UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA
DESENVOLVIDA: RITALINA, USOS E ABUSOS
Kelly Cristina Correia Pfahl
UTFPR – Câmpus Cornélio Procópio
[email protected]
Karina Alessandra Pessôa da Silva
UTFPR – Câmpus Londrina
[email protected]
Sérgio Matsue Filho
UTFPR – Câmpus Cornélio Procópio
[email protected]
Leandro Seiji H. Hatta
UTFPR – Câmpus Cornélio Procópio
[email protected]
Resumo:
Neste trabalho relatamos uma experiência com o desenvolvimento de uma atividade de
modelagem matemática caracterizada como de 3º momento em que os dados, o modelo
matemático e a interpretação foram de responsabilidade dos modeladores orientados pela
professora. Tal experiência ocorreu em uma disciplina de Modelagem Matemática no curso de
Licenciatura em Matemática ministrada por um dos autores deste texto em uma universidade
federal do Paraná. Para o desenvolvimento da atividade a problemática refere-se à análise da
concentração e da saturação do medicamento metilfenidato (Ritalina) no organismo do ser
humano. Com o desenvolvimento da atividade, entendemos e vivenciamos os procedimentos
que se fazem necessários em uma atividade de modelagem matemática.
Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática.
organismo.
Ritalina no
Introdução
A Matemática é uma das diferentes linguagens da qual o aluno deve utilizar para
expressar e comunicar suas ideias. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais
(BRASIL, 1998), o aluno precisa saber servir-se das mais variadas fontes de informação
e de recursos tecnológicos para obter e construir conhecimento.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
O questionamento da realidade, a formulação de problemas e suas possíveis
resoluções fazem uso do raciocínio lógico, da criatividade e do pensamento intuitivo.
Além disso, desenvolve a capacidade de analisar criticamente uma situação, na ação de
selecionar procedimentos e verificar o resultado que melhor se ajuste à solução da
situação.
Neste sentido, a Modelagem Matemática é uma alternativa pedagógica para que,
professores levem o aluno a capacitar-se a “fazer modelagem”, pois ele mesmo irá
relacionar a linguagem matemática com a realidade, como está indicado nos PCN.
Considerando a necessidade de relacionar linguagem matemática com situações
baseadas na realidade é que desenvolvemos em uma disciplina de um curso de
Licenciatura em Matemática de uma universidade federal do Paraná uma atividade de
modelagem que relatamos neste trabalho. Tal atividade tem como tema Ritalina, usos e
abusos.
Este relato de experiência está dividido em três seções, além desta introdução. Na
primeira apresentamos nosso entendimento sobre modelagem na perspectiva da
Educação Matemática. Em seguida, relatamos a atividade desenvolvida e, por fim,
apresentamos as considerações finais.
Modelagem Matemática: nossa perspectiva de encaminhamento
Ubiratan D’Ambrósio em prefácio no livro Ensino-aprendizagem com modelagem
matemática (BASSANEZI, 2002, p. 11), afirma que “a modelagem matemática é a
matemática por excelência”. Modelagem Matemática é uma arte peculiar. Envolvendose com ela, o aluno passa da condição de expectador passivo para “artesão” ativo
enquanto aprende fazer modelagem. Para Bassanezi (2002), a Modelagem Matemática
se fundamenta na arte de transformar problemas reais em problemas matemáticos, em
que a resolução e a interpretação de suas possíveis soluções devem se dar por meio da
linguagem habitual.
Levando em consideração as caracterizações anteriormente mencionadas, nos
apoiamos no fato de que a modelagem matemática consiste em uma alternativa
pedagógica na qual a partir de uma situação inicial (problemática) são utilizados
procedimentos que definem estratégias de ação do sujeito envolvido com a atividade em
relação à situação problemática, obtendo uma situação final (solução para a situação
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
inicial). Almeida, Silva e Vertuan (2012) identificam elementos que, de modo geral, se
fazem presentes em atividades de modelagem
[...] o início é uma situação-problema; os procedimentos de resolução
não são predefinidos e as soluções não são previamente conhecidas;
ocorre a investigação de um problema; conceitos matemáticos são
introduzidos ou aplicados; ocorre a análise da solução (ALMEIDA;
SILVA; VERTUAN, 2012, p. 17).
Para tanto, o desenvolvimento de uma atividade de modelagem, comumente é
realizada segundo sequência de fases, conforme caracterizado por Almeida, Silva e
Vertuan (2012): inteiração, matematização, resolução, interpretação de resultados e
validação.
A inteiração corresponde ao primeiro contato com a situação-problema que se
pretende estudar. É a busca por informações que possibilitarão vislumbrar o problema a
ser estudado bem como as metas que orientam a sua resolução. Com a situaçãoproblema identificada e estruturada, busca-se a elaboração de uma representação
matemática, ocorrendo uma transição de linguagens; daí que a segunda fase da
Modelagem Matemática é caracterizada por matematização.
A resolução compreende a construção de um modelo matemático que consiste em
um "conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o
objeto matemático" (BASSANEZI, 2002, p. 20). Tal modelo matemático tem a
finalidade de descrever a situação, permitir a análise dos aspectos relevantes desta
situação, responder às perguntas formuladas sobre o problema a ser investigado na
situação e, mesmo, em alguns casos, viabilizar a realização de previsões para o
problema em estudo.
A interpretação dos resultados indicados pelo modelo implica na análise de uma
resposta para o problema. A análise da resposta constitui um processo avaliativo
realizado pelos envolvidos na atividade e implica em uma validação da representação
matemática associada ao problema.
As fases da Modelagem Matemática caracterizadas por Almeida, Silva e Vertuan
(2012) constituem procedimentos necessários para a realização de uma atividade de
modelagem. Elas podem não ocorrer de forma linear, pois a dinamicidade deste tipo de
atividade possibilita movimentos de ida e volta.
A participação do aluno em relação ao desenvolvimento das diferentes fases da
atividade de modelagem matemática intensifica-se e solidifica-se com a familiaridade
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
com atividades desta natureza. A familiarização do aluno com atividades de modelagem
deve ocorrer de forma gradativa, conforme apontam pesquisadores como Almeida e
Dias (2004), Almeida e Vertuan (2011) e Silva, Almeida e Gerôlomo (2011). Tais
autores caracterizam três momentos de familiarização.
O 1º momento é o primeiro contato do aluno com a modelagem, no qual recebe
todas as informações das quais precisa para desenvolver uma atividade. O professor é
bem mais ativo que o aluno.
No 2º momento o aluno tem uma participação maior do que no primeiro. Nesse
momento, o professor apresenta um fato, sugere uma situação-problema aos alunos que
começam a desenvolver a atividade e tentam solucionar o problema com mais
independência. Porém, a intervenção do professor ainda é muito relevante.
No 3º momento o aluno é o artesão. Com autonomia realiza a escolha do tema, a
identificação da situação-problema, a coleta e a análise dos dados obtidos. Nesse ponto
se dá a tradução da linguagem e a identificação de objetos matemáticos que serão
usados para obter e validar o modelo. Isso pronto, a “obra de arte”, ou seja, o modelo
matemático encontrado é usado para responder a situação inicial do problema. Essa é a
hora de comunicar e compartilhar os resultados.
É no 3º momento que está situada a atividade de modelagem relatada neste
trabalho. Na próxima seção, descrevemos a experiência realizada, bem como situamos
nossas ações segundo as fases da modelagem matemática apresentada.
A atividade desenvolvida: uma experiência no 3º momento segundo as fases da
modelagem matemática
O trabalho com as atividades de modelagem no decorrer da disciplina ocorreu de
maneira como caracterizado nos momentos de familiarização. Durante esses momentos,
abordamos atividades com os seguintes temas: cerca elétrica; césio-137; pipoca de
microondas (1º momento); motorização do Paraná; desvalorização de um carro; taxa de
fecundidade (2º momento). O 3º momento foi destinado a nossa vez, “a vez do aluno”
como proposto por Silva, Almeida e Gerôlomo (2011).
Em grupo, composto por três membros, vários temas foram elucidados para
poderem ser abordados. No entanto, como um dos integrantes apresentava mais
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
informações sobre o tema referente ao medicamento Ritalina, nos debruçamos para o
estudo e o desenvolvimento de uma atividade focada nesse tema.
Ao definirmos o tema, precisamos buscar informações específicas, ou seja, nos
inteirar da situação para desenvolvermos a atividade de modelagem. Para tanto,
buscamos informações em fontes variadas: bula do medicamento, entrevista com
profissional da área (médico neurologista) e pesquisas bibliográficas. A inteiração nos
possibilitou identificar algumas caracterizações para a ingestão do medicamento: cada
dosagem é de um comprimido de 10mg; ingere-se um comprimido a cada doze horas,
ou seja, duas vezes ao dia; a meia-vida do medicamento é de duas horas, ou seja, a cada
duas horas o efeito químico do medicamento reduz-se pela metade.
Essas informações nos auxiliaram na definição de três problemas a ser investigados,
que caracterizamos como Problema 1, Problema 2 e Problema 3, conforme consta no
Quadro 1.
Quadro 1 – Problemas a serem investigados sob o tema “Ritalina”
Problema 1: Qual a concentração do medicamento tomando 1 comprimido de 10mg?
Quando ele praticamente vai sumir do organismo?
Problema 2: Qual a concentração do medicamento no organismo em determinado
tempo, tomando 1 comprimido de 10mg a cada 12 horas?
Problema 3: Qual a concentração do medicamento no organismo com a saturação?
Fonte: construído pelos autores.
Levando em consideração as informações que nos serviram de hipóteses, passamos
para as fases de matematização e resolução. Nas quais modelos matemáticos foram
deduzidos para resolver cada um dos problemas que propomos. Para tanto, utilizamos
como variável independente o tempo (t), em horas, como variável dependente a
concentração, em miligramas, do medicamento no organismo no decorrer do tempo
(C(t)) e uma variável discreta n (n= t/2) que consistiu em uma variável auxiliar.
Problema 1
Para a dedução do modelo matemático que nos possibilitou dar “uma resposta” ao
problema 1 no qual investigamos quando a dosagem de um comprimido vai
praticamente sumir do organismo, consideramos que o paciente iria ingerir apenas um
comprimido de 10mg de metilfenidato (Ritalina) e que a meia-vida é de duas horas.
Inicialmente construímos uma tabela (Tabela 1) que representa a concentração do
medicamento de duas em duas horas.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Tabela 1 - Concentração do medicamento no organismo no Problema 1
t
(tempo)
Dose - 1 comprimido de 10 mg. de metilfenidato (Ritalina©)
n (variável
t
C(t)
auxiliar)
(tempo)
C(t)
n (variável
auxiliar)
0
10,000000000
0
34
0,000076293
17
2
5,000000000
1
36
0,000038146
18
4
2,500000000
2
38
0,000019073
19
6
1,250000000
3
40
0,000009536
20
8
0,625000000
4
42
0,000004768
21
10
0,312500000
5
44
0,000002384
22
12
0,156250000
6
46
0,000001192
23
14
0,078125000
7
48
0,000000596
24
16
0,039062500
8
50
0,000000298
25
18
0,019531250
9
52
0,000000149
26
20
0,009765625
10
54
0,000000074
27
22
0,004882812
11
56
0,000000037
28
24
0,002441406
12
58
0,000000018
29
26
0,001220703
13
60
0,000000009
30
28
0,000610351
14
62
0,000000004
31
30
0,000305175
15
64
0,000000002
32
32
0,000152587
Fonte: construída pelos autores.
16
66
0,000000001
33
Observando o comportamento dos dados, por recorrência e utilizando o Princípio
t
 1 2
da Indução Finita, obtivemos o modelo matemático C (t )  10.  . Realizando
2
mudança de base na função do tipo exponencial, ficamos com C (t )  10.e 0,34657359t .
Para uma visualização do comportamento do modelo matemático que obtivemos
para o problema 1, construímos com o auxílio de um programa computacional uma
representação gráfica, conforme Figura 1.
Figura 1 – Representação gráfica do modelo matemático do Problema 1
Fonte: construída pelos autores com auxílio de programa computacional.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Uma análise da imagem nos possibilitou inferir que o medicamento praticamente
“some” do organismo, mas não totalmente. Nesse sentido, uma abordagem de limite de
uma
função
quando
o
tempo
tende
ao
infinito
se
fez
presente
lim C (t )  lim 10.e 0,34657359t  0 . Uma interpretação dos resultados nos possibilitou
t 
t 
inferir que embora o medicamento tenha um decaimento, dependendo do
comportamento esse não chega a ser nulo. Sabemos que no ambiente um elemento não
se perde e sim se transforma em outro elemento com outras propriedades. Esse fato
também foi considerado na interpretação da nossa situação. No entanto, ao fazer uma
nova inteiração, não encontramos informações referentes ao elemento no qual se
transforma, com o tempo, o metilfenidato.
Problema 2
Quanto ao problema 2, no qual nos propusemos a investigar a concentração de
metilfenidato (Ritalina) no organismo em certo tempo quando o paciente ingere um
comprimido de 10mg a cada 12 horas, ou seja, quando ingere o medicamento duas
vezes ao dia, uma representação gráfica (Figura 2) se fez necessária. Essa representação
gráfica nos auxiliou a compreender o comportamento da situação.
Figura 2 – Representação gráfica para a situação do Problema 2
Fonte: construída pelos autores com auxílio de programa computacional.
Ao analisarmos a representação gráfica (Figura 2), percebemos que o medicamento
apresentava certa concentração no organismo quando um novo era ingerido. Desta
forma, considerando o decaimento do medicamento nos intervalos e a concentração no
momento em que é ingerido um novo medicamento, construímos a Tabela 2.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Tabela 2- Concentração do medicamento no organismo no Problema 2
Dose - 1 comprimido de 10 mg. de metilfenidato (Ritalina©) de 12/12h
n
t de 12 e 12 horas
C
0
0
10,00000000
1
12
10,15625000
2
24
10,15869141
3
36
10,15872955
4
48
10,15873015
5
60
10,15873016
6
72
10,15873016
7
84
10,15873016
8
96
10,15873016
9
108
10,15873016
10
120
10,15873016
11
132
10,15873016
12
144
10,15873016
13
156
10,15873016
14
168
10,15873016
15
180
10,15873016
16
192
10,15873016
17
204
10,15873016
18
216
10,15873016
19
228
10,15873016
20
240
10,15873016
Fonte: construída pelos autores.
Para a dedução do modelo matemático para essa situação, realizamos os seguintes
cálculos:
C0  10 ;
6
 1  6 
1
C1  C0 .   10  C1  C0 .   1 ;
2
 2 

6
 1  6   1  6
1
C2  C1.   10  C2  C0 .   1.   C0
2
 2 
  2 
 1 12  1  6 
 1 12  1  6  1  0 
 C2  C0 .      1  C2  C0 .        
2
 2   2  
 2 

 2 
6
 1 18  1 12  1  6  1  0 
1
C3  C2 .   10  C3  C0 .            ,
2
2
 2   2  
 2 
logo para um n qualquer:
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
6.1
6.0
 1  6 n  1  6( n1)  1  6( n2)
1
1 
Cn  C0 .    
 
 ...        , ou seja, Cn  C0 .S n em
2
2
2
 2  
 2 
que S n corresponde à soma finita de uma progressão geométrica. Portanto, para a
situação do Problema 2, o modelo matemático na escrita algébrica é representado por
 1 t  1
,
C (t )  10. 2 6
realizando
mudança
de
base,
ficamos
com
 1  1
 2

10
C (t ) 
. e 0,69314718.t  1  C (t )  10,15873016 1  e 0,69314718.t .
6
1 1
2
A representação gráfica nos possibilitou visualizar o comportamento do modelo
 
 

 



matemático (Figura 3).
Figura 3 – Representação gráfica do modelo matemático do Problema 2
Fonte: construída pelos autores com auxílio de programa computacional.
Com a representação gráfica (Figura 3) e os dados da Tabela 2 inferimos que a
concentração de medicamento permanece praticamente constante no organismo. Neste
caso propomos o problema 3.
Problema 3
Utilizamos os resultados obtidos no Problema 2 para estudarmos a concentração do
medicamento no organismo com a saturação. Para tanto, fizemos uma abordagem do


limite da função C (t )  10,15873016 1  e0,69314718.t , quando o tempo tende ao infinito,


ou seja, lim C (t )  10,15873016 1  e 0,69314718.t . Com essa abordagem, consideramos
t 
que tomando regularmente o medicamento duas vezes ao dia (de doze em doze horas) a
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
concentração se mantém em 10,15873016 gramas e que essa concentração será atingida
após a ingestão do quinto comprimido, como dados presentes na Tabela 3.
Tabela 3- Concentração do medicamento no organismo no Problema 3
Saturação do medicamento no organismo ocorre após a ingestão do 5º comprimido
n
t
C
0
0
10,00000000
1
12
10,15625000
2
24
10,15869141
3
36
10,15872955
4
48
10,15873015
5
60
10,15873016
6
72
10,15873016
7
84
10,15873016
8
96
10,15873016
9
108
10,15873016
10
120
10,15873016
Fonte: construída pelos autores.
Supondo que haja uma interrupção no tratamento, ocorre novamente o decaimento
do medicamento no organismo considerando sua meia-vida que é de duas horas. O
modelo matemático que descreve essa situação é C (t )  10,15873016.e 0,34657359t .
Porém, certificamo-nos de que, mesmo em quantidade mínima, tão mínima quanto
pareça, o medicamento vai permanecer no organismo (Figura 4).
Figura 3 – Representação gráfica do modelo matemático do decaimento da saturação
Fonte: construída pelos autores com auxílio de programa computacional.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
De posse do desenvolvimento dos modelos matemáticos para os problemas que nos
propusemos a estudar, finalizamos com a comunicação dos resultados para os colegas
de sala de aula. Além disso, conhecemos os trabalhos desenvolvidos por outros grupos.
Considerações finais
O objetivo deste artigo foi o de relatar uma experiência com o desenvolvimento de
uma atividade de modelagem matemática, caracterizada no 3º momento de
familiarização. Nesta atividade, trabalhamos em grupo e compartilhamos diferentes
processos, como troca de ideias, busca de informação em várias fontes, uso de
tecnologias, como softwares e calculadora científica, questionamento da realidade. Com
isso, problemas foram formulados e analisados criticamente, ocorrendo uma seleção de
procedimentos e verificação de resultados.
Tais habilidades estão em comum acordo, tanto com as fases do desenvolvimento
de atividades de modelagem matemática, quanto com os objetivos propostos pelos PCN
para serem desenvolvidos no aluno.
Dessa forma, visto que é possível o aluno desempenhar o papel ativo de “artesão”
ao experimentar desenvolver uma atividade de modelagem matemática e obter um
modelo que represente a situação inicial a ser estudada, propõe-se a aplicação da
atividade relatada neste artigo ao trabalhar com função exponencial no 1º ano do Ensino
Médio, realizando as adequações que se fizerem necessárias.
Referências
ALMEIDA, L. M. W.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática
como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema, ano 17, n. 22, p. 19-35, 2004.
ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática
na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2012.
ALMEIDA, L. M. W.; VERTUAN, R. E. Discussões sobre ‘como fazer’ Modelagem
Matemática na sala de aula. In: ALMEIDA, L. M. W.; ARAÚJO, J. L; BISOGNIN, E.
Práticas de Modelagem Matemática na Educação Matemática: relatos de
experiências e propostas pedagógicas. Londrina, PR: Eduel, p. 19-43, 2011.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova
estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 1998.
SILVA, K. A. P.; ALMEIDA, L. M. W.; GERÔLOMO, A. M. L. “Aprendendo” a fazer
modelagem matemática: a vez do aluno. Educação Matemática em Revista. São
Paulo, v. 1, p. 28-36, 2011.