X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A SIMETRIA DE REFLEXÃO NOS PCN E LIVROS DIDÁTICOS DE
MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
Edjane Oliveira Silva1
Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
[email protected]
Iranete Maria da Silva Lima2
Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
[email protected]
Resumo: Apresentamos neste artigo os resultados de uma pesquisa desenvolvida no
quadro da Iniciação Científica que estudou, em particular, a abordagem da simetria de
reflexão nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – e nos Livros Didáticos destinados
ao ensino da Matemática do sexto ao nono ano do Ensino Fundamental. Para tanto, foram
estabelecidos alguns critérios de análise, buscando, por um lado, identificar as orientações
contidas nos PCN para o ensino da simetria de reflexão e, por outro lado, as definições,
propriedades, métodos de construção e tipos problemas propostos nos livros didáticos.
Dentre os resultados encontrados destacamos que a maioria dos livros analisados aborda a
simetria de reflexão, como recomenda o documento, entretanto, privilegiando uma
abordagem mais experimental.
Palavras-chave: Parâmetros Curriculares Nacionais; Livro Didático de Matemática;
Simetria de Reflexão.
1. JUSTIFICATIVA E OBJETIVOS
O estudo das transformações geométricas e, em particular, da simetria de reflexão,
ainda se constitui em um domínio de preocupações relativamente novas, tendo sua ênfase a
partir da publicação dos PCN (BRASIL, 1997, 1998). A partir de então, vários estudos
vêm sendo desenvolvidos neste domínio (ALVES & GITIRANA, 2005; CERQUEIRA,
2005). Os resultados das pesquisas desenvolvidas respondem a várias questões
relacionadas à aprendizagem desse conceito pelos alunos, e sobre a prática do professor.
1
Bolsista de Iniciação Científica do Núcleo de Formação Docente - Centro Acadêmico do Agreste –
PROPESQ-UFPE/CNPq.
2
Professora da UFPE, atuando no Centro Acadêmico do Agreste e no Programa Educação Matemática e
Tecnológica do Centro de Educação – EDUMATEC.
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Foi buscando contribuir para a compreensão do processo de ensino e de aprendizagem
dessa noção matemática que realizamos a nossa pesquisa. Estudamos, portanto, a simetria
de reflexão do ponto de vista das orientações contidas nos Parâmetros Curriculares
Nacionais - PCN, partindo da hipótese que elas influenciam a prática do professor e,
consequentemente, as concepções dos alunos. Além disso, estudamos as abordagens da
simetria de reflexão em livros didáticos frequentemente adotados no nível de escolaridade
em foco.
É quase um consenso entre os estudiosos que o livro didático exerce uma grande
influência no planejamento, na escolha dos conteúdos pelo professor e na forma de abordálos na sala de aula. De fato, vários autores se interessam por essa temática e pela forma
como os professores utilizam este recurso didático em suas atividades. Dentre eles
podemos citar Pitombeira & Lima (2002), Margolinas & Rivière (2005) e Silva Junior &
Régnier (2007). Estes últimos autores afirmam que o interesse da maioria dos
pesquisadores por esta temática reside no fato de que:
[...] percebe-se uma lacuna de concepção na utilização desse material
didático pelo professor e pelo aluno em relação ao conteúdo programático
contido nesse material e que se transforma em currículo, em relação a sua
forma de utilização e a formação dos professores.
(SILVA JUNIOR & RÉGNIER, 2007, p.1).
Este estudo se legitima, portanto, pela importância que os professores, incluindo os
professores de Matemática, atribui às informações contidas nessas obras. Assim, na
perspectiva de subsidiar o estudo sobre as concepções que os alunos mobilizam na
resolução de problemas de simetria de reflexão (LIMA, 2006), buscamos identificar que
aspectos são privilegiados pelos autores de livros didáticos. Para tanto, escolhemos
algumas coleções indicadas pelo Guia do Livro Didático 2008 (BRASIL, 2007).
2. METODOLOGIA
Para realizar a análise dos documentos selecionados, nos apoiamos nos
pressupostos da análise documental (CALADO e FERREIRA, 2005) e no Modelo cK¢
(BALACHEFF, 1995). Utilizamos este modelo na perspectiva de subsidiar a identificação
de concepções mobilizadas pelos alunos quando eles resolvem problemas de simetria de
reflexão; etapa da pesquisa atualmente em desenvolvimento. Para justificar essas escolhas,
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partimos da hipótese que as orientações contidas nos documentos oficiais e livros didáticos
influenciam as concepções dos alunos sobre a noção estudada.
Na análise dos PCN focalizamos os seguintes aspectos: a evolução do ensino da
simetria de um ciclo para o outro; os conteúdos e conceitos que devem ser trabalhados; os
tipos de problemas propostos e a forma de avaliação.
Quanto aos livros didáticos, analisamos doze coleções indicadas pelo Guia de Livro
Didático, PNLD 2008 (BRASIL, 2007) para o sexto ao nono (quinta a oitava série na
época do estudo) do ensino fundamental. Os critérios de análise adotados foram os
seguintes: (a) Definições: de ponto simétrico, de figuras simétricas, de eixo de simetria,
outras
definições;
(b)
Propriedades
da
simetria
de
reflexão:
equidistância,
perpendicularidade, igualdade de distância dos pontos objeto e imagem ao eixo de
simetria; propriedades de conservação (de comprimento, de alinhamento dos pontos, de
medida dos ângulos...); propriedade de não conservação da orientação dos ângulos, dentre
outras; (c) Métodos de construção de pontos simétricos e figuras simétricas: à mão livre,
utilizando material de desenho (régua, esquadros, compasso...); (d) Tipos de problemas
propostos: construção de figuras e de eixos de simetria, identificação de figuras e de eixos
de simetria e demonstração.
Além disso, buscamos relacionar as escolhas dos livros didáticos com as
orientações encontradas nos PCN.
3. RESULTADOS OBTIDOS
Apresentamos, inicialmente, o resultado da análise realizada nos PCN e, em
seguida, como a simetria de reflexão é abordada nos livros didáticos.
3.1.
A simetria de reflexão nos PCN
O estudo das transformações isométricas é fortemente recomendado neste
documento. Nessa direção destacamos a seguinte orientação:
O estudo das transformações isométricas (transformações do plano
euclidiano que conservam comprimentos, ângulos e ordem de pontos
alinhados) é um excelente ponto de partida para a construção das noções
de congruência. As principais isometrias são: reflexão numa reta (ou
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simetria axial), translação, rotação, reflexão num ponto (ou simetria
central), identidade. Desse modo as transformações que conservam
propriedades métricas podem servir de apoio não apenas para o
desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas, mas
também para a compreensão das propriedades destas.
(BRASIL, 1998, P. 124)
Sobre a simetria de reflexão, em particular, ressalta-se a relação da simetria com o
quotidiano e a sua presença em diversos objetos físicos, bem como na imagem de um
objeto refletida no espelho. O documento faz menção, também, aos desenhos de
civilizações da época pré-histórica que contêm figuras geométricas nas quais a simetria são
uma de suas características predominantes.
No primeiro e segundo ciclos (2º ao 5º ano), orienta-se que o conceito de simetria
não deve ser abordado como objeto de estudo com fim em si mesmo. No entanto, deve ser
abordado em articulação com outros conceitos geométricos, de maneira que permita o
aluno identificar semelhanças e diferenças entre as figuras geométricas. Na introdução
deste estudo são sugeridos o seguinte objetivo procedimental: Identificar características
das figuras geométricas, percebendo semelhanças e diferenças entre elas, por meio de
composição e decomposição, simetrias, ampliações e reduções. (BRASIL, 1997, p. 56).
Quanto à avaliação educacional da aprendizagem nesta fase da escolaridade, recomenda-se
que o professor conceba instrumentos que lhe permita identificar se os alunos são capazes
de reconhecer e descrever as formas geométricas tridimensionais e bidimensionais. Nessa
perspectiva, espera-se que o aluno identifique características destas formas, percebendo
semelhanças e diferenças entre elas, dentre elas a simetria, e reconhecendo os elementos
que as compõem.
Para a abordagem da simetria no terceiro ciclo (6º e 7º anos), recomenda-se a
proposição de problemas mais complexos que no ciclo anterior, de forma que os alunos
sejam capazes de reconhecer eixos de simetria em um polígono, por exemplo. Dentre os
conteúdos recomendados, encontra-se:
Classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo
critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares
e não- regulares; prismas, pirâmides e outros poliedros; círculos,
polígonos e outras figuras; números de lados dos polígonos; paralelismos
de lado, medidas de ângulos e de lados. [...]. Transformação de uma
figura no plano por meio de reflexões, translações e rotações e
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identificação de medidas que permanecem invariantes nessas
transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície).
(BRASIL, 1997 p. 73)
Nesse ciclo, o aluno deve ser levado a perceber que por seu caráter dinâmico é
possível transformar uma figura em outra através da composição de diversas
transformações. Nessa perspectiva, os professores devem motivar a utilização dos
instrumentos de desenho, como régua graduada, esquadros e compasso, na construção de
figuras.
Orienta-se, também, que a ênfase no estudo do espaço, privilegiando a observação e
a compreensão das relações entre seus elementos, deve ser colocada na análise das
transformações geométricas (simetria de reflexão, translação e rotação), de modo que o
aluno possa observar suas propriedades invariantes.
Entendemos que as orientações contidas nos PCN são elaboradas na perspectiva de
levar o professor a se apropriar da importância do estudo das transformações geométricas e
da sua relação com o dia a dia do aluno.
3.2.
A simetria de reflexão nos Livros didáticos
Como dissemos, analisamos 12 (doze) coleções indicadas pelo Guia de Livro
Didático – PNLD 2008 (BRASIL, 2007) que contempla o sexto ao nono ano do ensino
fundamental.
Seguindo as orientações encontradas nos PCN, a maioria das coleções analisadas
aborda a noção de simetria de reflexão no nível de escolaridade em foco. Das doze
coleções analisadas, somente uma não o faz. As demais propõem um estudo da simetria de
reflexão em, pelo menos, um dos volumes, mesmo denominando de diversas maneiras, por
exemplo, em alguns casos se referem apenas à simetria, em outros à simetria axial, ou
ainda de reflexão.
Na maioria dos casos, o estudo é centrado apenas em atividades experimentais,
principalmente, através do uso de dobraduras e de espelhos. Além disso, os autores
introduzem a simetria de diversas maneiras como, por exemplo, o incentivo à observação
da simetria na natureza e em objetos físicos.
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A seguir apresentamos alguns resultados do estudo a partir dos critérios utilizados
na análise:
a) Definições
Na maioria das coleções analisadas, privilegia-se uma abordagem a partir da
sobreposição de figuras ao longo do eixo de simetria. Desta forma, as definições mais
encontradas são “dobrar a figura de modo que suas partes coincidam” e “os seus lados da
figura devem ser opostos como refletidos em um espelho”.
Figura 1: Dobradura (CENTURIÓN et. all. 2000, p. 160)
A definição de ponto simétrico foi raramente encontrada. Das doze coleções,
apenas três abordaram pontos simétricos. Exemplo de definição encontrada: “O ponto D é
a imagem refletida do ponto A em relação ao eixo de simetria, pois estão à mesma
distância em relação ao eixo e sobre a mesma linha.” (TOSATTO et al, 2005 p. 115).
Figura 2: Ponto simétrico (TOSATTO et. al 2005 p. 114)
Em alguns casos, os pontos estão destacados e nomeados nas figuras e são até
mesmo citados nas atividades, porém, não se faz uma relação explícita entre figura
simétrica e ponto simétrico.
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Em outros casos, a simetria de reflexão é definida a partir do eixo de simetria, como
no exemplo a seguir: “Aquela que representa as imagens dos objetos refletidas em relação
a um eixo.” (Ibid. p. 141).
b) Propriedades estudadas
Nos livros analisados, são raras as referências às propriedades da simetria. Quando
elas tratadas o são, quase sempre, de forma implícita. Alguns autores enfatizam que os
lados das figuras devem ficar de lados opostos do eixo de simetria, como que refletidos em
um espelho, mas sem se referir explicitamente à mudança da orientação dos ângulos da
figura objeto pela simetria de reflexão. As propriedades da simetria de reflexão como a
perpendicularidade entre a reta suporte de um ponto e seu simétrico com o eixo de
simetria, a igualdade de distância dos pontos simétricos ao eixo de simetria e as
propriedades de conservação da área das figuras, do alinhamento dos pontos, fica a cargo
do professor.
c) Métodos de construção
De forma geral, os livros abordam as construções de figuras simétricas, porém, a
construção do simétrico de um ponto é pouco trabalhada nas coleções analisadas.
Predominantemente, propõem-se construções para serem realizadas sobre papel
quadriculado. Observamos em alguns casos que o livro aconselha o professor a incentivar
o aluno a utilizar os instrumentos de desenho (régua graduada, esquadros e compasso),
entretanto, raramente, propõe atividades com esta finalidade.
d) Tipos de problemas propostos
Os problemas de reconhecimento do eixo de simetria e de figuras simétricas são os
mais encontrados na obras analisadas. Em seguida, aparecem os problemas de construção
de figuras simétricas. Os problemas de demonstração são trabalhados em menor escala.
Um exemplo de problemas encontrados é o seguinte:
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Figura 3. Identificação do eixo de simetria (SPINELLI & SOUZA, 2005, 5ª série, 129)
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos neste artigo uma pesquisa desenvolvida no quadro da Iniciação
Cientifica, cujo interesse principal foi estudar a simetria de reflexão do ponto de vista dos
PCN (BRASIL, 1997, 1998) e dos livros didáticos indicados pelo Guia de Livro Didático,
PNLD 2008 (BRASIL, 2007) para o sexto ao nono ano do Ensino Fundamental. As
análises foram realizadas Essa pesquisa foi realizada com a finalidade de subsidiar o
estudo sobre as concepções dos alunos sobre esta noção matemática, fase da pesquisa
atualmente em desenvolvimento.
Nas orientações encontradas nos PCN para o Ensino Fundamental, a importância do
ensino da simetria de reflexão, rotação e translação é bastante incentivada. O estudo da
simetria de reflexão no nível de escolaridade em foco deve ser introduzido a partir da
identificação das semelhanças e diferenças nas figuras geométricas. Este estudo deve
evoluir de tal maneira que os alunos sejam capazes de identificar as propriedades das
simetrias estudadas. Para isto, recomenda-se a proposição de atividades de comparação de
duas figuras, de modo que o aluno seja capaz de identificar se a segunda é imagem da
primeira e, em caso afirmativo, através de que simetria.
Por sua vez, os resultados da análise dos livros didáticos mostram que o estudo
desta noção matemática tem sido privilegiado pelos autores. Porém, isso se faz, quase
sempre, a partir de uma abordagem mais experimental, baseada na visualização global da
figura e menos analítica, na qual os alunos pudessem identificar a simetria de reflexão por
suas propriedades e relações entre a figura dada, o eixo de simetria e a figura simétrica.
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UFPE, 2005.
BALACHEFF, N. Conception, connaissance et concept". In: Denise Grenier (ed.)
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1995. p.219-244.
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Guia de Livros Didáticos. Brasília-DF, 2007.
BRASIL Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática, ensino de quinta a oitava séries. Brasília: MEC/SEF, 1998.
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Matemática, ensino de primeira a quarta séries. Brasília: MEC/SEF, 1997.
CALADO, S. S., FERREIRA, S. C. R. Análise de Documentos: Método de Recolha e
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http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/ichagas/mi1/analisedocumentos.pdf.
CERQUEIRA, A. P. F. Isometrias: Análise de documentos curriculares e uma proposta de
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LIMA, I. De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des
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PITOMBEIRA, J. B.& LIMA, P. F. O PNLD e sua influencia sobre os livros didáticos.
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matemática no ensino fundamental do nordeste brasileiro. Estudo exploratório baseado na
analise estatística implicativa. In: IV Encuentro Internacional de Análisis Estadístico
Implicativo. Castellón de la Plana – España, 2007.
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