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Parte 7
Lista de Símbolos
1. Introdução
2. Descrição do equipamento
3. Parte teórica
4. Procedimento Experimental
1
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Parte 7
NOMENCLATURA OU SIMBOLOGIA
m2
A
Área da secção transversal
D
Diâmetro
m
De
Diâmetro equivalente
m
g
Aceleração da gravidade
h
Altura de passagem
m
H
Carga total
m
Hf
Perda por atrito
m
L
Comprimento do Tubo
m
m
Caudal mássico
P
Pressão
Q
Caudal volúmico
R
Recuperação da pressão
S
Distância
T
Tempo
V
Velocidade
w
Largura de passagem
m
Z
Cota piezométrica
m
ρ
Massa volúmica
µ
Viscosidade absoluta
m.s-2
kg.s-1
bar
m3.s-1
m
s
m.s-1
kg.m-3
N.s.m-2
2
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Parte 7
1. Introdução
O escoamento de um fluido tem de estar de acordo com um número de
princípios científicos, nomeadamente a conservação de massa e a conservação de
energia.
O primeiro princípio, quando aplicado a um escoamento de fluido através de uma
conduta exige que para ser uniforme a velocidade seja inversamente proporcional à área
de escoamento.
O segundo exige que se a velocidade aumentar, então, a pressão tem de
diminuir.
O aparelho de Bernoulli (P6231) demonstra ambos os princípios atrás indicados e
também pode ser usado para examinar o começo da turbulência num caudal de fluido
em aceleração.
Tanto a equação de Bernoulli como a equação de continuidade são ferramentas
analíticas essenciais para a análise da maioria dos problemas referentes à mecânica dos
fluidos.
3
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Parte 7
2. Descrição
O aparelho de Bernoulli consiste essencialmente num tubo de secção rectangular
convergente/divergente, bidimensional, concebido para se encaixar entre o Tanque de
Admissão de altura Constante Cussons P6103 e o Tanque de descarga com altura
Variável P6104. Ao tubo convergente/divergente encontra-se ligado um conjunto de
manómetros de pressão estática (através de onze tubos) (cf. figura 1). Existe um sistema
de injecção de tinta que permite que um único filamento de tinta seja introduzido na
abertura da secção convergente, a fim de possibilitar a visualização de regimes de
escoamento laminar e turbulento. A altura de estagnação sobre a secção de teste pode
variar de zero até um máximo de 450 mm. A secção de teste, que é fabricada a partir de
uma folha de acrílico, está ilustrada na figura 1.
Figura 1: Equipamento de Bernoulli
O tubo convergente / divergente é simétrico a partir da linha central, com uma
superfície superior horizontal plana, na qual se encaixam, por perfuração, as onze
tomadas de pressão estática. A superfície inferior fica num ângulo de 4º29’. A largura
do canal é de 6,35 mm. A altura do canal à entrada e à saída é de 19,525 mm e a altura
na garganta é de 6,35 mm. As tomadas estáticas estão colocadas a uma distância de
4
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Parte 7
25 mm, distribuídas pelo centro e, portanto, pela garganta. A área de escoamento em
cada tomada é tabelada conforme as dimensões indicadas na figura 2.
Figura 2: Dimensões do aparelho de Bernoulli.
Tubo de
medida
Área de
escoamento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
102,56
90,11
77,66
65,22
52,77
40,32
52,77
65,22
77,66
90,11
102,56
5
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Parte 7
3. Parte teórica
3.1 Teorema de Bernoulli (Daniel Bernoulli 1700-1782)
Considere um fluxo de tubo constante de um fluido de viscosidade nula como é
ilustrado na figura 3.
Figura 3: Fluxo de tubo
O comprimento do elemento δS é suficientemente pequeno, podendo-se
negligenciar qualquer curvatura do tubo de fluxo. A pressão e a velocidade variarão ao
longo do tubo de fluxo, mas uma vez que se parte do princípio de que o escoamento é
constante, estas propriedades não variarão com o tempo em qualquer ponto fixo. Na
extremidade de fluxo ascendente, assuma-se que a área com corte transversal é A, a
pressão estática P e a velocidade V. Na extremidade de fluxo descendente, estas
propriedades ter-se-ão alterado para δA, δP e Vδ, respectivamente. A altura da secção
de fluxo descendente será δZ mais alta do que a secção de fluxo ascendente. Considere
agora as forças que actuam sobre o elemento fluido na direcção de escoamento.
Pressão na parte de superior do fluxo
= PA
Pressão nos lados
= (P + δP) δA
Pressão na parte de inferior do fluxo
= (P + δP) (A + δA)
Força gravítica
= ρ g A δZ
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Parte 7
Não haverá forças de atrito assumindo que a viscosidade do fluido é nulo.
O resultado destas forças é:
PA + ( P + δP )δA − ( P + δP )( A + δA) − ρgAδZ
Expandindo e negligenciando ordens secundárias de pequenas quantidades, a força
resultante reduz-se para
− AδP − ρgAδZ
Aplicando a segunda lei de Newton ao longo da corrente de fluxo
Força = Massa × Acelaração
− AδP − ρgAδZ = ρAδS
δV
δt
Dividindo ambos por ρ A δS
−
Agora
1 δP
δZ δV
−g
=
ρ δS
δS δt
δV
δV δS
δV
pode ser substituída por
=V
δt
δS δt
δS
Daqui resulta
−
1 δP
δZ
δV
−g
=V
ρ δS
δS
δt
Visto que P, Z e V são ambas funções de S, logo as derivadas podem ser substituídas
pelas derivadas totais e rearranjando a equação esta pode ser escrita como:
−
1 dP
dV
dZ
+V
+g
=0
dS
dS
ρ dS
Esta é conhecida como a equação de Euler, e pode ser integrada em ordem a S,
desde que a variação da densidade ρ entre a distância S ao longo do fluxo de tubo seja
conhecida.
Quando o comportamento do líquido que é essencialmente incompressível é obvia e
razoável a suposição de que a densidade seja assumida como constante.
7
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Parte 7
Portanto integrando a equação de Euler para uma densidade constante vem:
P
ρ
+
V2
+ gZ = Constante
2
Ou dividindo ambos os membros por g
P V2
+
+ Z = Constante
ρg 2 g
Este resultado é conhecido como a equação de Bernoulli. Esta é aplicada a um fluxo
constante e incompressível e de viscosidade nula. A equação de Bernoulli mostra a
soma de três quantidades
P
= Altura piezométrica
ρg
V2
= Altura cinética
2g
Z = cota piezométrica
São constantes. Portanto os três termos podem ser permutáveis; por exemplo se num
sistema horizontal a altura cinética aumenta logo a altura piezometrica diminui.
3.2 Perda de carga pelo atrito
Se o fluido tem viscosidade nula então haverá uma pequena perda por atrito no
interior do fluido e entre o fluido e a parede do tubo. A equação de Bernoulli pode ser
modificada com a inclusão da perda de carga pelo atrito Hf.
P1 V12
P 2 V22
+
+ Z1 =
+
+ Z 2 + Hf
ρg 2 g
ρg 2 g
Onde a equação de Bernoulli pode ser escrita na forma de integrais e pode ser aplicada
entre a parte superior do fluxo, secção 1e a parte inferior do fluxo, secção 2.
8
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Parte 7
3.3 – A equação da continuidade
A equação da continuidade é uma alegação à conservação de massa.
Considerar o fluxo de tubo constante que atravessa uma secção de área como se mostra
na figura 3. Para um fluxo constante a massa de fluido que entra no fluxo de tubo na
secção 1 tem de ser igual a massa de fluido que sai no tubo na secção 2. A taxa da
massa do fluxo de tubo em qualquer secção ao longo do tubo tem de ser constante logo:
.
M = Constante
.
M = ρAV = Constante
Para um fluido incompressível e de densidade constante a equação da continuidade pode
ser escrita como:
AV = Constante
Para um fluxo de fluido incompressível numa conduta convergente ela segue para onde
a área é mais reduzida e consequentemente a velocidade aumenta, enquanto que numa
conduta divergente a área aumenta e a velocidade diminui. Aplicando a equação de
Bernoulli se a velocidade aumenta então a pressão deve diminuir enquanto que se a
velocidade diminuir a pressão deve aumentar. Este processo é ilustrado na figura 4.
A diminui
A aumenta
V aumenta
V diminui
P
P aumenta
diminui
Este é o bocal
Este é o difusor
Figura 4: Bocal e difusor
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Parte 7
3.4 – Aplicação do equipamento de Bernoulli da Cussons P6231
No equipamento de Bernoulli da Cussons P6231, a passagem é feita em duas
dimensões com uma largura constante, mas com variação linear da altura. Contudo, o
fluxo da área da passagem varia linearmente. Da equação da continuidade
.
M = ρAV = ρhwV
Onde h = altura da passagem
w = largura da passagem
Para este canal w é constante no tamanho desde que o canal é formado entre duas
chapas paralelas, daqui o produto hV = constante. A altura cinética
V2
2g
será
proporcional a h 2 e consequentemente a S 2 . O gráfico da altura de estagnação versus S
será uma parábola invertida.
Legenda
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Parte 7
Como consequência da perda na conduta por atrito pode ser investigado pela
comparação da altura de estagnação das posições com igual área para convergir e
divergir em diversas partes da conduta. Aplicando a equação de Bernoulli
P1 V12
P 2 V22
+
+ Z1 =
+
+ Z 2 + Hf
ρg 2 g
ρg 2 g
Visto que a passagem é horizontal Z1 = Z2. As duas posições de igual área e
velocidades, desta maneira a equação fica reduzida a:
Hf =
P1 P2
−
ρg ρg
A maior parte da pressão perdida que converge na conduta é convertida na parte
divergente da conduta. A classe de pressão convertida é dada por:
R=
H saida − H sec ção
H entrada − H sec ção
Experimentalmente é mostrado claramente enquanto que é possível mudar a pressão
para altura cinética sem no entanto perder energia significativa, mas é impossível mudar
a altura cinética para a pressão sem perdas.
3.5- Escoamento laminar e turbulento
Os regimes laminares e turbulentos do fluxo podem ser vistos pelo
comportamento de uma linha fina de tinta injectada no centro da passagem convergente.
Se esta condição for satisfeita, ou seja, se no início da conduta convergente a velocidade
é elevada mas laminar então a velocidade aumenta e o fluxo torna-se turbulento e a sua
transição pode ser observada pelo comportamento da tinta.
O número de Reynolds é definido por:
Re =
VDρ
η
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Parte 7
Para uma conduta rectangular é incluído o diâmetro equivalente para calcular o número
de Reynolds
De = 4
area de fluxo
perimetro molhado
O valor dos Re em que a turbulência começa é indicativo do número crítico mais
elevado de Reynolds do líquido. Similarmente, o valor em que turbulência diminui
finalmente é indicativo do Reynolds crítico mais baixo. A manipulação cuidadosa da
taxa de fluxo mostrará que a turbulência nos aspectos importantes desta experiência está
na facilidade com que a variação aleatória do fluxo pode ser conseguida e os testes
padrões correspondentes do fluxo ser observada.
4. Experiências
4.1 O equipamento de Bernoulli Cussons P6231 permite a realização de duas
experiências
Experiência 1
Verificação do Teorema de Bernoulli
Experiência 2
Demonstração do escoamento laminar e turbulento
4.2 Preparação do Equipamento
Colocar o Tanque de Admissão P6103 e o Tanque de Saída Variável P6104 nas
roscas de montagem existentes na superfície de trabalho da Bancada Hidráulica e ligar o
Aparelho de Bernoulli entre ambos, usando as uniões de ligação. Ligar a mangueira da
bancada de Alimentação ao Tanque de Cabeça de Admissão e ligar uma mangueira de
descarga à saída de descargas do Tanque de Cabeça de Admissão. Ligar o Reservatório
da Tinta ao topo do tanque de cabeça de Admissão, usando o clip de montagem junto e
assegurar-se de que o clip de mola está ligado à mangueira de borracha, para que não
possa correr tinta para a agulha injectora. Encher o reservatório com uma tinta miscível
em água (recomenda-se tinta azul lavável). Certificar-se de que a tinta pode correr pela
agulha injectora de tinta quando se ajustar o clip de mola. Se ocorrer um bloqueio de
tinta na agulha injectora, este é normalmente causado por não se ter lavado toda a tinta
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Parte 7
na utilização anterior do equipamento. Consegue-se normalmente rectificar o bloqueio,
fazendo passar água abundantemente pelo sistema injector de tinta. Remover a tampa de
bloqueio em metal da parte lateral do Tanque de admissão e inserir a Agulha de
injecção de Tinta de modo a que a ponta saia aproximadamente 20 mm para a secção
transparente de Teste Bernoulli. Para registar a altura do nível de água em cada um dos
tubos do manómetro, deve-se posicionar uma folha de papel com escala.
Experiência 1- Verificação da equação de Bernoulli
Objectivo: Verificar a equação de Bernoulli demonstrando a relação entre a altura
piezométrica e a altura cinética.
Preparação do equipamento: preparar o equipamento seguindo as especificações.
Entrada: entrada principal constante do tanque P6103
Teste a secção: Equipamento de Bernoulli P6231
Saída: saída variável do tanque P6104
Manómetro: introduza uma folha de gráfico 440 mm de altura por 325 mm de
largura atrás dos tubos do manómetro para fornecer um método fácil de obter um
registo dos resultados.
Procedimento experimental.
1. Ligue a bomba e inicie um fluxo da água através da secção de teste. Regule o
fluxo da entrada do tanque P6103 de modo que este seja pequeno mas constante.
Ajustar o tubo do giro (descarga), de modo para obter uma altura de 50mm.
2. Meça a altura do nível de água em cada tubo do manómetro marcando no papel
posicionado atrás dos tubos e registe a medição na folha de teste e o tempo
demorado para encher o tanque de medição de zero a 10 litros.
13
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Parte 7
3. Aumente a altura entre a entrada e a saída do tanque em incrementos de 50 mm,
até que o nível de água no centro do manómetro esteja fora da escala. Registar
outra vez as alturas do líquido nos tubos do manómetro no papel posicionado
atrás destes e medir o caudal de escoamento.
4. Analise de resultados
1. Registe os resultados na cópia da folha de resultados fornecida.
2. Calcule o caudal de escoamento para cada conjunto de resultados.
3. Para cada conjunto de resultados, calcule na secção transversal junto a cada tubo
do manómetro, a velocidade do fluxo e o número de Reynolds.
4. Trace um gráfico da altura versus distância e também
H +V 2
versus distância.
2g
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Parte 7
Folha de resultados do equipamento de Bernoulli P6231
Experiência 1 Verificação da equação de Bernoulli
Análise de resultados
Temperatura da água 0C
Quantidade
de
água
(litros)
Tubo
de
1
2
3
Densidade da água
Viscosidade da água
kg/m3
Ns/m2
Tempo de recolha da
Caudal volumétrico
água (seg)
Q (Litros/min)
4
5
6
7
8
9
10
medida
Área
de
escoamento
(mm2)
Altura
de
elevação
(mm)
Velocidade
m/s
Numero
de
Reynolds
Observações:
15
11
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Parte 7
Experiência 2 – Demonstração do regime laminar e turbulento
Objectivo: Demonstrar visualmente o fluxo laminar e a sua transição para turbulento a
uma velocidade particular.
Preparação do equipamento. Preparar o equipamento seguindo as especificações:
Entrada: entrada principal constante do tanque P6103
Secção de teste: Equipamento de Bernoulli
Saída: saída variável do tanque P6104
Manómetro: introduza uma folha de gráfico 440 mm de altura por 325 mm de
largura atrás dos tubos do manómetro para fornecer um método fácil de obter um
registo dos resultados.
Injecção da tinta: adaptado
Procedimento experimental.
1. Ligue a bomba e inicie um fluxo da água através da secção de teste. Regule o
fluxo da entrada do tanque P6103, de modo que este seja pequeno mas
constante. Ajustar o tubo do giro (descarga), para obter uma altura de
20 mm.
2. Deixe passar a tinta para o escoamento.
3.
Abra a pequena válvula na base do reservatório da tinta para esta fluir do
bocal até a entrada a canal. Isto será visível por uma corrente colorida ao
longo do aparelho. Se a tinta acumular em torno do bocal, aumentar a
velocidade do fluxo na passagem e/ou verificar o nível de tinta no depósito
de tinta.
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Parte 7
4. O regime laminar do fluxo será visível ao longo do comprimento da
passagem. Se isto não acontecer, reduzir o fluxo até que um a corrente de
tintura esteja visível ao longo da passagem.
5. Aumente de forma constante o caudal de escoamento, aumentando a
elevação total, com o cuidado de observar o estado do líquido na conduta,
tentando visualizar o início da instabilidade no escoamento de tinta. Anotar a
posição na passagem e medir o valor correspondente do caudal de
escoamento.
6. Mantenha uma observação atenta da passagem durante o aumento do fluxo
até o sistema estar completamente turbulento, sem se poder distinguir
qualquer mancha de tinta no tubo.
7.
Reduza o caudal em escoamento ao ponto da turbulência desaparecer e as
condições estáveis de fluxo laminar reaparecem ao longo de toda a
passagem. Meça o caudal em escoamento e anote a posição dos últimos
traços da turbulência.
8. Manipulação contínua do caudal em escoamento, quando observadas as
condições do fluxo, pode conduzir a uma apreciação visual útil do regime
laminar e turbulento.
9. Desligue a bomba e permita que o equipamento drene para o reservatório
principal.
Nota: o uso contínuo da tinta irá tingir a água da circulação. Quando este se
torna severo a água deve ser mudada. Não use água que contenha tintura noutro
equipamento.
10. Limpe completamente todo equipamento de todo o traço da água que contém
a tinta antes de voltar a utilizar.
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Parte 7
Análise de resultados:
1- Registe os resultados na folha fornecida.
2- Calcule o caudal em escoamento para cada conjunto de resultados.
3- Para cada conjunto de resultados, calcule na secção junto ao tubo do
manómetro, a velocidade do escoamento e o número de Reynolds.
4- Para um conjunto de resultados em que o fluxo mudou de laminar a
turbulento, determine o número crítico mais elevado de Reynolds
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