Estatística II
Sociologia e Sociologia e Planeamento
ISCTE
SOCIOLOGIA E SOCIOLOGIA E PLANEAMENTO
Ano Lectivo 2003/2004 (2º Semestre)
ESTATÍSTICA II
(Interpretação de Outputs de SPSS)
Intervalo de Confiança para a Média Populacional
Ensaio de Hipóteses para a Média Populacional
Helena Carvalho
ISCTE, 2004
1
Estatística II
Sociologia e Sociologia e Planeamento
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO
– VIA SPSS –
Para obter um intervalo de confiança para a média da população com desvio-padrão
desconhecido existem duas opções no SPSS:
Opção A:
Analyze Î Descriptive Statistics Î Explore
Esta opção pode usar-se nas seguintes situações:
1. Dispõe-se de uma pequena amostra (n≤30) e a variável em estudo segue uma
distribuição normal;
2. Dispõe-se de uma grande amostra (n>30) e a variável em estudo segue uma
distribuição normal ou qualquer.
Problema em análise:
“De uma amostra de 152 alunos inscritos na cadeira de Estatística II dos cursos de
Sociologia e Sociologia e Planeamento do ISCTE em 2003/04, obteve-se a média e o
desvio-padrão da nota esperada no final do semestre, respectivamente, iguais, a 11,69
valores e 2,232 valores:
Descriptive Statistics
Que nota espera vir a ter
em Estatística II?
N
Mean
Std. Deviation
152
11,69
2,232
Sabendo que no ISCTE, as notas esperadas nas cadeiras seguem uma distribuição normal,
pretende-se saber qual o intervalo de confiança a 95% para o verdadeiro valor da média da
nota esperada na cadeira, da população (a totalidade de alunos inscritos na cadeira)”1
1 In Carlos Lourenço (2004), Estimação, Intervalo de Confiança para a Média, Textos de apoio das aulas,
p.9.
Helena Carvalho
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2
Estatística II
Sociologia e Sociologia e Planeamento
Analyze Î Descriptive Statistics Î Explore
Variável a
analisar
Para o efeito basta
solicitar as estatísticas
clicar em
Faz-se
se se pretender alterar o nível de confiança, que por defeito é de 95%
e
E obtém-se o seguinte output:
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Estatística II
Sociologia e Sociologia e Planeamento
Case Processing Summary
Cases
Valid
Que nota espera vir a
ter em Estatística II?
Missing
Total
N
Percent
N
Percent
N
Percent
152
92,7%
12
7,3%
164
100,0%
Descriptives
Que nota espera
vir a ter em
Estatística II?
Statistic
11,69
Mean
95% Confidence Interval for Mean
Lower Bound
11,34
Upper Bound
12,05
5% Trimmed Mean
11,56
Median
11,50
Variance
4,981
Std. Deviation
2,232
Minimum
1
Maximum
20
Range
19
Interquartile Range
Skewness
Kurtosis
Std. Error
,181
3,00
,382
,197
3,612
,391
São os limites do intervalo de
confiança a 95%
Interpretação:
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Opção B:
Analyze Î Compare Means Î One-Sample T Test
Esta segunda opção para obter – via SPSS – um intervalo de confiança para a média
da população está associada ao menu que permite realizar um ensaio de hipóteses
para a média da população.
Assim vai exemplificar-se, em simultâneo:
-
o intervalo de confiança para a média da população
-
e o teste para a média da população.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA µ E ENSAIO DE HIPÓTESES PARA µ
Apesar do problema em análise utilizar uma grande amostra (uma amostra de 152
alunos do 2º ano dos cursos de Sociologia e de Sociologia e Planeamento) e uma
variável (nota a obter em Estatística II) que segue distribuição normal, o menu
Compare Means Î One-Sample T Test
Pode ser usado, e à semelhança do que foi dito anteriormente, quando:
1. se dispõe de uma pequena amostra (n≤30) e a variável em estudo segue uma
distribuição normal;
2. se dispõe de uma grande amostra (n>30) e a variável em estudo segue uma
distribuição normal ou qualquer.
Problema em análise:
Em certa aula de Estatística II, os alunos resolvem fazer previsões sobre a média das notas
dessa disciplina. Os alunos não estão propriamente de acordo, apesar de estarem todos
optimistas. Um grupo de alunos recorda a média obtida em Estatística I: 8,85 valores
Descriptive Statistics
Que nota obteve
em Estatística I?
N
Mean
Std. Deviation
114
8,85
3,806
e afirma (com muita convicção) que a média de Estatística II vai ser positiva e de 13
valores.
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Admita-se então que se vai ensaiar a hipótese da nota média na cadeira de Estatística
II ser de 13 valores, em alternativa vai considerar-se que não existe nenhuma nota
privilegiada. Assim ter-se-á:
Ho: µ = 13
Ha: µ ≠ 13
o que implica um teste bilateral.
Para efectuar o teste à média da população e o intervalo de confiança para a média da
população, no SPSS, procede-se da seguinte forma:
Analyze Î Compare Means Î One-Sample T Test
clicar em
Faz-se
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Variável cuja média vai
Valor a ser testado
ser testada
(hipótese nula)
se se pretender alterar o nível de confiança, que por defeito é de 95%
e
e obtém-se o seguinte output:
6
Estatística II
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T-Test
One-Sample Statistics
Que nota espera vir a ter
em Estatística II?
N
Mean
Std. Deviation
Std. Error
Mean
152
11,69
2,232
,181
Média da amostra
Desvio-padrão
(corrigido) da
amostra
Erro padrão da média – corresponde ao desvio-padrão dividido
pela
n (n=nº de casos)
2,232
152
= 0,181
Valor de µ em teste
One-Sample Test
Test Value = 13
Que nota espera vir a ter
em Estatística II?
t
df
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
-7,218
151
,000
-1,31
n-1 graus de liberdade
df = n-1 ⇒ 152 -1
95% Confidence Interval of
the Difference
Lower
Upper
-1,66
-,95
Diferença entre a média
amostral e a média teórica em teste
Valor da estatística de teste:
t =
11,69 − 13
−1,31
=
= − 7,218
2,232
0,181
152
Significância (ou probabilidade) associada ao
valor da estatística de teste. Valor a partir do
qual se toma a decisão sobre rejeitar ou não
rejeitar H0, em função do α pré-definido
Interpretação:
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Veja-se agora os resultados relativos ao intervalo de confiança
One-Sample Test
Test Value = 13
Que nota espera vir a ter
em Estatística II?
t
df
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
-7,218
151
,000
-1,31
95% Confidence Interval of
the Difference
Lower
Upper
-1,66
-,95
O SPSS calcula o intervalo de confiança para a diferença entre a desconhecida média
populacional e o valor apresentado para teste. Assim ter-se-á um intervalo de confiança para a
diferença: µ − µo
Os limites desse intervalo obtém-se da seguinte forma:
[I 0,95 ] µ* − µo = ⎤⎥ (11,69 − 13 ) − t0,025 × 2,323 ; (11,69 − 13 ) + t0,025 × 2,323 ⎡⎢
⎦
2
152 ⎣
152
[I 0,95 ] µ* − µo = ] − 1,31− 1,96 × 0,181 ; − 1,31+ 1,96 × 0,181[
[I 0,95 ] µ* − µo = ] − 1,31− 0,35 ; − 1,31+ 0,35 [
e finalmente
[I 0,95 ] µ* − µo = ] − 1,66 ; − 0,95 [
Como obter então o intervalo de confiança para a média das notas de Estatística
II da população (os alunos do 2º ano dos cursos de Sociologia e de Sociologia e
Planeamento), a partir dos dados disponibilizados pelo SPSS neste intervalo de confiança
para a diferença?
Como o SPSS calcula o intervalo de confiança para a diferença µ − µ0 , subtraindo à média da
amostra (11,69) o valor de µo , neste caso µo = 13
[I 0,95 ] µ* − µo = ⎤⎥ (11,69 − 13 ) − t0,025 × 2,323 ; (11,69 − 13 ) + t0,025 × 2,323 ⎡⎢
⎦
152
152 ⎣
então basta
voltar a somar (aos limites do intervalo calculado pelo SPSS) o valor subtraído ( µo = 13 ) e terse-á então:
2
Apesar de estar em estudo uma grande amostra os valores críticos estão designados por − t0,025 e por
t 0,025 porque o SPSS usa sempre a distribuição t de Student, a qual, como é sabido, é aproximadamente
igual à normal em grandes amostras.
Helena Carvalho
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[I 0,95 ] µ* = ] − 1,66 + 13 ;
− 0,95 + 13 [
obtendo-se
[I 0,95 ] µ* = ] 11,34 ; 12,05 [
Como pode verificar-se, obtém-se exactamente os mesmos limites que estão no output da
pág.4.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA µ E ENSAIO DE HIPÓTESES PARA µ
– PEQUENA AMOSTRA E ASSUMINDO QUE A VARIÁVEL SEGUE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL –
Problema em análise3:
“Pretende-se saber qual o intervalo de confiança a 95% para o verdadeiro valor da média
da nota esperada na cadeira, da população (a totalidade de alunos inscritos na turma
SA1...).”
Um grupo de alunos da turma SA1 manifesta uma enorme convicção em melhorar a nota
média na cadeira do 2º semestre. Defendem que a sua turma vai obter uma nota média de
12 valores. Não obstante, as opiniões dividem-se, pois há quem afirme mesmo que vai ser
maior que 12 valores.
Vai então fazer-se um ensaio de hipóteses com as seguintes hipóteses:
Ho: µ = 12
Ha: µ > 12
Execução no SPSS:
Como neste caso vai ser analisada somente a amostra de alunos da turma SA1, pode
optar-se por seleccionar apenas essa turma.
Para o efeito seguem-se estas etapas:
3
À semelhança da aplicação anterior vai retomar-se o exemplo desenvolvido nos textos de apoio às aulas,
op. cit., págs.12-13.
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Data Î Select cases
1ºpasso
2º passo
1: código da turma SA1
Faz-se
e
e ficam apenas seleccionados os alunos que integram a
amostra (n=25) da turma SA1.
Para efectuar o teste à média da população e o intervalo de confiança para a média da
população procede-se tal como no exemplo anterior:
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Sociologia e Sociologia e Planeamento
Analyze Î Compare Means Î One-Sample T Test
Ho : µ = 12
One-Sample Statistics
Que nota espera vir a ter
em Estatística II?
N
Mean
Std. Deviation
Std. Error
Mean
25
12,24
2,350
,470
Interpretação:
Helena Carvalho
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11
Estatística II
Sociologia e Sociologia e Planeamento
Valor em teste
One-Sample Test
Test Value = 12
Que nota espera vir a ter
em Estatística II?
t=
t
df
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
,511
24
,614
,24
12,24 − 12
0,24
=
= 0,511
2,350
0,47
25
95% Confidence Interval of
the Difference
Lower
Upper
-,73
1,21
X − µo = 12,24 − 12
Interpretação:
Quanto ao intervalo de confiança para µ vai ter de se calcular os seus limites fazendo a
mesma operação exemplificada na aplicação anterior.
A partir deste intervalo para a diferença [I 0,95 ] µ* − µ o = ] − 0,73 ; 1,21 [ 4 basta somar o valor 12
(valor em teste) aos limites obtidos, como se exemplifica
[I 0,95 ] µ* = ] − 0,73 + 12 ; 1,21 + 12 [
4
Estes limites foram assim obtidos
[I 0,95 ] µ* − µo = ] (12,24 − 12 ) − t0,025 ; (24 ) × 0,47 ; (12,24 − 12 ) + t0,025 ; (24 ) × 0,47 [
[I 0,95 ] µ* − µo = ] 0,24 − 2,060 × 0,47 ; 0,24 + 2,060 × 0,47 [
[I 0,95 ] µ* − µo = ] − 0,73 ; 1,21 [
Este desenvolvimento pode ser acompanhado com os cálculos apresentados nos textos de apoio às aulas,
op. cit., pág.13.
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Sociologia e Sociologia e Planeamento
e obtém-se então os limites para o intervalo de confiança a 95% para a média das notas da
turma SA1:
[I 0,95 ] µ* = ]11,27 ; 13,21 [
Como pode recordar-se, são exactamente os limites que se obteriam se se fizesse o intervalo
de confiança através do comando Explore5
Descriptives
Que nota espera vir a
ter em Estatística II?
Mean
95% Confidence Interval for Mean
Lower Bound
11,27
Upper Bound
13,21
5% Trimmed Mean
12,04
Median
12,00
Variance
5,523
Std. Deviation
2,350
Minimum
10
Maximum
18
Range
Interquartile Range
5
Statistic
12,24
Std.
Error
,470
8
3,50
Skewness
1,110
,464
Kurtosis
1,004
,902
Analyze Î Descriptive Statistics Î Explore
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