Matemática Básica II - Trigonometria
Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Retângulo
Márcio Nascimento da Silva
Universidade Estadual Vale do Acaraú - UVA
Curso de Licenciatura em Matemática
[email protected]
10 de setembro de 2014
Vamos, agora, entrar para valer na trigonometria. Veremos as relações trigonométricas
(ainda não são as funções!) definidas em um triângulo retângulo. Mais adiante veremos as
funções a partir do ciclo trigonométrico e, depois, a trigonometria em um triângulo qualquer.
1
Triângulos
Na escola, é comum dizer que um triângulo é uma figura geométrica de três lados. Mas por
quê os lados são segmentos de retas e não arcos de circunferência, por exemplo?
Figura 1: À esquerda, uma curva fechada com “bicos”em A, B, C. À direita, um triângulo plano.
Para entendermos bem, é preciso saber o conceito de geodésica. No plano, sabemos que
a menor distância entre dois pontos é sempre o caminho reto. Já em uma superfı́cie esférica,
por exemplo, não podemos dizer o mesmo, uma vez que não existem retas sobre uma esfera!
Neste tipo de superfı́cie, o menor caminho entre dois pontos é um cı́rculo máximo, isto é, uma
circunferência sobre a superfı́cie esférica cujo centro coincide com o centro da esfera.
As curvas que minimizam a distância em uma determinada superfı́cie são chamadas de
geodésicas. Por isso as geodésicas do plano são as retas. Na esfera, as geodésicas são os
cı́rculos máximos.
Assim, definimos um triângulo como a figura formada por três pontos que não estejam sobre
uma mesma geodésica e os caminhos geodésicos ligando tais pontos entre si. Um triângulo
1
no plano é, então, a figura formada por três pontos não colineares e os segmentos de reta que
ligam esses pontos entre si.
Figura 2: Triângulo Plano.
Em um triângulo plano, os pontos de encontro dos segmentos de reta são chamados vértices e
os segmentos são chamados lados. Os ângulos internos são aqueles formados pelos lados. Geralmente os vértices são representados com letras maiúsculas e os lados com letras minúsculas. A
letra minúscula “x”representa o lado oposto ao vértice “X”.
1.1
Soma dos ângulos internos de um triângulo plano
Os triângulos no plano possuem alguns invariantes, isto é, caracterı́sticas que independem
de suas medidas (lados ou ângulos).
Teorema 1 A soma dos ângulos internos de um triângulo plano é sempre igual a um ângulo raso.
Prova: Considere um triângulo de vértices A, B, C como mostra a Figura 3.
Figura 3: Triângulo Plano.
Traçando pelo vértice C uma reta paralela ao lado AB e, também, os prolongamentos dos
lados AC e BC, determinamos os ângulos 1, 2, 3.
b e 2 são opostos pelo vértice. Portanto, são iguais.
Inicialmente, observe que os ângulos C
b e 3 são iguais. Pelo mesmo
Além disso, sendo a reta traçada paralela ao lado AB, os ângulos A
motivo, os ângulos b
B e 1 também são iguais. Desta forma, a soma dos ângulos 1, 2 e 3 é igual a
bb
b
soma dos ângulos A,
B e C.
Ora, mas somados, os ângulos 1, 2 e 3 formam um ângulo raso. Daı́,
b+ b
b = 1800
A
B+C
2
1.2
Triângulo Retângulo
Quando um dos ângulo internos de um triângulo é um ângulo reto, temos um triângulo
retângulo, como mostra a Figura 4.
Figura 4: Triângulo Retângulo.
O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa1 e os demais lados são os catetos2 .
2
Relações Trigonométricas
Os triângulos retângulos possuem importantes relações entre as medidas dos seus lados.
Elas auxiliam na resolução de diversas situações práticas.
2.1
Seno
Considere um ângulo agudo α e os segmentos paralelos A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 ... como mostra a
Figura 5. Note que os segmentos Ai Bi são perpendiculares a um dos lados do ângulo α.
Figura 5: Ângulo agudo e triângulos semelhantes.
Vemos ai, vários triângulos retângulos e semelhantes, pois em todos eles temos dois ângulos
comuns, a saber, α e o ângulo reto. Com isso,
A1 B1 A2 B2 A3 B3
=
=
= ...
OA1
OA2
OA3
e, portanto, temos uma relação que não depende do tamanho dos lados do triângulo. Essa
relação será chamada seno do ângulo α.
cateto oposto
AB
Notação: senα =
ou senα =
.
OA
hipotenusa
1
2
Do grego, ’contrário à’.
Do grego, ’que cai perpendicular’.
3
Exemplo 2 (Aplicação - Cálculo do Raio da Terra) No alto de um farol à beira-mar, por exemplo,
podemos estimar o raio da terra...
Subindo no alto de um farol, do qual seja possı́vel ter uma visão limpa da linha do horizonte, podemos
estimar o raio da Terra usando a relação trigonométrica seno. Para tanto, vamos admitir que a altura da
torre (farol) é conhecida e que é possı́vel medir o ângulo formado pela torre e a linha de visão do observador
em direção ao horizonte (o ângulo em A).
Figura 6: Esquematização para cálculo do raio da Terra usando a relação seno.
Chamando de R o raio da Terra e lembrando que o ponto T que determina o ponto onde
a visão do observador alcança, é tangente à superfı́cie esférica (Terra), temos um triângulo
retângulo em T de vértices O, A e T. Portanto, OA é hipotenusa e AT, OT são catetos. Usando a
relação seno, teremos:
b=
senA
R
b =⇒ R − R.senA
b = h.senA
b
=⇒ R = (R + h).senA
R+h
Isolando R,
b
b = h.senA
b =⇒ R = h.senA
R(1 − senA)
b
1 − senA
2.2
Cosseno e Tangente
Assim como no caso da relação seno, a semelhança entre os triângulos na Figura 5 nos dá
outras duas relações que também não dependem da medida dos lados. Subsistem as seguintes
relações:
OB1
OB2
OB3
=
=
= ...
OA1 OA2 OA3
A1 B1 A2 B2 A3 B3
=
=
= ...
OB1
OB2
OB3
Essas serão chamadas, respectivamente, cosseno e tangente do ângulo α. Notação:
cos α =
cateto ad jacente
OB
ou cos α =
OA
hipotenusa
4
tgα =
cateto oposto
AB
ou cos α =
OB
cateto ad jacente
Veja que decorre desta definição a seguinte relação:
!
b
c
b
senα
tgα = = =
a
a
cos α
c
2.3
Relação Fundamental
b
Considere um triângulo retângulo e um de seus ângulos, digamos, A.
Figura 7: Triângulo Retângulo em C.
Já conhecemos as relações trigonométricas seno e cosseno. Portanto, podemos escrever:
!2
2
b
a2 + b2
a
b=
=
+
sen A + cos A
c
c
c2
2b
2
Pelo Teorema de Pitágoras, a2 + b2 = c2 . Portanto,
b + cos2 A
b= 1
sen2 A
2.4
Alguns resultados básicos
be b
b = cos b
b e tgA
b= 1
Proposição 3 Se A
B são ângulos complementares, então senA
B, senb
B = cos A
tgb
B
Prova: Considere um triângulo retângulo como na Figura 8. Considerando as relações trigonométricas
be b
para os ângulos A
B, temos:
a
= cos b
B
c
b
b
senb
B = = cos A
c
b= a = 1 = 1
tgA
b
b
tgb
B
a
b=
senA
5
Proposição 4 (i) Se α é um ângulo no intervalo (00 , 450 ), então
sen2α = 2.senα. cos α
(ii) Se x é um ângulo no intervalo (00 , 900 ), então
x
sen =
2
r
1 − cos x
2
Prova: (i) Considere um triângulo isósceles onde os lados congruentes medem 1. Traçando a
bissetriz pelo ângulo no vértice O, determinamos o ponto médio do lado BC, o ponto A.
b e AOC,
b que são congruentes e traçar a altura
Vamos chamar de α a medida dos ângulos BOA
relativa ao lado OC. Isso determina o ponto D e BD é uma altura para o triângulo.
Figura 8: Triângulo Isósceles com lados congruentes medindo 1.
Assim, podemos calcular a área do triângulo BOC de duas formas:
OA.BC BD.OC
=
2
2
(1)
Encontremos os tamanhos dos segmentos em função de α.
OA
= cos α. Sendo OB = 1, temos
Veja que
OB
OA = cos α
Análogamente,
BC = 2BA, isto é:
BA
= senα e BA = senα. Como A é ponto médio do lado BC, segue que
OB
BC = 2.senα
Considerando o triângulo retângulo BOD, temos que
BD = sen2α
6
BD
= sen2α. Daı́
OB
pois OB = 1. Além disso,
OC = 1
Substituindo em (1), temos:
cos α.2.senα sen2α.1
=
2
2
e portanto
sen2α = 2. cos α.senα
(ii) Considerando o triângulo da Figura 9, seja β o ângulo no vértice C.
Figura 9: Triângulo Isósceles com lados congruentes medindo 1.
Veja que
OD + DC = 1
Por outro lado, no triângulo BOD, vemos que
OD
= cos 2α. Sendo OB = 1, temos
OB
OD = cos 2α
Já no triângulo BDC, temos
DC
= cos β e portanto
BC
DC = BC. cos β
Além disso,
BA
= senα e BC = 2BA implica que
OB
BC = 2.senα
Fazendo a substituição em (2), temos:
(cos 2α + BC. cos β = 1 =⇒ cos 2α + 2.senα. cos β = 1
como α e β são complementares,
cos 2α + 2.senα.senα = 1 =⇒ 2.sen2 α = 1 − cos 2α
Isolando senα, teremos:
7
(2)
r
senα =
1 − cos 2α
2
ou
x
sen =
2
r
1 − cos x
2
2.5 Ângulos Especiais
Considere um triângulo equilátero de lado 1, como mostra a Figura 10. A bissetriz do ângulo
no vértice em A, coincide com altura relativa ao lado BC e a mediana deste mesmo lado.
Figura 10: Triângulo Equilátero de lado 1.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADC, temos
AC2 = AD2 + DC2
√
√
1
3
3
1
isto é, 1 =
+ e AD =
. Sendo AC = 1, AD =
, DC = e fazendo uso das relações
4
2
2
2
trigonométricas no triângulo ADC, tem-se:
AD2
DC 1
=
AC 2
√
AD
3
0
=
cos 30 =
AC
2
sen300 =
√
DC
1/2
3
tg30 =
= √
=
AD
3
3/2
0
Ademais, sendo 300 e 600 ângulos complementares, segue que
1
2
√
3
sen600 = cos 300 =
2
cos 600 = sen300 =
8
tg600 =
√
1
1
=
3
=
√
tg300
3
3
Para o ângulo de 450 , considere o triângulo isósceles como mostra a Figura 11.
Figura 11: Triângulo Isósceles com ângulos internos de 450 .
Pelo Teorema de Pitágoras:
BC2 = AB2 + AC2
√
isto é, BC2 = 12 + 12 = 2 e portanto, BC = 2. Daı́,
√
AC
1
2
sen45 =
= √ =
BC
2
2
√
0
0 2
cos 45 = sen45
2
AC
tg450 =
=1
AB
0
Assim, temos a famosa tabela:
Ângulo
Seno
Cosseno
Tangente
300
1
2
√
3
2
√
3
3
√
2
2
√
450
600
√
3
2
9
2
2
1
1
2
√
3
Podemos obter valores para o seno, cosseno e tangente sem o uso de calculadora também
para o ângulo de 180 .
Considere um triângulo isósceles cujos lados congruentes medem 1 e que 360 é o ângulo
formado por tais lados, como mostra a Figura 12.. Obviamente os demais ângulos internos são
ambos iguais a 720 . Seja x o terceiro lado.
Figura 12: Triângulo Isósceles ABC com um dos ângulos internos medindo 360 .
b O ângulo C
b é dividido, então, em dois ângulos iguais a
Seja CD a bissetriz do ângulo C.
360 e é determinado o ponto D sobre o segmento AB. Veja que os triângulos ABC e CDB são
semelhantes!
Além disso, o triângulo ADC terá, então, dois ângulos internos iguais a 360 . Isso implica
que ADC é isósceles e que, sendo CD igual a x, necessariamente AD = x.
AC CB
=
e fazendo as substituições,
Isso significa que
CB DB
x
1
=
=⇒ x2 + x − 1 = 0
x 1−x
cuja solução positiva é
√
5−1
CB = x =
2
Figura 13: Triângulo Isósceles ABC com um dos ângulos internos medindo 360 .
b determina-se o ponto H, médio do lado CB (Figura
Tomando, agora, a bissetriz do ângulo A,
13). Pelo fato do triângulo ABC ser isósceles, AH também é altura para tal triângulo. Isso
10
garante que AHB é retângulo em H. Daı́,
HB x/2
sen18 =
=
=
AB
1
0
√
5−1
4
Pela relação fundamental, cos2 180 + sen2 180 = 1 e
q
√
10 + 2 5
cos 180 =
4
e
√
5−1
sen180
0
= q
tg18 =
0
√
cos 18
10 + 2 5
Usando a relação fundamental e as Proposições (3) e (4) podemos encontrar seno, cosseno
e tangente para, por exemplo,
90 =
3
180
,
2
360 = 180 .2,
720 = 362 .2
Exercı́cios
(Fonte: Trigonometry, Cynthia Young, 3rd Edition)
1. Como parte de uma corrida de obstáculos os participantes devem subir até o topo de uma
escada colocada no lado de fora de um prédio e depois usar uma corda para escalar o resto
do caminho até chegar ao
√ telhado. A distância percorrida pode ser calculada utilizando a
fórmula d = 15senθ + 4 3, onde θ é o ângulo que a escada faz com o chão e d a distância
percorrida medida em metros. Encontre a distância exata percorrida pelos participantes
quando θ = 600 .
2. Um balão de ar quente é amarrado por cordas, por dois lados, formando um ângulo
de 450 com o pavimento. Se a altura do balão pode ser determinada multiplicando o
comprimento da corda pelo seno de 450 , encontre a altura exata do balão quando cordas
de 100m são usadas.
3. Um satélite (de 108m de comprimento e 73m de largura) está em órbita a uma distância
de 400km da terra. Se uma das antenas de comunicação da terra tem um desvio de 10 , o
que se pode dizer sobre os sinais trocados com o satélite?
4. Encontre a medida solicitada no triângulo retângulo (Figura 14) de acordo com as medidas
dadas:
(a) b
B = 350 , c = 17. Encontre a.
b = 550 , c = 22. Encontre a.
(b) A
b = 20.50 , b = 14.7. Encontre a.
(c) A
(d) b
B = 250 , a = 11. Encontre c.
b = 48.250 , a = 15.37. Encontre c.
(e) A
b
(f) a = 29, c = 38. Encontre A.
b
(g) b = 2.3, c = 4.9. Encontre A.
11
Figura 14: Triângulo Retângulo.
b = 210 170 , b = 210.8. Encontre a.
(h) A
(i) b
B = 150 200 , a = 10.2. Encontre c.
b = 400 280 1000 , a = 12.522. Encontre c.
(j) A
5. Resolva o triângulo retângulo (Figura 14) de acordo com as medidas dadas:
b = 320 , c = 12
(a) A
b = 440 , b = 2.6
(b) A
b = 600 , c = 5
(c) A
(d) b
B = 720 , c = 9.7
b = 54.20 , a = 111
(e) A
(f) b
B = 450 , b = 10.2
b = 280 230 , b = 1734
(g) A
(h) a = 45.2, b = 28.7
(i) a = 35.236, c = 42.766
6. A Figura 15 mostra uma situação de reabastecimento de aeronave em pleno ar, muitas
vezes utilizado por aviões militares. O ângulo de elevação da mangueira com relação ao
plano do avião que será reabastecido é de 360 . Se a mangueira tem 150m qual deve ser a
diferença de altitude entre as duas aeronaves?
Figura 15: Reabastecimento de Aviões em pleno ar.
12
7. Se um helicóptero de busca e resgate está voando a uma altitude de 150m acima do nı́vel
do mar (Figura 16), qual o diâmetro do cı́rculo iluminado na superfı́cie da água?
Figura 16: Helicóptero de busca e resgate.
8. Órbitas geoestacionárias são úteis pois fazem com que o satélite
pareça imóvel em relação a um ponto fixo na Terra. Algumas
antenas das ditas ”TVs por assinatura”(antenas tipo prato) podem
apontar numa direção fixa e manter um link com o satélite. Esse
tipo de satélite orbita na direção da rotação da Terra a uma altitude
de aproximadamente 35 000 quilômetros.
(a) Se sua antena de TV tem um erro de 100 (1 segundo) na
direção, que tamanho o satélite deveria ter para manter o
link?
(b) Se o satélite em uma órbita geoestacionária tem 10 metros
de comprimento, qual o erro máximo que a antena pode
ter ao apontar para o satélite?
9. Um canal construı́do para abastecer com água uma determinada comunidade tem seção
tranversal em forma de triângulo isósceles. Quando foi construı́do, o canal tinha uma
profundidade de 5m e o ângulo que define a forma do canal é de 600 . Se a superfı́cie da
água no canal hoje é de 4m, encontre a profundidade da água que corre pelo canal.
10. Do topo de uma escada de 12m o ângulo de depressão para o lado mais distante da calçada
é de 450 . Já o ângulo de depressão para o ponto mais próximo da calçada é de 650 . Qual
a largura da calçada?
13
11. A estrutura das moléculas é fundamental para
o estudo de quı́mica orgânica e tem inúmeras
aplicações para uma variedade de fenômenos
interessantes. A trigonometria desempenha um
papel importante na determinação de ângulos
de ligação de moléculas. Por exemplo, a estrutura do ı́on (FeCl4 Br2 )−3 é mostrada na figura ao
lado.
Determine o ângulo θ entre o eixo no qual estão
os átomos de Br e o segmento ligando Br a Cl.
12. Usando a informação contida na Figura 17 encontre a altura da montanha.
Figura 17:
13. Determine o valor de x no triângulo da Figura 18.
3.1
Respostas
√
23 3
1.
m
2
√
2. 50 2m
3. Haverá um desvio de cerca de 116m. Haverá perda de sinal.
4.
(a) a = 14
(b) a = 18
(c) a = 5.5
14
Figura 18:
(d) c = 12
(e) c = 20.6
b = 500
(f) A
b = 620
A
a = 82.12
c = 10.6
c = 19.293
(g)
(h)
(i)
(j)
5.
(a) b
B = 580 , a = 6.4, b = 10
(b) a = 2.5, c = 3.6, b
B = 460
√
5 3
5
(c) a =
,b = ,b
B = 300
2
2
b = 180 , a = 3.0, b = 9.2
(d) A
(e) b
B = 35.80 , b = 80.1, c = 137
b = 450
(f) a = 10, c = 14, A
(g) b
B = 61.620 , a = 936.9, c = 1971
b = 56.00 , b
(h) A
B, c = 51.3
b = 55.4800 , b
(i) A
B = 34.5200 , b = 24, 235
6. 88m
7. 80m
8.
(a) 170m
(b) 0.0000160
9. 3.5m
10. 3.4m
11. 138.30
12. 4000m
13. 2
15