CURSO – ENGENHARIA ELÉTRICA
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Disciplina:
Probabilidade e Estatística
Selma Rozane
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INTERVALO DE CONFIANÇA
INTRODUÇÃO
Frequentemente necessitamos, por meio das amostras,
conhecer informações gerais da população.
Sabemos que a estatística indutiva é a ferramenta que vai
nos auxiliar neste processo, ou seja, vai nos permitir tirar
conclusões probabilísticas sobre aspectos das populações,
com base na observação de amostras extraídas dessas
populações.
2
INTERVALO DE CONFIANÇA
A construção de intervalo de confiança fundamentase nas distribuições amostrais. Sua “lógica” é:
Seja  um parâmetro populacional.b
Seja ˆ um estimador de  .
Conhecida a distribuição de probabilidade de ˆ, é possível
construir um intervalo: ˆ    ˆ que contém  , e se exigir
1
2
que a probabilidade do intervalo seja (1   )  nível de confiança.
Geralmente (1   ) 100  90% ; 95% ; 97% ; 99%
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
POPULACIONAL ()
1 - Desvio Padrão ( ) conhecido (População infinita)
Como
x 
N (1, 0)

n
podemos determinar, pela tabela da distribuição normal padrão,

o número Z tal que P( Z  2 )  , e portanto:
2
2



x 
P   Z / 2    Z  / 2   1  


n


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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
POPULACIONAL ()
Desvio Padrão ( ) conhecido
Ou seja;

 

P  X  Z / 2
   X  Z / 2
  1 
n
n

Chamando de L1 o limite inferior e L2 o limite superior, isto é:
L1  X  Z / 2

n
e L2  X  Z / 2

n
dizemos que o intervalo (L1;L2) é um intervalo de confiança para 
com coeficiente de confiança (1 - ), ou em outras palavras, que 
cai no intervalo (L1;L2) com confiança .
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
POPULACIONAL ()
Desvio Padrão ( ) conhecido
Exemplo:
Suponha que se extraia uma amostra de tamanho 35 de uma
população com média  e desvio padrão conhecido e igual a
3,90. Suponha que a média amostral seja 44,8. Determinar um
intervalo com 95% de confiança para .
Solução:
3,90
L1  44,8  1,96
 43,51
35
3,90
L2  44,8  1,96
 46, 09
35
Logo, o intervalo com 95% de confiança para
 é [43,51 ; 46,09].
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
POPULACIONAL ()
Desvio Padrão ( ) conhecido
• população finita


P  X  Z / 2
n

N n

   X  Z / 2
N 1
n
N n 
  1  
N 1 
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
POPULACIONAL ()
Desvio Padrão ( ) desconhecido
• população infinita
x 
Como
S
n
tn 1
podemos determinar, pela tabela da distribuição t-student com n -1 o número
t ,( n 1) tal que P(T  t ,( n 1) ) =
2
2

2
, e portanto:


x 
P  t ,( n 1)  S  t ,( n 1)   1  
2
2


n
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
POPULACIONAL ()
Desvio Padrão ( ) desconhecido - população infinita
Ou seja
s
s 

P  X  t  ,( n 1)
   X  t  ,( n 1)
 1 

2
2
n
n

Portanto o intervalo
s
s 

; L2  X  t  ,( n1)
 L1  X  t2 ,( n 1)

2
n
n

é um intervalo de confiança para  com coeficiente de confiança (1 - ).
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
POPULACIONAL ()
Desvio Padrão ( ) desconhecido - população infinita
Exemplo:
Suponha que se extraia uma amostra de tamanho 25 de uma
população com média  e desvio padrão desconhecido. Suponha que a
média amostral seja 4,004 e o desvio padrão amostral seja 0,366.
Determinar intervalos com 95% e 99% de confiança para .
Solução – 95%
Temos t0,025 , 24  2, 0639
L1  4, 004  2, 0639
0,366
0,366
 3,853 e L1  4, 004  2, 0639
 4,155
25
25
Logo, o intervalo com 95% de confiança para  é [3,853 ; 4,155].
Solução – 99%
Temos t0,005 , 24  2, 7969
L1  4, 004  2, 7969
0,366
0,366
 3, 799 e L1  4, 004  2, 7969
 4, 209
25
25
Logo, o intervalo com 99% de confiança para  é [3,799 ; 4,209].
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
POPULACIONAL ()
Desvio Padrão ( ) desconhecido
• população finita

s
P  X  t ,( n 1)
2
n

N n
s
   X  t ,( n 1)
2
N 1
n
N n 
  1 
N 1 
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA
Já vimos que
(n  1).s 2
2
 n21
Logo, podemos determinar pela tabela da distribuição  2 com (n -1)
graus de liberdade, o número  (12   ),( n 1) e  2,( n1) tal que:
2
2
 2

(n  1) s 2
2
P   (1  ),( n 1) 
   ,( n 1)   1  
2
2
2



ou seja
2
 (n  1) s 2
(
n

1)
s
P 2
2  2
   ,( n 1)
 (1  ),( n 1)
 2
2

  1


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Portanto

(n  1) s 2
(n  1) s 2
 L1  2
e L2  2

  ,( n1)
(1  ),( n 1)

2
2




é um intervalo de confiança para 2 com coeficiente de confiança (1 - ).
Exemplo:
Suponha que seja retirada uma amostra de tamanho cinco de
uma população normalmente distribuída, e que se tenha
encontrado uma variância amostral de 13,52. Construa um
intervalo com 95% de confiança para a variância populacional.
Solução
2
2
Temos que 0,975

0,
484
e

,4
0,025 , 4  11,1. Os limites são:
L1 
(n  1) s 2
 2 ,( n 1)

4(13,52)
 4,87
11,1
2
L2 
(n  1) s 2
 (12   ),( n 1)
4(13,52)

 111, 74
0, 484
2
Portanto, P(4,87   2  111, 74)  0, 95
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Intervalo de Confiança para uma Proporção
Admita-se que uma população é infinita e que a probabilidade de ocorrência de um evento
(denominado de sucesso) seja p. Considerem-se todas as amostras possíveis de tamanho n
extraidas da população e, para cada amostra, determinaremos a proporção pˆ de sucessos.
Sabemos que E ( pˆ )  p e var( pˆ ) 
p(1  p)
e que para n grande pˆ
n
 p(1  p) 
N  p,

n


Portanto, o intervalo de confiança para p, com coeficiente 1 -  é dado por:

 L1  pˆ  Z 2

p(1  p)
, L2  pˆ  Z 
2
n
p(1  p) 
 ,
n

Para n grande, em geral substitui-se p por pˆ , resultando em:

P  pˆ  Z 
2

pˆ (1  pˆ )
 p  pˆ  Z 
2
n
pˆ (1  pˆ ) 
  1  
n

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Intervalo de Confiança para uma Proporção
Exemplo: Examinadas 500 peças de uma grande produção encontrou-se
260 defeituosas. No nível de 90% construir um intervalo de confiança
para a verdadeira proporção de peças defeituosas.
Solução:
pˆ 
x 260

 0,52
n 500

P  pˆ  Z 
2

pˆ (1  pˆ )
 p  pˆ  Z 
2
n
pˆ (1  pˆ ) 
  1  
n


0,52(1  0,52)
0,52(1  0,52) 
P  0,52  1, 64
 p  0,52  1, 64
  90%
500
500


ou seja: P(0, 488  p  0,552)  0,9 ou ainda P(48,8%  p  55, 2%)  90%
Bibliografia
- Jairo S. da Fonseca
e Gilberto A. Martins, Curso de Estatística - 1996.
- Notas do Curso de Estatística dos Professores: Dra. Corina da Costa Freitas, MSc. Camilo Daleles Rennó e MSc. Manoel Araújo Sousa Júnior
-Jay L. Devore, (Tradução: Joaquim Pinheiro Nunes Silva) Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências - 2006.
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