Astronomia/Kepler
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Astronomia
Uma das importantes personagens da Astronomia foi Johannes Kepler.. Como muitos astrônomos
de sua época, Kepler era também um astrólogo e uma de suas crenças fundamentais era no
conceito de que a Terra devia fazer parte de um todo harmônico que rege o mundo e não aceitava o
modelo Ptolomaico dos epiciclos como uma explicação para o comportamento dos planetas. O
estudo aprofundado que ele conduziu
onduziu sobre o movimento dos planetas levou a elaboração das Leis
de Kepler, um dos pilares sobre o qual Newton criou a lei da Gravitação Universal.
As hipóteses de Kepler [editar]
Modelo de Kepler para o Sistema Solar
O interesse de Kepler pelos astros foi incentivado em sua família desde sua infância. Ele escreveu
sobre dois eventos da infância quando ele viu um cometa e um eclipse lunar. A varíola que ele teve
durante a infância, porém, danificou sua vista e seus interesses deram a ele uma capacidade
impressionante de fazer cálculos das estrelas. Kepler, um luterano, foi estudante de teologia na
Universidade de Tübingen e possuía a reputação de ser um brilhante astrólogo. Foi lá que ele foi
introduzido aos modelos de Ptolomeu e de Copérnico para o sistema solar.
Kepler acreditava que as leis que regiam o universo eram as mesmas que regiam a terra e, por isso,
foi um defensor do modelo de Copérnico. Kepler obcecadamente buscava encaixar o movimento
planetário em um sistema místico que ele publicou em seu livro Mysterium Cosmographicum.
Colaborações com Tycho Brahe [editar]
Modelo de Tycho Brahe para o Sistema Solar. A Terra ocupa o centro do universo. O Sol e as estrelas fixas
giram ao redor da Terra e os outros planetas giram ao redor da Terra. Tecnicamente, este modelo é equivalente
ao modelo atual do movimento planetário, se tomarmos como referencial a Terra.
Kepler foi convidado pelo astrônomo
trônomo e nobre dinamarquês Tycho Brahe para trabalhar
conjuntamente. Tycho era dono de um dos observatórios astronômicos mais precisos da era antes
da descoberta do telescópio e ele possuía uma imensa compilação de dados a respeito da posição
dos astros, frutos de uma imensa paciência e cuidado com o trabalho. Tycho Brahe, porém, tinha
um modelo próprio para o sistema solar e, por conta disso, protegia seus dados. Somente após a
morte
e de Tycho Brahe, Kepler recebeu como herança todos os dados e foi a partir destes que
Kepler elaborou as 3 leis que recebem seu nome.
A Primeira Lei de Kepler [editar]
A partir dos dados de Tycho, Kepler procurou encaixar as coordenadas dos planetas no seu modelo,
com os planetas navegando em órbitas circulares ao redor do Sol. Ele obteve um grau de sucesso
alto, mas a precisão dos dados obtidos através de observações não fechavam completamente com
as órbitas circulares. Kepler alterou o seu sistema para um sistema no qual os planetas descrevem
órbitas elípticas, com o Sol posicionado em um dos focos dessa elipse.
A elipse
ipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias de um ponto na
curva até dois pontos fixos é constante. Sejam os dois pontos
ser descrito por:
e
, o lugar geométrico pode
Uma elipse com alguns pontos notáveis
Quando
e
coincidem para um ponto
, o lugar geométrico se degenera para uma
circunferência:
Assim, podemos ver que a lei de Kepler não retira a possibilidade de uma órbita perfeitamente
circular. Apenas expande a classe de órbitas possíveis. Vamos então estudar alguma propriedades
importantes da elipse.
Os pontos
e
segmento
recebem o nome de focos da elipse, enquanto que o ponto médio do
é chamado de centro da elipse.
Os pontos
e
mostrados no gráfico, e que são definidos pela intersecção da reta que passa
pelos focos com a elipse determinam o eixo maior da elipse. Já a reta perpendicular ao eixo maior e
que passa pelo centro da elipse é chamada de eixo menor da elipse, e é determinado pelos
pontos
e
, da figura acima. As dimensões
e
da figura acima são chamados de semi-eixo
semi
maior e semi-eixo
eixo menor respectivamente. A distância
entre o centro e qualquer um dos focos da
elipse é chamado de distância focal,
focal e a relação
entre a distância focal e o eixo maior da
elipse é chamada excentricidade.
excentricidade Na
a figura acima vemos a distância focal representada por
Um exercício interessante é calcular a equação da elipse. Seja
focos
e
.
e os
, de forma que o centro da elipse coincida com a
origem do sistema de coordenadas e que o eixo maior da elipse coincida
coincida com o eixo horizontal do
sistema de coordenadas. Seja ainda
a constante utilizada na definição do lugar geométrico da
elipse. A escolha pode parecer uma decisão arbitrariamente mágica, mas arazão dessa escolha é
tem uma justificativa. Da figura acima,
acima vemos que
.
Como
, por simetria, então temos que
Como
.
, então a escolha é apropriada. Podemos, então, escrever a seguinte
equação:
Manipulando a expressão acima é possível reduzir a expressão a:
A forma canônica da equação de uma elipse com centro na origem e que contém os pontos
e
, em coordenadas cartesianas é
É fácil verificar que as constantes
e
são iguais ao eixo maior e ao eixo maior respectivamente.
Fazendo a identidade entre a expressão que nós encontramos e a forma canônica, chegamos na
identidade
. Utilizando essa identidade, chegamos uma forma canônica para uma
elipse a partir dos valores da distância focal e da excentricidade:
A excentricidade é um bom indicativo da forma da elipse. À medida que
elipse
ipse vai se transformando em uma circumferência; quando
se aproxima de
se aproxima de
ficando cada vez mais alongada até o ponto em que ela se degenera à reta
,a
a elipse vai
.
Vamos lembrar agora que o Sol não está no centro da órbita e sim em um dos focos. Então é
conveniente também determinar a equação da órbita tendo o foco no centro do espaço. Não iremos
provar aqui a expressão, que fica como exercício para o aluno. A prova é fácil no sistema de
coordenadas polares e o resultado para uma elipse com as dimensões utilizadas
utilizadas até aqui são:
Vamos voltar um pouco para a Astronomia! Por causa da órbita ser elíptica, existe um ponto em que
um planeta está mais próxima do Sol, o periélio e outro no qual o planeta está mais distante,
o afélio.. Voltando à figura acima, supondo
sup
que o Sol está em
aos pontos
e
, o afélio e o periélio correspondem
respectivamente. A Lua também descreve uma órbita elíptica ao redor da Terra
e os pontos de maior e menor aproximação são chamados de apogeu e perigeu.
É importante lembrar que, apesar de elíptica, as órbitas da maioria dos planetas é quase-circular,
com excentricidades muito próximas de 0. A Terra, por exemplo, tem excentricidade 0.016, e
Mercúrio tem a maior excentricidade 0.205 entre os planetas solares. Plutão, que não é mais um
planeta tem excentricidade 0.248.
A Segunda Lei de Kepler [editar]
A segunda observação de Kepler foi que os planetas não giram ao redor do sol com velocidade
uniforme, porém mais rápido quando mais próximos do sol e mais devagar quando mais longe dele,
precisamente deste modo, suponha que um planeta seja observado em dois momentos sucessivos
quaisquer, com uma diferença de uma semana, e que se trace o raio do vetor * até o planeta para
cada posição observada. O arco orbital percorrido pelo planeta durante a semana e os dois raios
vetores delimitam certa área plana, a área sombreada. Caso se realizem duas observações
semelhantes com uma semana de distância em uma parte orbita mais distante do sol (onde o
planeta se desloca mais lentamente), a área igualmente delimitada será exatamente igual á do
primeiro caso. Assim, de acordo com a segunda lei, a velocidade orbital de cada planeta é tal que o
raio "varre" áreas iguais em períodos iguais.
A Terceira Lei de Kepler [editar]
Finalmente, uma terceira lei foi descoberta por Kepler muito depois; é uma lei de categoria diferente
de todas as outras duas, por lidar não apenas com o planeta individual, mas relacionar um planeta
ao outro. Essa lei reza que, quando se comparam o período orbital e o tamanho da órbita de dois
planetas quaisquer, os períodos são proporcionais á 3/2 da potência do tamanho da órbita. Nesta
afirmação, o período é o intervalo de tempo que um planeta leva para percorrer completamente em
sua órbita e o tamanho e medido pelo comprimento do maior diâmetro da órbita elíptica,
tecnicamente conhecido como o eixo maior. Mais simplesmente, se os planetas girassem em
círculos, como quase fazem, o tempo necessário para percorrer o circulo seria proporcional á 3/2 da
potência do diâmetro (ou raio).