TRIÂNGULO RETÂNGULO
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Qualquer livro intitulado Como a mente funciona deveria começar com uma nota de humildade; começarei com duas.
Primeiro, não entendemos como a mente funciona – nem de longe tão bem quanto compreendemos como funciona o corpo, e
certamente não o suficiente para projetar utopias ou curar a infelicidade. Então, por que esse título audacioso? O linguista Noam
Chomsky declarou certa vez que nossa ignorância pode ser dividida em problemas e mistérios. Quando estamos diante de um
problema, podemos não saber a solução, mas temos insights, acumulamos um conhecimento crescente sobre ele e temos uma
vaga ideia do que buscamos. Porém, quando defrontamos um mistério, ficamos entre maravilhados e perplexos, sem ao menos
uma ideia de como seria a explicação. Escrevi este livro porque dezenas de mistérios da mente, das imagens mentais ao amor
romântico, foram recentemente promovidos a problemas (embora ainda haja também alguns mistérios!). Cada ideia deste livro
pode revelar-se errônea, mas isso seria um progresso, pois nossas velhas ideias eram muito sem graça para estar erradas.
Em segundo lugar, eu não descobri o que de fato sabemos sobre o funcionamento da mente. Poucas das ideias
apresentadas nas páginas seguintes são minhas. Selecionei, de muitas disciplinas, teorias que me parecem oferecer um insight
especial a respeito dos nossos pensamentos e sentimentos, que se ajustam aos fatos, predizem fatos novos e são coerentes em
seu conteúdo e estilo explicativo. Meu objetivo foi tecer essas ideias em um quadro coeso, usando duas ideias ainda maiores que
não são minhas: a teoria computacional da mente e a teoria da seleção natural dos replicadores.
(PINKER, Steven. Como a Mente Funciona. São Paulo: Companhia das Letras, 1998, p. 9.)
1. Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como
ilustra a figura abaixo. Que porção x da altura do cano permanecerá acima da superfície?
1
cm
2
b) 1 cm
a)
c)
3
cm
2
cm
2
e) 2 cm
d)
2. Considere um triângulo ABC retângulo em C e
da hipotenusa desse triângulo?
ˆ
o ângulo BAC.
Sendo AC 1 e sen( )
1
, quanto vale a medida
3
a) 3
b)
2 2
3
c)
10
3 2
4
3
e)
2
d)
3. Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A,
mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um
ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . A figura ilustra essa
situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo
30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a
distância AB 2000 m . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P
será
a) 1000 m .
b) 1000 3 m .
3
m.
3
d) 2000 m .
e) 2000 3 m .
c) 2000
4. Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P1 , um barco ancorado no horizonte norte na posição B. Nesta
posição P1 , o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 90°, como mostrado na figura a seguir.
Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a partir da posição P2 . Neste novo
ponto de observação P2 , o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 45°.
Qual a distância P2B aproximadamente?
a) 1000 metros
b) 1014 metros
c) 1414 metros
d) 1714 metros
e) 2414 metros
5. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de 60º , conforme a figura.
Dados: sen 60º
3
; cos 60º
2
1
; tg 60º
2
3.
A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km , é
a) 600 dam
b) 12.000 m
c) 6.000 3 dm
d) 600.000 3 cm
6. A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um triângulo retângulo, sabemos que
cat. oposto
cat. adjacente
cat. oposto
senθ
, cos θ
e tgθ
. Considere o triângulo abaixo e as proposições I, II e
cat.adjacente
hipotenusa
hipotenusa
III.
I. o ΔABC é retângulo em B.
II. cos  0,8
32
III. sen  tg Â
15
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a proposição I é verdadeira.
b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
d) Apenas a proposição II é verdadeira.
e) Todas as proposições são verdadeiras.
7. Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte peruana deixou o Estado do Amazonas em situação
de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca desde 2005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem
profundidade para que balsas com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já
declarou situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta – etapa imediatamente anterior à situação de emergência –
em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda permitem plenas condições de navegabilidade.
Texto adaptado de: http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-nivel-do-rioamazonasdiminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ Acesso em: 10 nov. 2010.
Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma um ângulo de
120º com a margem do rio; que a largura do rio, teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância
AB em metros percorrida pela embarcação foi de...
Dados:
0º
45º
60º
Seno
Cosseno
Tangente
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1
3
a) 60 3 metros.
b) 40 3 metros.
c) 120 metros.
d) 20 3 metros.
e) 40 metros.
8. Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 30°
com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor 1,73
para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente:
a) 59 m
b) 62 m
c) 65 m
d) 69 m
e) 71 m
9. Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu
nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte
do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento
da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um
ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se
vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
10. O valor de
cos 45
sen30
cos60
é:
a)
2 1
b) 2
c)
2
4
d)
2 1
2
e) 0
11. Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do ângulo A F̂ B é igual a 30º.
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a
a) 200 3.
b) 100 2.
c) 150 3.
d) 250 2.
12. Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma superfície plana inclinada
e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de certa praça, há um
escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e
a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir.
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de:
a)
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2m
2m
2m
2m
2m
13. Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria.
Sabendo que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 20 cm e que a base do plano inclinado mede 280 3 cm, conforme
mostra a figura, então a escada deverá ter:
a) 10 degraus.
b) 28 degraus.
c) 14 degraus.
d) 54 degraus.
e) 16 degraus.
14. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área
de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o
maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a
terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde,
aproximadamente, a
(considere
3
= 0,58)
3
a) 50%.
b) 43%.
c) 37%.
d) 33%.
e) 19%.
15. Para representar as localizações de pontos estratégicos de um acampamento em construção, foi usado um sistema de eixos
cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura a seguir, em que os pontos F e M representam os locais onde serão construídos
os respectivos dormitórios feminino e masculino e R, o refeitório.
Se o escritório da Coordenação do acampamento deverá ser equidistante dos dormitórios feminino e masculino e, no sistema,
sua representação é um ponto pertencente ao eixo das abscissas, quantos metros ele distará do refeitório?
a) 10 3
b) 10
c) 9 3
d) 9
e) 8 3
16. Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura
desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O
π
radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e
3
o ângulo então obtido foi de â radianos, com tg â = 3 3 .
ângulo determinado entre o raio e o solo foi de á =
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é
a) 4 3
b) 5 3
c) 6 3
d) 7 3
e) 8 3
17. Dois edíficios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do edifício X (ponto P),
mede um ângulo á em relação ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que
RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ângulo â em relação ao ponto Q no
edifício Y.
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tg á = 4 tg â, a altura h do edifício Y, em metros, é:
40
.
3
50
b)
.
4
a)
c) 30.
d) 40.
e) 50.
18. As medidas dos lados dos triângulos a seguir são dadas em cm. O valor de x + y é:
a) 8 cm.
b) 10 cm.
c) 13 cm.
d) 9 cm.
e) 11 cm.
19. Uma empresa de engenharia deseja construir uma estrada ligando os pontos A e B, que estão situados em lados opostos de
uma reserva florestal, como mostra a figura a seguir.
A empresa optou por construir dois trechos retilíneos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos com o mesmo comprimento.
Considerando que a distância de A até B, em linha reta, é igual ao dobro da distância de B a D, o ângulo á, formado pelos dois
trechos retilíneos da estrada, mede
a) 110°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
20. Um avião levanta voo sob um ângulo de 30°. Então, depois que tiver percorrido 500 m, conforme indicado na figura, sua
altura h em relação ao solo, em metros, será igual a:
Considere sen 30° = 0,50 ou cos 30° = 0,87.
a) 250
b) 300
c) 400
d) 435
21. Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de uma escada rolante, conforme a figura
a seguir.
A altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar ao segundo pavimento, é:
a) 15
b) 10
c) 5
d) 3
e) 2