Provas como Objetos de
Estudo: História, Usos e Abusos
Edward Hermann
Haeusler
Prof. do Departamento
de Informática
PUC/RJ
Panorama da Matemática no Século XIX
- Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX):
- Equação da Onda
- Equação do Calor
- Equação de Poisson
- Técnicas de Fourier
- Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. Parciais
- Problemas de Fundamentação:
- Séries divergentes x Séries Convergentes
- Conceito de infinito não era preciso
- Conceito de função não era preciso
- O próprio conceito de número real não era preciso.
- Definição de convergência não existia
Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata
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2
Panorama da Matemática no Século XIX
(cont.)
Dedekind (1831-1916)
Cauchy (1789-1857)
Bolzano(1781-1848)
Definição de número real. Princípio de definição
de funções por indução (recursão primitiva) 1888
Aritmetização da Análise, definição dos conceitos
de limite, funções e funções contínuas,
convergência de sequências e séries infinitas
Riemman(1826-1866)
Definição do conceito de integral e
Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias
Não-Euclidianas
Peano (em 1889)
Define os axiomas da aritmética
Weierstrass (1815-1897)
Estabelece critérios para a diferenciação e
integração, termo a termo, de séries infinitas
Hilbert (em 1898-1899) Estabelece a fundamentação da geometria
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Teoria Ingênua dos Conjuntos
Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos)
Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existência
de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos de
números cardinais e ordinais transfinitos.
Resistência aos principais resultados. Existência Atual posta em cheque.
Os paradoxos:
- Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais”
- Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos”
R = { x / x  x}
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==>
R  R se e somente se R  R
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4
Evolução da Lógica como assunto matemático
DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente
com conceitos numéricos.
Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos
e relações lógicas, confirmando DeMorgan.
Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua
linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova
matemática passa a ser formal.
Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente
lógicas , com a adição do conceito de pertinência () como
primitivo.
===> paradoxos aparecem novamente !!
===> Paradoxos associados ao axioma da escolha
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5
As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática
Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios
puramente lógicos.
Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais
cujo único requisito é a consistência
Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana fundamentada em processos construtivos, sendo assim
todo objeto matemático tem sua existência
expressa por construção.
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O Programa de Hilbert
=> Obtenção de uma prova da consistência da matemática,
observando-se que:
- As teorias mais complexas são extensões das mais simples.
Th(N)  Th(Z)  Th(Q)  Th(R)  Th(C)
- Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações
básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, por
compactação, completamento algébrico, etc)
=> Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso
de técnicas finitárias.
=> Provar que não existe prova de 0 = 1 usando ............
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7
Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX
- Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell
- Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica.
- Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível.
- Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível
- Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética
(só o sucessor).
-Tarski (1930) Prova que a aritmética com adição (+) e menor (<) é decidível.
(1936) Formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem
(1949) Prova da decidibilidade da Teoria dos Reais
- Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem
- Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem
de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como
teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: # é o código
de .
- Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência.
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Paradoxo do mentiroso: “Eu estou mentindo”
Os Teoremas de Gödel
Lema da diagonal (Gödel/Tarski):
T |- diagx1(#,#(#))
se
( Th(N)  T)
se e somente
x1 é a única variável livre em  e (t) indica sua
substituição por t
Seja (x1) uma fórmula com somente x1 livre, então existe  tal que T |-  (#)
Teorema de Tarksi: Não existe uma fórmula Verd(x1) em T capaz de definir a verdade
aritmética, isto é, T |- Verd(#) se e somente se  é verdadeira na aritmética.
Teorema de Gödel: Qualquer axiomatização de Th(N) onde seja possível aritmetizar
o conceito de prova é incompleta.
Prova: Seja   Th(N) e uma fórmula Pr(x,y) tal que  |- Pr(#, # ) se e somente se
 é uma prova com axiomas  de . Aplique o lema da diagonal a p Pr(p,x1)
Segundo Teorema de Gödel: Seja  uma axiomatização como acima, então a fórmula
p Pr(p,#(0=1)) é demonstrável a partir de  se e somente se Cn() é inconsistente
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Gentzen Prova a Consistência da Aritmética (1936)
-Criação de um sistema dedutivo “natural” (com estrutura) com o qual pode-se
analisar o papel das constantes lógicas na construção de provas.
Comparação entre provas ( 1  2 ).
-Definição de um processo efetivo de simplificação de provas (normalização)
=> Para toda prova  de  a partir de  , obtem-se efetivamente ’ que
é (uma) prova mais simples de  a partir de ’ .
-Em uma prova simples todas as fórmulas são sub-fórmulas ou da conclusão
da prova  ou de alguma das hipóteses (premissas, ’) da prova .
-Mostra-se que não existe prova mais simples de 0=1
Não existe prova de 0=1
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Lembretes:
-A prova original de Gentzen usa Cálculo de Sequentes e prova que a regra
do corte é desnecessária na construção de provas em aritmética. Usa
indução até 0 para provar terminação do processo de construção da prova
quando este for o caso. (Folclore do Haupsatz ou eliminação do corte)
- Dedução Natural é apresentada por Gentzen mas, somente após Prawitz
(1965) os principais problemas com as regras de absurdo (clássico) são
resolvidos e a relação entre Normalização e Eliminação do corte é bem
estabelecida.
- Curry já havia relacionado combinadores (S, K e I) com sistema axiomático
de Heyting (lógica intuicionista), originando o termo Lógica Combinatória.
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Evolução da Teoria da Prova
- Análise Ordinal (Schütte - Girard)
- Provas como Computações (Curry-Howard)
- Teoria de Tipos e Modelos Categóricos para Linguagens
- Novas lógicas com semânticas operacionais.
- Complexidade Lógica.
- Compactação de Provas
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Dedução Natural
[ (A  (B  C)) ]
(A  (B  C))  (A  B)  (A  C)
(A  B)  (A  C)
(A  C)
(A  (B  C))  (A  C)
[B  C]
[(A  (B  C)) ]
C
[A]
(A  C)
(A  C)
(A  C)
(A  (B  C))  (A  C)
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Dedução Natural - Simplificando Provas
[(B  C)]
B
[A]
(A  C) (A  B)
[A]
(A  B)
[(A  (B  C))]
(A  B)  (A  C)
[(B  C)]
C
(A  C)
(A  B)  (A  C)
(A  B)  (A  C)
[ (A  (B  C)) ]
(A  (B  C))  (A  B)  (A  C)
(A  B)  (A  C)
(A  C)
(A  (B  C))  (A  C)
[B  C]
[(A  (B  C)) ]
[A]
(A  C)
C
(A  C)
(A  C)
(A  (B  C))  (A  C)
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Algumas Reduções
1
2
B
C
(B  C)
2
C
C
1
A
1
A
[A]
2
B
[A]
2
B
AB
B
1
A(a)
1
[A]
2
B
1(a/t)
A(t)
xAx
A(t)
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Princípio da Subfórmula para Provas Normais

Eliminações
Fórmula mínima
introduções

Toda fórmula na prova ou é subfórmula de  ou é subfórmula de
Alguma fórmula de 
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Consistência da lógica de primeira ordem

Suponha
Não existe prova de 
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, pois


Então existe
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’

normal
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Terminologia e Comentários
-Ao processo de “siimplificação” de uma prova dá-se o nome de
NORMALIZAÇÃO
- NORMALIZAÇÃO = (Estratégia de Apl. de Reduções) + Terminação
-Para a lógica de primeira ordem a prova de terminação é feita com
indução finita.
Normalizando Provas na Aritmética
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A Regra de Indução Finita
0
(0)
[(a)]
s
(suc(a))
x (x)
Pode haver normalização para a Aritmética ????
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O Sistema infinitário PA
Regra 
0
(0)
suc(0)
sucn(0)
(suc(0)) ………. (sucn(0)) ……….
x (x)
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20
Imergindo provas de PA em PA
0
(0)
[(a)]
s
(suc(a))
x (x)


0
(0)
0
(0)
.
.
.
0
s
[(0)]
[(sucn-1(0))]
s
s
(suc(0)) ……. (sucn(0)) ….
x (x)


Reduzindo provas em PA
Pode-se estimar o tamanho das provas de PA ???
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Medindo o tamanho das provas em PA que são imagens de provas em PA
finita
sem IND
k IND não aninhadas
≤ k. < 2
uma IND aninhada
< 2
IND aninhadas
em quantidade
arbitrária

<
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Medindo o tamanho das provas em PA em função da regra 
0
(0)
suc(0)
sucn(0)
(suc(0)) ………. (sucn(0)) ……….
=
x (x)
- Se k finitos
então   
- Se k = k.
então  = 2
- Se k = k
então   
- Se k = 
k
então   
A cota superior é então :
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0 =


 - vezes


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0
(0)
suc(0)
(suc(0)) ….
sucn(0)
(sucn(0))
….
x (x)
(t)


t
(t)


•Tamanho da prova reduzida não é maior e pode-se considerar
uma medida no processo de normalização onde a redução
tem complexidade menor
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- Prova-se por indução transfinita até 0 que todas as provas
em PA que tem um número finito de fórmulas máximas,
são normalizáveis
- Não existe prova de 0=1 em PA.
- PA é consistente
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Estimando o tamanho de provas Normais
Em Dedução Natural Proposicional :
.
2.
.
2tam()
F-Max()
- Cota-Superior para provas normais : 2
- Exemplos de teoremas que tem cota-inferior hiperexponencial
em provas normais e tem tamanho linear em provas não-normais
Ex: Fórmulas de Orekov
Em Cálculo de Sequentes Proposicional :
- Cota-Superior para provas sem corte : 2F-max().tam()
- Exemplos de teoremas que tem cota-inferior exponencial
em provas sem corte e tem tamanho linear em provas com corte
Ex: Princípio da Casa do Pombo (Haken 1984)
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Sistemas de Frege e Simulação polinomial
-Um sistema de Frege é defiinido por conjunto finito de regras e axiomas e é
completo e correto (com respeito a LK).
Teorema: Dados F1 e F2, sistemas de Frege, toda prova  em F1 tem uma
prova ’ da mesma fórmula e tam(2)  Poli(tam(1))
-Um sistema de Frege com extensão permite o uso da regra de extensão :
E 
Fato : O princípio da casa do Pombo (PHP) possui provas de tamanho
polinomial em sistemas de Frege com extensão (Reckow 1987)
Fato: PHP possui provas de tamanho polinomial em sistemas de Frege
(Buss & Reckow 1988)
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Compactando Provas
- Ignorar a estrutura da prova e compactar como um string.
- Usar a estrutura da prova e introduzir fórmulas máximas (cortes)
=> Obtem-se redução do gap exponencial para alguns exemplos
=> Processo já utilizado por Revezs em 1986 no contexto de L.F.
PHP polinomial equivalente ao obtido por Buss. Prova obtida a
partir de uma prova normal com introdução de fórmulas máximas
e axiomas de extensão gerados pela unificação de fórmulas na prova
normal
(Gonçalves & Haeusler 2005)
- Provas como termos de primeira ordem e compactação via algoritmo de
unificação
PHP polinomial de mesmo grau obtido por Buss. Prova obtida por
unificação de subtermos (subprovas)
 Dificuldade inerente na compactação de provas !!!!!
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A Ciência da Computação Hoje : NP = P ? (Cook 1971)
P : Encontra solução em tempo polinomial
NP : Verifica solução em tempo polinomial
CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomial
Taut  CoNP
Sat  NP
Verificação de Modelos
Prova de Teoremas
Obs: Se CoNP  NP então NP  P
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Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo
===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial
em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe
tal sistema então CoNP  NP e portanto NP  P.
=?
=> Taut Intuicionista é PSPACE-completo (CoNP  PSPACE)
=> A lógica intuicionista só com a implicação é PSPACE-completa
 Circuitos booleanos monotônicos e provas em Dedução Natural
 Razborov 1984 e 1989 indica que o uso de negação é essencial na
obtenção do Gap exponencial em circuitos booleanos.
Uso de desnormalização como mais uma “heurística” de compactação
de provas.
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Teorema do Razborov (1985)
Fato: Se L  P então existe uma família de circuitos booleanos (Cn)nN e um
polinômio p(x) tal que Ln é aceita por Cn e | Cn |  p(n).
Corolário: Se existe L tal que toda família de circuitos para Ln não é limitada por
polinômio então NP  P.
Teorema (Razborov): Circuitos monotônicos para CLIQUEn,k quando k = 4n
tem cota inferior :
c8 n 

O 2 


Indício de que NP  P ??
Obs:
A prova do teorema de Razborov usa a técnica de ultraprodutos introduzida em
1938 por Lós para provar a compacidade da lógica de primeira ordem
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Consistência
Def. Uma Teoria é consistente se não sustenta fatos falsos.
Def. Uma Teoria é consistente se não prova fatos falsos.
Def. Uma Teoria é consistente se não prova todos os fatos.
Def. Uma Teoria é consistente se não prova algum absurdo.
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O que são técnicas finitárias ???
(visão a posteriori)
- Operações efetivas sobre objetos concretos
Objetos concretos: |, ||, |||, ||||, ||||||, ....
,  ,   ,    , ........
Operações efetivas: ????????
juntar símbolos
apagar símbolos
escrever símbolos
reconhecer um símbolo
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Equação da onda
u
ut(x,0) = g(x) e
u(x,0) = f(x)
D’Alembert 1747 + Euler 1748
u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct)
xt
Daniel Bernouli 1753
u(x,t) = 2 0  (sinnysinnxcosnct)f(y)dy + 2 0 (1/n)  (sinnysinnxsinnct)g(y)dy
Lagrange 1759
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34
Equação do calor
u(0,t) = u(L,t) = 0
u(x,0) = f(x)
L

u(x,t) =  cne-n2 2Kt/L2 sin(nx/L)
n=1
f(x)

=  cnsin(nx/L)
n=1
L
cn= (2/L)  f(x) sin(nx/L)dx
0
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Fourier 1811
==> Toda “função” tem expansão
em série de senos ?????
Dirichlet (1829,1837) +
Fund. Análise (Bolzano, Cauchy,
Weierstrass) + Riemann (def. integral,
1900’s)
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35
Manipulação com séries infinitas (I) :
Resolvendo equações
C
x+ 3
x=6
=9
1 + aC = C
C(1-a) = 1
C = 1/(1-a)
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Diferenciação de uma série (termo a termo)
dx
Integração de uma série (termo a termo)

xd x  
k
0 k
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k
x

k 1
k

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37
Geometrias Não-Euclidianas
Hiperbólica
Bolyai-Lobachevsky
1820
Plana
Euclides
400’s
Elíptica
Riemman
1800’s
Axiomas de Euclides
1. Para cada par de pontos P1 e P2 com P1  P2 existe uma única reta que incide em ambos.
2. Para todos segmentos AB e CD existe um ponto E t.q. E está entre A e B e CDBE
3. Para todo par de pontos O e A com O  A existe um única circ. com centro O e raio OA
4. Todos os ângulos retos são congruentes
5. Dados uma reta R e um ponto A fora desta, existe uma única R’ paralela e R e incidente em A.
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38
T |-  (#)
Seja t = #(x2(diagx1(x1,x2)  (x2)))
então  será x2(diagx1(t,x2)  (x2)))
x2(substx1(t,x2)  (x2)))  (diagx1(t, #)  (#))

T |- diagx1(t, #)
(#)
diagx1(t,x2)
T |- diagx1(t, #)
T |-   (#)
T |- (x2)
T |- x2= #
T |- diagx1(t,x2)  (x2)
T |- x2 (diagx1(t,x2)  (x2))
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39
Não provabilidade da consistência em Cn()
 ~Pr(#) Cn()
[Diag]
se Cn() então Pr (#)  Cn()
Cn() é inconsistente.
se
Cn() é consistente
então
Cn().
~Pr (#) Cn()
~Pr (#(0=1)) Cn()
Cn()
Portanto se ~Provavel(#(0=1)) Cn() então
Cn() é inconsistente
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40
Intuição do “Mundo Físico” não concorda com o “Mundo Matemático
S
 = Rotação de 1/10 de radiano
v
C =  n(v)
n N
SC
S  C  -1(v) =
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-1
-1(S  C)
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41
Paradoxo de Banach-Tarski (1924) e Paradoxo de Hausdorf (1914)
Divisão da esfera
em 5 partes
(uso do axioma da escolha)
Rotações e Translações
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42
Existência de um conjunto sem medida em Rn
- Medida como Comprimento, Área ou Volume (desde a Grécia antiga)
- Medida associada a integral de Riemman
- Medida de Jordan (contempla somente conjuntos limitados) - 1890
- Medida de Lebesque generaliza a de Jordan e contempla conjuntos ilimitados
incluindo os Riemman integráveis - 1902
- Vitali usa o axioma da escolha para mostrar a existência de um conjunto sem
medida (1905)
- Solovay (1960’s) prova que substituindo-se o axioma da escolha pelo axioma
da determinância (“Todo jogo infinito tem estratégia vencedora”) tem-se
que todo subconjunto do Rn é mensurável.
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N = < N, 0, <, suc, , +, exp >
suc(0) + suc(0) = suc(suc(0))  Th(N)
xy(suc(x) + y = suc(x + y))  Th(N)
xyzn ((n > suc(suc(0)))  (exp(x,n)+exp(y,x))exp(z,n))  Th(N)
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Leitura computacional do teorema de Gödel
Todas as funções computáveis são representáveis
em [N, <, 0, suc, +, *].
Toda computação pode ser expressa em forma
de Dedução a partir de um conjunto de
axiomas (A) que defina as operações aritméticas
básicas.
Gödel define o conceito de função primitivamente
recursiva e relaciona com aquelas que são representáveis
em aritmética.
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· Í Th( [N, <, 0, suc, +, *])
 diag é computável.
Como A é r.c. então Ded é computável
Ded é representável em Cn(A).

Qualquer axiomatização r.c. Apara
[N, <, 0, suc, +, * ] é incompleta, i.e,
Cn() é incompleta.

Existem funções não computáveis
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Seja T = fórmulas válidas
T ser r.c
Cn(T ) é r.c.
fórmula repr. f
em Cn(TA)
função f computável que
reconhece Cn(T)
Diag. sobre
~
~(#) Cn(TA)
Contradição
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