Aliança sinérgica entre Epistemologia e
Didática da Matemática no estudo da
álgebra elementar e seus símbolos
Caroline BARDINI – Université Paris 7
30 de Agosto 2004
Os métodos em Matemática por
Jules Vuillemin
 «Toda atualização dos métodos matemáticos vê-se repercutida na
filosofia » - J.Vuillemin (1962)
 Eco do método inventado pelos matemáticos gregos para
aproximar todo irracional por uma fração contínua na Política de
Platão.
 Características da invenção matemática da geometria algébrica
presentes no discurso metafísico de Descartes.
 A evidenciação por Leibniz do princípio de continuidade e seu
uso para apontar os defeitos do método metafísico de Descartes.
 A filosofia pode-se permitir o uso das noções de grupo e estrutura
algébrica em alguns de seus métodos?
Análise epistemológica e métodos em
Matemática
 Análise epistemológica: Adotar um recuo em relação aos
objetos matemáticos (conceitos, métodos). Historicidade.
Rigor
Evolução ao longo do tempo, sua dependência em
relação aos domínios matemáticos tratados e ao grau
de elaboração dos objetos que ela manipula.
 Análise epistemológica: vigilância, distância em relação ao
objeto de estudo.
Epistemologia e Didática da Matemática (1/2)
Adoção de uma distância indispensável no contexto do ensino
da matemática onde a ficção de uma aparente transparência do
conhecimento é cultivada.
O didático da matemática se interessa
na relação tripartite – tal como lhe é
possivel observar e em seguida
reconstruir, nas salas de aula – entre um
professor, alunos e um conhecimento
matemático. (Yves Chevallard)
professor
conhecimento
aluno(s)
Examinar de um ponto de vista externo (exterior) o sistema de
ensino.
Epistemologia e Didática da Matemática (2/2)
Didática
Epistemologia
Conhecimento
Alunos
O didático é confrontado à
análise
da
gênese
do
conhecimento matemático: o
estudo dos mecanismos, das
condições e contextos das
« descobertas », das causas dos
períodos de estagnação, etc.
Observar e explicar os
processos que intervêem no
nascimento de um conceito
matemático em um aluno.
(Sem procurar fazer da historia
um modelo para o ensino)
Provocar tais processos dentro
do sistema de ensino.
Articulação entre epistemologia e didática
Aliança sinérgica entre Epistemologia e Didática da Matemática
no estudo da álgebra elementar e seus símbolos.
Problemática
Articulação entre filosofia e matemática
J. Vuillemin (1962)
G.G. Granger (1994)
Notação matemática
C. Babbage (1821)
F. Cajori (1928)
M. Dascal (1978)
D. André (1909)
Estudo epistemológico
retrospectivo sobre a
constituição da
linguagem simbólica
M. Serfati (1997)
Análise epistemológica dos símbolos algébricos
(Re)leitura epistemológica
de pesquisas didáticas
Desenvolver paraAnalisar
Ferramenta
analisar
tarefasao simbolismo
respostas
o acesso
Problemática
- Fragilidade e irregularidade ao
operações algébricas tais a fatoração.
efetuar
Uma tarefa efetuada às cegas, onde intervêm processos
« inquestionáveis », destinados a transformar uma série de fórmulas
algébricas que permanecem desprovidas de sentido.
René Magritte, A
condição humana I
(1933)
- Como os alunos entrevêem as expressões que
eles manipulam? Como enxergam os diferentes
elementos que as compõem?
O que há , para o aluno, por trás de um símbolo?
(Re)leitura. Parcela desconhecida e substância desconhecida
Parcela desconhecida : Algo não fornecido pelo texto. Indica que trata-se
de um problema onde tudo não é dado.
Substância desconhecida : Valor de uma quantidade, permanente no texto,
porém desconhecida.
Diofante
Encontrar dois numeros cuja soma seja igual a 20 e cuja soma de seus quadrados seja
igual a 208.
Diofante (notação moderna): (10+x)2+(10-x)2=208 (logo x=2). Sol: 12 e 8
Stacey e MacGregor. Problema ‘BUS’
Stacey e MacGregor. Problema TRIANGLE
Um
ônibus
levou
alunos
numa excursão de 3 porém
dias. A distância
percorrida no 2°a dia
Papel
de desse
umatriângulo
incógnita
especificamente
O perimetro
mede 44operacional,
cm. Escreva uma equação e não
encontre
o valor de x.
excedeu de 85 km aquela percorrida no 1° dia. A distância percorrida no 3° dia excedeu
incógnita (ou uma dasnoincógnitas),
mas auxiliar, cuja identificação
de 125 km aquela percorrida
2x cm 1° dia. A distância total percorrida foi de 1410 Km. Seja x
Alunos: x =30
todasnoas1°incógnitas
x cmpercorridos
opermite
numero determinar
de km
dia. Utilisedoa problema.
álgebra para determinar a distância
percorrida cada dia. 14 cm
Alunos: x + 85 + 125 = 1410
(Re)leitura - A igualdade (1/2)
I – O registro retórico
Arithmetica Integra (1544) – Stiefel:
“Itaque 2 , multiplicatae in summam extremorum, id est, in 1 A + 1 , faciunt
2 A + 2 , aequata 4335. Deinde 2 multiplicatae in 2 A seu in summam
omnium faciunt 4 A aequata 6069. ”
 Igualdade ocupa o papel central e a sua interpretação no registro
retórico põe em evidência uma certa assimetria.
 Afetação de um atributo a um sujeito :
Dois e três fazem cinco
sujeito
atributo
(Re)leitura - A igualdade (2/2)
II- Registro simbólico
 Recorde (1557) :«
»
Nada é mais parecido do que dois traços paralelos
à linha de escrita
 Laço de Descartes (1637): «
z2
»
-a z + b b
Igualdade interpretada em termos de equivalência, com
as propriedades de:
- reflexividade
- simetria
- transitividade
6+6 = 6+6 ?
47 T:Do you think six plus six equals six plus
six? Do you think that is right?
48 Sh: I disagree.
49 T: Tell me why.
50 Sh: Because / equals doesn’t mean you put six plus
six again. You’re supposed to add the numbers up. /
That’s what equal means and you put the answer
down. And
51 T:  What if it was six take away six?
52 Sh: Then //
53 T: Do I have to add to get on the other side?
54 Sh: No, you can subtract or add to  write the
number down.
55 T: What if it was six times six?
56 Sh: Then you don’t put six times six again. Cause
that wouldn’t be the answer.
57 T: Okay, so you’re saying it had to be the answer.
Equals mean you have to have an answer on the other
side?
58 Sh: Yeah, because / see if equals wasn’t there when
you put all the / when you put all the numbers together
/ they want to know what’s the answer. And you just
don’t put again six times six.
59 T: So you’re telling me it’s not true that six plus six
equals six plus six? You say that’s not true?
60 Sh:Yeah because six plus six equals twelve. /
Not six plus six.
61 T: So six plus six does not equals six plus six?
62 Sh:Yeah.
63 Ka: Yeah, it does because both of them equal the
same amount. / that could be real. You could do that.
64 T: Could I put six plus six equals / six plus six? (T
writes the following equality on the board : 6+6 = 6+6)
65 Ka: Yes.
66 Mi: Yes
67 S: No.
68 T: What is six plus six? Sh?
69 Sh: Six plus / six plus six equals twelve.
70 T: Oh, this is twelve (placing her hand over the left
side of the equality) / And so what is this six plus six
(placing her hand over the right side of the equality)?
71 Sh: Twelve.
72 T: (T writes 12 under each side of the equality 6+6 =
6+6) So you’re telling me it’s not true that twelve equals
twelve? // Twelve does not equal twelve?
73 Sh: No / I don’t get it. / That’s equal.
Pontos de vistas autor/ leitor – Um pouco de história
1526 Widmann
Adicione o numero 30 ao numero 3
Subtraia o numero 17 do numero 4
1608 Clavius
1
–7
Do valor da incógnita, subtraia o numero 7
Intenção do autor:
Fornecer ao leitor uma representação simbólica de uma instrução elementar
Ex n°1
Tradução algorítmica dos símbolos
O autor de uma expressão basea-se em seu
sua‘significado’.
estrutura
Ex n°2
Traduz simbólicamente a intenção do autor
expressa em linguagem natural
Ex. n°1
As instruções abaixo
-
pegue um numero x
multiplique-o por 2
subtraia 5 do resultado obtido
extraia a raíz quadrada do resultado
adicione 3 ao resultado
constituem um algoritmo ao cabo do qual obtemos a seguinte formula:
2x  5
Escreva algoritmos que permitam obter cada uma das seguintes expressões:
a) [5(2+x)]2
b)
c)
3
1
x
+2
[2(-x+3)]2
Ex. n°2
Escreva as seguintes frases sob forma de expressões algébricas
a) O dobro do quadrado de a
b) A soma do quadrado de 5 e do dobro de a
c) A diferença de 3 e do produto de 7 por x
d) O quadrado da soma de 7 e x
e) O quociente da soma de 3 e a e a diferença de b e 8
Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (1/2)
[5(2+x)]2
leitor
Adicione o numero representado pelo símbolo ‘2’ ao numero cujo
símbolo é x. Multiplique o resultado pelo numero representado pelo
símbolo ‘5’. Eleve o ultimo resultado ao quadrado.
Uma expressão algébrica é um conjunto de símbolos traduzindo a execução de
uma série de instruções, em uma dada ordem.
Mudança de foco
Leitor
Para decifrar uma expressão, começa
pelos símbolos operatórios mais internos
(‘mais fracos’) e progressivamente reconstrói a hierarquia da expressão
Autor
Baseado no ‘significado’
Intimamente ligado ao símbolo que
estrutura a expressão (o ‘ mais forte’ )
Foco nos símbolos operatórios presentes na expressão e seus
“status”, dependendo da perspectiva adotada.
Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (2/2)
Examinar a ordem ao considerar os símbolos operatórios que
compõem a expressão.
Descartes (1637) : z2
-a z + b b
5 (cruz)
4(
1 .a + 1. a.a + b.b
4
2
)
2 (ponto)
3 (cruz)
1 2 5 41 2 1 3 1
2 (ponto)
1 (ponto)
1 (traço)
1 (ponto)
1
a
4
a
a
b
b
1 (traço)
1
2
Analisando respostas de alunos (1/ 2)
Exercício
Aluno de 13 anos
Completando o
ponto de vista do autor
Re-constrói uma expressão algébrica a partir de
sua descrição fornecida em linguagem natural
“A soma do terço dos quadrados de a e b”
“ E a soma…do terço… então a soma.
Portanto duas expressões postas…
Divididas por 3 com um mais no meio.
1
+
a2 + b2
Significado e sintaxe do 3 3
símbolo
a2 interligados
b2
E depois tem a ao quadrado e b ao quadrado ” 3
+
2
3
3
Passo-a-passo reconstrói a árvore combinatória da expressão
4
Ligue cada uma das expressões abaixo à frase que melhor a descreva. Se você
escolher « outro(s) » para uma dada expressão, escreva a sua própria frase no
retângulo fornecido.
a e b são dois numeros não nulos.
A= 1 + 1 :
a2 b2
n°1 : O inverso do quadrado da soma de a e b
B=
1 :
a2 + b2
n°2 : A soma dos inversos dos quadrados de a e b
C=
1
:
(a + b)2
n°3 : O quadrado da soma dos inversos de a and b
n°4 : Outro(s) :
Analisando respostas de alunos (2/ 2)
2 (cruz)
(l-1) x (c-1)
1 (traço)
l
« subtrai um da largura, subtrai um
do comprimento e depois multiplica
os dois »
« (…) fazendo largura-1 x
comprimento-1 = quantidade de
gotas de chocolate numa barra ».
1
1 (traço)
1
c
« Pega a largura menos um e
multiplica pelo comprimento
menos um »
Próximo da descrição da
fórmula, linear
Levar em conta não somente a presença de símbolos na descrição,
mas também a ordem com a qual as diferentes operações aparecem.