Pró-Reitoria de Graduação
Curso de Licenciatura em Matemática
Trabalho de Conclusão de Curso
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PRÓ-REITORIA
DE GRADUAÇÃO
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TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
SIMULAÇÃO P-FUZZY DO MODELO MALTHUSIANO
Sherley
Matemática
Autor:
Lucas dos Santos Maciel
CIFRA
DE HILL
Orientador: Thiago Borduqui Ferrari
Autor: Elaine da Silva Mantovani
Orientador: Sinval Braga de Freitas
Brasília - DF
2011
LUCAS DOS SANTOS MACIEL
SIMULAÇÃO P-FUZZY DO MODELO MALTHUSIANO
Artigo apresentado ao curso de graduação em
Matemática da Universidade Católica de
Brasília, como requisito parcial para obtenção
do Título de Licenciado em Matemática.
Orientador: Thiago Borduqui Ferrari
Brasília
2011
3
Artigo de autoria de Lucas dos Santos Maciel, intitulado SIMULAÇÃO P-FUZZY DO
MODELO MALTHUSIANO, apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de
Licenciado em Matemática da Universidade Católica de Brasília, em 18 de novembro de
2011, defendido e aprovado pela banca examinadora abaixo assinada:
_____________________________________________________
Prof. MSc.Thiago Borduqui Ferrari
Orientador
Física – UCB
_____________________________________________________
Prof. MSc. Sinval Braga de Freitas
Matemática - UCB
_____________________________________________________
Prof. MSc. Marcos Antonio Pereira
Matemática – UCB
Brasília
2011
3
SIMULAÇÃO P-FUZZY DO MODELO MALTHUSIANO
LUCAS DOS SANTOS MACIEL
Resumo:
Este é um trabalho que trata de tópicos de Teoria fuzzy. O objetivo foi descrever os
fundamentos teóricos e as etapas de uma simulação computacional do modelo p-fuzzy de
crescimento populacional malthusiano. Utiliza-se o software MATLAB e os pacotes Fuzzy
Logic Toolbox e Simulink para realizar a simulação numérica. O texto procura relacionar os
conhecimentos de conjuntos fuzzy, funções de pertinência, relações fuzzy e sistemas fuzzy às
ferramentas computacionais.
Palavras-chave: Fuzzy. Malthus. Simulação.
1. INTRODUÇÃO
Este é um trabalho de conclusão de curso que trata de tópicos de Teoria fuzzy.
Considera-se o marco inicial desta teoria com o trabalho de Zadeh, publicado em 1965. A
Lógica fuzzy, também conhecida como Lógica Nebulosa ou Teoria de Possibilidades, é a área
da matemática que trata das incertezas associadas à expressões verbais subjetivas e conceitos
vagos em valores numéricos. Expressões como “em torno de 5”, “população grande”,
“próximo de 3” entre tantas outras podem ser representadas e manuseadas dentro do
formalismo da Teoria fuzzy (SHAW E SIMÕES, 2007). A lógica fuzzy possibilita a criação
de modelos matemáticos onde os valores lógicos pertencem a um intervalo entre verdade e
falsidade, “flexibilizando” o axioma fundamental do terceiro excluído da lógica clássica.
Neste trabalho são abordamos os seguintes conceitos: conjuntos fuzzy, operações entre
conjuntos fuzzy, sistemas baseados em regras fuzzy e sistemas p-fuzzy. A fim de ilustrar estes
conceitos, descrevem-se as etapas do modelo Malthusiano p-fuzzy. Utiliza-se o software
MATLAB, versão 7.10, e dois de seus pacotes: o Fuzzy Logic Toolbox e Simulink para
realizar a simulação que permitiu relacionar os conhecimentos teóricos de Teoria fuzzy com as
ferramentas computacionais.
A sequência deste trabalho segue esta ordem: O texto se inicia com a seção
“FUNDAMENTOS TEÓRICOS” onde são apresentados os conceitos para implementação do
modelo, seguido da seção “SIMULAÇÃO P-FUZZY DO MODELO MALTHUSIANO EM
MATLAB”, é feita a introdução ao software MATLAB, o modelo a ser simulado e os passos
para sua implementação no software.
4
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1 INCERTEZAS, CONJUNTOS FUZZY E FUNÇÕES DE PERTINÊNCIA
2.1.1 Incertezas
As incertezas podem ser dividas em dois tipos, uma oriunda da chance de ocorrência
de um evento e outra proveniente da imprecisão de conceitos vagos que expressem um
conjunto de idéias qualitativas cujo limite não é preciso. A primeira incerteza é área de
estudos da Teoria de Probabilidades e a segunda é área de estudos da Teoria de Conjuntos
Fuzzy (BARROS E BASSANEZI, 2010).
2.1.2 Conjuntos fuzzy
A Teoria de Conjuntos fuzzy é baseada no fato de alguns conjuntos não possuírem
limites bem delineados. Assim, um conjunto fuzzy é um agrupamento impreciso e indefinido.
A partir dessa idéia central é adaptada a visão de conjunto clássico para a de conjunto fuzzy.
Todo conjunto clássico, pode ser caracterizado por uma função chamada de função
característica.
Definição 1: Seja U um conjunto e A um subconjunto de U. A função característica de A é
dada por:
1 se x ∈ A
X A ( x) = 
0 se x ∉ A
o domínio de X A é U e a sua imagem está contida no conjunto {0,1} cujos dois únicos
elementos são 1 e 0. X A ( x ) = 1 indica que o elemento x pertence ao subconjunto A e
X A ( x ) = 0 indica que o elemento x não pertence ao subconjunto A .
Seguindo esta descrição, extende-se a visão de função característica para conjuntos
fuzzy.
Definição 2: Seja U um conjunto (clássico); um subconjunto fuzzy F de U é representado
por uma função:
ϕ F : U → [0,1].
Assim sua função característica pode ser generalizada de maneira a associar cada
elemento ao intervalo [0,1] e por referir-se ao subconjunto fuzzy é chamada de função de
pertinência. E ϕ F indica o grau de pertinência que o elemento x de U pertence no
subconjunto fuzzy F , ϕ F = 1 indica que o elemento x pertence completamente ao conjunto
fuzzy F, ϕ F = 0 indica que o elemento x não pertence ao conjunto fuzzy F e 0 < ϕ F < 1 indica
que o elemento x pertence parcialmente ao subconjunto fuzzy.
5
O conjunto clássico U também é chamado de universo de discurso.
Tanto a função característica quanto a função de pertinência podem ser representadas
graficamente, de maneira que o eixo vertical representa o grau de pertinência para um
elemento x e o eixo horizontal representa cada valor de x∈U . A Figura 1 ilustra um
exemplo para interpretação de “pessoa alta”. Para o conjunto clássico, uma pessoa é alta
(pertence ao conjunto de pessoas altas) se tiver a medida de altura maior ou igual a 1,80
metros, ou seja, existe uma mudança abrupta na pertinência dos elementos. Enquanto para o
conjunto fuzzy, uma pessoa é alta se tiver medida de altura maior que 0,70 metros, entretanto
alguém que tenha altura de 0,80 metros é considera alta com grau de pertinência baixíssimo
(quase nulo) e alguém que tenha altura igual ou maior a 1,80 metros é considerada alta com
grau de pertinência máxima (SHAW E SIMÕES, 2007).
Figura 1 – Função característica e função de pertinência.
2.1.3 Funções de pertinência
Os formatos mais frequentemente encontrados são os triangulares e os trapezóides em
virtude de serem geradas com facilidade. A sua quantidade em um universo de discurso e o
seu formato são projetadas por especialistas através das mais variadas formas: apelos
intuitivos, ajustes de curva, técnicas especiais utilizando redes neurais e/ou algoritmos
genéticos (SHAW E SIMÕES, 2007).
A função de pertinência triangular tem representação geral pela terna ( a, b, c ) e é
descrita pela função (1). Enquanto a função de pertinência de forma trapezoidal tem
representação geral denotado por ( a , b, c , d ) e descrita pela função (2).
0

x−a

µ A ( x) =  b − a
c−x

c −b

0
se x ≤ a
se a < x ≤ b
se b < x ≤ c
se x > c
(1)
6
 0
x −a
b − a

µ A ( x) =  1
d − x
d − c
 0
se
x≤a
se a < x ≤ b
se b ≤ x ≤ c
(2)
se c < x ≤ d
se
x>d
Figura 2 – Função de pertinência de forma triangular e trapezoidal.
2.2 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS FUZZY
2.2.1 Operações-padrão
Na Teoria de Conjuntos Clássica as operações (típicas) entre os conjuntos como união,
intersecção e complementar são únicas, no entanto para a Teoria de Conjuntos Fuzzy são
diversificadas. Nesta seção são apresentadas as operações-padrão em Conjuntos Fuzzy que
são muito utilizadas em modelagem fuzzy (NICOLETTI E CAMARGO, 2009).
Definição 3: Sejam A e B dois conjuntos fuzzy de U , com suas respectivas funções de
pertinência ϕ A e ϕ B , A ⊂ B se ϕ A ( x ) ≤ ϕ B ( x ) para todo x ∈ U .
Definição 4: O Conjunto vazio φ é dado por ϕφ = 0 e o conjunto universo U é dado por
ϕU =1.
Portanto, o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e todo conjunto fuzzy
está contido no conjunto U , respectivamente A ⊂ U e φ ⊂ A para todo A .
Definição 5: A união fuzzy padrão entre A e B é o subconjunto fuzzy de U cuja função de
pertinência é dada por:
ϕ A∪B ( x) = max{ ϕ A ( x), ϕ B ( x) }, x ∈ U .
Definição 6: A intersecção fuzzy padrão entre A e B é o subconjunto fuzzy de U cuja função
de pertinência é dada por:
7
ϕ A∩ B ( x) = min{ ϕ A ( x), ϕ B ( x) }, x ∈U .
Definição 7: O complementar fuzzy padrão de um subconjunto A é o subconjunto fuzzy A ´
de U cuja função de pertinência é dada por:
ϕ A´ ( x) = 1 − ϕ A ( x), x ∈U .
No contexto fuzzy a intersecção entre um conjunto fuzzy e seu complementar pode não
ser vazio: ϕ A∩ A´ ( x) ≠ 0 , isto é, A ∩ A´≠ φ . A união entre um conjunto fuzzy e seu
complementar pode não ser o coincidente com o universo de discurso: ϕ A∪ A ( x) ≠ 1 , isto é,
A ∪ A´≠ U . Como ilustrado na Figura 3.
Figura 3– Complementar fuzzy padrão, Intersecção fuzzy padrão e União fuzzy padrão.
2.2.2 Operações t-norma e t-conorma
Para conjuntos fuzzy existem diversas generalizações das operações típicas, elas estão
dividas em duas normas. As normas triangulares (t-normas) que são funções qualificadas
como intersecção fuzzy enquanto as normas duais (t-conormas) que são funções qualificadas
como união fuzzy (NICOLETTI E CAMARGO, 2009).
Definição 8: Uma t-norma é dada pelo operador ∆ : [0,1] × [0,1] → [0,1] , ∆ ( x, y ) = x∆y se
satisfazer as seguintes condições de acordo com a Tabela 1.
Tabela 1 – Axiomas para t-norma onde todo x , y , u ∈ [0,1]
Axioma
Elemento neutro
Comutativa
Associativa
Monotonicidade
Desenvolvimento
se
∆ (1, x ) = 1∆x = x
∆ ( x, y ) = x∆y = y∆x = ∆ ( y , x )
x∆ ( y∆ z ) = ( x∆ y ) ∆ z
x ≤ u e y ≤ v, então x∆y ≤ u∆v
A operação t-norma estende o operador ∧ que modela o conectivo “e”. Um exemplo
muito utilizado é o operador ∆ ( x , y ) = min{ x , y} = x ∧ y .
Definição 9: Uma t-conorma é dada pelo operador ∇ : [0,1] × [0,1] → [0,1] , ∇ ( x, y ) = x∇y se
satisfazer as seguintes condições de acordo com a Tabela 2.
8
Tabela 2 – Axiomas para t-conorma onde todo x , y , u ∈ [0,1]
Axioma
Elemento neutro
Comutativa
Associativa
Monotonicidade
Desenvolvimento
∇ (0, x ) = 0∇x = x
∇ ( x , y ) = x ∇ y = y∇ x = ∇ ( y , x )
x∇ ( y∇z ) = ( x∇y )∇z
se x ≤ u e y ≤ v, então x∇y ≤ u∇v.
O operador t-conorma estende o operador ∧ que modela o conectivo “ou”. Um
exemplo muito utilizado é o operador ∆ ( x , y ) = max{ x , y} = x ∨ y .
2.3 RELAÇÕES FUZZY
O conceito de relação fuzzy generaliza o conceito de relação dado pela teoria clássica
de modo a atribuir um valor no intervalo [0,1] para cada associação entre os elementos que
participam da relação. Esse valor busca medir a intensidade com que os elementos estão
relacionados, ou seja, a relação fuzzy além de indicar se há ou não associação, indica também
o grau desta relação (NICOLETTI E CAMARGO, 2009).
Definição 10: Uma relação fuzzy R sobre U1 × U 2 × ... × U n é qualquer subconjunto fuzzy de
U1 × U 2 × ... × U n . Assim, uma relação fuzzy R é dada por uma função de pertinência:
ϕ R : U1 × U 2 × ...× U n → [0,1].
Uma relação particular muito importante para inferências é o produto cartesiano fuzzy.
Definição 11: O produto dos conjuntos fuzzy A1 × A2 × ... × An de U1 × U 2 × ... × U n ,
respectivamente, é a relação fuzzy A1 × A2 × ... × An , cuja função de pertinência é dada por:
ϕ A × A ×...× A ( x1 , x2 ,..., xn ) = ϕ A ( x1 ) ∧ ϕ A ( x2 ) ∧ ... ∧ ϕ A ( xn ).
1
2
n
1
2
n
2.4 SISTEMAS BASEADOS EM REGRAS FUZZY
Sistema Baseado em Regras fuzzy – SBRF – é um sistema que se utiliza da lógica
fuzzy para produzir saídas para cada entrada fuzzy. Um caso particular de SBRF é um
controlador fuzzy que para cada saída representada por uma “ação” é correspondente uma
“condição” ou entrada do sistema. Em controladores fuzzy as tarefas são comandadas por
conjuntos fuzzy, relacionados com alguma variável de interesse (BARROS E BASSANEZI,
2010).
9
2.4.1 Base de Regras Fuzzy
No SBRF as regras fuzzy, são chamadas de proposição fuzzy. Cada regra tem a forma:
se “condição” então “ação”, em que cada “ação” e cada “condição” são modeladas por
conjuntos fuzzy. Os componentes da “condição” são chamados como antecedentes e os
componentes da “ação” são chamados de consequentes. A base de regras fuzzy é construída
alternando-se uma proposição fuzzy com um conectivo “ou”, sucessivamente, terminando com
uma proposição fuzzy como mostra a Tabela 3.
Tabela 3 – Forma da Base de Regras Fuzzy.
Conectivo
Regra fuzzy
R1 : “Proposição fuzzy 1”
Ou
M
Ou
R2 : “Proposição fuzzy 2”
M
R j : “Proposição fuzzy j”
2.4.2 Controlador Fuzzy
Um controlador fuzzy é composto por quatro módulos e seu esquema geral é mostrado
na Figura 4.
1. O Módulo de Fuzzificação responsável pela entrada do sistema. Essa entrada é
modelada através de conjuntos fuzzy e, assim, se faz necessária a participação de
especialistas do fenômeno a ser modelado. Os dados inseridos podem ser tanto
conjuntos clássicos quanto conjuntos fuzzy. Quando forem conjuntos clássicos serão
“fuzzificados”, ou seja, serão tratados a partir de sua função característica (BARROS
E BASSANEZI, 2010).
2. O Módulo de Base de regras que faz parte do “núcleo” do Controlador Fuzzy e é
composto de proposições fuzzy.
3. O Módulo de Inferência Fuzzy, cujo produto é uma relação que modela a base de
regras e é onde cada proposição fuzzy pode ser manuseada pelas técnicas de lógica
fuzzy (t-norma, t-conorma) mais adequadas para objetivo de controle.
4. O Módulo de Defuzzificação responsável pelo processo de transformação de um
conjunto fuzzy em um número real.
Figura 4 – Esquema geral de um controlador fuzzy.
10
A base de conhecimento no controlador fuzzy é composta pelo Módulo de Base de
Regras e Módulo de Inferência Fuzzy, em destaque na Figura 4.
A base de regras é modelada por uma Relação fuzzy R. A função de pertinência de R,
onde os valores x e u representam a condição e o controle, é dada por
ϕ R ( x, u) = ∇(ϕ R ( x, u)) , com 1 ≤ i ≤ r.
i
2.4.3 O método de inferência de Mamdani
O método de inferência de Mamdani é uma relação fuzzy M entre x e u para modelar a
base de regras conforme o procedimento:
1.
Em cada regra R j , da base de regras fuzzy, a condicional “se x é Aj então u é
B j ” é modelada pelo operador ∧ (mínimo).
2.
Adota-se a t-norma ∧ (mínimo) para o conectivo “e”.
3.
Para o conectivo lógico “ou” adota-se a t-norma ∨ (máximo) que conecta as
regras fuzzy da base de regras.
Definição 12: A relação fuzzy M é o subconjunto fuzzy de X ×U cuja função de pertinência é
dada por
ϕ M ( x, u ) = max (ϕ R ( x, u )) = max[ϕ A ( x ) ∧ ϕ B (u )].
1≤ j ≤ r
1≤ j ≤ r
j
j
j
Onde r é o número de regras que compõem a base de regras, Aj e B j são os
subconjuntos fuzzy da regra j. A relação fuzzy M é a união dos produtos cartesianos fuzzy entre
os antecedentes e os conseqüentes de cada regra.
2.4.4 O método defuzzificação centro de gravidade
A cada entrada fuzzy o módulo de inferência produz uma saída fuzzy e mesmo que esta
entrada seja um número real, em geral, a saída ainda será fuzzy. Para transformar a saída fuzzy
em um numero real é utilizado o método defuzzifucação centro de gravidade, chamado
também de centróide ou centro de área. Este método é semelhante à média aritmética para
uma distribuição de freqüências de uma dada variável, onde os pesos da média são os valores
ϕ B j (u) que indicam o grau de compatibilidade do valor u com o conceito modelado pelo
conjunto fuzzy B (BARROS E BASSANEZI, 2010).
O centro de gravidade expressa a média das áreas de todas as funções que representam
os graus de pertinência de um conjunto fuzzy:
n
∑u ϕ
G( B ) =
i =0
n
i
∑ϕ
i =0
B
B
(u i )
(ui )
11
2.5 SISTEMA P-FUZZY
Um Sistema p-fuzzy é um caso particular de sistema dinâmico. O que diferencia cada
caso é o tratamento dado à taxa de variação e/ou como esta se relaciona com as variáveis de
estado. Para sistema p-fuzzy a variação está relacionada com as variáveis de estado por meio
de regras fuzzy em vez de uma equação. Assim a variável de estado é a entrada do Sistema
baseado em regras fuzzy enquanto a variação é a saída. Tem-se um sistema da seguinte forma:
 dx
 = f ( x)
 dt
 x( a ) = x0
(3)
onde f é substituída por um controlador fuzzy coerente com o modelo a ser estudado. Esse
sistema é parcialmente fuzzy (p-fuzzy) no sentido que o campo de direções f em questão é
conhecido parcialmente. No entanto, sua solução é um número real, ou seja, um valor preciso
x(t ) que representa a variável de estado em cada instante t .
3 SIMULAÇÃO P-FUZZY DO MODELO MALTHUSIANO EM MATLAB
3.1 MODELO MALTHUSIANO P-FUZZY
O modelo de crescimento Malthusiano não previa fundamentalmente uma equação
matemática para descrever o crescimento populacional. Simplesmente enunciava que a
população cresceria geometricamente enquanto o alimento cresceria numa taxa aritmética,
desde que não houvesse mecanismo de controle como doença. A partir dessa conjectura de
Malthus interpretou-se o modelo determinístico em que “o crescimento de uma população é
proporcional à própria população” (BARROS E BASSANEZI, 2010).
O sistema p-fuzzy que modela a conjectura de Malthus é dado por:
 dx
 = kx(t )
 dt
 x(a ) = x0
(4)
dx
é definida
dt
por um controlador fuzzy que modela a conjetura de Malthus, propondo que a variação da
população é dada com base em sua própria densidade. Assim x (população) é o valor da
dx
variável de entrada e
(variação da população) é o valor da variável de saída.
dt
Onde a constante k , o valor de x0 e o valor de a são reais. Enquanto,
12
3.2 MATERIAIS E MÉTODOS
3.2.1 MATLAB
MATLAB, que abrevia Matriz Laboratory, é um programa de computador para
executar cálculos científicos e de engenharia. Ele nasceu como programa de operações
matemáticas sobre matrizes, porém, ao decorrer do tempo, transformou-se em um sistema
computacional capaz de resolver essencialmente qualquer problema técnico. O programa
implementa uma linguagem própria e oferece uma ampla biblioteca de funções prédefinidadas para que a programação técnica se torne mais fácil. Sua plataforma é
independente, ou seja, tem suporte em muitos sistemas computacionais como Windows e
Unix (CHAPMAN, 2003)
Dentre as várias ferramentas especializadas (toolboxes), o Fuzzy Logic Toolbox e o
SIMULINK, a primeira é para manuseio de Sistemas fuzzy e a segunda para ambiente de
simulação dinâmica. As duas ferramentas são de interface gráfica (GUI, Graphic Usar
Interface).
Simulink é uma ferramenta de simulação integrada, baseada em diagramas de blocos
que permite modelar e analisar sistemas dinâmicos.
Fuzzy Logic Toolbox suporta construção de sistemas fuzzy com habilitação para uso no
simulink. Esse Toolbox é composto por cinco ferramentas de interface gráfica:
1. FIS Editor – Fuzzy System Inference: é um Sistema Baseado em Regras Fuzzy. Na sua
tela inicial são mostradas as escolhas para os módulos: Defuzzificação e Método de
Inferência.
2. Membership Function Editor: manuseia os conjuntos fuzzy tanto de entrada(s) quanto
de saída do sistema, além de adicionar, remover e modificar as funções de pertinência.
3. Rule Editor: edita como as regras fuzzy serão relacionadas e são escolhidos os
conectivos que ligam as funções de pertinência dos antecedentes de cada regra.
4. Rule Viewer: visualiza os valores numéricos reais de saída para a(as) entrada(s) real
(is) definida (s).
5. Surface Viewer: visualiza o gráfico da(s) variável(s) de entrada(as) em função da
variável de saída.
3.2.2 Dados e métodos fuzzy
Os dados para construção do Controlador Fuzzy em MATLAB foram retirados do
livro Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática nas páginas 276 e 277. Nessas páginas
constam a Base de regras, os conjuntos fuzzy de variação e população, as escolhas para
método de inferência e de defuzzificação, respectivamente, método de inferência de Mamdani
e o método de centro de gravidade.
A base de conhecimento do controlador será uma base de regras com quatro regras
onde os antecedentes são o conjunto fuzzy de população e os conseqüentes são o conjunto
fuzzy de variação. Sobre o modelo malthusiano, a condição inicial é x0 = 2 e α = 0,95.
As funções de pertinência que compõem os conjuntos de população e variação são
apresentadas na Tabela 4 e na Tabela 5. A base de regras fuzzy é descrita na Tabela 6.
13
Tabela 4 – Valores para as funções de pertinência da variável de entrada “população”.
Name
(nome)
MB
B
M
A
Type(forma da função
de pertinência)
trapmf (trapezoidal)
trimf (triangular)
trimf (triangular)
trapmf (trapezoidal)
Params(valores)
a
B
c
d
0
0
11.90 35.71
17.86 41.66 71.42
53.57 89.28 113.1
89.28 119
250
250
Tabela 5 – Valores para as funções de pertinência da variável de saída “variação”.
Name
(nome)
MB
B
M
A
Type(forma da função de
Params(valores)
pertinência)
a
B
c
d
trapmf (trapezoidal)
0
0
5.238 13.1
trimf (triangular)
9.17 18.33 24.88 trimf (triangular)
20.95 34.05 41.90 trapmf (trapezoidal)
36.66 49.76 250 250
Tabela 6 – Base de regras fuzzy para modelar a variação da população com base na densidade da própria
população.
Conectivo
Regra fuzzy
R1 : Se a população (x) é MB então a variação é MB
Ou
R2 : Se a população (x) é B então a variação é B
Ou
R3 : Se a população (x) é M então a variação é M
Ou
R4 : Se a população (x) é A então a variação é A
Para as Tabelas 4, Tabela 5 e Tabela 6 as siglas MB, B, M e A representam,
respectivamente, Muita Baixa, Baixa, Média e Alta.
3.3 APLICAÇÃO NO MATLAB
3.3.1 FIS Editor
No FIS Editor são feitas as escolhas para o método de inferência, método de
defuzzificação, t-norma e t-conorma a ser utilizado. Conforme a Figura 5.
A escolha para o método de defuzzificação é centroid que se refere ao método de
centro de gravidade.
As escolhas do Módulo de inferência segundo procedimento explicitado na seção
2.4.3:
1. And method se refere à escolha da t-norma que modela o conectivo “e”, isto é, é
utilizado o operador ∆ ( x , y ) = min{ x , y} = x ∧ y .
2. Or Method se refere à escolha da t-conorma que modela o conectivo “ou”, isto é, é
utilizado o operador ∆ ( x , y ) = max{ x , y} = x ∨ y .
14
3. Implication se refere à escolha da implicação de cada regra, isto é, operador
∆ ( x , y ) = min{ x , y} = x ∧ y .
4. Aggregation se refere a escolha da conexão entre as regras fuzzy da base de regras,
isto é, operador ∆ ( x , y ) = max{ x , y} = x ∨ y .
Figura 5 – FIS Editor.
3.3.2 Membership Function Editor
O Membership Function Editor adiciona e remove funções de pertinência das
variáveis de entrada e saída. A caixa range faz referencia ao universo de discurso do conjunto
fuzzy e a caixa params faz referência aos valores ( a, b, c, d ) ou ( a, b, c ) das formas de cada
função de pertinência. Veja a Figura 6.
1. Para a variável de entrada preencha range com o intervalo [0, 250] e para variável de
saída preencha com [0, 110].
2. Nomeie cada função de pertinência e preencha a caixa params conforme a Tabela 4
para variável de entrada “população” e conforme a Tabela 5 para variável de saída
“variação”.
Figura 6 - Membership Function Editor.
15
3.3.3 Rule Editor e Rule Viewer
No Rule Editor é editada a base de regras fuzzy, conforme a Tabela 6. O Rule Viewer
calcula a saída (variação) para cada entrada (população) do sistema e também mostra
visualmente as operações.
Figura 7 – Rule Editor e Rule Viewer.
3.3.4 Surface Viewer
No Surface Viewer é gerada o gráfico variável de entrada (população) em função da
dx
do sistema p-fuzzy (4).
variável de saída (variação), ou seja, revela o comportamento
dt
Figura 8 – Gráfico População x Variação.
16
3.3.5 Arquitetura do sistema p-fuzzy em Simulink
A arquitetura do sistema p-fuzzy (4) construída no simulink é formada pelos seguintes
blocos:
1. Bloco Gain1 que determina constante a = 0.95
2. Bloco Integrator que determina a condição inicial x0 = 2 e a iteração do sistema.
3. Bloco Fuzzy Logic Controller que faz referência ao controlador fuzzy.
4. Bloco scope é responsável por gerar o gráfico da solução do sistema.
Figura 9 – Arquitetura do sistema p-fuzzy em Simulink.
4. RESULTADOS E CONCLUSÕES
4.1 RESULTADOS
A solução clássica do modelo Malthusiano através de uma equação diferencial
ordinária produz uma família de soluções. Cada solução do sistema p-fuzzy é dependente dos
parâmetros das funções de pertinência que compõem tanto a variável de entrada como a
variável de saída. As soluções fuzzy, em geral, não produzem um resultado tão preciso como
os das soluções clássicas. Quanto mais complexo for problema e o contexto envolvido, mais
imprecisa será a solução obtida.
O resultado da simulação p-fuzzy do modelo Malthusiano em MATLAB determinou
uma solução fuzzy com comportamento de crescimento exponencial, muito próxima a uma
solução clássica existente, como mostra o comparativo da Figura 10.
17
Figura 10 – Solução analítica e a solução fuzzy.
4.2 CONCLUSÃO
O artigo possibilitou a conexão entre os conhecimentos obtidos ao longo da graduação
e os conhecimentos de lógica fuzzy. Ao longo do trabalho foram apresentados os conceitos e
técnicas básicas de Teoria Fuzzy, finalizando com uma simulação. As Teorias Fuzzy foram
relacionadas de maneira direta ou indireta com o modelo simulado.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AMENDOLA, M.; SOUZA, A.L. Manual do uso da teoria dos conjuntos fuzzy no MATLAB
6.5. FEAGRI/UNICAMP, 2005.
BARROS, L.C.; BASSANEZI, R. C. Tópicos de lógica fuzzy e biomatemática. Campinas:
UNICAMP, 2010.
CHAPMAN, Stephen J. Programação em MATLAB® para engenheiros. 1. ed. São Paulo:
Pioneira Thomson Learning, 2003.
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Lucas dos Santos Maciel ([email protected])
Curso de Matemática, Universidade Católica de Brasília
EPCT – QS 07 – Lote 01 – Águas Claras – Taguatinga – CEP.: 72966-700