campanhas públicas — a uma maior procura de proteção para seus filhos, por meio da vacinação.
UNIFESP/2004
6
ANGLO VESTIBULARES
▼
QUÍMICA
Questão 8
Na reciclagem de plásticos, uma das primeiras etapas é a separação dos diferentes tipos de materiais. Essa separação pode ser feita
colocando-se a mistura de plásticos em líquidos de densidades apropriadas e usando-se o princípio do “bóia, não bóia”. Suponha
que um lote de plásticos seja constituído de polipropileno (PP), polietileno de alta densidade (PEAD), poliestireno (PS) e cloreto de
polivinila (PVC), cujas densidades são dadas na tabela.
Densidade (g/cm3)
Material
PP
0,90 - 0,91
PEAD
0,94 - 0,96
PS
1,04 - 1,08
PVC
1,22 - 1,30
O esquema de separação desses materiais é:
PP, PEAD, PS, PVC
PP, PEAD
flutuam
água
PS, PVC
depositam-se
solução aquosa de
cloreto de sódio
solução aquosa
de etanol
PP
flutua
PS
flutua
PEAD
deposita
PVC
deposita
a) Para a separação PP-PEAD, foi preparada uma solução misturando-se 1000 L de etanol com 1000 L de água. Ela é adequada para esta separação? Explique, calculando a densidade da solução. Suponha que os volumes são aditivos. Dados
de densidade: água = 1,00 kg/L e etanol = 0,78 kg/L.
b) Desenhe um pedaço da estrutura do PVC e explique um fator que justifique a sua densidade maior em relação aos outros
plásticos da tabela.
Resolução:
a) Volume da mistura água-álcool = 2000L
Massa da mistura:
• massa de água = 1000L ⋅ 1,00kg/L = 1000kg
• massa de etanol = 1000L ⋅ 0,78kg/L = 780kg
• massa total = 1000+ 780 = 1780kg
Densidade da mistura:
d=
m 1780 kg
=
= 0, 89 kg / L
V
2000 L
—
• grupos cloro com massa atômica relativamente elevada;
H
—
• cadeia carbônica sem ramificações com grupos orgânicos;
H
—
b) Analisando a estrutura do cloreto de polivinila (PVC), observaremos:
—
Como os plásticos PP e PEAD, segundo a tabela do enunciado, possuem densidades superiores à da solução, os dois plásticos
afundariam, o que não permitiria a separação entre eles.
⋅⋅⋅ C — C ⋅⋅⋅
H
• ligações polares entre carbono e cloro.
Cl
n
Todos esses fatores contribuem para maior compactação molecular e maior massa por unidade de volume, o que conduz para
uma elevada densidade.
UNIFESP/2004
7
ANGLO VESTIBULARES
▼
Questão 9
Íons bário, Ba2+, são altamente tóxicos ao organismo humano. Entretanto, uma suspensão aquosa de BaSO4 é utilizada como
contraste em exames radiológicos, pois a baixa solubilidade desse sal torna-o inócuo. Em um episódio recente, várias pessoas
faleceram devido a ingestão de BaSO4 contaminado com BaCO3. Apesar do BaCO3 ser também pouco solúvel em água, ele
é tóxico, pois reage com o ácido clorídrico do estômago, liberando Ba2+.
Suponha que BaSO4 tenha sido preparado a partir de BaCO3, fazendo-se a sua reação com solução aquosa de H2SO4, em
duas combinações diferentes:
I. 2,0 mol de BaCO3 e 500 mL de solução aquosa de H2SO4 de densidade 1,30 g/mL e com porcentagem em massa de 40%.
II. 2,0 mol de BaCO3 e 500 mL de solução 3,0 mol/L de H2SO4.
a) Explique, utilizando cálculos estequiométricos, se alguma das combinações produzirá BaSO4 contaminado com BaCO3.
b) Calcule a massa máxima de BaSO4 que pode se formar na combinação II.
Resolução:
a)
I 2,0 mol BaCO3
V = 500 mL = 0,5 L H2SO4
d = 1,30 g/mL = 1300 g L–1
40% em massa =
τ = 0,4
Massa Molar H2SO4 = 98 g mol –1
ηη =
τ⋅d
M
=
0, 4 ⋅ 1300 g L– 1
98 g mol – 1
5,30 mol  1,0 L
x
 0,5 L
= 5, 30 mol L– 1
x=
5, 30 ⋅ 0, 5 L
= 2, 65 mol H2SO 4
1, 0 L
BaCO3 (s) + H2SO4 (aq) → BaSO4 (s) + H2O (l) + CO2 (g)
1 mol  1 mol  1 mol
2,0 mol  2,65 mol  2 mol
excesso
Nessa combinação, o BaCO3 (s) é totalmente consumido, logo o BaSO4 (s) formado não será contaminado com
BaCO3 (s).
II 2,0mol de BaCO3
V = 500mL = 0,5L H2SO4
ηη = 3,0molL–1
x=
1,0L ——— 3,0mol H2SO4
0, 5 L ⋅ 3, 0 mol
1, 0 L
0,5L ——— x
x = 1,5mol H2SO4
BaCO3(s) + H2SO4(aq) → BaCO4(s) + H2O(l) + CO2(g)
1mol ——— 1mol ———
1mol
2mol ——— 1,5mol ——— 1,5mol
excesso 0,5mol
Nessa combinação, teremos a formação de BaSO4(s) contaminado com BaCO3(s) , devido ao seu excesso.
b) BaCO3(s) + H2SO4(aq) → BaSO4(s) + H2O(l) + CO2(g)
1mol ——— 1mol
1mol ——— 233g
1,5mol ——— x
x=
UNIFESP/2004
233 g ⋅ 1, 5 mol
= 349,5g BaSO4
1 mol
8
ANGLO VESTIBULARES
▼
VH2(cm3)
Questão 10
60
Foi feito um estudo cinético da reação Mg + 2H + → Mg2+ + H2, medindo-se o
volume de H2 desprendido em função do tempo. O gráfico mostra os dados
50
obtidos para duas concentrações diferentes de ácido: curva A para HCl,
2 mol/L, e B para HCl, 1 mol/L. Em ambos os casos, foi usada a mesma
massa de magnésio.
30
A(HCl 2M)
40
B(HCl 1M)
20
10
a) Usando o gráfico, explique como varia a velocidade da reação com o tempo.
Por que as duas curvas tendem a um mesmo valor?
b) Deduza a ordem da reação com relação à concentração do ácido, usando os
dados de velocidade média no primeiro minuto da reação.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 t(min.)
Resolução:
a) O volume de hidrogênio gasoso desprendido tende a um valor constante, portanto a velocidade de reação diminui com o tempo.
As duas curvas tendem ao mesmo valor (mesmo volume de H2(g)) porque a quantidade de hidrogênio gasoso produzida em
A é igual à produzida em B, o que implica quantidades iguais (em mols) de ácido clorídrico, que efetivamente reage nos dois
casos.
b) B (HCl 1 M) Vm =
15 cm 3
= 15 cm 3 ⋅ min – 1
1 min
A (HCl 2 M) Vm =
30 cm 3
= 30 cm 3 ⋅ min – 1
1 min
Ao ser dobrada a concentração do ácido (HCl), a velocidade da reação dobrou, logo a ordem da reação em relação ao HCl
é igual a 1 (1ª ordem).
Utilizando-se esses dados, a equação da velocidade poderia ser dada por:
▼
V = K [HCl]
Questão 11
As vitaminas C e E, cujas formas estruturais são apresentadas a seguir, são consideradas antioxidantes, pois impedem que outras
substâncias sofram destruição oxidativa, oxidando-se em seu lugar. Por isso, são muito utilizadas na preservação de alimentos.
CH2OH
—
—
—
OH
—
—
—
H3C
—
HO
CH3 CH3 CH3 CH3
— — — — — — —
— — — — — —
O
—
O
—
—
—
O
—
HCOH
—
—
CH3
HO
CH3
Vitamina C
Vitamina E
A vitamina E impede que as moléculas de lipídios sofram oxidação dentro das membranas da célula, oxidando-se em seu lugar. A
sua forma oxidada, por sua vez, é reduzida na superfície da membrana por outros agentes redutores, como a vitamina C, a qual
apresenta, portanto, a capacidade de regenerar a vitamina E.
a) Explique, considerando as fórmulas estruturais, por que a vitamina E é um antioxidante adequado na preservação de
óleos e gorduras (por exemplo, a margarina), mas não o é para sucos concentrados de frutas.
b) Com base no texto, responda e justifique:
— qual das duas semi-reações seguintes, I ou II, deve apresentar maior potencial de redução?
I. Vit. C (oxidada) + ne– ←
→ Vit. C
II. Vit. E (oxidada) + ne– ←
→ Vit. E
— qual vitamina, C ou E, é melhor antioxidante (redutor)?
UNIFESP/2004
9
ANGLO VESTIBULARES
Resolução:
Vitamina C
Vitamina E
Polaridade
da
molécula
alta
baixa
Solubilidade em
sucos de frutas
(soluções aquosas)
alta
baixa
Solubilidade em
óleos e gorduras
(ésteres)
baixa
alta
a)
Um antioxidante é eficiente no material no qual consegue se dissolver. O elevado número de grupos hidroxila mostra que
a molécula de vitamina C deve ser solúvel em água e pouco solúvel em ésteres (moléculas praticamente apolares). Ao
contrário, a estrutura da vitamina E, com apenas um grupo hidroxila e uma longa cadeia carbônica, indica uma molécula
pouco polar, adequada para dissolver-se em óleos e gorduras.
b) Dentro da membrana celular:
Vit. E → Vit. E (oxidada) + n e–
Na superfície da membrana:
Vit. E (oxidada) + Vit. C → Vit. E + Vit. C (oxidada)
redução
oxidação
▼
Essa equação química mostra que a vitamina E apresenta maior potencial de redução. Portanto a vitamina C sofre oxidação mais facilmente, sendo um redutor (anti-oxidante) mais eficiente.
Questão 12
Ácido maléico e ácido fumárico são, respectivamente, os isômeros geométricos cis e trans, de fórmula molecular C4H4O4.
Ambos apresentam dois grupos carboxila e seus pontos de fusão são, respectivamente, 130 ºC e 287 ºC.
a) Sabendo que C, H e O apresentam as suas valências mais comuns, deduza as fórmulas estruturais dos isômeros cis e
trans, identificando-os e explicando o raciocínio utilizado.
b) Com relação aos pontos de fusão dos isômeros, responda qual tipo de interação é rompida na mudança de estado,
explicitando se é do tipo inter ou intramolecular. Por que o ponto de fusão do isômero cis é bem mais baixo do que o do isômero
trans?
Resolução:
O
—
—
O
C
H
—
—
OH
OH
C
—
—
O
—
C
C
—
—
—
HO
C
—
—
H
—
—
C
C — OH
—
—
C
—
—
—
—
H
—
—
—
a) As condições para a existência da isomeria geométrica (cis-trans) em compostos de cadeia aberta são:
— uma dupla entre carbonos;
— grupos ligantes diferentes em cada carbono da dupla.
Assim, as fórmulas estruturais correspondentes à fórmula C4H4O4 são:
H
O
ácido maleico
(cis)
ácido fumárico
(trans)
Um dos critérios normalmente utilizados para identificar o isômero cis é o seguinte:
• cis: apresenta grupos ligantes iguais do mesmo lado de um plano imaginário contido ao longo da dupla ligação entre
carbonos.
UNIFESP/2004
10
ANGLO VESTIBULARES
—
—
b) Durante a fusão, ocorrem quebras de ligações intermoleculares. No caso dos ácidos maleico e fumárico, ocorrem, predominantemente, as quebras das ligações de hidrogênio.
O ponto de fusão do ácido maleico é menor que o do ácido fumárico, pois, no primeiro, parte das ligações de hidrogênio são
intramoleculares
O
C—O—H
—
—
H
—
—
C
—
—
O
C
—
H
—
—
C
O—H
▼
Além disso o ácido fumárico (trans) pode formar trímeros, tetrâmeros, entre outros, ou seja, estruturas maiores, ao passo
que o ácido maleico só pode formar dímeros.
Questão 13
Ácido acético e etanol reagem reversivelmente, dando acetato de etila e água.
Ácido acético (l) + etanol (l) ←
→ acetato de etila (l) + água (l)
A 100ºC, a constante de equilíbrio vale 4.
a) Calcule a quantidade, em mol, de ácido acético que deve existir no equilíbrio, a 100ºC, para uma mistura inicial contendo
2 mol de acetato de etila e 2 mol de água.
b) Partindo-se de 1,0 mol de etanol, para que 90% dele se transformem em acetato de etila, a 100ºC, calcule a quantidade de
ácido acético, em mol, que deve existir no equilíbrio. Justifique sua resposta com cálculos.
Resolução:
→ Acetato de etila(l) + Água(l)
Ácido acético(l) + Etanol(l) ←
a)
Início:
Equilíbrio:
Kc =
0 mol
0 mol
2 mol
2 mol
Forma-se
Forma-se
Gasta-se
Gasta-se
x
x
x
x
x mol
x mol
2-x mol
2-x mol
[ Acetato de Etila] ⋅ [ Água] , a 100ºC teremos:
[ Ácido Acético] ⋅ [E tan ol]
2 − x mol 2 − x mol
⋅
VL
VL
4=
x mol
x mol
⋅
VL
VL
4=
(2 – x)2
2
⇒
4=
x
2x = 2 – x ⇒ 3x = 2
2
x=
3
Logo, teremos
(2 – x)2
x
2
⇒2=
2–x
x
2
mol de ácido acético.
3
→ Acetato de etila(l) + Água(l)
Ácido acético(l) + Etanol(l) ←
b)
Início:
x mol
1 mol
0 mol
0 mol
Gastam-se
Gastam-se
Formam-se
Formam-se
0,9 mol
0,9 ⋅ 1 mol
0,9 mol
0,9 mol
0,1 mol
0,9 mol
0,9 mol
Equilíbrio: x – 0,9 mol
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11
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Kc =
[ Acetato de etila] ⋅ [ Água] , a 100ºC teremos:
[ Ácido acético] ⋅ [E tan ol]
0, 9 mol 0, 9 mol
⋅
VL
VL
0, 9 ⋅ 0, 9
4=
⇒4=
0,1 mol
x − 0, 9 mol
x
– 0, 9) ⋅ 0,1
(
⋅
VL
VL
0,4 (x – 0,9) = 0,81 ⇒ 0,4x – 0,36 = 0,81
0,4x = 1,17 ⇒ x = 2,925
Quantidade de Ácido acético no equilíbrio: x – 0,9 .
Logo: 2,925 – 0,9 = 2,025 mol
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▼
F ÍSICA
Questão 14
É comum vermos, durante uma partida de voleibol, a bola tomar repentinamente trajetórias inesperadas logo depois que o
jogador efetua um saque. A bola pode cair antes do esperado, assim como pode ter sua trajetória prolongada, um efeito inesperado para a baixa velocidade com que a bola se locomove. Quando uma bola se desloca no ar com uma velocidade v e girando com velocidade angular ω em torno de um eixo que passa pelo seu centro, ela fica sujeita a uma força FMagnus = k ⋅ v ⋅ ω.
Essa força é perpendicular à trajetória e ao eixo de rotação da bola, e o seu sentido depende do sentido da rotação da bola,
como ilustrado na figura. O parâmetro k é uma constante que depende das características da bola e da densidade do ar.
FMagnus
ω
ω
ν
ν
ar
ar
FMagnus
Esse fenômeno é conhecido como efeito Magnus. Represente a aceleração da gravidade por g e despreze a força de resistência
do ar ao movimento de translação da bola.
a) Considere o caso em que o saque é efetuado na direção horizontal e de uma altura maior que a altura do jogador. A bola
de massa M segue por uma trajetória retilínea e horizontal com uma velocidade constante v, atravessando toda a extensão
da quadra. Qual deve ser o sentido e a velocidade angular de rotação ω a ser imprimida à bola no momento do saque?
b) Considere o caso em que o saque é efetuado na direção horizontal, de uma altura h, com a mesma velocidade inicial v,
mas sem imprimir rotação na bola. Calcule o alcance horizontal D da bola.
Resolução:
a) Como a bola está em movimento retilíneo e uniforme, a resultante das forças sobre ela é nula.
As únicas forças que agem na bola são a força peso e a força devida ao efeito magnus. Dessa forma, essa força deve ser
vertical e para cima, portanto a rotação da bola deve ser no sentido anti-horário.
P = Fmagnus
M⋅g=k⋅v⋅ω
⇒
ω=
M⋅g
k⋅v
0
v
x
b) Após o saque, a única força que age na bola é o peso.
h
Na vertical, o movimento é uniformemente variado:
h=
1 2
gt
2
⇒ tqueda =
2h
g
y
D
Na horizontal, o movimento é uniforme:
D = v ⋅ tqueda
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⇒ D= v⋅
2h
g
13
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▼
Questão 15
Uma estação espacial, construída em forma cilíndrica, foi projetada para contornar a ausência de gravidade no espaço. A
figura mostra, de maneira simplificada, a secção reta dessa estação, que possui dois andares.
h
se
ar
gu n
d o and
p ri
meiro andar
2R
Para simular a gravidade, a estação deve girar em torno do seu eixo com uma certa velocidade angular. Se o raio externo da
estação é R,
a) deduza a velocidade angular ω com que a estação deve girar para que um astronauta, em repouso no primeiro andar e a
uma distância R do eixo da estação, fique sujeito a uma aceleração igual a g.
b) Suponha que o astronauta vá para o segundo andar, a uma distância h do piso do andar anterior. Calcule o peso do
astronauta nessa posição e compare com o seu peso quando estava no primeiro andar. O peso aumenta, diminui ou permanece inalterado?
Resolução:
a) Para que o astronauta, localizado no 1º andar da estação, fique sujeito a uma aceleração igual a g, devemos ter:
ac = g
ω2 ⋅ R = g
∴ ω = g/R
b) A velocidade angular do 2º andar é igual à do 1º andar, e seu raio vale:
R2º andar = (R – h)
Então,
g2º andar = ω2 ⋅ (R – h)
g2º andar = g/R ⋅ (R – h)
g2º andar = g – g h/R
▼
Portanto, g2º andar g, e a sensação de peso diminui.
Questão 16
Atualmente, o laser de CO2 tem sido muito aplicado em microcirurgias, onde o feixe luminoso é utilizado no lugar do bisturi
de lâmina. O corte com o laser é efetuado porque o feixe provoca um rápido aquecimento e evaporação do tecido, que é constituído principalmente de água. Considere um corte de 2,0 cm de comprimento, 3,0 mm de profundidade e 0,5 mm de largura,
que é aproximadamente o diâmetro do feixe. Sabendo que a massa específica da água é 103 kg/m3, o calor específico é
4,2 ⋅ 103 J/kg ⋅ K e o calor latente de evaporação é 2,3 ⋅ 106 J/kg,
a) estime a quantidade de energia total consumida para fazer essa incisão, considerando que, no processo, a temperatura do
tecido se eleva 63°C e que este é constituído exclusivamente de água.
b) Se o corte é efetuado a uma velocidade de 3,0 cm/s, determine a potência do feixe, considerando que toda a energia fornecida foi gasta na incisão.
Resolução:
O volume de tecido evaporado pode ser calculado pelo paralelepípedo retângulo representado na figura.
20
m
m
a)
3mm
V = 20 ⋅ 10–3 ⋅ 3 ⋅ 10–3 ⋅ 0,5 ⋅ 10–3 = 3 ⋅ 10–8 m3
A massa correspondente de tecido evaporado é calculado pela relação: m = dV, sendo d = densidade
da água.
Então: m = 103 ⋅ 3 ⋅ 10–8 = 3 ⋅ 10–5 kg.
0,5mm
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14
ANGLO VESTIBULARES
Portanto a quantidade de calor total consumida para fazer a incisão é:
Q = m ⋅ c ⋅ ∆θ + m ⋅ L. Substiuindo os valores numéricos, tem-se: Q = 3 ⋅ 10–5 ⋅ 4,2 ⋅ 103 ⋅ 63 + 3 ⋅ 10–5 ⋅ 2,3 ⋅ 106.
Logo: Q = 76,938 J
b) O intervalo de tempo gasto na incisão pode ser calculado por: ∆t =
∆s
v
, com ∆s = 2 cm e v = 3 cm/s. Então ∆t =
2
s.
3
A potência do feixe vale:
P =
Q
∆t
=
76, 938
⇒ P = 115, 407 W
2
3
▼
5,0 mm
Questão 17
gota
Um estudante observa uma gota de água em repouso sobre sua régua de acrílico, como ilustrado na figura.
Curioso, percebe que, ao olhar para o caderno de anotações através dessa gota, as letras aumentam ou diminuem de tamanho
conforme afasta ou aproxima a régua do caderno. Fazendo alguns testes e algumas considerações, ele percebe que a gota de
água poder ser utilizada como uma lente e que os efeitos ópticos do acrílico podem ser desprezados. Se a gota tem raio de
curvatura de 2,5 mm e índice de refração 1,35 em relação ao ar,
a) calcule a convergência C dessa lente.
b) Suponha que o estudante queira obter um aumento de 50 vezes para uma imagem direita, utilizando essa gota. A que
distância d da lente deve-se colocar o objeto?
Resolução:
a) A Equação do Fabricante, que permite determinar a convergência C de uma lente esférica, é:
 n
  1
1 
L

C = 
– 1 ⋅ 
+
 nMEIO
  R1 R2 
Os valores associados aos raios de curvatura da lente (gota) em questão são:
face convexa: R1 = + 2,5 mm = 2,5 ⋅ 10 – 3 m
face plana:
1
=0
R2
Logo:


1
C = (1, 35 – 1) ⋅ 
+ 0
–3
 2, 5 ⋅ 10

∴ C = 140 di
b) Para a situação proposta:
— imagem direita e 50 vezes maior que o objeto: A = + 50
p'
p'
⇒ 50 = –
∴ p' = – 50 p.
Como A = –
p
p
Na equação dos pontos conjugados:
1 1 1
= +
f
p p'
⇓
▼
140 =
1
1
–
p 50 p
∴ p = 7 ⋅ 10 – 3 m ou p = 7 mm
Questão 18
A linha de transmissão que leva energia elétrica da caixa de relógio até uma residência consiste de dois fios de cobre com
10,0 m de comprimento e secção reta com área 4,0 mm2 cada um. Considerando que a resistividade elétrica do cobre é
ρ = 1,6 ⋅ 10 –8 Ω ⋅ m,
a) calcule a resistência elétrica r de cada fio desse trecho do circuito.
b) Se a potência fornecida à residência for de 3.300 W a uma tensão de 110 V, calcule a potência dissipada P nesse trecho do
circuito.
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15
ANGLO VESTIBULARES
Resolução:
a) A resistência elétrica de cada fio desse trecho do circuito é r = ρ
A
.
10
∴ r = 4 ⋅ 10– 2 Ω
4 ⋅ 10– 6
b) A intensidade de corrente nos fios é:
3300
P=U⋅i ⇒ i=
∴ i = 30 A
110
A potência dissipada nos dois fios é:
Pd = 2 ⋅ r ⋅ i2 ⇒ Pd = 2 ⋅ 4 ⋅ 10– 2 ⋅ 302
∴ Pd = 72 W
▼
r = 1, 6 ⋅ 10– 8 ⋅
l
Questão 19
Um pedaço de fio de comprimento L e massa m pode deslizar sobre duas hastes rígidas e lisas, de comprimento D cada uma
e fixas em um plano inclinado de um ângulo θ, como é ilustrado na figura.
i
g
i
D
m
B
θ
L
As hastes estão conectadas a uma bateria e o pedaço de fio fecha o circuito. As hastes e o fio estão submetidos a um campo
magnético uniforme B vertical, apontado para cima. Representando a aceleração da gravidade por g,
a) determine o valor da corrente i para que o fio fique em equilíbrio sobre o plano inclinado.
b) Considere que o pedaço de fio esteja em equilíbrio no ponto mais baixo do plano inclinado. Se a corrente for duplicada, o
fio será acelerado e deixará o plano no seu ponto mais alto. Determine a energia cinética do fio nesse ponto.
Resolução:
a) Desenhando a direção da reta de maior declive do plano inclinado:
N
θ
θ
P
θ
F mag
Para haver equilíbrio, as prejeções do peso (P) e da força magnética (Fmag ), na direção da reta de maior declive, devem ter
mesmo módulo.
∴ Psen θ = Fmag cos θ ⇒ mgsen θ = iLB cos θ
∴ i=
mg
tg θ
LB
b) Dobrando-se a corrente, a resultante na direção da reta de maior declive do plano é igual a:
R = 2iLB cos θ – mgsen θ
∴ R = 2mgsen θ – mgsen θ ⇒ R = mgsen θ
Sendo a energia cinética inicial εc0, aplicando-se o teorema da Energia Cinética:
τR = ∆εc ⇒
∴
mgsen θ ⋅ D = εcf – εc0
εcf = mgDsen θ + εc0
Supondo-se a situação de equilíbrio estático (εc0 = 0):
εcf = mgD sen θ
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16
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▼
MATEM ÁT ICA
800 m
Questão 20
50 m
100 m
Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada minuto, a metade da distância que o separa do ponto B, conforme
figura. Considere como sendo de 800 metros a distância entre A e B.
200 m
400 m
A
A1
A2
A3 A4 B
Deste modo, ao final do primeiro minuto (1º período) ele deverá se encontrar no ponto A1; ao final do segundo minuto (2º período), no ponto A2; ao final do terceiro minuto (3º período), no ponto A3, e, assim, sucessivamente. Suponhamos que a
velocidade se reduza linearmente em cada período considerado.
a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10 primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua distância
ao ponto B é inferior a 1 metro.
b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) = distância percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir do instante t = 0.
Resolução:
a) Do enunciado, a distância percorrida, em metros, pelo objeto no enésimo minuto é o elemento de uma P.G. cujo primeiro
1
termo é 400 e a razão é .
2
Assim, a distância

400 1 –

S10 =
1–
percorrida ao final dos 10 primeiros minutos é:
 1 10 
  
2 
1023
= 800 ⋅
1
1024
2
S10 ≈ 799,2
Logo, a sua distância ao ponto B é inferior a 1 metro.
Resposta: 799,2 metros
t
b) A distância percorrida após t minutos é:

 1 t 
400 1 –   
2 

(t ∈ N)
dt =
1
1–
2
0
1
2
3
dt (metros)
dt
0
400
600
700
800
700
600
400
 1 t
d t = 800 – 800  
2
P3
P2
P1
P0
0
1
2
3
t (minutos)
Além disso, do enunciado, a velocidade se reduz linearmente; então, a aceleração é constante em cada período considerado.
Assim, concluímos que P0P1; P1P2 ; …; PtPt+1; … são arcos de parábolas.
Logo, o gráfico de f(t) é:
Resposta:
dt (metros)
800
700
600
400
P3
P2
P1
P0
0
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1
2
3
t (minutos)
17
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▼
Questão 21
Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2,
são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.
Nestas condições, calcule:
a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita.
b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada.
Resolução:
Do enunciado, temos a figura:
1
1
1
120°
1
1
1
a) A área S pedida pode ser obtida fazendo-se a área do hexágono regular menos a área de seis setores circulares de ângulo central 120º e raio unitário, cada um.
Logo:
S=6⋅
π ⋅ 12
22 3
– 6⋅
4
3
S = 6 3 – 2π ∴ S = 2 ⋅ (3 3 – π)
Resposta: 2 ⋅ (3 3 – π)
b) O perímetro pedido é igual a 6 ⋅
2π ⋅ 1
, ou seja, 4π.
3
▼
Resposta: 4π
Questão 22
Os triângulos que aparecem na figura da esquerda são retângulos e os catetos OA1, A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, ..., A9A10 têm
comprimento igual a 1.
A3
1
A4
1
An + 1
A2
1
1
A1
An
1
θn
O
O
a) Calcule os comprimentos das hipotenusas OA2, OA3, OA4 e OA10.
b) Denotando por θn o ângulo (AnÔAn + 1), conforme figura da direita, descreva os elementos a1, a2, a3 e a9 da seqüência
(a1, a2, a3, ..., a8, a9), sendo an = sen(θn).
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18
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Resolução:
a) Vamos provar, por indução, que OAn =
n.
 OA1 = 1
Hipótese: 
OA K = K ; K ∈ IN *
K+ 1
Tese : OAK + 1 =
OAK + 1 =
12 + (OA K )2
OAK + 1 =
1 + ( K )2
OAK + 1 =
K +1
AK + 1
1
θn
O
AK
c.q.d.
2 ; OA3 =
Resposta: OA2 =
b) an = sen θn =
3 ; OA4 = 2 e OA10 =
1
K +1
Assim:
1
1
1
a1 =
e a9 =
; a2 =
; a3 =
2
3
4
Resposta: a1 =
▼
10
1
10
2
3
1
10
e a9 =
; a2 =
; a4 =
2
3
2
10
Questão 23
As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400cm2 e 600cm2,
respectivamente.
600 cm2
400 cm2
Figura A
Figura B
A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 – x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B.
50 – x
x
Figura C
a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo
da figura A.
b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.
Resolução:
a) A área de um retângulo de base 50 – x e altura x, com 0 x 50, é dada por f (x) = (50 – x) ⋅ x
(x em cm).
Essa área é igual a 400 cm2 se, e somente se,
f (x) = 400
(50 – x) ⋅ x = 400
x2 – 50x + 400 = 0
x = 10 ou x = 40
Resposta: f (x) = (50 – x) ⋅ x
e
f (x) = 400 ⇔ (x = 10 ou x = 40)
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19
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b)
f(x)
625
0
25
50
x
f (x) = (50 – x) ⋅ x é máximo se, e somente se,
x = 25
f (25) = (50 – 25) ⋅ 25
f (25) = 625
▼
Resposta: 625 cm2
Questão 24
Considere a região sombreada na figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações y = 2x e x = k, k 0.
y
y = 2x
A(k)
x
k
O
Nestas condições, expresse, em função de k:
a) a área A(k) da região sombreada.
b) o perímetro do triângulo que delimita a região sombreada.
Resolução:
Do enunciado, temos a figura:
y
y = 2x
2K
C
A(K)
OB ⋅ BC
2
K ⋅ 2K
A (K ) =
∴
2
K
a) A (K ) =
B
x
O
A (K ) = K 2
Resposta: K2
b) No triângulo retângulo OBC, temos:
(OC)2 = (OB)2 + (BC)2
(OC)2 = K2 + (2K)2 ∴ OC = K 5
Logo, o perímetro P pedido é:
P = OC + OB + BC ⇒ P = K 5 + K + 2K
∴ P = K (3 +
5)
Resposta: K (3 +
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5)
20
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▼
Questão 25
Considere os gráficos das funções definidas por f(x) = log10 (x) e g(x) = 10x, conforme figura (fora de escala).
y
A
y = 10x
M
y = log10(x)
B
x
a) Dê as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB.
b) Mostre que (f o g)(x) = x e (g o f)(x) = x, para todo x 0.
Resolução:
a) A curva y = log10 x intercepta o eixo x no ponto (1, 0), pois 0 = log10 1.
Pela figura, podemos concluir que a abscissa do ponto A é 1 e, como este ponto pertence à curva y = 10x, sua ordenada é
101 = 10. Portanto, o ponto A é dado pelo par (1, 10).
A curva y = 10x intercepta o eixo y no ponto (0, 1), pois 1 = 100. Pela figura, podemos concluir que o ponto B é dado pelo
par (10, 1).
Sendo M o ponto médio do segmento AB, podemos afirmar que este é dado pelo par
 10 + 1 10 + 1 
 11 11 
,

 , isto é,  ,
.
2 
2 2
 2
Resposta: a abscissa e a ordenada do ponto M são ambas iguais a
11
.
2
b) Com x ∈ IR, temos:
f (g(x)) = log10g(x)
f (g(x)) = log10 10x
∴
f (g(x)) = x
Com x ∈ IR+*, temos:
g(f(x)) = 10f(x)
g(f(x)) = 10log10 x
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∴ g(f(x)) = x
21
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CO MENTÁRI OS
Biologia
Prova de boa qualidade, com questões bem redigidas e abrangentes, que não devem ter oferecido dificuldades maiores
para os candidatos.
Química
Foi uma prova apenas razoável.
Física
Prova simples, com questões de resolução imediata sobre situações físicas de interesse.
Entretanto, há que se criticar a falta de rigor, principalmente nos enunciados das questões 15 e 19.
Matemática
Uma prova adequada à área a que se destina.
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23
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IN CID ÊNC IAS
Química
ASSUNTO
Físico-química
Orgânica
Atomística
Nº DE QUESTÕES
2
1
3
4
5
Física
ASSUNTO
Eletromagnetismo
Eletrodinâmica
Óptica
Termofísica
Dinâmica
Nº DE QUESTÕES
1
2
3
4
5
Matemática
ASSUNTO
Seqüências
Geometria Plana
Geometria Analítica
Função
Nº DE QUESTÕES
1
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2
3
25
4
5
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UNIFESP/2004
27
ANGLO VESTIBULARES
UNIFESP/2004
29
ANGLO VESTIBULARES