CÁLCULO III
Aula 2 – Aplicações ao Movimento e Comprimento
De Arco
CÁLCULO III
Conteúdo Programático
1. Introdução
2. Aplicações ao Movimento
3. Exemplos
4. Comprimento de Arco
5. Exemplos
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
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INTRODUÇÃO
Interpretação física da derivada
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Vamos considerar uma partícula em movimento no
espaço (R2 ou em R3).
Observe que quando t varia, a extremidade livre do vetor
σ(t) descreve a trajetória C da partícula.
A função σ(t) é dita função posição do movimento.
Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em
Q no tempo t+Δt. Veja que Δσ = σ(t+Δt) - σ(t) representa
o deslocamento da partícula de P para Q, no intervalo Δt.
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APLICAÇÕES AO MOVIMENTO
A partir da função posição podemos falar dos conceitos
físicos → vetor velocidade, velocidade escalar e vetor
aceleração.
DEFINIÇÃO 1
Considere a função posição σ(t). A sua derivada σ’(t)
é chamada vetor velocidade.
Notação: V(t) → vetor velocidade da partícula
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Observação:
O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória no
ponto em que a partícula se encontra.
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DEFINIÇÃO 2
O comprimento do vetor velocidade,||σ’(t)||, é
chamado de velocidade escala.
Notação: v(t) → velocidade escalar
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DEFINIÇÃO 3
O vetor aceleração da partícula é dado pela derivada
do vetor velocidade → V’(t) ou σ’’(t)
Notação: a(t) → vetor aceleração da partícula
Observação:
O vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
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CONCLUSÃO

Quando  t  é derivável, o vetor velocidade da


partícula é dado por V t    ' t 

Quando V t 

é derivável, a aceleração da partícula é

dada por a t   V ' t 
A velocidade escalar v(t) é dada por ||σ’(t)||
v(t) = ||σ’(t)||
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EXEMPLO 1
Determinar o vetor velocidade, vetor aceleração e a
velocidade escalar de uma partícula que se move
segundo a função abaixo:




 t   cos2t i  sen2t j  k
Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao
vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular
ao vetor velocidade.
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Cálculo do vetor velocidade da partícula


V  t    ' t 



V t   2sen2t i  2 cos 2t j
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Cálculo do vetor aceleração da partícula


a  t   V ' t 



a t   4 cos 2t i  4 sen2t j
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Cálculo do vetor velocidade escalar da partícula


v t   V  t 

V t  

 2sen2t    2 cos 2t  
2
2
 4 sen 2t    4 cos 2t   2
2
2
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Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor
posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor
velocidade.
Veja que dois vetores são perpendiculares se o seu produto
escalar é nulo.


  t   V t  









  cos 2t i  sen2t j  k    2sen2t i  2 cos 2t j  0k  

 

 2sent 2t.cos 2t  2 cos 2t.sen2t  0  0
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

V  t   a t  








  2sen2t i  2 cos 2t j  0k    4 cos 2t i  4 sen2t j  

 

 8sent2t.cos 2t  8 cos 2t.sen2t  0  0
Portanto, o vetor velocidade é perpendicular ao vetor
posição e o vetor aceleração é perpendicular ao vetor
velocidade.
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EXEMPLO 2
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas
E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções

1  t,t
2


e
 2  t,7t  10 
(a) Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
(b) Os carros colidem no ponto P?
(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de
encontro?
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Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas
E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções

1  t,t
2


 2  t,7t  10 
(a) Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
Primeiro devemos observar que σ1 = (t,t2) tem x(t) = t e
y(t) = t2, portanto a equação cartesiana será y = x2.
Com o raciocínio análogo σ2 = (t,7t - 10), x(t) = t e y(t) =
7x – 10, portanto a equação cartesiana será y = 7x – 10.
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Encontramos o ponto onde as estradas se cruzam
resolvendo o sistema formado por y= x2 e y= 7x -10.
Igualando as duas equações x2 = 7x -10, e resolvendo a
equação do segundo grau encontramos como raízes os
números reais 5 e 2.
Concluímos, então que temos dois pontos de encontro
entre y(t) = t2 e y = 7x – 10 que são as coordenadas (5,25)
e (5,4).
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Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas
E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções

1  t,t
2

e

 2  t,7t  10 
(b) Os carros colidem no ponto P?
Para saber se os carros colidem, basta verificar em que
tempo cada um deles passa no ponto de interseção (item
a).
Para σ1 = (t,t2) temos x(t) = t = 5 e para σ2 = (t,7t - 10),
temos x(t) = t=5. Logo os carros colidem.
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Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas
E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções

1  t,t
2


e
 2  t,7t  10 
(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de
encontro?
Precisamos calcular a velocidade escalar
v(t) = || σ`(t)|| e v(t) = ’(t).
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2
Para o carro A temos: v(t )   `(t )  1,2t   1  2t   1  4t
2
2
Com t = 5 → v(t )  1  45  101
2
Para o carro B temos:
v(t )   `(t )  1,7  1  7  1  40  50
2
2
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COMPRIMENTO DE ARCO

 
Considere a curva definida por  t  e t  a, b , como
a trajetória descrita por uma partícula que se move com
velocidade escalar v(t) = =|| σ`(t)|| .
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Queremos encontrar o comprimento dessa curva quanto t
varia de a até b.
DEFINIÇÃO
Seja C uma curva definida pela função vetorial σ(t), t
variando no intervalos [a,b] de classe C1.
O comprimento da curva C é definido por
LC     `t  dt
b
a
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OBSERVAÇÃO
Se C é uma curva em R2 então podemos escrever L(C) da
seguinte forma:
LC   
b
a
x`t 
2
  y`t  dt
2
Se C é uma curva em R3 então podemos escrever L(C) da
seguinte forma:
LC   
b
a
x`t 
2
  y`t   z`t  dt
2
2
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EXEMPLO 1
Vamos calcular o comprimento da curva (hélice circular).




 (t )  cos t i  sen t j  t k  (cos t , sen t , t )
,
.
t  0,2 
Cálculo da derivada da função dada.

 `(t )  ( sen t , cos t ,1)
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LC   
2
 sent
2
0

2

2
0
0

 cost   1 dt
2
2
sen t  cos t  1 dt 
2
2
1  1 dt  
 2t 
2
0
2
0

2 dt 
2 .2  2 2 u.c
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EXEMPLO 2
Vamos calcular o comprimento da curva

 (t )  (e , e , t 2 ) t  0,1
t
t
Cálculo da derivada da função dada.

 `(t )  (et ,e t , 2 )
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LC  
1






e


e

2

1


 e
0
1

2t
t
0
 e e
t
2
t 2
0

e
t 2
e
e

t 1
0
 2t

dt 
 2 dt 
t 2
dt 
 e e
1
 e
1
1
t
0
e
t
dt 
e e 
0
0
1
 e  u.c
e
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EXEMPLO 3
Vamos calcular o comprimento da curva

 (t )  (t , t ), 1  t  3
3
2
Cálculo da derivada da função dada.

 `(t )  (3t 2 ,2t )
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LC   
3
1

3

3
1
1
3
3t   2t 
2 2
dt 
9t  4t dt 
4
2


t 9t  4 dt 
2

2
  t  9t  4
1
2
2

1/ 2
dt
Vamos chamar de u e derivar
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du
u  9t  4  du  18tdt  tdt 
18
1 3 1/ 2
1  2 3/ 2 
u
du

u




18 1
18  3

2


3
3
1 
2

9
t

4

1
27 
1

85 85  13 13
27


u.c
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RESUMINDO
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