X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
REGULARIDADES ARITMÉTICAS NA DIVERSIDADE DA EDUCAÇÃO
BÁSICA
José Luiz Magalhães de Freitas
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
[email protected]
Resumo: Neste texto apresentamos uma sinopse de trabalhos de pesquisa que realizamos
com alunos dos três níveis de escolaridade da educação básica, de grupos sociais diversos,
tendo o conjunto dos números inteiros como campo experimental. Numa pesquisa com
alunos de 4º e 5º anos do ensino fundamental investigamos contribuições do cálculo mental
para ampliação do repertório de cálculo e do domínio de propriedades aritméticas. Nas
outras pesquisas analisamos produções, bem como dificuldades de alunos dos anos finais
do ensino fundamental e pré-vestibulandos, diante de situações-problema envolvendo
conteúdos de divisibilidade, paridade e padrões em sequências numéricas. Utilizamos
como referencial teórico para essas pesquisas a Teoria dos Campos Conceituais, a Teoria
das Situações Didáticas e alguns elementos da Teoria Antropológica do Didático, tendo
princípios da Engenharia Didática como base para o desenvolvimento experimental. De
modo geral, observamos que os alunos se envolvem nas atividades, permitindo analisar
dificuldades, conceitos mobilizados, bem como indícios de aprendizagens, tanto no que se
refere ao domínio da linguagem quanto aos níveis de pensamento aritmético envolvendo
regularidades.
Palavras-chave: Aritmética; Educação básica; Regularidades.
INTRODUÇÃO
No conjunto dos números inteiros, além das propriedades relativas às operações
aritméticas fundamentais, é possível explorar uma diversidade de situações-problema,
inclusive conjecturas aritméticas envolvendo os conteúdos de paridade, divisibilidade, bem
como vários outros tipos de regularidades em diferentes tipos de sequências.
Um fato curioso é que, na maioria dos casos, os enunciados das conjecturas no
conjunto dos números inteiros são fáceis de compreender, embora nem sempre sejam
fáceis de resolver. Assim, graças à facilidade de serem compreendidas pelos alunos, as
conjecturas se mostram uma rica fonte de exploração de generalizações a partir de cálculos
aritméticos. Algumas pesquisas realizadas com alunos dos anos finais do Ensino
Fundamental e do Ensino Médio, como a de Freitas (1993), apontam que diante de
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atividades com conjecturas aritméticas, eles se envolvem em busca de soluções, bem como
na produção de provas.
De modo geral, investigamos regularidades no conjunto dos números inteiros,
envolvendo conteúdos e conceitos que permeiam toda a educação básica, como por
exemplo, divisibilidade, paridade e padrões em sequências numéricas. Além disso, o
conjunto dos números naturais também se mostrou fértil para alunos dos anos iniciais do
ensino fundamental utilizarem o cálculo mental nas quatro operações, bem como descobrir
e explorar propriedades, tanto do sistema de numeração decimal quanto de problemas
aditivos e multiplicativos.
Apresentamos a seguir uma descrição de trabalhos que realizamos com o objetivo
de dar uma idéia mais clara sobre eles.
PESQUISAS REALIZADAS
Conforme mencionamos anteriormente, as pesquisas que realizamos sobre
regularidades aritméticas no conjunto dos números inteiros, envolveram alunos de diversas
instituições sociais dos três níveis da educação básica. Podemos classificá-las em quatro
grupos: no primeiro investigamos algumas possíveis contribuições do cálculo mental1 para
a aprendizagem de conceitos aditivos e multiplicativos por alunos do 4º e 5º ano do ensino
fundamental, em situações didáticas vivenciadas de forma dialógica oral; o segundo
trabalho teve como objetivo analisar dificuldades e procedimentos utilizados por alunos do
9º ano do ensino fundamental, a partir de situações-problema envolvendo padrões em
sequências numéricas; o terceiro é constituído de um grupo de estudantes de um curso
preparatório para o vestibular, num contexto de ações afirmativas, que participou de uma
pesquisa, onde integrantes eram desafiados a resolver situações-problema sobre
divisibilidade; e por último, um estudo sobre produção e validação de conjecturas no
conjunto dos números inteiros, por alunos de 3ª série do ensino médio, de uma escola
privada.
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Empregamos aqui a expressão cálculo mental para nos referirmos ao cálculo de cabeça ou pensado, com
auxílio da memória, mas sem a utilização de algoritmos escritos, podendo ser utilizada, no mesmo sentido,
a expressão cálculo oral.
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CÁLCULO MENTAL
Conforme já dissemos, dessa pesquisa2 participaram alunos do 4º e 5º anos do
ensino fundamental, durante a qual foi elaborada e aplicada uma sequência didática
composta por três blocos: sistema de numeração decimal, operações aditivas e operações
multiplicativas.
Uma das dificuldades percebidas logo no início desse trabalho com cálculo mental
foi com relação à compreensão das ordens de grandeza na escrita numérica, manifestadas
na verbalização da leitura de números que apresentavam ordem de grandeza elevada.
Nesse caso, observamos que parte das dificuldades estava ligada ao papel do ponto nas
notações numéricas e por isso, no intuito de identificar o domínio do registro escrito em
relação ao valor posicional e investigar uma possível superação dessa dificuldade, optamos
por explorar atividades com números contendo zeros intercalados.
Para dar uma ideia do desenvolvimento dessa parte da pesquisa, apresentamos uma
breve descrição de trechos, durante os quais exercemos o papel parecido ao de um escriba3.
O número era anunciado oralmente para um determinado aluno e nós registrávamos no
quadro os algarismos que o compunham, conforme orientação do mesmo. Dessa forma a
classe podia discutir sobre os registros feitos. Em alguns casos, o aluno interpelado fazia
questão de anunciar a presença do ponto:
P: [...] [O] número: sete milhões, quatrocentos e cinquenta mil e trinta de dois,
como se escreve VT?
VT: Sete, ponto, quatrocentos e cinquenta, ponto, trinta e dois.
P: Assim VT? (Registro no quadro 7.450.32, conforme anunciado por VT).
VT: É!!!
Nesse momento surgiram divergências em relação ao uso do ponto para separar os
algarismos e facilitar a leitura do número. Assim, o objetivo inicial da atividade –
2
3
Essa pesquisa foi realizada juntamente com Sheila Denise Guimarães e faz parte de sua tese de doutorado
realizada no programa de pós-graduação em Educação da UFMS.
Aqui foi utilizada a letra P para designar o pesquisador e uma dupla de letras maiúsculas para indicar cada
aluno.
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identificar como os alunos realizam a passagem da numeração falada para a escrita – havia
se transformado, assumindo também o desafio de investigar alguns aspectos da escrita dos
números relacionados à utilização do ponto. Desse modo os diálogos sobre a colocação do
ponto tiveram que ser retomados nas sessões seguintes. Nelas foi possível observar a
ocorrência de situações de ação, formulação e validação. Uma das conclusões a que os
alunos chegaram foi manifestada pelo CA:
P: [...] O CA falou: tem que ter o ponto pra ser número, se não tiver ponto não é
número!
FN: Aí né, todo mundo discordou.
CA: Mas pode não ter ponto, mas ele tá na cabeça.
Observa-se que CA reforça a necessidade que tem o leitor de uso do ponto, como
forma de facilitar a organização e leitura do número (BRIZUELA, 2006), mesmo que seja
por meio de uma imagem mental, tentando justificar sua afirmação. Nesse caso, ao final
parece ter ficado claro que o uso do ponto é facultativo e sua ausência não descaracteriza o
registro realizado, ou seja, o número com ou sem ponto expressa um valor.
A conduta experimental adotada, valorizando o confronto de idéias e estratégias,
por meio da oralidade, foi também utilizada durante as demais sessões, em particular no
trabalho com cálculo mental na realização de operações aditivas e multiplicativas. Não é
possível apresentarmos uma descrição detalhada do desenvolvimento das sessões com
esses dois blocos de conteúdos, mas eles podem ser encontrados em (GUIMARÃES e
FREITAS, 2008 e 2009).
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Essa pesquisa4 teve como objetivo investigar dificuldades e procedimentos
utilizados por alunos do 9º ano do ensino fundamental, de uma escola privada, diante de
sequências que possibilitavam identificar generalizações numéricas e algébricas. Houve
4
Esta pesquisa constituiu o trabalho de iniciação científica do acadêmico Maykon Costa de Oliveira,
acadêmico do curso de graduação em Matemática da UFMS de Campo Grande – MS, sob a orientação do
prof. José Luiz Magalhães de Freitas.
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um grupo de 10 alunos, identificados aqui pelas letras A, B, C, D, E, F, G, H, I, J e K, que
participaram de todas as cinco sessões da pesquisa.
Apresentamos a seguir a descrição de uma das atividades realizadas cujo enunciado
é o seguinte:
Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos,
todos do mesmo tamanho, conforme figura a seguir:
,
1ª figura
,
2ª figura
,...
3ª figura
A primeira figura é formada por um azulejo branco cercado por azulejos pretos e assim
sucessivamente. Como calcular a quantidade de azulejos brancos e pretos para a figura de ordem
n, dessa sequência? E do total de azulejos? Escreva uma regra e justifique.
Nessa atividade os alunos F, H, I, J, e K conseguiram encontrar as expressões
correspondentes e todos utilizaram a mesma estratégia, ou seja, eles perceberam que o
número de brancos, sempre era um número quadrado perfeito. Assim, para obter a
quantidade de quadradinhos bastava elevar ao quadrado o número de ordem do termo, para
os pretos, eles colocaram 4n+4, justificada do seguinte modo por alguns dos alunos:
“pensei nos quadrados brancos, vi que a quantidade de quadrados em uma linha, ou seja, a
posição do termo dava uma parte dos quadrados pretos, o perímetro, formado por uma
parte dos quadrados pretos, 4n, assim só faltava os 4 quadradinhos pretos das pontas,
4n+4”. Para o total, somaram brancos mais pretos. Os outros alunos apresentaram
dificuldade de expressar a generalização, tanto para se expressar em linguagem natural
quanto usando letras.
Durante o desenvolvimento das sessões foi possível identificar dificuldades dos
alunos para compreender os enunciados das atividades, para se expressar verbalmente e
sobretudo para generalizar. Há também aqueles que conseguem encontrar uma expressão
numérica, para fazer a verificação de respostas que produz, em perceber a regularidade. Ao
observarmos as discussões em grupo foi possível perceber que, de modo geral, os alunos se
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comportavam de maneira diferente em relação a cada sessão anterior, manifestando assim
algumas aprendizagens.
DIVISIBILIDADE
Essa pesquisa5 foi realizada com um grupo de alunos de um curso preparatório para
o vestibular, o qual foi idealizado a partir do contexto de ações afirmativas. Esse curso tem
como finalidade possibilitar o acesso e a permanência no ensino superior, de diversos
grupos étnicos de baixa renda, constituído de afro-descendentes, índio-descendentes,
portadores de necessidades especiais e brancos. Os alunos participantes eram voluntários,
constituindo um total de aproximadamente dez alunos em cada sessão e eram divididos em
grupos de dois ou de três alunos.
Nessa pesquisa os integrantes eram desafiados a resolver situações-problema sobre
divisibilidade. Elas foram classificadas em três tipos de tarefa6, que são os seguintes: T1:
Resto da divisão; T2: Múltiplos e Divisores e T3: Quantidade de divisores de um número.
Para dar uma idéia do trabalho experimental realizado, apresentamos a seguir uma
dessas sessões de estudos, na qual foi proposta uma tarefa, pertencente ao tipo T3:
“Quantidade de divisores de um número”, que é a seguinte: Qual o maior inteiro menor
que 1000 que possui 10 divisores?
O objetivo principal desta tarefa foi provocar o grupo, no sentido de perceberem a
necessidade de saber utilizar técnicas já conhecidas em problemas com nível de
complexidade diferente.
No início dessa sessão entregamos o problema a eles. Houve um primeiro contato
com o problema, seguido de comentários e de uma leitura coletiva, ficando clara a
compreensão do enunciado. Em seguida teve início o trabalho nos grupos, os quais ficaram
livres para a resolução. Após algum tempo percebemos que, de modo geral, eles tentavam
5
6
Trata-se de uma pesquisa em andamento, que está sendo realizada por Maysa Ferreira da Costa, sob a
orientação do prof. José Luiz Magalhães de Freitas. Ela faz parte de sua dissertação de mestrado no
programa de pós-graduação em Educação Matemática da UFMS.
Nessa pesquisa a Teoria Antropológica do Didático, criada por Chevallard, é utilizada como referencial
teórico.
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analisar os números próximos e menores que 1000, por meio da técnica da fatoração.
Nesse momento interferimos e perguntamos: “Como tem que ser um número para que ele
tenha dez divisores?” A partir das falas dos estudantes, houve uma nova retomada visando
a solução do problema, mas não houve tempo suficiente para que eles terminassem a
atividade naquele encontro, ficando como dever de casa.
Na sessão da semana seguinte, os alunos trouxeram tanto soluções corretas quanto
incorretas, as quais foram analisadas e validadas coletivamente. Uma estudante relatou
verbalmente que, para compreender de fato a questão e chegar a uma solução que julgava
estar correta, pensou nela por cinco dias e sempre que podia, durante aquela semana,
voltava a pensar na atividade, até conseguir uma solução que a deixasse satisfeita.
No transcorrer das sessões semanais, foi possível perceber que houve avanços com
relação ao sentido do estudo para o grupo que realizamos a pesquisa. Assim, foram
observadas mudanças de postura dos alunos, tanto nas práticas de estudo quanto na forma
de agir diante de situações-problema, caracterizando um rompimento com uma maneira de
fazer arraigada em suas práticas.
CONJECTURAS E PROVAS
Essa pesquisa7 visa estudar a produção de provas8 por alunos da 3ª. série do Ensino
Médio, durante a resolução de problemas que envolvem conjecturas no conjunto dos
números inteiros. Nela são analisadas descobertas, formulações, validações, linguagem
matemática utilizada, bem como tipos e níveis de provas produzidos. A população foi
constituída por 10 alunos, de 3ª série do Ensino Médio de um Colégio Particular, da cidade
de Campo Grande/MS, os quais participaram de forma voluntária.
A parte experimental da pesquisa foi composta de dez sessões. Cada sessão teve
duração aproximada de duas horas, uma vez por semana e fora do período normal de aulas.
Em cada sessão, ao término de cada atividade, num tempo variando de 5 a 10 minutos, o
7
Essa pesquisa foi realizada juntamente com Anete Valéria Masson Coimbra de Lima e faz parte de sua
dissertação de mestrado, realizada no programa de pós-graduação em Educação Matemática da UFMS.
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O modelo de provas de Balacheff foi um referencial teórico de análise utilizado nessa pesquisa.
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professor pesquisador realizou com a turma uma breve discussão sobre suas produções e
dificuldades encontradas e, quando possível, promovia uma fase de institucionalização. Os
conteúdos das sessões eram variados, por exemplo, paridade, números figurados,
múltiplos, sequências e outros.
Para ter uma idéia do trabalho realizado, apresentamos abaixo a solução
apresentada por um aluno para um item da atividade 1, da primeira sessão, o qual pedia
para verificar e justificar a veracidade da afirmação: “A soma de três números pares é
sempre par”.
A resposta do aluno TR foi: Verdadeiro. Todo número par é múltiplo de 2, logo a
soma de três números pares é 2n, onde n é a soma dos quocientes de x, y e z, por 2.
BR foi o único aluno que produziu uma prova algébrica, usando a letra com
elevado nível de generalidade. Como ilustração, apresentamos abaixo a solução produzida
por BR para o mesmo item da atividade 1. A resposta de BR foi a seguinte: Verdadeiro. Se
um número inteiro n é par, ele pode ser escrito na forma n = 2a, onde a =
n1 + n2 + n3 = 2a1 + 2a2 + 2a3 = 2 (a1 + a2 + a3 ).
n
ea
2
Z,
Pode-se observar que o aluno BR teve
o cuidado de usar índices diferentes, mostrando que percebeu que os números ímpares
poderiam ser distintos.
Quase todos demais, para esta atividade 1, apresentaram respostas do tipo sim ou
não seguidas de exemplos. Há casos em que, apesar de apresentar poucos apenas três
exemplos, é possível interpretar que houve alunos que não permaneceram no tipo
empirismo ingênuo, mas que chegaram ao tipo experiência crucial. É o caso do aluno LN,
que para o item 1 da atividade 1, a qual pede para verificar e justificar a veracidade da
afirmação: “A soma de dois números pares é sempre par”. Resposta de LN: Sim, ex. 2 + 2
=4,
4 + 32 = 36, 4.044 + 8.316 = 12.360 .
Neste caso, observa-se que ele fez dois cálculos com a soma de dois números
relativamente pequenos e em seguida fez o cálculo com dois números muito maiores. Isso
pode ser interpretado que ele ficou com dúvida se a propriedade era sempre válida e
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resolveu fazer mais um teste para a soma dos números 4.044 + 8.316. Esta adição pode ser
por nós caracterizada como uma “experiência crucial” no sentido de Balacheff.
Nessa sessão foram observadas as produções de provas de diferentes tipos. Quase
todos demais, para esta atividade 1, apresentaram respostas do tipo sim ou não seguidas de
exemplos. Há casos em que, apesar de apresentar poucos apenas três exemplos, é possível
interpretar que houve não permaneceram no tipo empirismo ingênuo, mas que chegaram ao
tipo experiência crucial. É o caso do aluno LN, que para esse item da atividade 1, a qual
pede para verificar e justificar a veracidade da afirmação: “A soma de dois números pares
é sempre par”. Resposta de LN: Sim, ex. 2 + 2 = 4 ,
4 + 32 = 36, 4.044 + 8.316 =
12.360 .
Nesse caso, observamos que ele fez dois cálculos com a soma de dois números
relativamente pequenos e em seguida fez o cálculo com dois números muito maiores. Isso
pode ser interpretado que ele ficou com dúvida se a propriedade era sempre válida e
resolveu fazer mais um teste para a soma dos números 4.044 + 8.316. Esta adição pode ser
por nós caracterizada como uma “experiência crucial” no sentido de Balacheff.
Nesse trabalho foi possível identificar algumas demonstrações da tipologia de
provas proposta por Balacheff (1988), predominando inicialmente as provas empíricas. No
entanto, após as primeiras sessões realizadas, ao perceberem a potencialidade do uso
adequado de registros algébricos para modelarem problemas dessa natureza, os alunos
passaram a restringir a utilização de registros numéricos. Assim, com base na pesquisa
realizada, pode-se aceitar como viável a produção da sequência didática visando à
aprendizagem de demonstrações matemáticas a partir de conjecturas.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste texto apresentamos um breve panorama de pesquisas que vimos realizando
nos últimos anos, tendo o conjunto dos números inteiros como campo para a realização
experimental, onde são efetuados cálculos aritméticos com as operações elementares, tanto
para descobrir como para testar regularidades aritméticas.
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Nas descrições das pesquisas apresentadas neste texto, não foi possível descrever
com detalhes os referenciais teóricos utilizados em cada uma delas. No entanto
gostaríamos de informar que a Teoria das Situações Didáticas foi utilizada em todas com
exceção da pesquisa sobre divisibilidade, a qual teve como referencial teórico a Teoria
Antropológica do Didático. Na pesquisa sobre cálculo mental também tivemos como
referencial a Teoria dos Campos Conceituais. Por fim, no trabalho sobre conjecturas e
provas, além da Teoria das Situações, nos servimos do modelo de provas de Balacheff. No
que concerne ao desenvolvimento experimental, com exceção da pesquisa sobre
divisibilidade, nas demais nos apoiamos nos princípios da Engenharia Didática.
Para concluir gostaríamos de ressaltar que, modo geral, os alunos se envolvem em
atividades desafiadoras com números inteiros, permitindo analisar dificuldades, conceitos
mobilizados, bem como indícios de aprendizagens, tanto no que concerne ao domínio da
linguagem quanto aos níveis de pensamento aritmético envolvendo regularidades.
REFERÊNCIAS
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9, no 3, pp. 281-308, Grenoble: La pensée sauvage, 1988.
BALACHEFF, N. Une étude des processus de preuve en mathématique chez des élèves
de collège. Thèse, Université J. Fourier Grenoble, 1988.
BRIZUELA, B. M. Desenvolvimento matemático na criança: explorando notações. Porto
Alegre: Artmed, 2006.
BROUSSEAU, G. Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques –
Recherches en Didactiques des Mathématiques. v.7, no 2, pp. 33-116, 1986.
CHEVALLARD Y. Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement des
mathématiqques au collège (2e partie). Petit x, no 19, pp. 43-72, Ed. IREM de
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CHEVALLARD, Y., BOSCH, M. & GASCON, J. Estudar Matemáticas: O elo perdido
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Université Montpellier II, 1993.
FREITAS, J. L. M. Teoria das Situações Didáticas. In: MACHADO, S.D.A. (Org.)
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conjecturas no conjunto dos números inteiros. Recife-PE: anais do 2o SIPEMAT, editora
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GUIMARÃES, S. D. e FREITAS, J. L. M. O ponto nas notações numéricas: como alunos
do 4o. ano do ensino fundamental exploram esse aspecto? Recife-PE: anais do 2o
SIPEMAT, editora da UFPE, 2008.
GUIMARÃES, S. D. e FREITAS, J. L. M. Um caso exemplar: contribuições de uma
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GRUPO AZARQUIEL. Ideas y actividades para enseñar algebra. Madrid: Editorial
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OLIVEIRA, M. C. e FREITAS, J. L. M. Generalização de padrão por meio de expressões
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