Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
1. (Epcar (Afa) 2015) Uma onda estacionária é estabelecida em uma corda homogênea de
comprimento 2π m, presa pelas extremidades, A e B, conforme figura abaixo.
Considere que a corda esteja submetida a uma tensão de 10 N e que sua densidade linear de
massa seja igual a 0,1kg / m.
Nessas condições, a opção que apresenta um sistema massa-mola ideal, de constante elástica
k, em N / m e massa m, em kg, que oscila em movimento harmônico simples na vertical com
a mesma frequência da onda estacionária considerada é
a)
b)
c)
d)
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 3 QUESTÕES:
Se precisar, utilize os valores das constantes aqui relacionadas.
Constante dos gases: R  8J (mol  K).
Pressão atmosférica ao nível do mar: P0  100 kPa.
Massa molecular do CO2  44 u.
Calor latente do gelo: 80cal g.
Calor específico do gelo: 0,5cal (g  K).
1cal  4  107 erg.
Aceleração da gravidade: g  10,0m s2 .
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
2. (Ita 2015) Um fio de comprimento L e massa específica linear μ é mantido esticado por
uma força F em suas extremidades. Assinale a opção com a expressão do tempo que um
pulso demora para percorrê-lo.
2LF
a)
μ
F
b)
2 πLμ
c) L
μ
F
d)
L μ
π F
e)
L μ
2π F
3. (Ita 2015)
Luz de uma fonte de frequência f gerada no ponto P é conduzida através do sistema
mostrado na figura. Se o tubo superior transporta um líquido com índice de refração n
movendo-se com velocidade u, e o tubo inferior contém o mesmo líquido em repouso, qual o
valor mínimo de u para causar uma interferência destrutiva no ponto P' ?
a)
b)
c)
d)
e)
c2
2nLf
c2
2Lfn2  cn
c2
2Lfn2  cn
c2
2Lf (n2  1)  cn
c2
2Lf (n2  1)  cn
4. (Ita 2015)
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
Luz, que pode ser decomposta em componentes de comprimento de onda com 480nm e
600nm, incide verticalmente em uma cunha de vidro com ângulo de abertura α  3,00 e
índice de refração de 1,50, conforme a figura, formando linhas de interferência destrutivas.
Qual é a distância entre essas linhas?
a) 11,5 μm
b) 12,8 μm
c) 16,0 μm
d) 22,9 μm
e) 32,0 μm
5. (Ita 2014) Sobre uma placa de vidro plana é colocada uma lente plano-côncava, com 1,50
de índice de refração e concavidade de 8,00 m de raio voltada para baixo. Com a lente
iluminada perpendicularmente de cima por uma luz de comprimento de onda 589 nm (no ar),
aparece um padrão de interferência com um ponto escuro central circundado por anéis, dos
quais 50 são escuros, inclusive o mais externo na borda da lente. Este padrão de interferência
aparece devido ao filme de ar entre a lente e a placa de vidro (como esquematizado na figura).
A espessura da camada de ar no centro do padrão de interferência e a distância focal da lente
são, respectivamente,
a) 14,7 μm e – 10,0 m.
b) 14,7 μm e – 16,0 m.
c) 238 μm e – 8,0 m.
d) 35,2 μm e 16,0 m.
e) 29,4 μm e – 16,0 m.
6. (Unesp 2014) Duas ondas mecânicas transversais e idênticas, I e II, propagam-se em
sentidos opostos por uma corda elástica tracionada. A figura 1 representa as deformações que
a onda I, que se propaga para direita, provocaria em um trecho da corda nos instantes t = 0 e
T
t  , em que T é o período de oscilação das duas ondas. A figura 2 representa as
4
deformações que a onda II, que se propaga para esquerda, provocaria no mesmo trecho da
corda, nos mesmos instantes relacionados na figura 1. Ao se cruzarem, essas ondas produzem
uma figura de interferência e, devido a esse fenômeno, estabelece-se uma onda estacionária
na corda. A figura 3 representa a configuração da corda resultante da interferência dessas
T
duas ondas, nos mesmos instantes t = 0 e t  .
4
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
A figura que melhor representa a configuração da corda nesse mesmo trecho devido à
3T
formação da onda estacionária, no instante
, está representada na alternativa
4
a)
b)
c)
d)
e)
7. (Fuvest 2014) O Sr. Rubinato, um músico aposentado, gosta de ouvir seus velhos discos
sentado em uma poltrona. Está ouvindo um conhecido solo de violino quando sua esposa
Matilde afasta a caixa acústica da direita (Cd) de uma distância l, como visto na figura abaixo.
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
Em seguida, Sr. Rubinato reclama: _ Não consigo mais ouvir o Lá do violino, que antes soava
bastante forte! Dentre as alternativas abaixo para a distância l, a única compatível com a
reclamação do Sr. Rubinato é
Note e adote:
O mesmo sinal elétrico do amplificador é ligado aos dois alto-falantes, cujos cones se
movimentam em fase.
A frequência da nota Lá é 440 Hz.
A velocidade do som no ar é 330 m/s.
A distância entre as orelhas do Sr. Rubinato deve ser ignorada.
a) 38 cm
b) 44 cm
c) 60 cm
d) 75 cm
e) 150 cm
8. (Ita 2014)
A figura mostra um interferômetro de Michelson adaptado para determinar o índice de refração
do ar. As características do padrão de interferência dos dois feixes incidentes no anteparo
dependem da diferença de fase entre eles, neste caso, influenciada pela cápsula contendo ar.
Reduzindo a pressão na cápsula de 1 atm até zero (vácuo), nota-se que a ordem das franjas
de interferências sofre um deslocamento de N, ou seja, a franja de ordem 0 passa a ocupar o
lugar da de ordem N, a franja de ordem 1 ocupa o lugar da de ordem N + 1, e assim
sucessivamente. Sendo d a espessura da cápsula e λ o comprimento de onda da luz no
vácuo, o índice de refração do ar é igual a
a) Nλ / d.
b) Nλ / d.
c) 1  Nλ / d.
d) 1  Nλ / (2d).
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
e) 1  Nλ / d.
9. (Ita 2014) Em uma experiência de interferência de Young, uma luz magenta, constituída por
uma mistura de luz vermelha (de comprimento de onda de 660 nm) e luz azul (comprimento de
onda de 440 nm) de mesma intensidade da luz vermelha, incide perpendicularmente num plano
onde atravessa duas fendas paralelas separadas de 22,0 μm e alcança um anteparo paralelo
ao plano, a 5,00 m de distância. Neste, há um semieixo Oy perpendicular à direção das fendas,
cuja origem também está a 5,00 m do ponto médio entre estas. Obtenha o primeiro valor de y >
0 onde há um máximo de luz magenta (intensidades máximas de vermelho e azul no mesmo
local). Se necessário, utilize tan θ  senθ, para θ  1 rad.
10. (Ita 2014) Uma luz monocromática incide perpendicularmente num plano com três
pequenos orifícios circulares formando um triângulo equilátero, acarretando um padrão de
interferência em um anteparo paralelo ao triângulo, com o máximo de intensidade num ponto P
equidistante dos orifícios. Assinale as respectivas reduções da intensidade luminosa em P com
um e com dois orifícios tampados.
a) 4/9 e 1/9
b) 2/3 e 1/3
c) 8/27 e 1/27
d) 1/2 e 1/3
e) 1/4 e 1/9
11. (Enem PPL 2013) Em um violão afinado, quando se toca a corda Lá com seu comprimento
efetivo (harmônico fundamental), o som produzido tem frequência de 440 Hz.
Se a mesma corda do violão é comprimida na metade do seu comprimento, a frequência do
novo harmônico
a) se reduz à metade, porque o comprimento de onda dobrou.
b) dobra, porque o comprimento de onda foi reduzido à metade.
c) quadruplica, porque o comprimento de onda foi reduzido à metade.
d) quadruplica, porque o comprimento de onda foi reduzido à quarta parte.
e) não se modifica, porque é uma característica independente do comprimento da corda que
vibra.
12. (Ita 2013) Num experimento clássico de Young, d representa a distância entre as fendas e
D a distância entre o plano destas fendas e a tela de projeção das franjas de interferência,
como ilustrado na figura. Num primeiro experimento, no ar, utiliza-se luz de comprimento de
onda λ1 e, num segundo experimento, na água, utiliza-se luz cujo comprimento de onda no ar
é λ 2 . As franjas de interferência dos experimentos são registradas numa mesma tela. Sendo o
índice de refração da água igual a n, assinale a expressão para a distância entre as franjas de
interferência construtiva de ordem m para o primeiro experimento e as de ordem M para o
segundo experimento.
a) D Mλ 2  mnλ1  nd
b) D Mλ 2  mλ1  nd
c) D Mλ 2  mnλ1  d
d) Dn Mλ 2  mλ1  d
e) D Mnλ 2  mλ1  d
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
13. (Ita 2013) Dois radiotelescópios num mesmo plano com duas estrelas operam como um
interferômetro na frequência de 2,1 GHz. As estrelas são interdistantes de L  5,0 anos-luz e
situam-se a uma distância D  2,5  107 anos-luz da Terra. Ver figura. Calcule a separação
mínima, d, entre os dois radiotelescópios necessária para distinguir as estrelas. Sendo θ 1
em radianos, use a aproximação θ tan θ sen θ.
14. (Ita 2013) Um prato plástico com índice de refração 1,5 é colocado no interior de um forno
de micro-ondas que opera a uma frequência de 2,5  109 Hz. Supondo que as micro-ondas
incidam perpendicularmente ao prato, pode-se afirmar que a mínima espessura deste em que
ocorre o máximo de reflexão das micro-ondas é de
a) 1,0 cm.
b) 2,0 cm.
c) 3,0 cm.
d) 4,0 cm.
e) 5,0 cm.
15. (Enem 2013) Em viagens de avião, é solicitado aos passageiros o desligamento de todos
os aparelhos cujo funcionamento envolva a emissão ou a recepção de ondas eletromagnéticas.
O procedimento é utilizado para eliminar fontes de radiação que possam interferir nas
comunicações via rádio dos pilotos com a torre de controle.
A propriedade das ondas emitidas que justifica o procedimento adotado é o fato de
a) terem fases opostas.
b) serem ambas audíveis.
c) terem intensidades inversas.
d) serem de mesma amplitude.
e) terem frequências próximas.
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
Para a onda estacionária usaremos duas equações relacionadas com a velocidade da onda:
v  λf e v 
T
μ
Igualando as duas equações:
T
λf 
μ
Sendo a frequência na corda relacionada com a tensão, o comprimento de onda e a densidade
linear de massa.
f
1 T
λ μ
Já para o sistema massa-mola, temos a expressão para a frequência:
f' 
1 k
2π m
Como as duas frequências devem ser iguais:
1 T
1 k

λ μ 2π m
Substituindo os valores fornecidos procuramos por uma alternativa que verifica a mesma
relação;
1 10
1 k

2π 0,1 2π m
k
 10
m
Sendo a alternativa [D] a única que verifica essa relação.
Resposta da questão 2:
[C]
Combinando a equação de Taylor com a equação do movimento uniforme:

F
v 
F L
L
μ

μ


 Δt 

Δt  L
.

μ Δt
F
F
L

v

μ
Δt

Resposta da questão 3:
[D]
Da definição de índice de refração, obtemos a velocidade (v) de propagação da luz no tubo
inferior.
c
c
n
 v .
v
n
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
A velocidade da luz (v ') no tubo superior é obtida relativisticamente.
v u
v' 
uv
1 2
c
c  un
c
u
c  nu
c  nu
c2
n
 v'  n



 v' 
.
2
c
c
n
nc u
c  uv
u
c2  u
n
1  2n
c
c2
A interferência destrutiva no ponto P' ocorre devido a diferença de velocidades de propagação
da luz nos dois tubos (v ' v) que acarreta diferença nos tempos de propagação (t  t '). O
menor valor de u é aquele que faz com essa diferença de tempos seja igual a meio período.


1

T
f  t  t '  1 . I
t

t'


t

t
'


2
2
2f

nL
L
 L
. II
t   c  t 
v
c

n

L c n  u 
L
L

 t '  v '  c  n u  t '  c  nu . III

cn u

u

c2

2 L f n2  1  c n
II e III em I

n L L c n  u 
1



c
c  nu
2f
.
Resposta da questão 4:
[C]
Dados: nc  1,5; λ A  480 nm  480  109 m; λB  600 nm  600  109 m; α  3.
Quando o sentido de propagação da luz é do menos para o mais refringente, a reflexão ocorre
com inversão de fase e quando é do mais para o menos refringente, não ocorre inversão de
fase na reflexão.
Assim o raio A reflete com inversão de fase e o raio B, sem inversão de fase. Portanto, esses
raios refletidos estão em oposição de fases. Assim, a interferência destrutiva ocorre para uma
diferença de percurso  Δ x igual a um número par (p) de meios comprimentos de onda.
Como o ângulo  é pequeno:
λ
λ
Δx  2 d  p c  d  p c .
2
4
I
Para ângulos pequenos, expressos em radianos (α  10), podemos fazer:
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
tgα  senα  αrad 
d 3π
π

 dL .
L 180
60
De (I) e (II):
λ
15 λ c
π
p c L
 Lp
4
60
3
 L  5 p λc.
II
III
Supondo que o índice de refração seja o mesmo para as duas radiações, da ondulatória vem:
λ 1
λc
n
λ

 λc 
 λc 
. IV 
λ
nc
nc
nc
(IV) em (III):
5pλ
L
. V
nc
Para um mesmo valor de L ocorre a interferência destrutiva dos dois raios para dois números
pares p A e pB .
Então, em (V):
5 pA λ A 5 pB λB

nc
nc

pA
λ
600  109
 B 
pB
λ A 480  109

pA
5

pB
4
 pB 
4
pA.
5
Como p A e pB são números inteiros (pares), os valores de pA deverão ser múltiplos de 10.
Assim, voltando em (V):

5  10  480  109
p A  10  L1 
 L1  16  106 m
1,5


5  20  480  109

 L1  32  106 m
p A  20  L 2 
1,5


ΔL  L2  L1   32  16   106  ΔL  16  10 6 m 
ΔL  16 μm.
Resposta da questão 5:
[B]
- Cálculo da espessura (e) da camada de ar.
Dado: λ  589nm  589  109 m.
Na refração, não ocorre inversão de fase. Na reflexão, só ocorre inversão de fase quando o
sentido de propagação é do meio menos refringente para o mais refringente.
Assim, na figura abaixo, o raio a, refletido em A, não sofre inversão de fase, porém o raio b,
refletido em B, sofre inversão de fase.
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
Então os raios a e b estão em oposição de fases. Para ocorrer interferência destrutiva, a
diferença de percurso (Δx) deve ser um número par (p) de semiondas ( λ/2).
Mas a diferença de percurso é igual a duas vezes a espessura (e) da camada de ar (ida e
volta).
Equacionando:
λ
λ
Δx  p
 2e p
2
2
λ
 ep .
4
Como são 50 anéis escuros: p = (0, 2, 4, ..., 100).
Substituindo:
e  100 
589  109
4
 e  14,7  106 m  e  14,7 μm.
- Cálculo da distância focal da lente.
Dado: nar  1; nlente  1,5; R1   8m (face côncava); R2   (face plana).
Aplicando a equação do fabricante de lentes (Halley):
  1
1  nLente
1 
1  1,5   1 1 
1
1 1
 1


 1  


 1  
    0,5 
 0  

 
f  nmeio
f

f
f
16
 1
  8
 8

  R1 R2 
f   16 m.
Resposta da questão 6:
[D]
T
T
até t  3 decorre meio período, ocorrendo inversão de fase em cada uma
4
4
das ondas, como ilustra a figura, acarretando a onda estacionária mostrada.
Do instante t 
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
Resposta da questão 7:
[A]
Dados: v = 330 m/s; f = 440 Hz.
Se o Sr. Rubinato não está mais ouvindo o Lá é porque está ocorrendo interferência destrutiva.
Para que ocorra tal fenômeno é necessário que a diferença de percurso entre o ouvinte e as
duas fontes ( no caso, ) seja um número ímpar (i) de meios comprimentos de onda. O menor
valor de
é para i = 1.
v

330


 f 


 0,375 m 
2
2
2  400
 38 cm.
Resposta da questão 8:
[D]
Combinando a definição de índice de refração com a equação fundamental da ondulatória:
λ f
c
λ
nar 
 nar 
 nar 
. I
var
λ ar f
λ ar
A interferência ocorre devido às duas passagens do raio pela cápsula. Para o vácuo, o número
de comprimentos de onda que cabem na cápsula é:
2d
Nv 
.
λ
Quando há ar na cápsula, o meio torna-se mais refringente, diminui a velocidade de
propagação e, consequentemente, o comprimento de onda. O número de comprimentos de
onda que cabem na cápsula com ar é, então,
Nar 
2d
.
λ ar
De acordo com o enunciado:
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
Nar  Nv  N 
λ ar 
2dλ
.
Nλ2d
2d 2d

N 
λ ar
λ

II
Substituindo (II) em (I):
2dNλ
λ
n
 n
2d λ
2d
N λ 2d
n 1
2d N λ  2d

λ ar
λ

Nλ
.
2d
Resposta da questão 9:
Na figura:
- A e B são duas fendas e C o ponto médio entre elas;
- as distâncias percorridas por dois raios desde cada fenda até o ponto P do anteparo são xA e
xB;
- a diferença de percurso entre os dois raios é Δx  xB  x A ;
- as distâncias entre as fontes e entre as fontes e o anteparo são d e L, respectivamente.
Dados:
d  22mm  22  106 m; L  5 m; λ V  660 nm  660  109 m; λ A  440 nm  440  109 m.
Como θ  1 rad, o triângulo ABD pode ser considerado retângulo e senθ  tan θ.
Δx

sen θ 


d

tan θ  y


L
tan θ  sen θ

y Δx

L
d
 y
L Δx
d
 I .
Como é pedido o primeiro máximo para y > 0, o ponto P deve ser de interferência construtiva
para a luz vermelha e para a luz azul. Mas, para a interferência ser construtiva, a diferença de
percurso (Δx) deve ser igual a um número inteiro (N) de vezes o comprimento de onda:
Δx  Nλ (N  0, 1, 2, 3, ).
Aplicando a expressão (I) para as duas radiações e substituindo valores:
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
L NV λ V

y V 

d

L NA λ A

yA 

d

3 NV  2 NA .
II
III
 y V  y A  NV λ V  NA λ A  NV  660  NA  440 
Para y > 0, os dois menores valores inteiros que satisfazem a igualdade obtida são:
NV = 2 e NA = 3.
Substituindo esses valores em (II) e (III):

5  2  660  109
y V 

22  106

5  3  440  109

y A 
22  106

y  0,3 m.
 300  103 m  y V  0,3 m
 y  yV  yA 
 300  10
3
m  y A  0,3 m
Resposta da questão 10:
[A]
A interferência construtiva para fontes idênticas de intensidade I0 tem intensidade máxima que
é diretamente proporcional ao quadrado número n de fontes: In  n2 I0 .
- Para os três orifícios abertos: I3  9 I0 .
- Para dois orifícios abertos: I2  4 I0 .
- Para um orifício aberto: I1  I0 .
Fazendo as razões:
4 I0
I2
I2
I  9 I  I 
0
3
3



I
 I1  I0
 1 
I
9
I
I
0
3
3
4
.
9
1
.
9
Resposta da questão 11:
[B]
O comprimento de onda ( λ1) e a frequência (f1) do 1º harmônico de uma corda fixa nas duas
extremidades são:

v
 f1 
λ1

λ  2 L
 1
 f1 
v
.
2L
Como a velocidade é constante, não dependendo da ordem do harmônico, se o comprimento
da corda é reduzido à metade, o comprimento de onda também se reduz à metade, dobrando a
frequência do harmônico fundamental.
Resposta da questão 12:
[A]
De acordo com o experimento de Young, temos que:
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
λ.D
.k , em que y representa a ordenada de cada franja clara em relação a um dado
d
referencial e k um número inteiro, que o enunciado trata como m na primeira situação (ar) e M
na segunda situação (água)
Onde: y 
O enunciado pede a expressão para a distância entre as franjas de interferência construtiva de
ordem m para o primeiro experimento (ar) e as de ordem M para o segundo experimento
(água).
y  ?  y | yágua  yar | y 
λ água .D
d
λ .D
.M  1 .m (eq.1)
d
Como a frequência de uma onda não depende do seu meio de propagação, pode-se escrever
que:
far  fágua
V
λ
Vágua
V
 ar 
λ2
λ água
V  λ.f  f 
far  fágua
c
c
V
V
n
Var Vágua
λ2
c
c



 λ água 
λ2
λ água
nar .λ 2 nágua .λ água
nágua
n
λ
λ água  2 (eq.2)
n
Substituindo a eq.2 na eq.1, teremos:
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
y 
λ água .D
d
.M 
λ1.D
λ .D
λ .D
.m  y  2 .M  1 .m  y 
d
n.d
d

 D   λ2
 d  .  n .M  λ1.m 
 

D(M.λ 2  m.n.λ1)
 D 
y  
 .  λ 2 .M  λ1.m.n   y 
d.n
(n.d)


Resposta da questão 13:
Dados:
L  5 anosluz; D  2,5  107 anosluz; f  2,1GHz  2,1 109 Hz; θ  senθ  tgθ; c  3  108 m / s.
Para distinguir as estrelas, um radiotelescópio deve estar num ponto de interferência
construtiva (IC) e o outro num ponto de interferência destrutiva (ID), como indicado na figura.
Para o ponto de interferência destrutiva, a menor distância entre os radiotelescópios, R1 e R2
λ
ocorre quando a diferença de percurso  Δx  deve ser igual a meio comprimento de onda   :
2
λ
Δx  .
2
Da equação fundamental da Ondulatória:
c
cλ f  f  .
λ
Na figura acima, θ e α são ângulos pequenos e θ  α. Então: senα  tgθ.
Mas:

λ
sen α  Δ x  2

L
L

d

tg θ 

D

d

c
d
λ
d


 f
D 2 L
D 2 L

D c
2,5  107  3  108


2 L f
2  5  2,1 109
d  3,6  105 m.
Resposta da questão 14:
[B]
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Exercícios de Aprofundamento – Fis - Ondulatória
Dados: nar  1; n  1,5; f  2,5  109 Hz; c  3  108 m / s.
Na refração não ocorre inversão de fase. Na reflexão ocorre inversão de fase quando o sentido
de propagação é do meio menos para o meio mais refringente, mas não ocorre quando for do
meio mais para o menos refringente.
Assim, na primeira incidência (ar-prato), o raio refletido sofre inversão de fase, mas o raio
refratado no prato não sofre inversão de fase; na segunda incidência (prato-ar) o raio refletido
não sofre inversão de fase. Portanto, a diferença de fases entre os dois raios refletidos, quando
se propagando novamente no ar, é π rad , o que corresponde a meio comprimento de onda
λ
 2  , ou seja, os dois raios estão em oposição de fases. A diferença de percurso entre eles é
 
Δx  2d , sendo d a espessura do prato.
Calculando o comprimento de onda no prato:
n
c
v
 n
c
c
3  108
 λ

 0,08 m  λ  8 cm.
λ f
f n 2,5  109  1,5
Para que a reflexão seja máxima, deve haver interferência construtiva entre os raios refletidos.
Como eles estão em oposição de fases, a diferença de percurso deve ser múltipla de um
número ímpar de meios comprimentos de onda.
λ
λ
λ
Δ x n
 2dn
 dn
n  1; 2; 3....
2
2
4
A espessura do prato é mínima quando n = 1. Então:
λ
8
d  1
 d
 d  2 cm.
4
4
Resposta da questão 15:
[E]
Os receptores de rádio possuem filtros passa-faixa, selecionando a frequência a ser
decodificada (onda portadora). Havendo mais de um emissor operando em frequências
próximas, poderá haver interferência.
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