Marilena Bittar
PPGEduMat – UFMS
Bolsista CNPq
16/08/2013.
• Passeio pela História
• Parâmetros Curriculares Nacionais
• Ensino – Livros Didáticos
• Aprendizagem
• Número irracional é um número aproximado?
• Toda raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito
é um número irracional?
•É possível representar √2 na reta numérica?
•É possível representar π na reta numérica?
• Naturais: necessidade social e histórica de contar
• Racionais: necessidade de medir
Os egípcios tinham a necessidade de comparar
comprimentos e estabelecer quantas vezes certo
comprimento cabia em outro. [...] Ao responder a
pergunta “Quantas vezes a unidade cabe no comprimento
a ser comparado?” surgem os números, sejam os naturais
sejam as frações. Estas deram, então, origem aos
números racionais.
Coleção Explorando o Ensino. Matemática. 2010
A
E
B
F
Segmentos comensuráveis e incomensuráveis
Dizemos que os segmentos AB e EF são comensuráveis se
existirem números inteiros m e n e um segmento CD tal que
AB = m CD e EF = n CD, e incomensuráveis em caso
contrário.
• Egípcios
• ~ 4.000 a. C. (a razão entre a área do círculo de raio r e seu
perímetro era igual a área do quadrado circunscrito no círculo
de raio r e seu perímetro)
•Pirâmide de Quéops ( ~2500 a. C.)
•Pirâmide áurea
2h/a =√ф
• Escola pitagórica
•Pitágoras ( ~572 a. C.)
•Filosofia pitagórica
•Quadrivirium: aritmética, geometria, música e astronomia
•Trivium: gramática, lógica e retórica.
•Símbolo da escola pitagórica: estrela
de cinco pontas inscrita em um
pentágono regular.
• Número de ouro: primeiro
irracional.
• Escola pitagórica: tudo é número.
• Toda fração pode ser representada na reta...
Os pitagóricos provaram a existência de um quadrado de área 2
Pode-se expressar a medida da diagonal, d, de um quadrado de
lado 1 por um número racional?
Pode-se expressar a medida da diagonal, d, de um quadrado de
lado 1 por um número racional?
Os pitagóricos acreditavam que a reta era formada somente por
racionais e sem “buracos”...
• Redução ao absurdo
• Aristóteles (384 a. C. 322 a. C.)
• Consiste em supor de √2 é racional (então pode ser
escrito na forma p/q, p e q primos entre si, q≠0, ....)
O problema da medida da diagonal só tem sentido no contexto
da Matemática. Na prática, o ato de medir um comprimento em
um objeto ou em um desenho, é sempre possível, e fornece,
como resultado, uma medida racional.
O número irracional surgiu em um contexto puramente
matemático.
[...] identifique o número irracional como um número de infinitas
casas decimais não-periódicas, identifique esse número com um
ponto na reta, situado entre dois racionais apropriados,
reconheça que esse número não pode ser expresso por uma
razão de inteiros; conheça números irracionais obtidos por raízes
quadradas e localize alguns na reta numérica, fazendo uso,
inclusive, de construções geométricas com régua e compasso.
Esse trabalho inicial com os irracionais tem por finalidade,
sobretudo, proporcionar contra-exemplos para ampliar a
compreensão dos números.
O conjunto dos números reais é formado pelos racionais e
pelos irracionais.
“Quantos” números irracionais conhecemos? Que conjunto
tem mais elementos: Q ou I?
É possível obter um número irracional pela divisão de dois
números racionais?
Na introdução dos números irracionais não se deixa claro,
por exemplo, que números irracionais como π e √2 , são
exatos, assim como todo número natural.
No entanto, a representação dos irracionais na base 10 (ou
em qualquer base), por serem dízimas infinitas e não
periódicas, só é possível com um número finito de casas
decimais, que são representações que os aproximam.
Outro aspecto que deixa a desejar é o uso de calculadoras
em atividades que envolvem dízimas periódicas e a
identificação de números irracionais pela observação de um
número finito de suas casas decimais.
(Guia do PNLD/2008)
Em todo processo de medição no mundo físico, a medida
produzida é sempre aproximada. Nas coleções, são pouco
exploradas atividades que, gradualmente, levem o aluno
a compreender e utilizar o conceito de aproximação das
medidas [...]. Em algumas obras, a falta de clareza sobre a
natureza aproximada da medição empírica pode gerar
dificuldades para a compreensão da representação
geométrica dos números irracionais.
(Guia do PNLD/2008)
•Mostrar a irracionalidade de um número usando a calculadora
•A representação decimal de √40 é
infinita e periódica ou infinita e não
periódica?
•Mostrar a irracionalidade de um número usando a calculadora
•A representação decimal de √40 é
infinita e periódica ou infinita e não
periódica?
Erro grave!
• Encontrar o π medindo...
Erro gravíssimo!
• Uso de representações incorretas/inadequadas
REZENDE, Veridiana. Conhecimentos sobre números irracionais
mobilizados por alunos brasileiros e franceses: um estudo com alunos
concluintes de três níveis de ensino. Tese de doutorado. Programa de Pósgraduação em Educação para a Ciência e a Matemática, Universidade Estadual
de Maringá, 2013
Teoria dos Campo Conceituais – Gérard Vergnaud
•Os números 3,14 ; √3 ; √-4 ; o,101001000... ; 0,333... não existem
•E 0,1254789635193...?
•Eu acho que... é porque ele não tem fim, então... eu acho que ele é
irracional.
É possível representar √2 na reta numérica?
• [...] eu acho que não. [...] Porque tem infinitas casas decimais.
[...] eu acho que não dá pra representar.
•Eu não sei se é possível. [...] Porque eu não sei se existe √2 .
Existe o quadrado de área 13cm²?
• [...] Pelas contas eu concordo, mas eu não sei. [...]
Concordo... [...] Fazer o quê?
A beleza da Matemática
Obrigada!