CONJUNTOS ÔMEGA-LIMITE PARA UMA CLASSE DE
PERTURBAÇÕES DESCONTÍNUAS DA IDENTIDADE
Marcos Luiz CRISPINO1
RESUMO: Será obtida uma condição suficiente para que a classe das componentes conexas de
cada um dos conjuntos ômega-limite +(α) de Fα pelo intervalo [0,1], seja finita. Aqui, as
funções Fα :[0,1]→[0,1] formam uma classe de perturbações descontínuas da identidade, e o
parâmetro α pertence a um subconjunto de N.
PALAVRAS-CHAVE: Sistemas dinâmicos discretos; equações de diferenças finitas.
1 Introdução
Por causa da grande diversidade de aplicações, sistemas dinâmicos discretos e
equações de diferenças finitas têm sido, ultimamente, objeto de interesse de grande
número de pesquisadores. Balibrea et al. (2003) obtiveram uma caracterização dos
conjuntos ômega-limite de funções Fα : [0,1]→[0,1] da forma F ( x, y ) = ( f 2 ( y), f1 ( x)) .
Atratores para sistemas dinâmicos discretos periódicos foram estudados por Franke e
Selgard (2003). Condições necessárias e suficientes para que a equação de diferenças
finitas xn+1=βxn+g(xn) (onde g é uma função simples descontínua) tenha soluções de
período 2k+1, 2m e (2k+1)2 m (onde k e m são inteiros positivos) foram obtidas por Yi e
Zhou (2003).
Neste artigo, será obtida, em primeiro lugar, uma condição suficiente para que a
classe das componentes conexas de cada um dos conjuntos ômega-limite +(α), das
funções Fα pelo intervalo [0,1], seja finita. Aqui, α = (α1, , α N ) pertence a um
subconjunto de N, onde N ≥ 2 , e as funções Fα : [0,1]→[0,1] formam uma classe de
perturbações descontínuas da identidade. Serão também deduzidas, a partir desta
condição, propriedades importantes dos conjuntos +(α).
2 Notações e preliminares
\
∏∞
n=0
é o complementar do conjunto A relativamente ao conjunto .
n
é o produto cartesiano da família de conjuntos (
n)n∈
.
1
Departamento de Energia Nuclear, Universidade Federal de Pernambuco – UFPE, CEP:
50740-540, Recife, PE, Brasil. E-Mail: [email protected] / [email protected]
Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.7-17, 2004
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Int( ), Cl( ), ∂( ) e D( ) são respectivamente o interior, o fecho, a fronteira e o
conjunto dos pontos de acumulação do conjunto .
Cl( ) é a classe das componentes conexas do conjunto .
(x;r) é a bola aberta de centro x e raio r. ( ;r) é a bola aberta de raio r em torno
do conjunto .
µ( ) é a medida de Lebesgue do conjunto
⊆ .
d(x,y) é a distância de x a y. d(x, ) é a distância de x ao conjunto
distância do conjunto ao conjunto .
seja:
e d( , ) é a
Seja N∈ , N≥2. Escolhida e fixada a partição ={s0, s1, ..., sN] do intervalo [0,1],
( )= ∏ Nj=1 ([− s j −1 ,1 − s j ] \ {0})
Em outros termos, ( ) é o conjunto dos vetores α=(α1, ...,αN)∈
seguintes condições:
α
j
≠ 0,
j = 1, 2 ,
− s j −1 ≤ α j ≤ 1 − s j ,
N
que cumprem as
, N
j = 1 , 2,
,N
Para cada vetor α=(α1, ...,αN)∈ ( ), seja Fα : [0,1]→[0,1], definida do seguinte
modo:
Fα ( x) =
x + α j , se s j −1 < x < s j ,
x,
x = sj,
se
j = 1, ..., N
j = 0, 1, ..., N
As funções Fα formam uma classe de perturbações descontínuas da função
identidade, a qual é indexada no conjunto ( )⊆ N. Os pontos de descontinuidade de Fα
são os pontos da partição , que são também os pontos fixos das Fα.
α, ), -(α
α, ) são respectivamente as órbitas positiva e negativa de Fα pelo
+(α
conjunto .
α,x), -(α
α, x) são respectivamente +(α
α,{x}), -(α
α, {x}).
+(α
Bn(α
α) é a classe das componentes conexas de Cl(Fαn([0, 1])), cujo interior é nãovazio.
α) é o conjunto ômega-limite de Fα por [0,1]:
+(α
α)=
+(α
∞
n =0
Cl(Fαn([0, 1]))
Um conjunto ⊆[0,1] diz-se positivamente invariante, ou invariante por Fα quando
Fα( )⊆ , e negativamente invariante por Fα quando Fα-1( )⊆ .
α,x) é n-periódica, ou de período n, quando Fα n ( x) = x
Seja n∈ , n≥1. Uma órbita +(α
enquanto que Fα j ( x) ≠ x para j≤n-1. Uma órbita +(α
α,x) diz-se não-periódica quando é um
conjunto (enumerável) infinito.
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3 Resultados
Lema 3-1: Seja ( ,d) um espaço métrico. Seja ( ) uma seqüência de subconjuntos não-
vazios, compactos e conexos de com
conjunto (não-vazio, compacto) conexo.
n+1
⊆
n
para todo n. Então
Demonstração: Supondo que
seja desconexo, sejam
não-vazios e disjuntos, de modo que:
=
1∩
1,
2
= ∞
n =0
n
é um
abertos-fechados em
,
(1)
2
O conjunto é compacto e, portanto, fechado. Sendo 1 e 2 fechados em , são
(Lima, 1977, p.78) ambos fechados em . Como 1 ⊆ e 2 ⊆ , 1 e 2 são ambos
compactos. Existem então conjuntos abertos disjuntos 1 , 2 ⊆ de modo que:
j⊆
Para estes
1
,
2,
1
∪
(2)
j = 1, 2
tem-se:
=
O conjunto
j,
1
2 sendo
∪
2⊆
1
∪
(3)
2
aberto, existe (Dugundgi, 1966, p.225-6) n0∈ tal que:
n ≥ n0
n⊆
1
Seja n ≥ n0 arbitrário. n sendo conexo e 1,
das afirmações mutuamente excludentes a seguir:
n∩
1=
∅
n∩
2=
∅
Em virtude de (2) e do fato de ser
⊆
n,
1=
∅
n∩
1=
n∩
2=
∅
n∩
2=
2
1,
2
2
sendo abertos e disjuntos, vale uma
tem-se:
n∩
Ora, os conjuntos 1,
Portanto, um dos conjuntos
∪
∅
∩
1=
∅
∅
∩
2=
∅
são disjuntos. Daí e de (1) segue
2 é vazio, contradição.
∩
j
=
j,
j = 1, 2.
Lema 3-2: Sejam ( ,d) um espaço métrico, ( n) uma seqüência de subconjuntos
compactos não-vazios de com n+1 ⊆ n para todo n, e = ∞n =0 n. Então, ⊆ é
uma componente conexa de se, e somente se, existe uma seqüência ( n)n∈ , com n ∈
Cn(
n)
e
n+1
⊆
n
para todo n, de modo que = ∞
n=0
n.
Demonstração: (i) Seja ∈ Cn( ) dada arbitrariamente. Como ⊆ ⊆ n para todo n,
é, para todo n, um subconjunto conexo de n. Com efeito, é, para todo n, a imagem
de in
pela inclusão in
→ n, a qual é contínua. Por conseguinte, existe, para cada n,
uma única componente conexa n de n tal que
⊆ n. Fica assim definida uma
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seqüência ( n) : →
= 0, 1, 2,... , tem-se:
∞
n =0
Cn(
n+1
n ),
⊆
⊆
com
n,
∈ Cn(
n
n)
para todo n. Como
n+1
⊆
n,
n
(4)
n = 0, 1, 2, ...
é, conforme o exposto anteriormente, um subconjunto conexo de n. Por isso, existe
∈ Cn( n) tal que n+1 ⊆ n. Para este n, tem-se ⊆ n+1 ⊆ n. Uma vez que vale
também ⊆ n, tem-se:
n+1
n
⊆
n.
⊆
n
(5)
n
Como n, n são componentes conexas de n e é não-vazio, de (5) decorre
Por conseguinte, a seqüência ( n) cumpre a condição:
⊆
Como
⊆
n
⊆
n
⊆
n+1
n,
n
=
(6)
n = 0, 1, 2, ...
para todo n, de (6) resulta:
⊆ ∞
n =0
n
⊆ ∞
n =0
n
(7)
=
Os n sendo componentes conexas dos n, são fechados em n, e, portanto,
compactos. Logo, ( n) é uma seqüência de conjuntos compactos e conexos. Por (6) e pelo
Lema 3-1, ∞n =0 n é um conjunto conexo. Resulta então de (7) e do fato de ser uma
componente conexa de (e portanto um subconjunto conexo maximal de ) que:
n
∞
n =0
=
n
(ii) Reciprocamente: Dada a seqüência ( n), com ( n) ∈ Cn( n) e n+1 ⊆ n para todo n,
seja
= ∞n =0 n. Pelo exposto no item (i) e pelo Lema 3-1,
é compacto e conexo.
Como ⊆ , existe uma única componente conexa
de tal que ⊆ . Para este
existe, conforme o item (i), uma seqüência ( n) ∈ ∏∞n =0 Cn( n) de modo que:
n+1
⊆
n,
=
⊆
Do fato de ser ⊆ decorre
n, n=0, 1, 2, ... , tem-se:
⊆
Sendo
Portanto:
n,
n
n
∩
⊆
n,
n=0, 1, 2, ...
∞
n =0
⊆
∞
n =0
n,
n=0, 1, 2, ... Uma vez que vale também
(8)
n=0, 1, 2, ...
componentes conexas de
=
n
n
=
n,
∞
n =0
de (8) resulta
n
n
=
n
para todo n.
=
o que conclui a demonstração.
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Observe-se que, para cada componente conexa
∞
n) ∈ ∏ n =0
(
(
n),
(
Cn(
n),
com
n+1
⊆
n
de
existe uma única seqüência
= ∞
n =0
para todo n, tal que
n)
são seqüências de subconjuntos de
n∩
n para todo n.
com
=
∞
n =0
n
=
n.
∞
n =0
Com efeito: se
n
então
⊆
Lema 3-3: Sejam ( ,d), ( n) e
como no Lema 3-2. Sejam p > 1 e 1, ..., p
componentes conexas de . Então existe n0 ∈ de modo que, para todo n ≥ n0 , existem
componentes conexas diferentes n(1), ..., n(p) de n tais que j ⊆ n(j), j = 1,..., p.
Demonstração: Como os j, j = 1, ..., p, são componentes conexas de , são conjuntos
compactos, pois são fechados em
e
é compacto. Assim sendo, para cada par de
índices diferentes (i, j) ∈ {1, ..., p}2, tem-se d( i , j)>0. Seja:
r = Min{d(
i
, j) : i, j =1, ... , p, i≠j}
Em vista do exposto anteriormente, r > 0. Os j sendo compactos, as bolas abertas
= ( j,r/2) são disjuntas duas a duas. Seja, para cada j ∈ {1, ..., p}, a seqüência ( n(j))
∈ ∏∞n =0 Cn( n), (que existe, conforme o Lema 3-2) tal que:
j
= ∞n =0 n(j), j=1, ..., p.
As bolas abertas j são conjuntos abertos que contêm j. Portanto, existe, para cada
j=1, ..., p, (Dugundgi, 1966, p.225-6) m(j)∈ de modo que:
j
n ≥ m(j)
n(j)
⊆
j
Tomando n0 = Max{m(j) : j = 1, ..., p}, obtém-se:
n ≥ n0
Como as bolas abertas
disjuntas duas a duas.
j
n(j)
⊆
j,
j = 1, ..., p.
são disjuntas duas a duas, as
n(j)
são, para todo n ≥ n0,
Lema 3-4: Seja ( ,T) um espaço topológico. Sejam U = ( 1, ..., n) uma classe finita de
subconjuntos conexos não-vazios de
e
= n∞=0 j. Então, valem as seguintes
propriedades:
(a) A classe Cn( ) das componentes conexas de é finita, sendo o número de seus
elementos menor ou igual a n.
(b) Para todo ∈ Cn( ), tem-se = { ∈U: ⊆ }.
Demonstração: Sendo os j conexos, existe, para cada j = 1, ..., n, uma única
componente conexa j de
tal que j ⊆ j. Fica então definida uma função G:U→
Cn( ), por G( j) = j, j = 1, ..., n. Dado ∈ Cn( ) arbitrário, seja x ∈ tal que x ∈ .
Para este x, existe j = j(x) ∈ {1, ..., n} tal que x ∈ j. Como j é conexo e é uma
componente conexa de , tem-se, pela maximalidade de , j ⊆ . Segue daí que G é
sobrejetora. Como a classe U é finita, Cn( ) é também finita (Lima, 1995, Corolário 2,
p.35), e o número de seus elementos é menor ou igual a n. Logo, a propriedade (a) segue.
Seja ∈ Cn( ) dado arbitrariamente. É evidente que vale:
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{ ∈U :
x∈
⊆ }⊆ .
(9)
Em vista do exposto anteriormente, existe, para todo x ∈ , um conjunto
e ⊆ . Portanto,
De (9) e (10) resulta
⊆
{ ∈U:
⊆ }
=
{ ∈U:
⊆ }.
∈ U com
(10)
É importante lembrar aqui o significado do símbolo Bn(α):
Bn(α) : { ∈ Cn(Cl(Fαn([0,1]))) : Int( )≠0}
Lema 3-5: Dada a partição ={s0, s1, ..., sn} de [0,1], seja α=(α1, ..., αn) ∈ ( ) . Então,
valem as seguintes propriedades:
(a) Para todo intervalo aberto ⊆ [0,1] e para todo n ∈ existe um conjunto n =
e existe uma classe finita Un = Un(α) de intervalos abertos de modo
n(α) ⊆
{ : ∈Un}.
que Fαn( ) = n ∪
(b) Para todo n tem-se Fαn([0,1]) = ∪
são intervalos abertos.
(c) A classe Cn(Cl(Fαn([0,1]))) é finita
(d) Para todo y ∈ [Cl(Fαn([0,1]))]\ existe
Demonstração: (i) Seja
de Fα. Por esta razão,
M (n)
k =1
nk
, onde os
nk,
k = 1, ..., M(n),
∈Bn(α) tal que y ∈ .
⊆ [0,1] um intervalo aberto. Os pontos sj ∈
Fα( )= Fα(( ∩ )∪( \ )) = ( ∩ )∪Fα( \ )
são pontos fixos
(11)
Do fato de ser:
\ =
N
j =1
( ∩(sj-1 , sj))
decorre:
\ =
P
k =1
k,
(12)
onde P ≤ N e k é, para cada k = 1, ..., P, um intervalo aberto contido em (0,1)\ . A
restrição Fα (sj-1 , sj) de Fα a (sj-1 , sj) é, para cada j = 1, ..., N, uma translação. Assim
sendo, k = Fα( k) é, para todo k = 1, ..., P, um intervalo aberto. Decorre então de (11) e
(12) que a propriedade (a) vale para n = 1. Admitamos que a propriedade (a) seja válida
para n ≥ 1. Sejam então n ⊆ e Un={ n1, ..., nM} uma classe finita de intervalos abertos
de modo que Fαn( ) = n ∪ Mj=1 nj. Tem-se:
Fαn+1( ) = Fα(Fαn( )) = n ∪ Mj=1 Fα( nj)
(13)
Decorre de (13) e do exposto anteriormente que (a) é válida para n+1. Por
conseguinte, (a) é válida para todo n≥1. Para n = 0, (a) é evidente. Logo, (a) é verdadeira
para todo n∈ .
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(ii) Para provar (b), é suficiente aplicar a propriedade (a) já demonstrada à
expressão:
Fαn([0,1]) =
∪
N
j =1
Fαn(sj-1 , sj).
Por (b), existe, para cada n, uma classe finita {
abertos tal que Fαn([0,1]) = ∪ kM=1( n ) nk . Portanto:
Cl(Fαn([0,1])) =
∪
M (n)
k =1
Cl (
nk
: k = 1, ..., M(n)} de intervalos
nk).
De (14) e do Lema 3-4 decorre (c). Resulta também de (14) a igualdade:
[Cl(Fαn([0,1]))]\ = kM=1( n ) ([Cl( nk)]\ )
Os nk sendo intervalos abertos, (d) segue.
(14)
(15)
Teorema 3-6: Seja ={s0, s1, ..., sn} uma partição de [0,1]. Dado α ∈ ( ) , suponhamos
que exista c = c(α) > 0 de modo que Min{µ( ) : ∈Bn(α)} ≥ c para n = 0, 1, 2, ... Nesta
condição, valem as seguintes afirmações:
(a) A classe das componentes conexas do conjunto ômega-limite +(α) de Fα por
[0,1], é finita.
(b) Existe n0∈ tal que, para todo n≥n0, Cn(Cl(Fαn([0,1]))) e Cn( +(α)) têm o
mesmo número de elementos.
Demonstração: (i) Pelo Lema 3-5, Cn(Cl(Fαn([0,1]))) é finita para todo n. Seja então Kn,
n = 0, 1, 2, ..., o número de componentes conexas de Cn(Cl(Fαn([0,1]))). Resulta também
do Lema 3-5 que, se ∉Bn(α) então
⊆ . Portanto, Cn(Cl(Fαn([0,1]))) possui, no
máximo, N+1 componentes conexas de interior vazio. Pela condição do enunciado
anteriormente, Cn(Cl(Fαn([0,1]))) possui, no máximo, 1/c componentes conexas de
interior não-vazio. Em conseqüência, o conjunto {Kn : n ∈
é um subconjunto limitado
de . Seja K o maior elemento do conjunto {Kn : n ∈
. Sendo +(α) =
∞
n
n =0 Cl(Fα ([0,1])), resulta do Lema 3-3 que Cn( +(α)) é finita, e o número de seus
elementos não excede K.
(ii) Pela propriedade (a) já demonstrada, Cn( +(α)) é finita. Sejam então:
Cn( +(α)) = {
1,
...,
M}
= {[a1,b1], ..., {[aM,bM]}
ρ = Min{d( i, j) : i, j ∈ {1, ..., M}, i≠ j}.
Sendo os j = [aj,bj] compactos, ρ>0. Logo, Min{ρ/2,c/2}>0. O conjunto dos
extremos aj, bj dos intervalos j é finito. Logo, é possível obter r ∈ , 0<r< Min{ρ/2,c/2},
de modo que, para cada j = 1, ..., M, vale:
( ( j;r)\ j)∩[0,1] = ((aj-r,aj)∪ (bj,bj+r)) ∩ [0,1] ⊆ [0,1]\
(16)
Seja então r ∈ (0, Min{ρ/2,c/2}) tal que (16) é satisfeita. Existe (Dugundgi, 1966,
p.225-6) m1 ∈ tal que:
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N ≥ m1
Cl(Fαn([0,1])) ⊆
M
k =1
(
k ,r)
(17)
Pelo Lema 3-3, existe m2 ∈ de modo que existem, para todo n ≥ m2, componentes
n
conexas diferentes
n1, ..., nM de Cl(Fα ([0,1])), tais que:
k⊆
nk
⊆ (
k,r),
k=1, ..., M
(18)
Seja n0=Max{m1,m2}. Dado n ≥ n0 , sejam n1, ..., nM componentes conexas
diferentes de Cl(Fαn([0,1])) tais que (18) é satisfeita. Admitamos que Cl(Fαn([0,1]))
possua alguma componente conexa diferente das n1, ..., nM. Sendo n ≥ m1, tem-se,
conforme (17), ⊆ kM=1 ( k,r). Pela escolha de r feita anteriormente, as bolas abertas
( k,r) são disjuntas duas a duas. Portanto, existe um único k ∈ {1, ..., M} tal que ⊆
( k,r). Para este k, tem-se também k ⊆ nk ⊆ ( k,r). Uma vez que ≠ nk , ∩ nk
= ∅ , donde ∩ k = ∅. Assim sendo, ⊆ ( k,r)\ k. Como ⊆ [0,1] , tem-se:
⊆( (
k,r)\
k)
∩ [0,1] = ((ak-r,ak) ∪ (bk,bk+r)) ∩ [0,1]
(19)
Por (19) e pela escolha de r feita anteriormente,
⊆ [0,1]\ , logo Int( ) ≠ ∅,
conforme o Lema 3-5. Pela hipótese do enunciado, µ( ) > c. Por outro lado, sendo
conexo, tem-se ⊆ (ak-r,ak) ou ⊆ (bk,bk+r), donde µ( ) ≤ r < c/2, contradição. Daí
segue a propriedade (b).
Teorema 3-7: Seja α ∈ ( ), onde é uma partição do intervalo [0,1]. Suponhamos que
Cn( +(α)) é finita. Então Int( +(α)) é não-vazio e positivamente invariante.
Demonstração: (i) Para todo n ≥ 1, o conjunto n(α), dos x ∈ [0,1], para os quais a órbita
+(α,x) é n-periódica (note que 1(α)= ), cumpre Fα( n(α)) = n(α), e portanto n(α) =
Fαk( n(α)) ⊆ Cl(Fαk([0,1])) para todo k. Logo n(α) ⊆ +(α), para todo n ≥ 1. De acordo
com o Teorema 4-1 de Crispino (1996, p.291), n(α) é aberto para todo n ≥ 2. Portanto, se
n(α) ≠ ∅, para algum n ≥ 2, então Int( +(α)) é não-vazio. Se, por outro lado, n(α) é
vazio para todo n ≥ 2, então existe, conforme o Corolário 4-8 de Crispino (1996, p.297),
x∈[0,1] tal que +(α,x) é um conjunto (enumerável) infinito. Para este x, seja y∈
D( +(α,x)). Seja (yj) : → +(α,x) uma seqüência infinita (a qual existe) de modo que
lim(yj)=y. Para cada j, existe (nj) ∈ tal que yj = Fαn(j)(x). A seqüência (yj) sendo infinita,
o conjunto {n(j) : j ∈ } é infinito. Existe então uma seqüência (m(j)) em tal que m(j) <
m(j+1) e lim Fαn(j)(x) = y. Logo, y ∈ +(α). Como y é arbitrário, segue D( +(α,x)) ⊆
j →∞
+(α). Pelo Teorema 4-5 de Crispino (1996, p.295), D( +(α,x)) é um conjunto infinito.
Como Cn( +(α)) é finita, pelo menos uma das componentes conexas de +(α) é um
intervalo de interior não-vazio. Logo, (a) segue.
(ii) Dado arbitrariamente x ∈ Int( +(α)), admitamos Fα(x) ∈ ∂( +(α)). Então Fα(x)
≠ x, logo x∈[0,1]\ (de fato, se fosse x∈ ter-se-ia Fα(x) = x). Sendo Int( +(α)) e [0,1]\
ambos abertos, existe r > 0 de modo que:
(x-r,x+r) ⊆ Int( +(α)) ∩ [0,1]\
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Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.7-17, 2004
Para este r, (x-r,x+r) ⊆ (sj-1,sj) para algum j ∈ {1, ..., N}. Logo,
Fα((x-r,x+r)) = (x+aj-r,x+aj+r) = (Fα(x)-r, Fα(x)+r)
Pelo Teorema 4-1 de Crispino (1997, p.842), +(α) é positivamente invariante. Por
isso, (Fα(x)-r, Fα(x)+r) = Fα(x-r, x+r) ⊆ +(α). Por outro lado, da hipótese Fα(x) ∈
∂( +(α)) segue (Fα(x)-r, Fα(x)+r)/ +(α) ≠ ∅, contradição. Logo, x ∉ ∂( +(α)). Pela
invariância de +(α), tem-se Fα(x) ∈ +(α). Portanto, Fα(x) ∈ Int( +(α)). Daí conclui-se
que Int( +(α)) é positivamente invariante.
Corolário 3-8: Suponhamos Cn( +(α)) finita. Então, para todo x ∈[0,1] com
infinita, existe m(x) ∈ tal que:
n ≥ m (x )
+(α,x)
Fαn(x) ∈ Int( +(α))
Demonstração: A fronteira ∂( +(α)) de +(α) é um conjunto finito. Portanto, se +(α,x) é
infinita, então D( +(α,x)) ∩ Int( +(α)) ≠ ∅ (de fato, D( +(α,x)) é um conjunto infinito
contido em +(α)). Assim sendo, existe y ∈ D( +(α,x)) ∩ Int( +(α)). Uma vez que
Int( +(α)) é aberto, existe u ∈ +(α,x) ∩ Int( +(α)). Por conseguinte, Fαm(x)(x) ∈
Int( +(α)) para algum m(x) ∈ . Pelo Teorema 3-7, Int( +(α)) é positivamente
invariante. Logo, n ≥ m(x) Fαn(x) ∈ Int( +(α)).
Observações 3-9:
(a) Para demonstrar a invariância positiva de Int( +(α)), (item (ii) da prova do Teorema
3-7) não é necessário supor Cn( +(α)) finita. Portanto, Int( +(α)) é, em qualquer caso,
positivamente invariante.
(b) Para todo y ∈ [0,1], Fα-1({y}) é um conjunto finito. Com efeito, existe, em cada
intervalo (sn-1,sn) da partição , no máximo um ponto xn tal que Fα(xn)=y. Decorre daí (por
indução em n) que Fα-n({y}) é, para todo n, um conjunto finito. Logo, se ⊆ [0,1] é um
conjunto finito, então Fα-n( ) é finito para todo n.
(c) Dado ⊆ [0,1], seja p ∈ . Sendo Fα-(q+1)( ) = Fα-1(Fα-q( )), tem-se, por indução em
n:
Fα-(p+1)( ) ⊆ Fα-p( )
Fα-(p+m)( ) ⊆ Fα-p( ), m=1, 2, ...
Logo,
Fα-(p+1)( ) ⊆
-(α,
)=
p
n =0
Fα-n( )
(d) Se Fα-1(∂( +(α))) ⊆ +(α), então Fα-1(∂( +(α))) ⊆ ∂( +(α)), pois Int( +(α)) é,
conforme o Teorema 3-7, positivamente invariante.
(e) Dado n ∈ , seja x ∈ [0,1], tal que Fαn+1(x) ∈ ∂( +(α)), enquanto que Fαn(x) ∈ [0,1]\
∂( +(α)). Suponhamos Fαk(x) ∈ +(α) para algum k ≤ n. Então Fαn(x) ∈ +(α), pela
invariância positiva de +(α). Sendo Int( +(α)) positivamente invariante, não se pode ter
Fαn(x) ∈ Int( +(α)), donde Fαn(x) ∈ ∂( +(α)). Desta contradição resulta Fαk(x) ∈
∂( +(α)) para k = 0, ..., n.
Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.7-17, 2004
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Teorema 3-10: Seja α ∈ ( ), onde é uma partição do intervalo [0,1]. Suponhamos
Cn( +(α)) finita. Nesta condição, a órbita negativa -(α,∂( +(α))) de Fα por ∂( +(α)) é
um conjunto finito.
Demonstração: Suponhamos -(α,∂( +(α))) infinita. Sendo Cn( +(α)) finita, ∂( +(α)) é
também finita. Então (Observação 3-9-b) Fα-n(∂( +(α))) é, para todo n, um conjunto
,
finito. Logo, se fosse Fα-(n+1)(∂( +(α))) ⊆ Fα-n(∂( +(α))) para algum n ∈
(α,∂( +(α))) seria (Observação 3-9-c) um conjunto finito. Por conseguinte, a hipótese
feita anteriormente leva a:
Fα-(n+1)(∂( +(α)))\Fα-n(∂( +(α))) ≠ ∅, n = 0, 1, 2, ...
que:
Portanto existe (Observações 3-9-d e 3-9-e), para cada n ∈
(20)
, xn ∈ [0,1], de modo
Fαn+1(xn) ∈ ∂( +(α))
Fαk(xn) ∈[0,1]\
Seja
= Fα-1(∂( +(α)))\
compacto, tem-se:
+(α).
+(α),
(21)
k=0, ..., n
é um conjunto finito não-vazio. Sendo
r=d( , +(α)) > 0
Uma vez que
que:
+(α)
n≥m
=
∞
n =0
+(α)
(22)
Cl(Fαn([0,1])), existe (Dugundgi, 1966, p.225-6) m ∈
Fαn([0,1]) ⊆ Cl(Fαn([0,1])) ⊆ ( +(α),r/2).
, tal
(23)
Para este m existe, conforme o exposto anteriormente, xn ∈ [0,1] que cumpre, para n
= m, as condições (21). Sendo Fαm+1(xm) = Fα(Fαm(xm)), Fαm(xm) ∈ Fα-1(∂( +(α))) (pois
Fαm(xm) ∈ ∂( +(α)), conforme (21). Como Fαm(xm) ∈ [0,1]\ +(α), tem-se:
Fαm(xm) ∈
e portanto:
d(Fαm(xm), +(α)) ≥ d( , +(α)) = r
Por outro lado, de (22) resulta:
Fαm(xm) ∈
Desta contradição decorre que
-(α, +(α))
( +(α),r/2)
é um conjunto finito.
Teorema 3-11: Na condição do Teorema 3-6, valem as seguintes afirmações:
(a) Int( +(α)) é não-vazio e positivamente invariante.
(b) Para todo x ∈ [0,1] com -(α,x) infinita, existe m(x) ∈
tal que Fαn(x) ∈
Int( +(α)), qualquer que seja n maior ou igual a m(x).
(c) A órbita negativa -(α,∂( +(α))) de Fα por ∂( +(α) é um conjunto finito.
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Demonstração: Com efeito, na condição do Teorema 3-6, a classe Cn( +(α)) das
componentes conexas de +(α) é finita. Portanto, do Teorema 3-7, do Corolário 3-8 e do
Teorema 3-9 segue o enunciado anteriormente.
CRISPINO, M.L. Omega-limit sets for a class of discontinuous perturbations in the
identity. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.7-17, 2004.
ABSTRACT: In this work, we deduce a sufficient condition for the finiteness of the classes of
connected components of the omega-limit sets +(α
α) of functions Fα by the interval [0,1]. Here,
functions Fα : [0,1]→[0,1] form a class of discontinuous perturbations in the identity map.
KEYWORDS: Discrete dynamical systems; finite difference equations.
Referências
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Recebido em 06.06.2002.
Aprovado após revisão em 07.02.2003.
Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.7-17, 2004
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