Apostila de Metrologia (parcial)
Introdução
A medição é uma operação muito antiga e de fundamental importância para
diversas atividades do ser humano. As medições foram precursoras de grandes teorias
clássicas das diversas áreas científicas e com isso ao longo dos séculos estas teorias
permitiram realizar conclusões sobre o comportamento de alguns fenômenos da
natureza.
Os valores de uma grandeza são realizados através de um procedimento que
envolve instrumentos de medidas, e as grandezas a serem aferidas são determinadas
experimentalmente por medidas ou combinações de medidas. Toda e qualquer medida
que é realizada de forma experimental vem inserida de erros associados a esta medida e
estes erros estão relacionados ao próprio instrumento que tem os seus próprios limites
de precisão e exatidão de medida e ao operador que realiza a medida.
Quando a medida de uma grandeza é realizada encontramos um valor que a
caracteriza e para saber com que confiança ou exatidão esta medida foi realizada,
devemos expressá-la conforme uma incerteza ou erro associados a medida, utilizando
métodos adequados para combinar as incertezas dos diversos fatores que influenciam no
resultado. A maneira de se manipular dados experimentais a fim de que as medidas
realizadas possam ter a maior precisão possível exige um tratamento adequado que
envolve a chamada “Teoria dos Erros”. Com a devida medida associada a devida
incerteza, temos a possibilidade de comparar o resultado de qualquer grandeza com um
valor de referência determinado em condições de precisão especiais. Apresentamos um
exemplo abaixo do resultado de duas medidas de uma mesma grandeza com diferentes
aparelhos e um valor de referência ou padrão.
Medida
A
B
padrão
Voltagem (V)
9,8 ± 0,4
12,3 ± 4,0
9,3
Fonte: plato.if.usp.br/~fep2195d/arquivos/Apostila%202009.pdf, dia 09/02/2012 às
15:00h.
Na Tabela 1 apresentada acima, o símbolo “±” representa o intervalo de confiança
de um desvio padrão, ou seja, o intervalo com probabilidade de 67% de conter uma
media da grandeza. O valor contido após este símbolo é chamado de incerteza e tanto a
media A quanto a medida B concordam com o valor de referência mesmo tendo
incertezas diferentes.
1. Teoria dos Erros
1.1. Algarismos significativos
Para compreender as grandezas que interferem num fenômeno, em geral, podemos
recorrer as medidas, mas como já abordamos, nenhuma dessas medidas possui um grau
de exatidão considerável devido ao instrumento de medição e ao próprio operador. De
acordo com estas considerações, poderemos representar os valores de uma medida
através de seus números ou algarismos significativos.
Consideremos uma régua graduada em centímetros, como apresenta a Figura 1
abaixo:
Fonte:
http://wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/Ensino/Disciplinas/LabFisI_Eng/Apos
tilaTeoriaDosErros.pdf, dia 09/02/2012 às 12:24h
Na leitura do comprimento AB, afirmamos que ele possui 8cm exatos e uma
fração de 1cm a mais dos 8cm e mesmo visualmente não podemos dizer qual é este
número. Esta fração pode ser estimada nos limites de percepção do observador.
Avaliando a anotação do valor do comprimento AB com 3 observadores
experimentais diferenciados, poderemos dispor das seguintes conclusões:
a) Todos os três experimentadores observariam os 8cm exatos.
b) Mas poderiam avaliar a fração do 1cm restante de formas diferentes, como:
1º experimentador - Fração de 1cm = 0,7cm
2º experimentador - Fração de 1cm = 0,8cm
3º experimentador - Fração de 1cm = 0,6cm
Dessa forma o comprimento AB poderia ser anotado como sendo:
1º experimentador - AB = 8cm + 0,7cm, ou
2º experimentador - AB = 8cm + 0,8cm, ou
3º experimentador - AB = 8cm + 0,6cm
Se, por exemplo, outro experimentador observasse a fração do 1cm como sendo 0,75cm,
poderíamos dizer que esta observação é coerente ou não?
Quando realizamos a medição com uma régua graduada em centímetros, podemos
avaliar uma medida até décimos de centímetros que naturalmente faz sentido, mas
representar esta medida em centésimos já seria inaceitável devido a própria limitação da
percepção humana na escala adotada.
Dessa forma para a medida do comprimento AB como sendo 8,7 cm, observamos
que um dos algarismos seria o exato e o outro representa o algarismo duvidoso que
geralmente é o último algarismo da direita.
A definição de algarismos significativos de uma medida são todos os algarismos
que temos certeza (exatos) e mais um duvidoso.
Exemplos da quantidade de algarismos significativos:
15,4 Volts: temos 3 algarismos significativos (15 é o exato e 4 é o duvidoso)
560,0 Ω: Temos 3 algarismos significativos (560 é o exato e 0 é o duvidoso)
2,5 A: Temos 2 algarismos significativos (2 é o exato e 5 é o duvidoso)
E além de contabilizarmos a quantidade dos algarismos em submúltiplos das medidas,
ao realizamos a transformação das unidades, percebemos que a mesma regra de
quantidade de algarismos significativos permanece. Vejamos alguns exemplos:
8,7 cm: 2 algarismos significativos
8,7 x 10 mm = 0,000087 km: 2 algarismos significativos
8,7 x 10 − 3 m = 0,0087 m: 2 algarismos significativos
Os dígitos dos algarismos significativos contam-se da esquerda para a direita, a partir do
primeiro não-nulo, e são significativos dos algarismos exatos e os duvidosos.
Vejamos outro exemplo de verificação dos números significativos da medida de
um besouro representado pela Figura 2
Fonte: plato.if.usp.br/~fep2195d/arquivos/Apostila%202009.pdf, dia 09/02/2012 às
15:00h.
Tendo observado a faixa de medida do besouro, qual das possibilidades abaixo
representa sua medida de tamanho?
a) Entre 0 e 1cm
b) Entre 1 e 2cm
c) Entre 1,5 e 1,6 cm
d) Entre 1,54 e 1,56 cm
e) Entre 1,546 e 1,547 cm
Neste caso, observamos que a escala da régua apresentada se encontra em
milímetros e com isso devemos estimar a medida do algarismo duvidoso até o décimo
de milímetros.
Outro exemplo é o representado pela Figura 3 abaixo que nos permite exercitar o
entendimento para realização de uma medida considerando os algarismos significativos
envolvidos, neste caso na medida do diâmetro de uma moeda:
Fonte: plato.if.usp.br/~fep2195d/arquivos/Apostila%202009.pdf, dia 09/02/2012 às
15:00h.
Da mesma forma que na medida do besouro, podemos estimar a media do
diâmetro desta moeda. Portanto temos as seguintes alternativas que expressam este
valor. Considerando os algarismos significativos, em qual delas se encontra a medida
mais apropriada?
a) Entre 0 e 2 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,9 e 2,0 cm
d) Entre 1,92 e 1,94 cm
e) Entre 1,935 e 1,945 cm
1.2. Incertezas
A incerteza, em geral, é observada segundo a menor divisão da escala, isto é, no
dígito duvidoso é que reside a incerteza da medida. No exemplo da Figura 1 para a
medida do trecho AB sendo 8,6 cm, observamos que o algarismo 6 constitui o duvidoso
e com isso deve ser associada a ele uma incerteza que consequentemente expressará um
trecho em que a medida real fica compreendida. Com isso de acordo com o aparelho
utilizado a medida da incerteza pode ser fixada pelo experimentador. Por exemplo se
para a medida utilizada considerarmos como amplitude de incerteza ±0,1 cm, teremos
que o valor da medida deste comprimento deverá ser expresso AB = (8,6 ± 0,1) cm e
com isso o valor mais provável da medida realizada fica compreendida entre 8,5 à 8,7
cm. Dessa forma poderemos considerar o tipo de incerteza absoluta que depende da
habilidade do experimentador e a incerteza relativa que mostra através do resultado
percentual do quociente da incerteza absoluta e a medida da grandeza, pois quanto
menor for este percentual maior “qualidade” a medida terá.
Exemplo: Incerteza absoluta = ± 0,2cm
Incerteza relativa = (±0,2/8,6) = ±0,023 ou 2,3%
1.3. Arredondamento
Um número pode ser arredondado com o número de algarismos significativos que
se deseja no caminho da direita para a esquerda. Duas regras importantes a seguir:
a) “Quando o algarismo suprimido é menor que 5, o imediatamente anterior
permanece igual”.
b) “Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior é
acrescido de uma unidade”.
Exemplos:
L = 2,143 m  L = 2,14 m, depois de arredondado
L = 0,0506 m  L = 0,051 m, depois de arredondado
1.4. Flutuações nas medidas
Ao realizar várias medidas de uma determinada grandeza, podemos nos aproximar
do valor real desta grandeza, ou seja, do valor mais provável de uma grandeza medida.
O valor real de uma medida seria aquele obtido de através de um modelo experimental
“perfeito” o que de fato não corresponde a realidade. Mas hoje em dia temos
equipamentos muito precisos em que os valores medidos para cada grandeza são bem
próximos dos valores reais.
As flutuações dos valores medidos são os fatores que limitam o objetivo de
atingirmos o valor verdadeiro da grandeza. Estas flutuações ou erros são de origem
sistemática, origem acidental ou até aleatórias.
Erro de uma medida é a diferença entre o valor medido e o verdadeiro valor da grandeza
“Erro = Valor medido – Valor Real”
1.5. Tipos de Erros
1.5.1. Erros Sistemáticos
São erros provenientes da precisão dos próprios instrumentos de medida e também
do próprio operador que causam influências significativas nos resultados. Estas
influências ocorrem tanto para aumentar o valor a ser medido, quanto para diminuir
o valor medido. Por exemplo:
•
Réguas calibradas erradas (1mm na régua, não corresponde de fato a 1mm)
•
A influência de um potencial de contato em uma medida de Voltagem ou
Resistência
•
Em medidas de tempo, podemos perceber atrasos em relação a contagem de
tempo verdadeira devido ao próprio relógio utilizado se encontrar com atraso.
1.5.2. Erros acidentais ou aleatórios
Estes erros estão relacionados a causas acidentais e da não habilidade do operador,
também causando mudanças nos resultados encontrados. Um exemplo clássico disso se
apresentar quando realizamos uma mesma medida de uma grandeza por várias vezes e
os resultados dessas medidas não necessariamente são iguais. Isto é devido a alguns
fatores apresentados abaixo:
• À imperícia do operador
• À variação da capacidade de avaliação (ex.: falta de paciência e cansaço)
• Erros de paralaxe na leitura das medidas
• Reflexos variáveis do operador ao apertar um cronômetro por exemplo
• Erros relacionados ao cálculo da menor divisão da escala
Este tipo de erro pode ser minimizado pelo ganho de habilidade do
experimentador, mas jamais poderá ser eliminado. Estes tipos de erros podem ser
tratados de acordo com a teoria dos Eros.
1.5.3. Erros grosseiros
Erros grosseiros ocorrem principalmente devido a desatenção do experimentador
quando deveria ser um número e lê outro valor. A correção destes erros pode ser feita
quando há uma concentração e cuidado do experimentador em suas medidas.
2. Propagação de Incertezas (estatística da teoria dos
erros)
2.1. Valor médio de uma grandeza
Ao realizarmos medidas experimentais de uma mesma grandeza obtemos uma
série de valores que necessariamente não são iguais e que variam no algarismo
duvidoso da medida feita. O objetivo de realizar várias medidas é para que os
resultados encontrados aproximem-se do valor mais provável da medida em
compatibilidade com o valor real da grandeza. Dessa forma, através da estatística e
neste caso de uma série de valores obtidos podemos definir matematicamente
através da média aritmética dos valores obtidos o valor mais provável da grandeza
medida. Ao realizarmos várias medidas e realizarmos a média destes valores, o
resultado obtido tende a se aproximar do “valor real” da grandeza.
Deste modo podemos definir a média aritmética de uma série de medidas:
x1 + x2 + x3 +  + xn 1 n
= ∑ xi
x=
n
n i= 1
Podemos perceber duas características importantes da média aritmética:
• A soma algébrica dos desvios de cada um dos valores medidos em
relação a média, ( xi - x ) deve ser bem próximo de zero.
•
A soma do quadrado dos desvios calculados deve a mínima possível.
Fontes:
Metrologia – Parte I – 2004, Laboratório de Metrologia e Automatização –
Laboratório de Engenharia Mecânica – Universidade de Santa Catarina.
http://wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/Ensino/Disciplinas/LabFisI_Eng/Apo
stilaTeoriaDosErros.pdf, dia 09/02/2012 às 12:24h
http://vsites.unb.br/ft/enm/pcmec/teses/dissertacao_LeonardoMoreiraLeodido_2006.p
df, dia 09/02/2012 às 12:50h
plato.if.usp.br/~fep2195d/arquivos/Apostila%202009.pdf, dia 09/02/2012 às 15:00h.