Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino
Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992. Professor do Curso Positivo de
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos
destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teorema – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde
2005. Autor de material didático para sistemas de
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC)
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática
financeira. Consultor da Empresa Result – Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde
2008. Autor de questões para concursos públicos
no estado do Paraná desde 2003.
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Sistema de Unidades de Medida
Introdução
O homem tem a necessidade de medir desde a Antiguidade. Durante
muitos séculos, cada povo teve um modo de medir, além de utilizar unidades distintas de medida. Em geral, eram empregadas unidades que se baseavam em partes do corpo humano, tais como a palma da mão, o pé, o polegar,
o braço e outros.
Essa forma difusa de se medir, própria de cada povo em particular, criava
dificuldades para se quantificar alguma grandeza, sobretudo no comércio,
uma vez que a medida da palma da mão, por exemplo, varia de pessoa para
pessoa.
Com isso, pode-se imaginar o problema existente na comercialização
de produtos cujas quantidades eram expressas em unidades de medida
diferentes.
Com o passar do tempo houve, então, a necessidade de se unificar as unidades de medida. Isso ocorreu a partir da Revolução Francesa, no final do
século XVIII.
Foi em 1795 que a Academia de Ciências da França apresentou o Sistema
Métrico Decimal, sistema esse utilizado posteriormente por muitos países,
incluindo o Brasil, que o adotou em 1875.
Sistema Métrico Decimal
O Sistema Métrico Decimal constitui-se de um conjunto de unidades de
diversas espécies, todas derivando de uma unidade de comprimento denominada metro (símbolo m).
Unidades de comprimento
As unidades de comprimento são baseadas no metro (unidade principal)
seus múltiplos e submúltiplos.
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Sistema de Unidades de Medida
Os múltiplos formam-se da unidade principal precedida dos prefixos
gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil).
Os submúltiplos formam-se da unidade principal precedida dos prefixos
gregos deci (décimo), centi (centésimo) e mil (milésimo).
A unidade principal de comprimento é o metro.
km – hm – dam – m – dm – cm – mm
Unidade
Múltiplos
Submúltiplos
fundamental
Quilômetro
Hectômetro
Decâmetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1 000m
100m
10m
1m
0,1m
0,01m
0,001m
Exemplo:
A medida 2,147m significa:
2 metros
1 decímetro
4 centímetros
7 milímetros
Ou seja,
2,147m = 21,47dm = 214,7cm = 2 147mm
Unidades de área (superfície)
A unidade principal de área ou superfície é o metro quadrado, ou seja, a
área de um quadrado cujo lado (aresta) mede um metro de comprimento.
1m
1m
1m
S = 1m . 1m
S = 1m2
1m
1m² = (1m) . (1m)
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Sistema de Unidades de Medida
As unidades de área são baseadas no metro quadrado, seus múltiplos e
submúltiplos.
km² – hm² – dam² – m² – dm² – cm² – mm²
Unidade
fundamental
Múltiplos
Submúltiplos
Quilômetro
quadrado
Hectômetro
quadrado
Decâmetro
quadrado
Metro quadrado
Decímetro
quadrado
Centímetro
quadrado
Milímetro
quadrado
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1 000 000m2
10 000m2
100m2
1m2
0,01m2
0,000 1m2
0,000 001m2
Exemplo:
Transforme 23,1dm² em dam²:
Quatro casas decimais para a esquerda.
Logo: 23,1dm² = 0,00231dam².
Unidades de volume
A unidade principal de volume é o metro cúbico, ou seja, o volume de um
cubo cujo lado (aresta) mede um metro de comprimento.
1m
1m
1m
V = 1m . 1m . 1m
V = 1m3
1m³ = (1m) . (1m) . (1m)
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Sistema de Unidades de Medida
As unidades de volume são baseadas no metro cúbico, seus múltiplos e
submúltiplos.
km³ – hm³ – dam³ – m³ – dm³ – cm³ – mm³
Unidade
fundamental
Múltiplos
Submúltiplos
Quilômetro
cúbico
Hectômetro
cúbico
Decâmetro
cúbico
Metro cúbico
Decímetro
cúbico
Centímetro
cúbico
Milímetro
cúbico
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
109m3
106m3
103m3
1m3
10–3m3
10–6m3
10–9m3
Exemplo:
Transforme 4,254km³ em m³:
Nove casas decimais para a direita.
Logo: 4,254km³ = 4 254 000 000m³.
Unidades de capacidade
As unidades de capacidade são baseadas no litro (unidade principal)
seus múltiplos e submúltiplos.
kL – hL – daL – L – dL – cL – mL
Unidade
fundamental
Múltiplos
Submúltiplos
Quilolitro
Hectolitro
Decalitro
Litro
Decilitro
Centilitro
Mililitro
kL
hL
daL
L
dL
cL
mL
1 000L
100L
10L
1L
0,1L
0,01L
0,001L
Observação:
Para transformação de unidades, o procedimento é análogo ao de mudança de medidas de comprimento.
Exemplo:
Transforme 0,002kL em dL:
Quatro casas decimais para a direita.
Logo: 0,002kL = 20dL.
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Sistema de Unidades de Medida
Unidades de massa
As unidades de massa são baseadas no grama (unidade principal) seus
múltiplos e submúltiplos.
t – kg – hg – dag – g – dg – cg – mg
Unidade
Múltiplos
Submúltiplos
fundamental
Tonelada
Quilograma
Hectograma
Decagrama
Grama
Decigrama
Centigrama
Miligrama
t
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
1 000kg
1 000g
100g
10g
1g
0,1g
0,01g
0,001g
Observação:
Para transformação de unidades, o procedimento é análogo ao de mudança de medidas de comprimento.
Exemplo:
Transforme 0,2hg em g:
Duas casas decimais para a direita.
Logo: 0,2hg = 20g.
Observações importantes
Unidades agrárias
A unidade agrária principal é o are. O múltiplo de are é hectare (100 vezes
o are) e o submúltiplo é o centiare (0,01 vezes o are).
Are ⇒ 1a = 100m2
Hectare ⇒ 1ha = 100a = 10 000m2
Centiare ⇒ 1ca = 0,01a = 1m2
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Sistema de Unidades de Medida
Relações métricas equivalentes
1dm³ ⇒ 1 litro
1m³ ⇒ 1 000 litros
1kg ⇒ 1 litro de água
Sistema de medidas não decimais
São as medidas em que não existe uma relação decimal entre a unidade
principal e os respectivos múltiplos e submúltiplos.
Unidades de tempo
1 dia = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
Unidades de ângulo
Os ângulos podem ser medidos em graus, grados ou radianos.
180° = 200gr = π rad
1 grau (1°) = 60 minutos (60’)
1 minuto (1’) = 60 segundos (60’’)
Dica de estudo
O êxito no estudo das unidades de medida reside, inicialmente, na compreensão dos prefixos kilo, hecto, deca, deci, centi e mili. A partir daí, as
conversões de um número de uma unidade para outra ficarão bem mais
acessíveis. Fique atento também às questões em que é necessário transformar unidades de área ou de volume, pois o deslocamento da vírgula se dá
de forma um pouco diferente. Uma das questões mais observadas quando
se trata de unidades de medida é aquela em que se pretende transformar
unidades de capacidade em unidades de volume, ou vice-versa. Lembre-se
sempre da igualdade que afirma que 1 litro corresponde a 1dm3.
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Sistema de Unidades de Medida
Resolução de questões
1. (Esaf ) Uma sala de 0,007km de comprimento, 80dm de largura e 400cm
de altura tem uma porta de 2,4m² de área e uma janela de 2m² de área.
Quantos litros de tinta serão necessários para pintar a sala toda, com o
teto, sabendo-se que com 1L de tinta pinta-se 0,04dam²?
a) 38,9
b) 39,3
c) 40,1
d) 41,4
e) 42,9
2. (FCC) Um dia sideral corresponde ao tempo necessário para que a Terra
complete uma rotação em torno do seu eixo relativo a uma estrela fixa no
espaço sideral, possibilitando-nos aferir um tempo de aproximadamente
23,93447h. O dia solar médio é o tempo correspondente a uma rotação
da Terra, em que vemos o Sol voltar à sua posição no céu após um tempo
de 24h. A diferença entre o dia sideral e o dia solar médio é de:
a) 3min e 45s.
b) 6min e 55s.
c) 6min e 56s.
d) 3min e 56s.
e) 3min e 30s.
3. (FCC) Certo técnico de suporte em informática começou a resolver um
problema em um computador às 14h40min. Se ele levou 75 minutos para
solucionar o problema, a que horas ele terminou o serviço?
a) 16h05min
b) 15h55min
c) 15h45min
d) 15h35min
e) 15h25min
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Sistema de Unidades de Medida
Fator pelo qual a
unidade é multiplicada
Nome
Símbolo
tera
T
1012 = 1 000 000 000 000
giga
G
109 = 1 000 000 000
mega
M
106 = 1 000 000
quilo
k
103 = 1 000
hecto
h
102 = 100
deca
da
10 = 10
deci
d
10–1 = 0,1
centi
c
10–2 = 0,01
mili
m
10–3 = 0,001
micro
µ
10–6 = 0,000 001
nano
n
10–9 = 0,000 000 001
pico
p
10–12 = 0,000 000 000 001
(INMETRO Quadro Geral de Unidades de Medida,
2. ed. Brasília, 2000)
4. (FCC) A tabela a seguir permite exprimir os valores de certas grandezas
em relação a um valor determinado da mesma grandeza tomado como
referência. Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades derivadas
das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e têm seus nomes
formados pelo emprego dos prefixos indicados.
Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse o grama (g), teríamos 35mg = 35 . 10-3g = 0,035g. Considerando o byte (b) como unidade
de referência, a expressão (0,005Gb) . (0,12µb) é equivalente a:
0,25Mb
a) 2,4µb
b) 2,4cb
c) 0,24Mb
d) 0,24nb
e) 0,024dab
5. (FCC) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos. Admitindo-se que
as gotas tenham sempre volume igual a 0,2mL, determine o volume de
água que vaza por hora.
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Sistema de Unidades de Medida
a) 0,252dL
b) 25,2L
c) 2,52cL
d) 2520mL
e) 0,0252 daL
6. (FCC) Quantos décimos de hora correspondem a 48 minutos?
a) 2,4
b) 4,8
c) 8,0
d) 9,6
e) 80
7. (FCC) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos.
Se um caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões
seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida?
a) 205
b) 210
c) 215
d) 220
e) 225
8. (Esaf ) Se 300cm³ de uma substância têm massa de 500g, quanto custarão
75dL (decilitro) dessa substância, sabendo-se que é vendido a R$25,50 o
quilograma?
a) R$3.187,50
b) R$31,87
c) R$381,75
d) R$318,75
e) R$31.875,00
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Sistema de Unidades de Medida
9. (Esaf ) 100dm x 0,1dam x 100mm =
a) 0.010m³
b) 10m³
c) 100m³
d) 1m³
e) 0,100m³
10.(Esaf ) Uma tartaruga percorreu num dia 6,05km. No dia seguinte, percorreu mais 0,72hm e, no terceiro dia, mais 12 500cm. Nos três dias, a tartaruga percorreu:
a) 1 450m
b) 12 506m
c) 6 247m
d) 14 500m
e) 1 250m
Referências
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda.,
1996.
GARBI, G. Gilberto. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, 2006.
LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
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Sistema de Unidades de Medida
Gabarito
1. Inicialmente, podemos converter todas as dimensões em m:
comprimento = 0,007km = 7m
largura = 80dm = 8m
altura = 400cm = 4m
porta = 2,4m²
janela = 2m²
Em seguida, podemos calcular as medidas das áreas das faces que deverão ser pintadas:
área do teto = 7 . 8 = 56m²
área da parede 1 = 8 . 4 = 32m²
área da parede 2 = 7 . 4 = 28m²
Adicionando a área do teto com a de duas paredes do tipo 1, com a de
duas paredes do tipo 2, temos:
56 + 2 . 32 + 2 . 28 = 56 + 64 + 56 = 176m²
É necessário, também, descontar as medidas das áreas da janela e da porta, já que essas não serão pintadas. Assim, a área a ser pintada é igual a:
176 – 2,4 – 2 = 171,6m²
Com cada litro de tinta se pode pintar 0,04dam2 ou 4m2. A quantidade de
litros de tinta necessária é obtida dividindo a área a ser pintada por 4:
171,6/4 = 42,9 litros
Logo, 42,9 litros de tinta serão necessários para a pintura.
Resposta: E
2. O dia sideral é igual a 23,93447h, ou seja, 23h mais 0,934447 minutos.
Para transformar 0,934447h em minutos, basta multiplicar esse valor por
60:
0,934447 . 60 = 56,06682 minutos
Além disso, 56,06682 é igual a 56 minutos mais 0,06682 minuto.
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Sistema de Unidades de Medida
Para transformar 0,06682 minuto em segundos, basta multiplicar esse valor
por 60:
0,06682 . 60 = 4,0092 segundos
Assim, o dia sideral tem duração aproximada de 23 horas, 56 minutos e 4
segundos.
A diferença entre o dia sideral e o dia solar médio é dada por:
D = 23 horas, 59 minutos e 60 segundos – 23 horas, 56 minutos e 4 segundos
D = 3 minutos e 56 segundos
Resposta: D
3. Em 75 minutos temos 1 hora e mais 15 minutos. Logo, o técnico terminou
o serviço às
(14 + 1) h (40 + 15) min, ou seja, 15h55min.
Resposta: B
4.
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(0,005Gb) . (0,12µb)
0,25Mb
(0,005Gb) . (0,12µb)
0,25Mb
(0,005Gb) . (0,12µb)
0,25Mb
(0,005Gb) . (0,12µb)
0,25Mb
(0,005Gb) . (0,12µb)
0,25Mb
(0,005Gb) . (0,12µb)
0,25Mb
(0,005Gb) . (0,12µb)
0,25Mb
=
=
(5 . 10–3 . 109b) . (12 . 10–2 . 10–6b)
25 . 10–2 . 106b
5 . 12 . 10–3 . 109 . 10–2 . 10–6
b
25
10–2 . 106
= 2,4 .
10–3 + 9 – 2 – 6
= 2,4 .
10–2
10–2 + 6
104
b
b
= 2,4 . 10 –2 – 4 b
= 2,4 . 10 –6 b
= 2,4µb
Resposta: A
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Sistema de Unidades de Medida
5. Se a torneira goteja sete vezes a cada 20 segundos, em 60 segundos (triplo do tempo), gotejará 21 vezes (triplo da quantidade de gotas). Como
60 segundos correspondem a 1 minuto, pode-se dizer que a torneira
goteja 21 gotas a cada minuto. Em uma hora, ou seja, em 60 minutos, a
quantidade de gotas será dada por:
60 . 21 = 1 260
Se cada gota tem o volume de 0,2mL, então 1 260 gotas terão o volume de:
1 260 . 0,2mL = 252mL = 25,2cL = 2,52dL = 0,252L = 0,0252daL
Resposta: E
6. Uma hora possui 60 minutos. Logo, um décimo de hora possui 6 minutos.
Divisão de 48 minutos por 6 minutos resulta 8. Logo, 48 minutos correspondem a 8 décimos de hora.
Resposta: C
7. Observando que 1 litro corresponde a 1dm3, temos:
7 200 000 litros = 7 200 000dm3 = 7 200m3
Se cada caminhão tem a capacidade de 32m3, então a quantidade de caminhões necessária para transportar 7 200m3 de gasolina seria dada por:
7 200
= 225
32
Resposta: E
8. Observe que 300cm3 = 0,3dm3 e 0,3dm3 correspondem a 0,3L = 3dL.
Logo, 3dL tem massa de 500g e, portanto, 6dL (o dobro) tem massa de
1 000g.
Assim, 75dL da substância devem custar:
75
6
. 25,50 = 318,75
Resposta: D
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Sistema de Unidades de Medida
9. 100dm . 0,1dam . 100mm = 10m . 1m . 0,1m = 1m3
Resposta: D
10.Nos três dias a tartaruga percorreu:
56
6,05km + 0,72hm + 12 500cm = 6 050m + 72m + 125m = 6 247m
Resposta: C
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