ÍNDICE
AGRADECIMENTOS
vii
PREFÁCIO
ix
PALAVRAS INICIAIS
xiii
CAPÍTULO I • MATRIZES
I.1 – Conceito de vector. Operações com vectores e algumas propriedades: adição de
vectores e multiplicação de um vector por um escalar. Combinação linear de um
conjunto de vectores.
1
I.2 - Produtos com vectores e normas: vectores ortogonais; conjunto ortogonal de
vectores; conjunto ortonormal de vectores.
15
I.3 - Conceito de matriz. Matrizes especiais: matriz linha, matriz coluna, matriz triangular,
matriz diagonal, matriz escalar, matriz identidade; matriz transposta, matriz ortogonal.
27
I.4 - Operações com matrizes e algumas propriedades: adição de matrizes, multiplicação
de uma matriz por um escalar e multiplicação de matrizes.
35
I.5 - Matrizes fraccionadas: conceito de submatriz, adição e multiplicação de matrizes
fraccionadas. Espaço coluna de uma matriz. Matrizes Elementares e Matriz de
Permutação.
53
I.6 – Inversão de matrizes.
65
CAPÍTULO II • SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
II.1 – Sistemas de equações algébricas lineares – breve revisão dos métodos gráfico, de
substituição e de adição ordenada.
73
II.2 – Resolução e discussão de sistemas de equações algébricas lineares. Condensação
de matrizes. Característica de uma matriz. Algoritmo de Gauss.
83
II.3 – Sistemas homogéneos. Conjunto solução de um sistema homogéneo. Espaço nulo
ou núcleo de uma matriz. Dependência e independência linear de filas paralelas de uma
matriz.
115
II.4 – Aplicação do estudo de sistemas de equações lineares na inversão de matrizes.
129
CAPÍTULO III • DETERMINANTES
III.1 – Introdução da noção de determinante. Determinante de primeira ordem e
determinante de segunda ordem: definição e propriedades.
137
III. 2 – Determinante de ordem n: definição e propriedades. Cálculo do determinante de
uma matriz à custa do determinante de uma matriz triangular obtida por eliminação de
Gauss.
143
III.3 - Aplicações dos determinantes no cálculo da matriz inversa e na resolução de
sistemas de equações lineares (regra de Cramer).
173
CAPÍTULO IV • VALORES PRÓPRIOS E VECTORES PRÓPRIOS
IV.1 – Conceito de valor próprio e vector próprio de uma matriz quadrada.
185
IV.2 – Polinómio característico de uma matriz quadrada.
189
IV.3 – Espaço próprio, multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um valor
próprio.
195
IV.4 – Diagonalização de matrizes.
203
IV.5 – Matrizes simétricas e matrizes anti-simétricas. Diagonalização de matrizes
simétricas. Espectro e decomposição espectral de uma matriz simétrica.
213
PALAVRAS FINAIS
229
BIBLIOGRAFIA
231
PREFÁCIO
Ensinar e estudar álgebra linear – nos primeiros anos do Ensino Superior –
continua, parece, a ser uma tarefa árdua.
A precedente afirmação fundamenta-se em factos de dois tipos: as queixas dos
ensinantes/ autores e dos estudantes/ leitores; e os vários estudos que têm vindo
a lume sobre o “problema da álgebra linear”, com relevância, ao que
conhecemos, para autores franceses e americanos.
O queixume tem: um nó – o carácter abstracto dos temas abordados; e um
horizonte – a (aparente) falta de aplicação dos conceitos.
Pois bem!
Quanto à abstracção: continua a haver dois trilhos essenciais – uns autores
partem do conceito de espaço vectorial; outros amaciam o caminho, apoiandose na teoria das matrizes. A abstracção estará sempre lá, e ainda bem!
Quanto às aplicações: muito se tem escrito, em textos didácticos, sobre a vasta
gama de aplicações da álgebra linear – sobretudo devido à larga difusão dos
computadores amigáveis – razão por que não é difícil convencer o
estudante/leitor da utilidade prática deste assunto.
E o texto que temos em mãos?
Dirige-se, essencialmente, a estudantes do 1º ciclo de estudos em Economia e
Gestão. É, porém, texto adaptável para estudantes de qualquer ramo do
conhecimento que seja cliente da álgebra linear: ciências duras ou ciências
moles; ciências exactas ou naturais; ciências humanas ou sociais.
A autora – com prática longa, diversificada, diferenciada, reflectida – resistiu a
duas tentações: a do egoísmo disciplinar (não pondo todo o peso na sua
disciplina em detrimento de outras); e a da inovação a todo o custo.
De facto, o texto em apreço: é modesto na sua ambição – texto de apoio a
estudantes que (passe a redundância...) vão às aulas; está escrito em linguagem
simples, rigorosa, densa e, mesmo, tensa; é pouco retórico e as notações são
adequadas e não suscitam confusão.
ix
Para quê mais um livro de álgebra linear e, ainda por cima, em língua
portuguesa?
Esta pergunta ocorrerá a muita gente: ensinantes, avaliadores de diversos
painéis... e, mesmo, estudantes.
Aberto este livro, encontramos um texto: breve, bem elaborado, bem estruturado
e escrito em bom Português.
Pensando nos principais destinatários e olhando pormenorizadamente para o
conteúdo, concluímos que estas Lições de Álgebra Linear têm futuro.
Destinando-se a alunos do primeiro ciclo de Economia e Gestão, está entendido
por que se trata de texto curto, rigoroso mas não presunçoso.
Alunos que vão às aulas! Se vão às aulas, que necessidade há para este texto?
A aula dá ao estudante o ambiente: para a motivação, para participar na
construção dos conceitos, para pressentir a aplicação, para medir a tensão entre
o rigor e a intuição.
Ter um texto destes à disposição permite ao estudante várias coisas: estar
disponível para usufruir das aulas em toda a plenitude, sem a preocupação de
registar informação; antecipar a ida à aula ou tentar suprir a lacuna, se lá não
foi; ter tempo, noutro espaço, para meditar sobre a matéria que lhe é proposta;
e medir forças com um texto que, apesar da escrita densa e tensa – como já
dissemos – encaminha, pacientemente, o leitor em passos seguros e sem atalhos
enganadores.
Escolhidos os principais destinatários, o conteúdo, adequadamente, centra-se nas
ferramentas que são as matrizes e os determinantes – com a finalidade de tratar
dos sistemas de equações algébricas lineares e, de caminho, estudar o problema
dos valores próprios.
No delicado tema dos valores próprios e vectores próprios vai-se longe, a ponto
de se incidir sobre os espaços próprios e fazer uma incursão pela decomposição
espectral duma matriz.
Ao longo do texto, há numerosos exemplos e exercícios, alguns dos quais, pelo
simples facto da sua formulação, indiciam a larga experiência docente da autora.
x
Este é um texto para os alunos se iniciarem na Álgebra Linear. Ficam estes
estudantes matematicamente maduros, mesmo que, com aturado esforço,
consigam dominar os conceitos aqui apresentados? É claro que não! Nem com
este texto, nem com nenhum outro.
O que é um estudante maduro? É alguém que, no fim dum ciclo, mais ou menos
demorado, de estudos, seja capaz de: manejar a verruma da intuição, empunhar
a enxó do rigor, afilar a ponta analítica, tecer a rede sintética, amolar o gume
crítico, abrir o dique da iniciativa, exercitar o músculo organizativo, rodar a
dobadoira da perseverança.
Para que um aluno devenha um estudante sazonado, não há livro de texto que
baste! Há que dar vida a um texto, isto é, há que acrescentar: o professor –
profissionalmente lúcido e civicamente empenhado; a escola – aberta e culta; e
o próprio estudante – que tem que trabalhar. Trabalhar no sentido seguinte: no
dever que tem de aproveitar o direito ao acesso ao abstracto, de não desperdiçar
a concedida oportunidade da prática da abstracção.
Vale a pena fazer tal esforço.
Coimbra, Abril de 2010
José Vitória
Professor Catedrático de Matemática Aposentado
Universidade de Coimbra
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