UNIVERSIDADE
CATÓLICA DE
BRASÍLIA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Curso de Física
APLICAÇÕES TECNOLÓGICAS E
EXPERIMENTOS QUE VALIDARAM AS TEORIAS
DA RELATIVIDADE.
Autor: Alex Sandro Castro Farias
Orientador: Prof. Dr. Armando de Mendonça Maroja
BRASÍLIA
ALEX SANDRO CASTRO FARIAS
APLICAÇÕES TECNOLÓGICAS E EXPERIMENTOS QUE VALIDARAM AS
TEORIAS DA RELATIVIDADE.
Trabalho de Conclusão de Curso
submetido à Universidade Católica
de Brasília para obtenção do Grau
de Licenciado em Física.
Orientador: Prof. Dr. Armando de
Mendonça Maroja
Brasília
Junho de 2008
RESUMO
O presente trabalho discutirá um tema muito atual no ensino de física moderna, a teoria da
relatividade, destacando aplicações tecnológicas e experimentos que foram cruciais para
validação da relatividade. Primeiro analisamos a precessão do periélio de Mercúrio cujo
período medido experimentalmente é maior que o previsto pela mecânica clássica.
Comprovamos esta discrepância através de uma simulação considerando correções
relativísticas na lei da gravitação universal. Analisamos também o funcionamento do GPS,
Global Positioning System, que exige ao mesmo tempo conhecimentos da relatividade restrita
em relação a sincronização dos relógios e também da relatividade geral em relação à influência
do campo gravitacional da Terra. Destacamos ainda um experimento muito importante na
corroboração da relatividade geral, o desvio na trajetória da luz das estrelas próximas ao Sol,
validação por imagens feitas pela expedição inglesa chefiada por Eddington durante um eclipse
solar total observado na cidade cearense de Sobral no Brasil em 1919, quebrando assim um
paradigma Newtoniano da propagação da luz em linha reta.
Palavras chaves: relatividade restrita, relatividade geral, Mercúrio, eclipse.
2
Introdução
Albert Einstein criou duas teorias da relatividade. A primeira, publicada em 1905,
denominada teoria da relatividade especial, ou teoria da relatividade restrita, trata da
invariância das leis físicas sob uma transformação entre referencias inerciais. Sua
estrutura matemática é simples e pode ser denominada com a matemática estudada nos
primeiros anos de universidade. Seus postulados físicos levam a resultados a primeira
vista estranhos, mas que aceitamos como verdadeiros porque obedecem a uma lógica
implacável e são verificados por um número imenso de experiências. A segunda a teoria
da relatividade geral, publicada em 1916 – generaliza os resultados da primeira para
referenciais acelerados e incorpora a gravitação. (GAZZINELLI, 2005).
Existem muitos dispositivos que tem seu funcionamento diretamente
relacionado à relatividade, vamos discutir primeiramente o GPS (Global Positioning
System). Este sistema é baseado em satélites que são utilizados para determinar as
coordenadas de um ponto na superfície de Terra. A velocidade dos satélites na órbita a
20.000.000m de altura é da ordem de 388,8888m/s. Mesmo esta velocidade sendo
pequena quando comparada a da luz que vale 2,997. 925 x 108m/s, com o passar dos
dias os efeitos da relatividade restrita são poupáveis. Por outro lado, a órbita a
20.000.00m de altura gera erros na medida de tempo devido a variação do campo
gravitacional em relação à superfície da Terra, caracterizando um efeito da relatividade
geral.
Apresentaremos
também
experimentos
que
concretizaram
a
teoria
da
relatividade. O primeiro experimento a ser apresentado neste trabalho será o da
relatividade geral, que teve sua primeira comprovação experimental através de medidas
da dinâmica do movimento do planeta Mercúrio. Para demonstrá-lo, será realizada uma
simulação utilizando a lei da gravitação universal corrigida pela relatividade restrita que
comprovam a diferença de 43 arcos segundos por século da precessão do periélio de
Mercúrio, até então não explicado pela gravitação Newtoniana.
Também apresentamos os resultados das medidas da variação da posição
aparente das estrelas devido ao campo gravitacional do Sol, realizadas em 1919 na
cidade de Sobral no Ceará durante o eclipse total do Sol, pela missão cientifica
organizada pela Royal Society de Londres.
Partindo das idéias apresentadas nos parágrafos anteriores, o principal objetivo
deste trabalho será fazer uma pesquisa qualitativa, de maneira que primeiro momento
será desenvolvimento de uma simulação utilizando o programa Maple, para calcular a
discrepância o 43 arco segundos por século na precessão do periélio de Mercúrio.
Dando seqüência discutiremos uma aplicação tecnológica, o GPS. Por fim o desvio da
3
luz devido a influencia do campo gravitacional, onde trataremos o eclipse observado em
Sobral em 1919.
1. Relatividade Restrita
A teoria da relatividade restrita ou especial foi publicada em 1905 por Albert
Einstein. Antes dessa data, o movimento de corpos em relação a referencias inerciais
era determinado pelas transformações de Galileu (ALONSO, 1972). Sendo o estado de
movimento de um corpo (movimento ou repouso) determinado a partir da primeira de Lei
de Newton que define o referencial inercial. Por outro lado, Hendrik Lorentz comprovou
que as equações de Maxwell, que tratavam do eletromagnetismo, não se comportavam
de acordo com as transformações da mecânica clássica (TIPLER, 2001), quando
mudava o referencial (por exemplo, quando o mesmo problema físico era visto por dois
observadores, que estão se movimentando uniformemente em um em ralação ao outro).
O nome restrita ou espacial tem sua origem, ai pois trata apenas de sistemas onde não
se leva em conta a existência de campos gravitacionais, referenciais não inerciais.
Einstein buscou motivação para elaborar a relatividade restrita a partir das leis de
Newton, que adotam o espaço e o tempo como sendo os mesmos para diferentes
observadores de um mesmo fenômeno físico. Bem antes da relatividade restrita, Lorentz
adotou a teoria do éter, onde existiria certa redução física de um corpo (contração de
Lorentz) e um aumento ou contração do tempo (dilatação do tempo), sendo assim, surge
a idéia que o tempo e o espaço deixariam de ser absolutos e passariam a ser relativos.
Logo a hipótese proposta por Lorentz em relação ao éter, sugeria que todos os corpos
estariam imersos em um fluido imaginário, mas não duraram por muito tempo,
experimentos como o de Michelson-Morley e da aberração das estrelas de James
Bradley (TIPLER, 2001), apresentaram fortes argumentos contra a idéia do éter. Essa foi
uma teoria de contradição de Lorentz, pois, dessa forma voltava-se para física
Newtoniana, quando as velocidades eram muito menores que c, cairiam novamente na
mecânica clássica.
Partindo das hipóteses apresentadas no parágrafo acima Einstein usou as
transformações de Lorentz, para descrever perfeitamente os resultados experimentais.
Assim, Einstein derivou as equações das duas hipóteses: a constatação de que a
velocidade da luz é constante e de que todas as leis físicas sejam iguais em todos os
referencias inerciais para diferentes observadores; daí veio o titulo original de teoria dos
invariantes. Posteriormente, Max Planck sugeriu o termo relatividade, para dar ênfase à
relatividade entre observadores movendo-se entre si.
4
Em 1905, Einstein publicou um artigo sobre a eletrodinâmica dos corpos em
movimento. Nesse artigo ele foi audacioso em dizer que o éter não existia, pois o
movimento absoluto é impossível de ser detectado. Sendo assim, levando em
consideração a proposta de Einstein em relação ao éter nada impedia supor que a Terra
estaria em repouso, de forma que a velocidade da luz será a mesma em todas as
direções. Com isso ele criou dois postulados de forma bem simples: o primeiro diz que o
movimento absoluto não pode ser detectado; e o segundo fala que a velocidade da luz é
independente do movimento da fonte, ao contrario do que se pensava na época. Desta
maneira o Einstein enunciou seus dois postulados como (TIPLER, 2006):
1° Postulado: o movimento uniformemente absoluto não pode ser detectado.
2° Postulado: a velocidade da luz é constante e independente da fonte. c = 2,997.
925 x 108m/s no vácuo.
Os postulados foram um divisor de águas em relação ao intervalo de
tempo e de distancia. Portanto, esses postulados usam coordenadas x, y, z e o tempo
quando visto de um referencial R, e as coordenadas x’, y’ e z’, quando visto do mesmo
evento do referencial R’, que se move com velocidade constante v em relação a R no
eixo x. usando-se um exemplo, para explicar essa situação de R em relação a R’, podem
observar que (EINSTEIN, 1999).
Considerando-se os dois referencias discutidos no parágrafo anterior: Carlos que
se encontra na origem do referencial R, e emite um pulso de luz com um laser no tempo
t = 0. Mais afastado da fonte no referencial R, Paulo que se entra no referencial R vê
uma onda esférica de raio ct se movendo da origem de R para o encontro de Paulo. Já a
Ana que está em R’ também vê uma onda esférica se propagando a partir da origem R’
com raio ct’, pois seu tempo t’ ≠ t, pode-se ver essa situação através da figura (01)
abaixo (Gazzinelli, 2005).
Figura 01: um pulso de luz esférico é emitido
da origem dos referencias inerciais R e R’ no
instante t = t’ = 0.
5
Considerando-se que na origem de R e R’ tem o mesmo tempo t = t’ = 0, chegase à seguinte transformação de Galileu:
x2 + y2 + z2 = r2
Também podemos escrever:
x2 + y2 + z2 = c2t2
(01)
De modo bem semelhante, o observador notará a luz percorreu a mesma
distância decorrido o tempo t’, mas também com velocidade c. Portanto escreve-se r’=
ct’, ou
x’2 +y’2 +z’2 = c2t’2
(02)
Vamos, em seguida, obter uma transformação que relacione as equações (01) e
(02). que y’ = y e z’ = z. Como para o observador O, OO’ = vt, deve-se ter x = vt para x’ =
0(ponto O’). Isso sugere a relação x’ = γ (x - vt), sendo γ uma constante a ser
determinada que depende do valor da velocidade. Podemos também admitir que t’ = a(t bx), onde a e b são constantes a serem determinadas (para transformação de Galileu
γ = a e b = 0 ). Fazendo todas essas substituições na equação (02), temos:
γ 2(x2 – 2vxt + v2t2) + y2+ z2 = c2a2(t2 – 2bxt + b2x2),
Ou
(γ
2
–b2a2c2)x2 – 2( γ 2v – ba2c2)xt + y2 + z2 = (a2 – γ 2v2/c2)c2t2
Esse resultado deve ser idêntico a equação (01). Portanto:
γ
2
–b2a2c2 =1 , γ 2v – ba2c2 = 0 , a2 – γ 2v2/c2 =1.
Resolvendo esse sistema de equações, temos:
1
γ = a =1
1−
v2
e b = v / c2
(03)
c2
A nova transformação, compatível com invariância da velocidade da luz, é então:
x' = γ ( x − vt ) =
x − vt
1−
v2
,
(04)
c2
y’ = y
6
z’ = z,
2
t’ = γ (t - bx ) = t − vx / c .
2
1− v
c2
(05)
Esse conjunto de relações são chamados de transformação de Lorentz por ter
sido o físico holandês Hendrik Lorentz o primeiro a obtê-las, por volta de 1890, em
conexão com o problema do campo eletromagnético de uma carga em movimento
(ALONSO, 1972).
2. Relatividade Geral
A teoria da relatividade geral busca uma unificação das Leis da Física, e a
principal característica da mesma é a generalização da teoria da gravitação de Newton.
Essa nova hipótese considera as idéias da relatividade espacial em relação ao espaço e
tempo, e sugere a generalização da relatividade dos referenciais com movimento
uniforme e também com movimentos acelerados. Desta forma, houve um grande
impacto na idéia de espaço e tempo.
Para a Física, essa idéia foi um marco no século XX, em que Einstein apresentou
as Leis da Física de forma quadridimensional, onde o tempo foi adicionado às três
dimensões que já conhecemos. Umas das idéias mais significativas da relatividade
restrita foi o papel da gravitação, que foi chamado de princípio da relatividade, que tem
como principal objetivo a equiparação de todas as leis físicas para um mesmo
referencial inercial.
A base para a teoria da relatividade geral foi o princípio da equivalência, que
iguala a massa inercial com a massa gravitacional. Isso pode ser entendido nas próprias
palavras de seu autor Einstein:
Nós iremos, portanto, assumir a equivalência física entre um campo
gravitacional e a correspondência aceleração de um sistema de
referencial. Esta hipótese estende o principio da relatividade espacial
para
sistemas
de
referencia
uniformemente
acelerados
(RELATIVIDADE RESTRITA, 2008).
Através dessa hipótese, deduz-se a seguinte situação: se uma pessoa está
dentro de um elevador subindo com uma grande velocidade, ela não terá noção se o que
está sentindo em relação a seus pés é devido a um campo gravitacional, ou se é devido
à aceleração do elevador. Igualmente, isso aconteceria se a mesma pessoa estivesse
em uma caixa numa órbita qualquer ou em queda livre. Mesmo assim, através de
7
observações não teria como afirmar se estaria em órbita. Pode-se ter uma noção com
auxílio da figura (02) abaixo:
Figura 02: Uma caixa tem movimento
de queda livre no campo gravitacional
da terra e pode ser considerado um
referencial inercial no referencial das
estrelas. Retirado (GAZZINELLI, 2005).
Com isso, pode-se afirmar através do principal pilar da teoria da relatividade
geral, o seguinte postulado escrito por Einstein:
“Um campo gravitacional precisamente homogêneo é totalmente
equivalente a um referencial uniformemente acelerado” (TIPLER, 2006).
Uma confirmação desse postulado através de experimentos é o desvio de um
feixe de luz, devido a um campo gravitacional. Se houvesse, portanto, uma ausência de
campo gravitacional, não ocorreria esse desvio e a luz seguiria sempre em linha reta
com velocidade c. Pode-se ter uma noção desse desvio através da figura (03) abaixo:
Figura 03: A deflexão do raio de luz
de
uma
gravitacional
estrela
do
pelo
sol.
campo
Retirado
(GAZZINELLI, 2005).
8
A relatividade geral também explica o fenômeno que ocorre no período de
precessão do periélio de Mercúrio, que tem um aumento de 43 arcos segundos na sua
precessão por século devido a efeitos relativísticos devido a intensidade do campo
gravitacional do Sol ser grande na região da órbita de Mercúrio. A falta de explicação
desse fenômeno persistiu por vários anos, até que Einstein esclareceu minuciosamente
este fenômeno, que imediatamente lhe deu grande prestigio entre os cientistas da época,
colaborando para validação experimental da teoria da relatividade geral.
Outro exemplo que pode até ser apresentado no ensino médio é o caso do
elevador de Einstein é de longe o de montagem mais simples. Ele consiste em um
simples copo com dois orifícios no interior do qual coloca-se água. Segurando-se o
mesmo, a água derrama como mostra a figura 04. Entretanto, soltando-se o copo, ele cai
sem que um único pingo saia do seu interior, até que o seguremos novamente em plena
queda. Só, então, a água torna a derramar do copinho. A explicação é a mesma em um
brinquedo ilustrativo do Princípio da equivalência, Einstein contava que a origem dessa
sua idéia havia-lhe ocorrido, quando ainda trabalhando no Registro de Patentes em
Berna, em 1907, ele assistira, da janela do seu escritório, à queda de um pintor do alto
de um andaime. Durante o pequeno intervalo daquela queda, ele pensou sobre qual
seria a sensação vivenciada pelo pintor e passou a refletir sobre qual seria a diferença
entre uma queda livre e uma simples ausência de aceleração. Ele concluiu que não
havia nenhuma diferença entre esses dois fenômenos. O princípio da equivalência é,
portanto uma generalização desta conceituação. (MEDEIROS, MEDEIROS, 2005).
.
Figura 04: Elevador com água.
Retirado (MEDEIROS, MEDEIROS,
2005).
9
Um fato que marcou a ciência e serve de base para equipamentos de localização
de alta tecnologia, foi uma previsão feita por Einstein, que observou uma variação entre
os intervalos de tempo e na freqüência da luz, ao se aproximar de um campo
gravitacional.
A energia potencial gravitacional entre duas massas M e m afastada por r é:
Ug = −
GMm
r
(06)
onde G é a constante gravitação universal, e as massas separadas de uma
distância infinita corresponde a energia potencial é nula. A energia por unidade de
massa, próxima a uma massa M define o potencial gravitacional φ ;
φ=−
GM
r
(07)
Seguindo o princípio da relatividade geral, relógios são mais lentos nas regiões
de menor potencial gravitacional, devido à aproximação da massa, sendo assim cada
vez menor. Analisando-se dois eventos, em que ∆t1 é o primeiro intervalo de tempo entre
dois eventos medidos por um relógio que se encontra numa região de alto potencial
gravitacional Ф1, e outro relógio mede ∆t2, para o mesmo evento, de maneira que o
potencial gravitacional é Ф2, desta maneira pode-se prever a existência de uma relativa
diferença entre os tempos, que será de aproximadamente (TIPLER, 2001):
∆t 2 − ∆t 1
∆t
=
1
c2
(φ
2
− φ1 )
(08)
Como o desvio é muito pequeno qualquer um dos intervalos de tempo pode ser
utilizado para dividir o lado esquerdo da equação (TIPLER, 2006). A partir disso concluise que o relógio que se encontra na região de baixo potencial gravitacional será, mais
lento em relação ao relógio que está na região de potencial gravitacional mais alto. Desta
forma, podemos igualar o relógio a um átomo, que também tem uma freqüência de
vibração. Assim, os átomos que se encontram próximos ao Sol, têm alto potencial
gravitacional, dando assim uma variação em relação aos encontrados na Terra.
Consequentemente, originado um desvio para freqüências menores, elevando seus
comprimentos de ondas, esses são determinados como desvio gravitacional para o
vermelho, na analise espectral da radiação emitida pelas estrelas.
3. Sistema de Posicionamento Global-GPS.
O Sistema de Posicionamento Global, conhecido por GPS (Global Positioning
10
System) ou NAVSTAR-GPS (Navigation Satellite with Time And Ranging), é um sistema
de radio-navegação desenvolvido pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos da
América (DoD-Department Of Defense), visando ser o principal sistema de navegação do
Exército americano. Em razão da alta exatidão proporcionada pelo sistema e do alto grau
de desenvolvimento da tecnologia envolvida nos receptores GPS, uma grande
comunidade usuária emergiu nas mais variadas aplicações civis (navegação,
posicionamento geodésico e topográfico, etc.).
O GPS é um sistema de abrangência global, tal como o nome sugere. A
concepção do sistema permite que um usuário, em qualquer local da superfície terrestre,
tenha a sua disposição, no mínimo, quatro satélites que podem ser rastreados. Este
número de satélites permite o posicionamento em tempo real, conforme será visto
adiante. Para os usuários da área de Geodesia, uma característica muito importante da
tecnologia GPS, em relação aos métodos de levantamento convencionais, é a não
necessidade de intervisibilidade entre as estações. Além disto, o GPS pode ser usado
sob quaisquer condições climáticas.
A idéia básica do princípio de navegação consiste da medida das chamadas
pseudo-distâncias entre o usuário e quatro satélites. Conhecendo as coordenadas dos
satélites num sistema de referência apropriado, é possível calcular as coordenadas da
antena do usuário com respeito ao mesmo sistema de referência dos satélites. Do ponto
de vista geométrico, somente três medidas de pseudo-distâncias seriam suficientes. A
quarta medida é necessária devido a não sincronização dos relógios dos satélites com o
do usuário.
3.1 Uso da Relatividade na correção de erros no GPS
Os efeitos da relatividade no GPS não são restritos somente aos satélites (órbitas
e relógios), mas também a propagação do sinal e aos relógios dos receptores. O relógio
do satélite varia devido à relatividade geral e especial. Os relógios nas estações de
monitoramento e de bordo estão situados em locais com potenciais gravitacionais
diferentes, além de mover-se com velocidades diferentes. Isto provoca uma aparente
alteração na freqüência dos relógios de bordo com relação aos terrestres. Os efeitos são
compensados pela redução da freqüência nominal dos relógios dos satélites em 4,55 x
10-3 Hz, antes do lançamento.
Para ilustrar o efeito da relatividade no GPS, vamos calcular esse do erro.
Utilizaremos como motivação o texto da revista (Philip Yam – Scientific Americam Brasil,
outubro de 2004).
11
“... Atualmente, a maior parte dos aparelhos receptores GPS
comprados em lojas pode detectar sua posição com precisão de cerca
de 15 metros. Precisão de menos de 30 metros, observa o físico
NeilAshby, da Universidade do Colorado, em Boulder, certamente
significa que o receptor GPS incorpora a teoria da relatividade. "Se não
se levasse a relatividade em conta, então os relógios usados lá não
estariam sintonizados com os relógios aqui embaixo", comenta Clifford
M. Will, físico da Universidade de Washington. Segundo a teoria da
relatividade, relógios atômicos no espaço, movendo-se a 14 mil km por
hora, como os do GPS, atrasam cerca de 7 microssegundos por dia em
relação aos estacionários, calcula Will. A gravidade, no entanto, exerce
efeito relativista maior sobre o andamento do tempo. A uma média de
20 mil km de altura, os satélites GPS experimentam um quarto da
atração gravitacional que teriam no solo. Como resultado, os relógios a
bordo rodam mais depressa em cerca de 45 microssegundos por dia.
Portanto, é preciso levar em conta um desvio geral de 38
microssegundos no GPS. "Se não houvesse uma compensação de
freqüência nos satélites, seria acumulado um erro de 11 km/dia",
explica Ashby. (Na realidade, os efeitos são mais complicados, porque
os satélites seguem órbita excêntrica, viajando mais perto da Terra em
certas ocasiões e mais distante em outras)...”
Vamos justificar os atrasos apresentados no texto, através do cálculo feito no
programa Maple que se entra no anexo 01, onde foram utilizadas as equações 05 e 09
para comprovar os valores: 7 microssegundos devido ao movimento na velocidade de
388,8888m/s e de 45 microssegundos devido à variação do campo gravitacional com a
altura de 20.000.00m.
4. Precessão do periélio de Mercúrio
Segundo a mecânica Newtoniana e a lei da gravitação de Newton, um planeta
isolado que gira em torno de um Sol descreverá uma elipse ao redor deste (ou, mais
precisamente, ao redor do centro de gravidade comum do Sol e do planeta).
O Sol encontra-se em um dos focos da órbita elíptica, de modo que no decorrer
de um ano planetário a distância entre o Sol e o planeta cresce de um valor mínimo
(periélio) até um valor máximo (afélio), para depois voltar a decrescer novamente até o
mínimo (periélio). A relatividade geral prediz uma lei de força com uma pequena
correção da ordem de 1/r4, assim a força gravitacional tem a forma:
FG ≈
GMs m M 
α
1 + 


r2
 r2 
(10)
Onde Ms é a massa do Sol e mM é a massa de Mercúrio. α = 1,1 x 10-8 UA2 é uma
constante que pode ser expressa em termos da massa do Sol, velocidade da luz, da
excentricidade da órbita e outros parâmetros similares (Goldstein, apud Giordano, 1997,
p. 94). Este efeito relativístico é mais apreciável para o planeta de Mercúrio, pois é o
mais próximo do Sol. Nesta situação a órbita ainda é elíptica, mas a distância entre o Sol
12
e o planeta exibe variações periódicas que tem sua origem tanto na perturbação devido
a outros planetas com efeito relativísticos conforma a figura abaixo (Giordano, 1997):
Figura 05: As órbitas dos planetas são elipses, com o Sol
em um dos focos. Retirado (TIPLER, 2001).
O ângulo descrito pela linha Sol-planeta durante tal período (de um periélio, ou
ponto da órbita mais próximo do Sol, a outro) será diferente de 3600. A órbita deixará de
ser uma linha fechada. Ao longo do tempo, cobrirá uma porção anular do plano orbital
(entre o círculo de distância mínima (periélio) e o círculo de distância máxima (afélio), do
planeta ao Sol).
O planeta Mercúrio tem um valor total de precessão do periélio de 8,85 minutos
de arco por século, esse resultado é o valor previsto pela mecânica clássica levando em
consideração as perturbações causadas pelos demais planetas do sistema solar. Mas
através de experimentos foi encontrado um valor da precessão de 9,55 minutos de arco
por século, ocorrendo uma discrepância de 0,7 minutos (43 segundos) de arco por
século.
Essa discrepância já pairava muito antes de Einstein, mais foi com a teoria da
relatividade geral que ele conseguiu explicar em 1917 essa diferença de exatamente
43,1 segundos de arco por século, consistindo em uma das primeiras corroboração de
sua teoria.
Assim usaremos uma simulação para melhor demonstrar a discrepância
observada no parágrafo anterior, utilizando como lei de força a equação 10.
13
4.1 Condições iniciais para que ocorra o movimento de precessão do periélio de
mercúrio.
Figura 06: Parâmetros necessários para o
cálculo das condições iniciais requeridas
para a simulação da órbita elíptica de
Mercúrio.Retirado (GIORDANO, 1997).
Na simulação da dinâmica do movimento do planeta de Mercúrio utilizaremos
metodologia proposta Giordano (GIORDANO, 1997). O sistema de unidades mais
adequado a analise é tal que as distâncias são medidas em U.A. (unidades
astronômicas) e o tempo em anos terrestres.
Na solução da equação de movimentos determinamos primeiro as condições
iniciais, ou seja, os valores de onde v1 e r1 apresentados na figura 06. Os cálculos são
apresentados no programa maple do Anexo 02
Figura 07: gráfico relativo aos máximos de precessão,
obtidas com o software Data Studio.
A figura 07 mostra a evolução no tempo do modulo do vetor posição r que localiza
o planeta Mercúrio em relação ao Sol.
14
Na simulação não é possível colocar diretamente α = 1,11 x 10-8 UA2, adotamos
assim um procedimento de extrapolação. Para 10 valores de α no intervalo de 0,0008 até
0,0016, determinamos o valor da derivação do ângulo de precessão no tempo, ou seja,
dθ
dt
.
Figura 08: Gráfico dos valores de θ em Função do Tempo para α
= 0,0008, obtidas com o software Data Studio.
A figura 08 ilustra a variação de ângulo de precessão no tempo, determinados a
partir da figura 07. Neste calculamos o tempo correspondente aos máximos da distância
do Sol-Mercúrio tmax, definindo assim os desvios angulares no afélio simplesmente por:
 y(tmax ) 
 (Utilizamos os 10 primeiros máximos)
θ = arctg
 x (tmax ) 
(11)
Onde x(tmax) e y(tmax) representam as coordenadas do planeta Mercúrio em relação ao
Sol, considerando como referencial no tempo tmax.
A inclinação deste gráfico, dθ
dt
= 8,63 arco segundo por século informa
precisamente a varias do ângulo de precessão no tempo para α = 0,0008 U.A2.
Figura 09: Gráfico de dθ/dt em função de Alfa, obtidas com o software
Data Studio.
15
A figura 08 ilustra para 10 valores de α entre 0,0016 e 0,0008 esta variação. A
inclinação da reta tem valor de aproximadamente 11.200 ± 48 unidade. Extrapolando
para α = 1,1 x 10-8, chegamos a 11.200 graus/ano x 1,1 x 10-8 = 0,00012320 ou 1232 x
10-7 graus/ano ± 5,28 x 10-7, multiplicando o mesmo por 3600 = 44,3 ± 0,02
arcseg/século, resultado bem próximo ao esperado de 43,1 arcseg/século.
5. Desvio da luz estrelar devido ao campo gravitacional solar
Em meados de 1908 e início de 1909, Einstein chegou a duas conclusões muito
importantes no campo da física sobre sua nova teoria. A primeira foi observar que os
relógios funcionavam mais lentos nas proximidades do campo gravitacional mais forte, a
segunda era a curva feita pela luz devido a um campo gravitacional. Foi daí que surgiu a
hipótese do experimento que comprovaria o desvio da luz, que partiria do conceito como
a propagação da luz em linha reta e o de reflexão e refração. Para ter sucesso no
experimento era necessário um campo gravitacional muito intenso.
O objetivo do experimento era calcular o desvio da luz através de fotografias
tiradas de estrelas onde seria usado o Sol como “corpo teste”, onde seriam duas
fotografias, uma antes da passagem do Sol e a outra sem a presença do Sol. Em
seguida seriam comparadas as imagens em relação à borda do Sol. Para comprovar o
efeito, deveria existir um pequeno desvio da estrela em direção ao Sol, ao observar o
antes e o depois. Teoricamente, parecia ser uma idéia simples, mas o primeiro obstáculo
foi a intensa luminosidade do Sol que não permitia ver as estrelas. A alternativa para
sanar esse obstáculo, era fazer a experiência quando houvesse um eclipse total do Sol.
5.1 Sobral e o eclipse de 1919
Na pratica Einstein não tinha possibilidade de realizar a parte experimental para
corroboração da relatividade geral. Erwin Freundlich astrônomo do observatório de
Berlim foi o primeiro a ajudá-lo. A primeira tentativa foi um fracasso, pois, as fotografias
usadas no experimento não foram tiradas com o propósito de comprovarem a existência
do desvio da luz. Com isso seria necessário observar um eclipse total do Sol para
efetuar a coleta de dados. A oportunidade ocorreu em 1912 onde foi escolhido como
ponto de observação no Brasil, mais precisamente sul de Minas Gerais, essa seria a
primeira tentativa de coleta de dados feita por Freundlich, que por falta de sorte não se
consumou, devido a forte chuva que ocorreu no momento de eclipse (AUGUSTO, 2005).
Esse contra tempo não desanimou os cientistas da época, logo em
seguida Henrique Morize, começou a elaborar um relatório e logo em
seguida enviou para várias autoridades do ramo de astronomia
16
descrevendo as boas condições tanto climáticas da cidade de Sobral,
no Ceará, quanto a duração do eclipse. O relatório de Morize foi
acolhido, por exemplo, pelo Joint Permanent Eclipse Committee, órgão
oficial da Royal Astronomical Society para eclipses. Na época, o
astrônomo real era Dyson, o mesmo que redigiu a carta de
agradecimentos mencionada no início deste trabalho. Eddington era o
secretário geral dessa mesma associação. Além disso, ele era
catedrático de astronomia na Universidade de Cambridge. Atualmente,
sabe-se que foi Eddington o principal responsável pela decisão dos
ingleses organizarem e enviarem duas expedições diferentes (uma
para Sobral e outra para a Ilha de Príncipe, então uma possessão
colonial portuguesa na costa ocidental da África) com o único objetivo
de comprovar as idéias de um cientista, ainda que apenas formalmente,
oriundo de um país inimigo. Não se deve esquecer que a decisão
inglesa foi tomada pouco tempo antes do fim da Primeira Guerra
Mundial (AUGUSTO, 2005).
5.2 O dia que virou noite
Sobral viveu em 29 de maio de 1919 um de seus mais peculiares dias.
No início daquela manhã, a população foi às ruas. Os sobralenses
misturaram-se a vizinhos de outras localidades para conferir o
anunciado fenômeno que tomava conta dos céus. Para uns, o "fim do
mundo". Para outros, "um milagre". Os mais esclarecidos sabiam que
se tratava de um eclipse total do Sol. Os sobralenses espantaram-se
com os visitantes estrangeiros, que utilizavam toda a sua parafernália
de equipamentos, instalados em plena praça, na frente da Igreja do
Patrocínio. Os cientistas estavam extremamente ansiosos pois o dia
amanhecera nublado. Mas as nuvens, que pareciam tentar esconder o
eclipse, logo se afastaram. No ápice do fenômeno, às oito horas e 56
segundos, o dia escureceu. Confusos, os galos cantaram como se
fosse noite. Nos rostos da população, a estampa do medo. Ouvia-se a
cacofonia de vozes assustadas, murmurando preces tão desesperadas
que nem sempre podiam ser compreendidas. As orações misturavamse ao estalar de pernas na correria em direção à proteção da Igreja. No
entanto, as faces dos cientistas expressavam sorrisos admirados e
satisfeitos. A visão da coroa solar, por si só, já os deslumbrava. E as
estrelas,
sempre
ofuscadas
pelo
Sol,
puderam
ser
vistas
e
fotografadas. O eclipse durou cinco minutos e 28 segundos. O dia
clareou. Os galos se calaram. A Teoria da Relatividade estava
17
corroboradada. Existia uma nova teoria do Universo (O ECLIPSE DE
1919, 2008).
Os desvios relativos que eram esperados nas fotografias do eclipse total do Sol
em relação às fotografias de comparação chegavam apenas a alguns centésimos de
milímetro. As exigências impostas à precisão das fotografias e à medição das mesmas
não eram, portanto, pequenas (EINSTEIN, 1999).
Os resultados das medidas validaram a teoria da relatividade geral de uma maneira plenamente satisfatória. As componentes retangulares dos desvios observados e
calculados das estrelas (em segundos de arco) estão contidas na seguinte tabela
(Einstein, 2001):
Tabela 01: Resultado das medidas em segundos de arco feitas em Sobral
(Brasil) e em Ilha do Príncipe (África). Retirado (EINSTEIN, 1999).
As medidas apresentadas na tabela 01, são dos ângulos que relaciona à posição
real das estrelas e a posição aparente de cada uma conforme é ilustrado pela figura 03.
Os valores da coordenada 1ª, são referente a cidade cearense de Sobral, já os valores
da 2ª coordenada apresentam o resultado obtidos na ilha do Príncipe.
18
6. Conclusão
Tendo em vista tudo que foi exposto até agora, fica clara a influencia da teoria da
relatividade tanto a restrita quanto a geral, em nossas vidas, já para a ciência foi marco
importante, principalmente no caso do GPS, que só tem essa precisão de 15m devido as
correções relativísticas.
O GPS apresentou uma diferença considerável em relação o cálculo esperado
pela mecânica clássica, pois, sem a correção relativística os erros nos relógios gerariam
uma diferença em relação à posição calculada em comparação à posição real. Uma
característica importante do GPS é a utilização das duas teorias, tanto da restrita em
relação aos relógios atômicos, quando da geral que apresenta a influencia do campo
gravitacional, que atrapalha no seu funcionamento, conhecimentos estes que são de
suma importância para o excelente desempenho do GPS.
Um importante aprendizado foi a verificação que computadores e calculadoras
científicas estão sujeitos a erros de precisão. Na simulação da precessão do periélio de
Mercúrio o uso do Sistema Internacional de Unidades não é adequado, números muito
grandes levam o programa a não convergência para os resultados esperados. Assim
modificamos o programa conforme sugerido por Giordano, para o sistema de unidades
com distancias em unidades astronômicas (U.A) e o tempo em anos terrestres. O mesmo
ocorreu no cálculo dos atrasos do GPS, foi necessário o uso do MAPLE com precisão
dupla, não sendo possível realizar os cálculos em calculadora científica padrão devido as
correções serem muito pequenas.
Em 1919 a cidade de Sobral (Brasil) entrou para historia da física com o eclipse
total do Sol, em que a expedição inglesa colheu imagens do fenômeno solar, ajudando
Einstein a consolidar de vez o artigo apresentado em 1916 sobre a relatividade geral.
Isto viria a completar a gravitação Newtoniana, que descrevia a trajetória da luz sempre
em linha reta, não considerando o efeito do campo gravitacional.
19
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALONSO, Marcelo; FINN, EDWARD J. Física: um curso universitário. São Paulo:
Edgard Blücher, 1972. 1v.
AUGUSTO, A. P. V.. Eclipse de 1919. Física na Escola, V.6, n.1, 2005.
CASTRO , I. M. 1905 Um Ano Miraculoso. Física na Escola, V.6, n.1, 2005.
EINSTEIN, Albert; PEREIRA, Carlos Almeida (Trad.). A teoria da relatividade especial
e geral. Rio de Janeiro: Contraponto, 1999.
GAZZINELLI, Ramayana. Teoria da relatividade especial. São Paulo: Edgard Blücher,
2005.
GIORDANO, Nicholas J. Computacional physics. Upper Saddle River, NJ: Prentice
Hall, 1997.
LESCHE, Bernhard. Teoria da relatividade. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2005.
MEDEIROS, A, S. Entrevista com Einstein. Física na Escola, V.6, n.1, 2005.
MEDEIROS, A. E MEDEIROS, C. F. Einstein, a física dos brinquedos e o
Princípio da equivalência. Cad. Brás. Ens. Fís., v. 22, n. 3: p. 299-315, dez. 2005
O eclipse de 1919. Disponível em:
<http://www.terra.com.br/fisicanet/fisicamoderna/relatividade/eclipse_de_1919_em_sobra
l.html>, Acesso em 16/04/2008.
Relatividade Geral Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_Geral_da_Relatividade> Acesso em 17/02/2008.
Relatividade Restrita. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Relatividade_restrita>,
Acesso em 18/02/2008.
TIPLER, Paul Allen. Física: para cientistas e engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro, RJ:
LTC, 2006. 3 v.
TIPLER, Paul Allen; LLEWELLYN, Ralph A.; BIASI, Ronaldo Sérgio de (Trad.). Física
moderna. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2001.
TIPLER, Paul Allen; MACEDO, Horácio (Trad.). Física: para cientistas e engenheiros.
4. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2000. 1 v.
20
Anexo 01:
Abaixo apresentaremos os cálculos que comprovem os atrasos:
restart;
Digits:=20; ( é necessário o uso de precisão dupla, não dá para realizar este cálculo
diretamente em uma calculadora científica ).
c:=2.99792458e8;(velocidade da luz no vácuo).
v:=14000/3.6; (velocidade do satélite).
Gama:=1/sqrt(1-(v)^2/(c)^2); (cálculo do γ ).
Digits := 20
c := 0.299792458 109
v := 3888.8888888888888889
Gama := 1.0000000000841355752
t1:=86400;
t1 := 86400
t2:=t1*Gama;
Calculando a dilatação do tempo
(09)
∆t = γ∆t p
t2 := 86400.000007259259260
Delta(t):=(t2-t1);
∆( t ) := 0.7259259260 10-5
Assim comprovamos os 7microsegundos
Cálculo para encontrar o erro de 45microsegundos devido ao campo
gravitacional, usando a equação 08:
Mt:=5.98e24; (massa da Terra).
Mt := 0.598 1025
G:=6.673e-11; (constante gravitação universal).
G := 0.6673 10-10
Rt:=6.37e6; (raio da Terra).
Rt := 0.637 107
r:=2e4*1000; (altura do satélite em relação a superfície da Terra).
r := 0.2000 108
variação(tempo):=(1/(3e8^2)*((G*Mt/Rt)-(G*Mt/(Rt+r))));
variação( tempo ) := 0.5279104183703566118610-9
O Resultado acima é para apenas um segundo, logo abaixo veremos o
resultado para um dia:
dia:=(variação(tempo)*86400);
21
dia := 0.000045611460147198811265
O resultado para um dia completo será de 45,61µ segundos, como era esperado.
22
Anexo 02:
Programa que calcula a dinâmica do movimento de Mercúrio em volta do
Sol utilizando a equação 10.
O procedure maximor determina os valores máximos do modulo do vetor
r
posição r (t) que localiza o planeta Mercúrio em relação ao Sol.
maximor:=proc(ano,ft1,ft2,pre,limite)
local i,t1,t2,v1,v2,tm:
t1:=ano*ft1:t2:=ano*ft2:
for i from 1 to limite do
tm:=(t1+t2)/2:
v1:=1/2/(rhs(solucao(t1)[2])^2+rhs(solucao(t1)[4])^2)^(1/2)*(2*rhs
(solucao(t1)[2])*rhs(solucao(t1)[3])+2*rhs(solucao(t1)[4])*rhs(sol
ucao(t1)[5]));
v2:=1/2/(rhs(solucao(tm)[2])^2+rhs(solucao(tm)[4])^2)^(1/2)*(2*rhs
(solucao(tm)[2])*rhs(solucao(tm)[3])+2*rhs(solucao(tm)[4])*rhs(sol
ucao(tm)[5]));
if((v1*v2) 0.0) then t1:=tm else t2:=tm fi:
if (abs(t1-t2) < pre) then break fi:
od:
if(i=limite +1) then print("estorou limite") fi:
tm;
end:
Inicio do programa principal:
Constantes:
α = 0,0008;
UA:=1.5e11: (unidade astronômica)
ano:=87.97*86400.0:(ano de mercúrio em segundos)
anoT:=365.25*86400.0: (ano da Terra em segundos)
a:=0.39: (semi-eixo maior da órbita de Mercúrio em U.A)
e:=0.206: :(excentricidade da órbita de Mercúrio)
b:=a*(sqrt(1-e^2)): (semi-eixo menor da órbita de Mercúrio em U.A)
r1:=a+e*a; (posição inicial do movimento)
r2:=sqrt(b^2+(e*a)^2):
v2:=(r1*v1)/b:
Ms:=1.99e30: (Massa do Sol em kg)
Mm:=3.30200e23: (Massa de Mercúrio em kg)
G:=6.67e-11: (Constante gravitação universal)
k:=4*evalf(Pi)^2: (G x MS no sistema de unidades tal que a distância em U.A e o
tempo em anos terrestre )
Determinação do valor da velocidade inicial v1
eq := -k/r1+1/2*v1^2+((k)/r2)-(1/2*v2^2):
v1aux:=solve(eq,v1):
v1:=v1aux[2];
23
Equação do movimento no sistema de unidades escolhido.
ODE:=diff(xx(t),t$2)=
k*xx(t)/((xx(t)^2+yy(t)^2+zz(t)^2)^(3/2))*(1+alpha/(xx(t)^2+yy(t)^
2+zz(t)^2)), diff(yy(t),t$2)= k*yy(t)/((xx(t)^2+yy(t)^2+zz(t)^2)^(3/2))*(1+alpha/(xx(t)^2+yy(t)^
2+zz(t)^2)),diff(zz(t),t$2)= k*zz(t)/((xx(t)^2+yy(t)^2+zz(t)^2)^(3/2))*(1+alpha/(xx(t)^2+yy(t)^
2+zz(t)^2)):
Valores inicias.
initvals:= xx(0)=r1, D(xx)(0)=0.0,yy(0)= 0.0, D(yy)(0)=v1,zz(0)=
0.0, D(zz)(0)=0.0:
funcs:={xx(t),yy(t),zz(t)}:
Solução Numérica
solucao:= dsolve({ODE,initvals},funcs,type=numeric,
output=procedurelist):
with(plots):
Valores iniciais no ponto 1 da figura 06
r1 := 0.47034
v1 := 8.163645942
Gráfico relativo aos máximos de precessão, obtidas com o software Data Studio.
odeplot(solucao,[[t,(xx(t)^2+yy(t)^2+zz(t)^2)^(1/2)]],0..0.9,numpo
ints=200);
print("alfa = ",alpha);
for i from 1 to 10 do
tempomax:=maximor(ano/anoT,i-0.1,i+0.1,0.000001,450);
Determinação do ângulo em radianos e o tempo em anos para α = 0,0008.
24
angulomax:=180*(evalf(argument(rhs(solucao(tempomax)[2])+rhs(soluc
ao(tempomax)[4])*I)))/evalf(Pi);
dd:=abs(angulomax):
print(tempomax,dd);
od:
"alfa = ", 0.0008
Tempo (anos da Terra) e o angulo do desvio da órbita ( ∆θ figura 05), em graus.
0.2428281210, 2.096710121
0.4856540370, 4.192177338
0.7284799526, 6.288556882
0.9713043990, 8.384370233
1.214127375, 10.47960541
1.456950351, 12.57575113
1.699773325, 14.67280064
1.942593363, 16.76782196
2.185414867, 18.86519435
2.428233435, 20.96053367
Dados que alimentam o gráfico da figura 08.
25