Os contratos de crédito
1
O contrato de crédito
• Existem três razões principais para a
necessidade de haver contratos de
crédito.
– O ciclo de vida das pessoas
– Poder ocorrer um período de “desemprego”
ou de despesas acrescidas (e.g., doença)
– O capital ser produtivo
2
O ciclo de vida
• Uma das mais obvias razões para a a
existência de empréstimos é o ciclo de
vida das pessoas.
– As pessoas precisam de consumir sempre
– Existem longos períodos em que não têm
rendimento (quando crianças e “velhos”)
3
O ciclo de vida
4
O ciclo de vida
• As pessoas, quando crianças, não têm
rendimento suficiente para sobreviver,
pedindo recursos emprestados
– Em média, é-se “criança” durante 20 anos
• Quando trabalham, pagam as dívidas (de
criança) e poupam alguns recursos (para
a velhice)
– Em média, é-se activo durante 45 anos
5
O ciclo de vida
• Quando reformados, não têm suficiente
rendimento para sobreviver, mas têm os
recursos que pouparam (emprestaram)
– Em média, a reforma dura 15 anos
• Esses recursos que vão-se esgotando
6
O desemprego
• O trabalho é a fonte mais importante de
rendimento das famílias
• E, de repente, qualquer pessoa pode ficar
desempregada.
– A probabilidade será de 10%/ano
7
O desemprego
• E, depois, demora alguns meses a
encontrar novo emprego
– Em média, 12 meses
• E o salário é menor que o anterior
– Menos 15%
• Será necessário poupar recursos para
essa eventualidade.
– Deverão ter uma poupança > 12 salários.
8
Cataclismos
• Podem ocorrer imponderáveis
– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder
trabalhar e necessitando de tratamento
médico.
– Pode ter um acidente de automóvel,
necessitando de pagar a reparação.
– Pode ter um incêndio em casa.
• É necessário ter uns activos de lado
9
O capital ser produtivo
• O trabalho torna-se mais produtivo se for
auxiliado por capital
– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.
• Se um indivíduo pedir emprestado
dinheiro, pode comprar bens de capital e
aumentar o seu rendimento
– Mais tarde, pode devolver o dinheiro pedido
10
O capital ser produtivo
• Existem bens que custam “muito dinheiro”
e duram muito tempo
– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.
• Estes bens “produzem” utilidade
– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis
para pedir empréstimos e pagar um pouco
todos os meses.
11
O empréstimo em dinheiro
• Numa sociedade “atrasada”,
– Armazenam-se bens
– Emprestam-se bens e serviços
• Numa sociedade monetarisada, emprestase dinheiro
12
O empréstimo em dinheiro
• O armazenamento de recursos tem custos
muito elevados
– A roupa passa de moda
– A comida estraga-se
– Os carros enferrujam
• É vantajoso emprestar dinheiro e mais
tarde tê-lo de volta para comprar bens e
serviços
13
O empréstimo em dinheiro
• Poupar dinheiro não é o mesmo que
poupar recursos escassos
• Se poupamos dinheiro, nós deixamos de
consumir recursos (bens e serviços)
• Mas, a quem emprestamos, vai consumir
esses recursos que poupamos.
14
O empréstimo em dinheiro
• Como as pessoas são heterogéneas,
haverá sempre algumas que precisam de
pedir dinheiro
– E.g., as criancinhas, os desempregados e
acidentados imprevidentes.
• Outras que precisam de guardar dinheiro
– E.g., os activos previdentes.
15
A taxa de juro
16
A taxa de juro
• Quando eu empresto uma quantidade de
dinheiro, não vou receber a mesma
quantidade
– A diferença denomina-se por JURO
• O Juro pode ser entendido como a
remuneração de eu adiar o consumo
17
A taxa de juro
• Em termos económicos,
• quem empresta está a vender bens do
presente em troca de bens do futuro
• quem pede emprestado está a comprar
bens do presente em troca de bens do
futuro
• Ou vice versa
18
A taxa de juro
• Então, o juro também pode ser entendido
– como uma “taxa de cambio” intertemporal
1€ de agora vale 1.1€ do futuro
– como um “preço relativo” intertemporal
– 1 camisola de agora vale 0.9 camisolas do
futuro
19
A taxa de juro
• O raciocínio em termos de “remuneração”
é muito mais fácil de compreender que em
termos de “preço relativo”
20
A taxa de juro
• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo
como negativo.
• Há razões para justificar ser positivos e
razões para justificar ser negativo
• Historicamente é positivo
21
A taxa de juro
• Porque é positivo?
• Por três razões
– A inflação
– Haver alternativas remuneradas
• As pessoas preferem o presente ao futuro
• O capital é produtivo
– Haver risco de incumprimento
22
Taxa de juro positiva
• Hoje faço anos e deram-me 1000€
– Hipótese 1: entregam-mos agora.
– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.
• Qual das hipóteses será preferível?
23
Taxa de juro positiva
• É preferível a hipótese 1
– A) O dinheiro vai desvalorizar
– B) Podia depositá-lo a juros
– C) O doador pode morrer (e a oferta falhar)
24
Inflação
• A) O dinheiro vai desvalorizar
– O valor do dinheiro resulta de podermos
comprar bens e serviços.
– Como existe inflação (i.e., o preço dos bens
e serviços aumenta com o tempo), a
quantidade de bens que posso comprar
diminui com o tempo.
– O valor do dinheiro diminui com o tempo
25
Inflação
• A) O dinheiro vai desvalorizar
• Inicialmente tenho V0 euros
• Os preços, em média, aumentam %.
• No fim do período terei que ter
V1 = V0 (1+ )
26
Inflação
• A) O dinheiro vai desvalorizar
• Exercício
– Posso ter 1000€
– Sendo que, em média, durante os próximos
10 anos os preços aumentarão 40%.
– Quanto terei que ter ao fim deste tempo para
ter o mesmo poder aquisitivo?
27
Inflação
V1 = 1000 x (1 + 0.40) = 1400€
Teria que ter 1400€
28
Alternativa remunerada
• B) Podia depositá-lo a juros
– O capital é produtivo.
• E.g., um agricultor se cavar com uma enxada
consegue produzir mais do que se o fizer com um
apenas um pau.
– O capital é escasso
– Quem precisar de capital estará disponível a
pagar uma remuneração pelo seu “aluguer”.
29
Alternativa remunerada
• B) Podia depositá-lo a juros
– É preferível consumir hoje.
– As pessoas preferem o Presente ao Futuro
• No Futuro estamos mortos
• No Futuro estamos velhos pelo que não apetecerá
– Quem faz o sacrifício de não consumir no
presente precisa ser “remunerado”.
– Quem tem o benefício de consumir o que não
tem (ainda) tem que “pagar”.
30
Alternativa remunerada
• B) Podia depositá-lo a juros
– Inicialmente tenho V0 euros
– Apesar de os preços, em média, se
manterem,  = 0%, um empresário de
confiança paga-me como juro r%.
– No fim do período, terei
V1 = V0 (1+ r)
31
Risco de incumprimento
• C) O doador pode morrer
– O Futuro é incerto.
• A obrigação pode não ser cumprida
– Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar
receber o dinheiro mais os juros
– Mas posso não receber nenhum deles
• Ou receber apenas parte
32
Risco de incumprimento
• C) O doador pode morrer
– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e
vou receber (penso eu) V1 euros.
– Existindo a probabilidade p de eu não receber
nada, para, em média, ficar equivalente, terá
que
V0 = 0 x p + V1 x (1 - p)
V1 = V0 / (1 - p)
33
Risco de incumprimento
• C) O doador pode morrer
– Vamos supor que eu empresto 1000€
– Existe a probabilidade de 10% de, decorrido o
prazo acordado, não receber nada
– Qual terá que ser a soma prometida no fim do
prazo?
34
Risco de incumprimento
V1 = 1000 / (1 – 10%) = 1111.11€
Teriam que me prometer acrescentar 111.11€
de juros ao dinheiro que eu emprestei.
35
A taxa de juro
• Haverá razões para que a taxa de juro
pudesse ser negativa?
– O dinheiro que guardo em casa pode ser
roubado
– Se houver poucas criancinhas e poucos
empresários, não há a quem emprestar
dinheiro
• i.e., se não houver crescimento económico
36
A taxa de juro
• Haverá razões para que a taxa de juro
pudesse ser negativa?
• Historicamente, os efeitos “negativos” são
negligenciáveis face aos efeitos “positivos”
37
A taxa de juro
• AS unidades de juro são em termos de
unidades de capital (dinheiro) por
unidades de tempo.
• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano
– Seria uma taxa de juro de 10% ao ano
38
A taxa de juro
• Como o juro incorpora 3 elementos
– A inflação
– A remuneração do capital (o juro real)
– O risco de não cobrança
• Em termos de taxas temos, num ano
Vfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
39
A taxa de juro
• Para valores de r,  e p pequenos, é
aceitável somas as 3 parcelas:
 (1  r )(1   ) 

Ln(1  i )  Ln
 (1  p ) 
 Ln(1  r )  Ln(1   )  Ln(1  p )
 i  r   p
40
A taxa de juro
• Supondo que eu empresto 1000€, durante
1 ano.
– A inflação (prevista) é de 5% ao ano
– O juro real (acordado) é de 2% ao ano
– O risco de não cobrança é de 3% ao ano
• Qual a taxa de juro?
• Quanto dinheiro devo acordar receber?
41
A taxa de juro
A taxa de juro seria de10.41%:
1+i = (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)
i =10.412%
Devo exigir receber (daqui a um ano)
V1 = 1000 x (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)
V1 = 1104.12€
Os juros seriam 104.12€.
42
A taxa de juro
A soma das parcelas daria 10%
A taxa calculada é 10.412%
Quanto mais pequenas forem as parcelas,
menor é a diferença
43
A taxa de juro
• Eu tenho 10 galinhas que posso comer
(galinhas de hoje) ou emprestar e receber
11 galinhas daqui a um ano (galinhas do
futuro).
– i) Qual é a taxa de juro?
– ii) Qual é o preço das galinhas do futuro
relativamente às galinhas do presente?
44
A taxa de juro
• i) A taxa de juro resolve 11 = 10.(1 + i) 
i = 10%.
• ii) Compro 11 galinhas do futuro com 10
unidades “monetárias” (10 galinhas de
hoje) pelo que preço de cada galinha do
futuro será de 0,909 unidades
“monetárias” (i.e., galinhas de hoje).
45
A taxa de juro
• Assumir um juro proporcional à duração
do tempo e à quantidade emprestada tem
problemas
– O risco de grandes somas é mais que
proporcional ao risco das pequenas somas
• Por causa da diversificação do risco
– O risco de longos prazos é mais que
proporcional ao risco dos curtos prazos
• O futuro distante é menos previsível
46
A taxa de juro
• Mesmo assim, usa-se como referência
para o juro uma taxa por unidade de
tempo, normalmente o ano.
– E.g. 4.47%/ano
• Podendo haver ajustamentos ao prazo e
ao valor
47
A taxa de juro
• Taxa EURIBOR
– É a taxa de juro por ano que os bancos sem
risco (first class credit standing) emprestam
euros entre si
– É uma referência nos contratos com taxa de
juro variável (e.g., crédito à habitação).
48
A taxa de juro
EURIBOR a 6 meses desde o início de 2008
5,50
EURIBOR-6meses, pp
5,00
4,50
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
1-Jan-08
10-Abr-08
19-Jul-08
27-Out-08
4-Fev-09
15-Mai-09
49
A taxa de juro
EURIBOR dependendo do prazo do contrato
(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2009 direita)
5,4
2,1
5,2
1,9
30-06-2008
5,0
1,7
4,8
1,5
30-04-2009
4,6
1,3
4,4
1,1
4,2
0,9
4,0
0,7
1w
2w
3w
1m 2m
3m
4m
5m
6m
7m
8m
9m 10m 11m 12m
Prazo
50
A taxa de juro
• Taxa EURIBOR
– Como é uma taxa sem risco, os particulares
acrescem um Spread à sua taxa que é a
previsão que o emprestador tem do risco de
não cobrança de cada cliente.
– Os depositantes recebem menos que a
EURIBOR – “pagam” os serviços bancários
51
A taxa de juro
• Taxa de desconto do Banco Central
– O BC controla a quantidade de papel moeda
em circulação,
– i.e, controla o nível médio de preços
– Não tem qualquer efeito real (monetaristas)
– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita
liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a
4.5%/ano – denomina-se janela de desconto
52
A taxa de juro
• Taxa de desconto do Banco Central não é
uma boa medida da taxa de mercado sem
risco
– A cedência de liquidez é de “último recurso”.
– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1
ponto percentual
– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p.
53
A taxa de juro
pp
5,0
EURIBOR-6m
4,0
BCE+
3,0
BCE-
2,0
1,0
0,0
01-01-2007
01-01-2008
31-12-2008
Data
54
A taxa de juro
• O Credit Scoring é uma técnica de
estimação da probabilidade de
incumprimento.
• O Score é um índice que resulta de somar
os efeitos de várias variáveis
55
A taxa de juro
• Ex.1.9: assuma o seguinte score:
– PJA: Proporção dos juros e amortizações no
rendimento mensal
– PDP: Proporção das dívidas no património
– IM: Idade média do casal
• Score = 100PJA + 25PDP + IM
56
A taxa de juro
• score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp
• 80 < score ≤ 130, o spread será 1.75 pp
• score > 130, o banco não concede crédito.
• Qual o spread de um casal, com
2M€/mês, património de 100M€, 26 + 30
anos, e que pedem 175M€ para comprar
uma casa avaliada em 250M€?
– Assuma uma prestação mensal de 6€/1M€.
57
A taxa de juro
• Como o Score
• p = 100x6x175/2000
+ 25.[175/(100 + 250)]
+ 28 = 93
está no intervalo ]80, 130],
o spread será de 1.75pp.
58
Questões a discutir
• A natalidade tem diminuído
• As crianças sustentavam os pais na velhice
– Será culpa do estado por garantir a velhice
com reformas e assistência?
– Por não garantir os pagamentos das dívidas
dos filhos aos pais?
– Será culpa dos mercados financeiros por
disponibilizarem activos sem risco?
59
Questões a discutir
• A poupança das famílias tem decrescido
• Garantiam uma “eventualidade”
• Permitiam comprar um “bens duradouros”
– Será culpa do estado ao garantir assistência
médica e medicamentosa?
– De haver “subsídio de desemprego”?
– De haver seguradoras?
– De haver crédito bancário?
60
Questões a discutir
• Não há investimento
– Será culpa dos bancos favorecerem o crédito
ao consumo?
– Será culpa do estado porque, os processos
de falência são demorados, ineficientes, e
favorece os trabalhadores em detrimento de
quem emprestou o “capital”?
61
Capitalização e Desconto
62
Capitalização
• A taxa de juro é referida a uma unidade de
tempo, normalmente um ano.
– Se a duração do contrato for de vários anos
mas os juros forem pagos no final de cada
ano
– Estamos sempre a voltar à situação inicial.
• Esta é a situação dita normal.
63
Capitalização
• Se os juros forem pagos apenas no fim do
prazo contratado (de vários anos)
• Cada ano, o capital aumentará
– Haverá lugar a juros dos juros não pagos.
• Esta é a situação capitalizada.
64
Capitalização Simples
• Neste caso, desprezamos os juros dos
juros.
• Cada ano, os juros são o capital inicial a
multiplicar pela taxa de juro anual
J = Vinicial.i
• No final de n anos, receberemos
Jtotal = Vinicial.n.i e Vfinal.(1+ n.i)
itotal = n.i
65
Exercício
• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos
em que os juros são pagos no fim do
período, capitalização simples.
• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano
e 4.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
66
Exercício
• R. Os juros serão
J = 10M€.(3.754% + 4.217% + 4.765%)
= 1273.60€
O capital final será
V = 10000€ + 1273.60€
=11273.60€.
67
Exercício
C3: =B3*B$1
C6: =SUM(C3:C5)
C7: =C6 + B1
68
Capitalização Composta
69
Capitalização Composta
• Neste caso, vamos considerar os juros
dos juros.
• Cada ano, os juros acrescem ao capital
Jt+1 = Vt.i
Vt+1 = Vt + Vt.i = Vt.(1+i)
• No final de n anos, receberemos
Vfinal.=Vinicial.(1 + i)n, itotal = (1 + i)n - 1
70
Exercício
• Ex.1.5. Emprestando 25M€, a 5 anos à
taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim
do período com capitalização composta.
– Denominam-se de juros postecipados
i) Qual o capital final a receber
ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e
compare com a capitalização simples.
71
Exercício
• i) O capital final a receber será de
25000.(1 + 5%)5 = 31907,04€.
• ii) A taxa de juro do contrato será
(1+5%)5 –1 = 27,628%
com capitalização simples seria menor
= 5x5% = 25%.
72
Exercício
• Ex.1.6. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos
em que os juros são postecipados,
capitalização composta.
• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano
e 4.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
73
Exercício
• O valor a receber será
V.(1+ 0.03754)*(1+ 0.04217)*(1+0.04765)
=11992.78€
74
Período de tempo fraccionário
• Na expressão da taxa de juro capitalizada
de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1
• O número de anos é inteiro.
• No entanto, podemos extrapolar o conceito
de capitalização a fracções do ano.
75
Período de tempo fraccionário
• Sendo que empresto 1000€ durante 3
meses a uma taxa anual de 5%/ ano,
quanto vou receber de juros (c. composta):
76
Período de tempo fraccionário
i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227%
– 3 meses correspondem a 0.25 anos.
• Vou receber 12,27€ de juros
• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha
os 5%
(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%
77
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.7. Num empréstimo de 100M€ foi
acordado o pagamento mensal de juros à
taxa média do último mês da EURIBOR a 3
meses e o capital no fim do prazo
acordado.
• Supondo um mês em que a taxa de juro foi
de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?
78
Período de tempo fraccionário
• R. A taxa mensal será
(1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796%
– Um mês corresponde a 1/12 anos
 465.80€ de juros referentes ao mês
79
Valor Futuro
• O valor que uma soma de dinheiro do
presente terá no futuro
• Traduz o total a pagar pelo devedor no
final do prazo acordado:
– valor futuro do capital emprestado.
80
Valor Futuro
• Ex.1.8. Foram colocadas à venda
obrigação do SCP de valor nominal de
5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP
resgata a obrigação ao par (i.e., paga os
5€) daqui a 3 anos, qual a taxa de juro
desta aplicação?
81
Valor Futuro
• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão
5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:
4.05(1  i)  5  i  (5 / 4.05)
3
1/ 3
1
• será 7.277%/ano:
82
Valor Futuro
Ex.1.9. Um indivíduo deposita no início de
cada mês 1000€ durante 60 meses.
– As prestações são antecipadas
Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano,
determine o valor futuro total das parcelas
poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim
dos 60 meses)?
83
Valor Futuro
O valor futuro de 1000€ depositados no
início do mês i é
( 60i 1) /12
VFi  1000.(1  4%)
O valor futuro total valerá
60

VF   1000(1  4%)( 60i1) /12

i 1
que, resolvido no Excel, resulta em
66395.68 €.
84
Valor Futuro
C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna
C62: =Soma(B2:B61)]
85
Taxa de juro instantânea
• Apesar de a taxa de juro i ser anualizada,
pode ser usada em contratos em que os
juros são pagos com regularidade inferior
T1
• Juros recebidos
período
n
no final
do
primeiro


(1  i)  1  (1  i)  1



T

1
n
86
Taxa de juro instantânea
• Juros recebidos no final do segundo
período
1


(1  i)  1  (1  i) n  1



T

• O total de juros recebidos durante o ano,
vem dado por,
1


1
T
k  (1  i)  1  n (1  i) n  1  k
T




87
Taxa de juro instantânea
• Por exemplo, se empresto 10M€ à taxa de
juro de 5%/ano e quiser receber no fim de
cada dia os juros, T=1/365, então durante
um ano recebo:

k  10000€  365 (1  5%)
0.00274

1
 487.93€
88
Taxa de juro instantânea
• Quando o tempo se torna infinitesimal,
esta medida k transforma-se na taxa de
juro instantânea:


1
T
k  Lim (1  i )  1  Ln(1  i )
T 0 T
• A taxa de juro média virá dada por
i  e 1
k
89
Taxa de juro instantânea
• De forma equivalente


 k
n (1  i )  1  k  i  1    1
 n


n
 k 

i  limn  1    1
 n



n
1
n
i  e 1
k
90
Taxa de juro instantânea
• A vantagem da taxa instantânea é poder
ser utilizada em modelos em tempo
contínuo
(o
que
será
feito
em
Macroeconomia e Matemática II).
91
Desconto
• Sendo que capitalizar é andar para a
frente no tempo
• Descontar é andar no tempo para trás
• É, na taxa de juro capitalizada de forma
composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um
número negativo de anos
92
Desconto – Valor passado
• Em termos económicos, pode traduzir o
valor passado de uma quantidade de
dinheiro presente
– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que
emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o
capital que eu emprestei?
93
Desconto – Valor actual
1000 V .(1  4%)10  V  1000.(1  4%)10
 V  675.56€
• Também pode traduzir o valor actual (no
presente) de uma quantidade de dinheiro
que vou ter disponível no futuro
94
Desconto – Valor actual
• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€,
pagos daqui a 10 anos.
• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses
100€ de daqui a 10 anos valem no presente
100€ x 1.06–10 = 55.84€.
95
Desconto – Valor actual
• Ex.1.10. Um estudante, quando terminar o
curso, vai receber de umas tias um prémio
de 10000€. Supondo que pensa terminar
o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa
de desconto é de 5% ao ano, qual será o
seu valor actual?
96
Desconto – Valor actual
V  10000.(1  5%)
30
 V  2313.77€
• Posso “vender” este activo e receber no
presente 2313.77€ (a outra pessoa que
tenha 5% como taxa de desconto).
97
Desconto – Valor actual
• Ex.1.11. Um indivíduo depositou num banco
em 1940 uma soma. Sendo que esse banco
devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a
soma depositada?
98
Desconto – Valor actual
V  1000000.(1  3.5%)
68
 V  96395.38€
• R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos =
96395.38€.
99
Pagamento da dívida
Rendas
100
Rendas
• Já consideramos duas possibilidades para o
pagamento da dívida.
• 1) Os juros são pagos periodicamente e o
capital é pago no fim do prazo contrato.
• 2) O capital mais os juros são pagos no fim
do prazo contrato.
101
Rendas
• Agora explorar uma outra possibilidade:
• É paga uma prestação em cada período
• No final do prazo não há mais nada a pagar
– Cada prestação contêm juros e amortização do
capital
• Denominamos este plano como uma Renda
102
Rendas
• Uma renda transforma uma determinada
soma de dinheiro num rendimento.
• Um stock num fluxo
103
Rendas
• O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava
300mil€ por mês.
• Poderia ter constituído um depósito de 1.5
milhões de euros e
• Receber, a partir dos 35 anos, 600
prestações mensais de 10000€ cada.
104
Rendas
• As prestações podem ser
– regulares ou irregulares no tempo
– constantes ou variáveis no valor
– haver ou não diferimento de alguns
períodos
– terem duração limitada ou serem perpétua
105
Rendas
• Emprestamos um capital que recuperamos na
forma de uma renda (e.g., saiu-nos a lotaria);
• Pedimos um capital que pagamos na forma de
uma renda (e.g., um crédito à habitação);
• Pagamos uma renda que recebemos no final na
forma de um capital (e.g., para comprar um
barco a pronto);
106
Rendas
• Recebemos uma renda que pagamos no fim na
forma de um capital (e.g., para podermos viver à
custa de uma herança que vamos receber no
futuro);
• Receber uma renda que pagamos na forma de
renda (e.g., para financiar os estudos).
107
Rendas
• Obtemos o valor actual da renda
descontando todos os recebimentos ao
instante de tempo presente.
• Podemos usar outro instante de tempo
qualquer. Tem é que ser o mesmo para todas
as prestações.
108
Rendas
• Ex.1.12. Determine, na aplicação financeira do
Jardel, qual a taxa de juro implícita.
• É de 4.857% ao ano.
109
Rendas
110
Rendas
• Na coluna A estão os meses de vida,
na B as quantias entregues, na C as
quantias descontadas ao presente
• C2: =B2/(1+$E$1)^(A2-312)
coluna
• C710: =Soma(C2:C709)
e
copiava
em
• Uso a ferramenta “atingir objectivo” definindo
C710 para 0 por alteração de E1.
111
Rendas
• Ex.1.13. Uma família adquiriu uma habitação
mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à
taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a
prestação mensal a pagar?
720.29€ / mês
112
Rendas
113
Rendas
• Na coluna A estão os meses, na B as
quantias recebidas, na C as quantias
descontadas ao presente
• B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e depois
copiamos ambas em coluna.
• C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.
• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo
C603 para 0 por alteração de E3.
114
Renda perpétua
• Numa renda perpétua, recebe-se uma
prestação para sempre.
• Tem mais interesse teórico apesar de poder
existir
• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim
de cada período (i.e., postecipada), é uma
situação idêntica a um depósito em que no fim
de cada período, são pagos apenas os juros
115
Renda perpétua
• Como os juros de cada período valeriam
J = V.i
Podemos determinar o valor da renda (ou da taxa
de juro implícita) (P=prestação, i=tx.juro,
V=valor da renda):
P
P  V .i  V 
i
P
 i
V
116
Renda perpétua
• Ex.1.15. Um agricultor arrendou um terreno por
50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de
juro de 5% ao ano, qual será o valor presente
do terreno?
117
Renda perpétua
• V = 50 / 0.407% = 12278.58€
118
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada (a prestação é paga
no princípio do período), teremos que somar
uma parcela
P
V  P
i
P
 V  (1  i )
i
119
Renda perpétua
• Se houver deferimento de n períodos (tempo em
que não é paga prestação), a renda terá que ser
descontada
P
n
V  (1  i )
i
120
Renda de duração limitada
• Com o conhecimento da expressão da renda
perpétua
• Podemos calcular o valor de uma renda de
duração limitada
• Compondo duas rendas perpétuas.
121
Renda de duração limitada
• Recebemos a prestação R entre o presente e o
período N (postecipada).
• Para a taxa de juro i, determine o valor desta
renda.
122
Renda de duração limitada
• É equivalente a receber uma renda perpétua a
começar agora e
• pagar uma renda perpétua a começar no
período N,
• Descontamos tudo ao presente.
123
Renda de duração limitada
P P
P
N
N
V   (1  i )  [1  (1  i ) ]
i
i
i
Se a renda for paga no princípio do
período (i.e., antecipada)?
Teremos que somar uma parcela.
124
Renda de duração limitada

P
 ( N 1)
V  P  1  (1  i)
i
 ( N 1)
(1  i)  (1  i)
P
i
P
N
 . 1  (1  i) .(1  i)
i



125
Renda de duração limitada
• Ex.1.16. Um agricultor arrendou um
terreno por 50€/mês, pago no fim do mês,
até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e.,
daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de
juro anual de 5%, qual será o valor
presente do terreno?
126
Renda de duração limitada
• Já não preciso do Excel
• V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300) =
12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€
• Mas podemos usá-lo para verificar
127
Renda de duração limitada
• C2: =B2*(1+$D$2)^-A2
128
Renda de duração limitada
• Ex.1.17. o Figo, entre os 25 e os 35 anos,
depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações).
• Com essa poupança vai receber uma renda
de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos
(600 prestações).
• Para uma taxa de juro anual de 4%, quanto
vai receber por mês?
129
Renda de duração limitada
• Vamos usar como instante de referência os
25 anos (acabados de fazer)
• Vamos somar
– Duas rendas de duração limitada
– Ou quadro rendas perpétuas
Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e
meses para a renda
130
Renda de duração limitada
x
 100m il 100m il
 x
10 
10
 60 

1
.
04

1
.
04

1
.
04
0
 0.327% 0.327%
  0.327%

0.327%

 

 100000(1  1.0410 )  x (1.0410  1.0460 )
(1  1.0410 )
 x  100000
 55889€
10
 60
(1.04  1.04 )
131
Obrigações a taxa fixa
• Uma obrigação de taxa fixa consiste num
activo que condensa uma entrega inicial e
um recebimento futuro.
• O valor da obrigação é o valor actual do
recebimento futuro
– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr
de mercado
132
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.18. Uma obrigação a 10 anos de
valor nominal de 100€ reembolsável ao
par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10
anos) vai ser vendida em leilão.
• Para uma remunerado a uma taxa média
de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o
investidor está disponível a pagar?
133
Obrigações a taxa fixa
• Vamos descontar os 100€ ao presente:
10
V  1001.075
 48.52€
134
Obrigações a taxa fixa
• Passados 5 anos, qual será o valor da
obrigação?
• Se o mercado justificar um aumento da
taxa de juro em um ponto percentual, qual
a desvalorização da obrigação?
135
Obrigações a taxa fixa
• Já só faltam 5 anos para receber os 100€
5
V  1001.075  69.66€
• O aumento da taxa de juro desvaloriza a
obrigação em 4.5%
5
V  1001.085  66.50€
136
Obrigações a taxa fixa
• Se o investidor adquiriu a obrigação a
45€, qual a taxa de juro que pensava
receber?
• E qual será se vender a obrigação depois
da desvalorização?
137
Obrigações a taxa fixa
• A taxa de juro prevista era
V  100(1  i)
10
 45€  i  8.31%
• E passou a ser
5
V  66.50(1  i )  45€
66.50 / 45  (1  i ) 
5
i  (66.50 / 45)
1/ 5
 1  8.13%
138
TAEG implícita no contrato
• TAEG – Taxa anual efectiva global
•
–Taxa anual equivalente global
•
• Actualmente, é obrigatório que nos
anúncios (de venda a crédito) seja afixado
o preço a pronto pagamento e a taxa de
juro implícita (efectiva) calculada com
todas as despesas a incorrer pelo cliente
139
TAEG implícita no contrato
• Um televisor (ppp de 1190€), a crédito
“paga na entrega 119€ mais 12
prestações trimestrais de 100€. Tem que
pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.
• Determine a TAEG deste contrato de
crédito.
140
TAEG implícita no contrato
• Podemos indicar algebricamente o resultado
(1  (1  i) 12 )
1190 119 100
 50(1  i) 4  0
i
• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel
141
TAEG implícita no contrato
142
TAEG implícita no contrato
• Se a EURIBOR for de 5.5%/ano, qual é a
probabilidade de incumprimento implícita
neste contrato de crédito?
143
TAEG implícita no contrato
1  10.386%  (1  5.5%) /(1  p)
 (1  p)  (1  5.5%) /(1  10.386%)
 p  4.879%
144
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.25. Um anúncio dizia
“Telefone que lhe emprestamos 5000€ por
apenas 150€ mensais (durante 60 meses,
TAEG=29.28%)”.
• Confirme a TAEG.
145
TAEG implícita no contrato
R
N
V  [1  (1  i ) ]
i
150
 60
 5000
[1  (1  i ) ]
i
150
 60
 5000
[1  (1  i ) ]  0
i
Tem que se determinar no Excel
146
TAEG implícita no contrato
i  2.175%  ianual  (1  i) 1  29.46%
12
147
Preços correntes e constantes
148
Preços correntes e constantes
• A inflação (i.e., a subida generalizada dos
preços dos bens e serviços) não tem
efeito na afectação dos recursos
escassos.
• Apenas a alteração dos preços relativos
tem efeito.
149
Preços correntes e constantes
• O aumento dos preços é calculado para
um cabaz de bens e serviços, sendo um
valor médio (pesos de 2005).
Rúbricas\ano
Habitação
Alimentação
Vestuário
Transportes
Preço médio
2005
345 €
641 €
245 €
145 €
351 €
2006
367 €
654 €
240 €
162 €
364 €
2007
389 €
663 €
243 €
178 €
379 €
2008
372 €
669 €
247 €
182 €
375 €
2009 Pesos
339 €
40%
652 €
21%
251 €
22%
163 €
17%
355 €
B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5
150
Preços correntes e constantes
• Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz
custava então e compara-se com quanto
custa agora.
• Esse preço é normalizado a no ano base
valer 100 (ou 1 ou 1000). B7: =B6/$B$6*100
Rúbricas\ano
2005
2006
2007
2008
2009 Pesos
• Habitação
345 €
367 €
389 €
372 €
339 €
40%
Alimentação
Vestuário
Transportes
Preços
IPC
641 €
245 €
145 €
351 €
100,00
654 €
240 €
162 €
364 €
103,79
663 €
243 €
178 €
379 €
107,80
669 €
247 €
182 €
375 €
106,67
652 €
251 €
163 €
355 €
101,22
21%
22%
17%
151
Preços correntes e constantes
• Denomina-se por Índice de Preços no
Consumo, havendo outros índices de
preços
– E.g., na produção
152
Preços correntes e constantes
• Os preços dos bens ou serviços
observados no dia a dia denominam-se de
“preços correntes” (ou “preços nominais”)
e variam ao longo do tempo.
• E.g., há um ano a gasolina custava cerca
de 1.50€ e agora custa cerca de 1.10€.
153
Preços correntes e constantes
• Os preços corrigidos da inflação
denominam-se de “preços constantes” ou
“preços reais”.
154
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes em
preços reais utilizamos o índice de preços.
• Se precisarmos de transformar os preços
correntes do período J, PJ, em preços
reais com base no ano T, PJT, teremos
que multiplicar o preço corrente pelo
índice de preços do período T, IPT, e
dividir pelo índice de preços do período J,
IPJ, (não interessa qual o ano base do IP):
155
Preços correntes e constantes
• Ex.1.26. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em
2009 é de 450,00€.
• IPC era 4.003 em 1974 (2000 como ano base) e é
125,16 em 2009 (mesmo ano base).
• compare, em termos reais (de 2000), o poder aquisitivos
do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em
termos nominais e reais.
• R. Relativamente a 2009, os 16.46€ de 1974 valem
100
1974
16
.
46

SM 2000=
= 411,19€ que é maior que
4.003
• SM20092000= 450€*100/125,16=359.54€ pelo que o SM
diminuiu (em termos reais).
156
Preços correntes e constantes
• Se quiséssemos comparar em termos de
preços reais do ano 2009 fazíamos
• os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2009
•
SM1974
2009
=16.46 
125 ,16
4.003
= 514,65€ que é maior que
• os 450€ de 2009 valem a preços de 2009
• SM20092009= 450€*125,16/125,16 = 450€
157
Preços correntes e constantes
• R. Relativamente à taxa de variação, no
espaço de 35 anos, em termos nominais o
SM aumentou 2634% (9,91%/ano) mas,
em termos reais, diminuiu 12.5% (uma
média de -0,38%/ano).
– Tem na folha de excel a resolução
158
Preços correntes e constantes
•
•
•
•
B4: =B3*100/B2 e copiava em linha
D2: =C2/B2-1 e copiava em coluna
E2: =(C2/B2)^(1/35)-1 e copiava em linha
E5: =(1+E3)/(1+E2)-1
159
Preços correntes e constantes
• A taxa de inflação é com base o IPC que é
calculado pelo INE, com periodicidade mensal.
• Taxa de inflação homóloga – compara o IPC
do mês corrente com o IPC do mês igual do ano
anterior.
• Taxa de inflação média – é a média das 12
taxas de inflação homóloga.
• Taxa de inflação acumulada – é a variação
percentual do IPC desde o principio do ano.
160
Preços correntes e constantes
• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC
valia 128.7 e em Março 2006 passou a
valer 131.4,
• então a taxa de inflação homóloga de
Março entre estes dois anos foi de
131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
161
Preços correntes e constantes
• Interessará retirar a inflação da análise de
equivalência das somas de valores
dinheiro obtidas em instantes de tempo
diferentes.
• E.g., precisamos saber se a renda de
60mil€ mensais dará ou não para comprar
alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.
162
Taxa de inflação
• Como a taxa de inflação é calculada com
o índice de preços, podemos utilizá-la na
transformação de preços correntes em
preços reais
• Ou mesmo refazer o IPC
p
T n
T
p
T 1
 1   T   1   T 1   ... 1   T n1 
1
1
1
163
Taxa de inflação
• Sendo IPT e, IPT+1
os índice de preços no início do período T e
T+1, respectivamente
• Também calculamos a taxa de inflação
durante o período T, T , por:
IPT 1  IPT IPT 1
T 

1
IPT
IPT
164
Taxa de inflação
• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia
128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa
de inflação em 2005 foi de
131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
165
Preços correntes e constantes
• Se o preço corrente de um bem em 2006
foi de 150€, podemos saber a quanto
correspondia em 2005 em termos reais
(constantes) descontando este preço com
a taxa de inflação
• O preço do bem, a preços de 2005, seria
p
2006
 150 1  2.1%  146.92€
1
2005
166
Preços correntes e constantes
• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e
passou para p2006 = 1.30€.
Sendo que em 2005 a inflação foi de
2.1%, em termos reais, será que o preço
deste bem aumentou (em termos reais)?
167
Preços correntes e constantes
• O preço, em termos reais, aumentou
1.86%:
p
2006
 1.30 1  2.1%  1.273€
1
2005
168
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes do
período T+n em preços constantes em
referência ao período T, sabida a taxa de
inflação para cada um dos n–1 períodos,
temos:
T 1
T
p
T 1
p
 1   T   1   T 1  ... 1   T n1 
1
1
1
169
Preços correntes e constantes
• Como a taxa de inflação é calculada “em
cadeia”, a partir do Índice de Preços:
p
J
T
IPT
p 
IPJ
J
• Memorizar que se o IPC aumenta, o preço
real diminui.
170
Salário Mínimo Nacional
A preços correntes e constantes
171
Salário Mínimo Nacional
A preços correntes e constantes
E3: =C4*$B$4/B4;
F3: =D4*$B$36/B4
E copiava ambas as expressões em coluna
172
Preços correntes e constantes
• Ex.1.23. No exercício 1.17, vimos que o
planeamento da reforma do Figo se traduz
numa prestação mensal a preços
correntes de 60mil€ até aos 85 anos.
• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2%
ano,
• i) Determine a preços constantes de
agora, qual será o valor desse prestação
(faltam 50 anos).
173
Preços correntes e constantes
• Vamos descontar 60026€ ao presente
com a taxa de inflação de 2%/ano como
taxa de desconto:
R  60026(1  2%)
•
50
 22301€ / mês
Em termos reais, corresponde a apenas
37% da primeira prestação.
174
Preços correntes e constantes
• Ex.1.21. ii) Supondo as mesmas
entregas, determine um plano de reforma
que mantenha o poder aquisitivo (igual em
termos reais).
175
Preços correntes e constantes
• Posso fazer a análise
• a “preços correntes” aumentando as
prestações na taxa de inflação prevista
• Ou a “preços constantes” retirando a
taxa de inflação da taxa de juro nominal
• Este “nominal” não é o mesmo conceito de
quando falamos de capitalização
176
Preços correntes e constantes
• Fazemos a análise a preços reais
retirando a taxa de inflação da taxa de
juro nominal. A taxa de juro real mensal
é 0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.
x
 600
(1  1.000813 )  13945
0.0008135
13945 0.000813
x
 x  29453,05€
 600
1  1.000813
177
Preços correntes e constantes
• A “preços correntes”, uso o Excel:
178
Preços correntes e constantes
• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3;
• C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois
copiamos em coluna;
• C603: =Soma(C2:C602) e usamos a
ferramenta “Atingir objectivo”, definir a
célula C603 para o valor 0 por alteração
da célula E1
179
Preços correntes e constantes
• Eu ter retirado a taxa de inflação à taxa
de juro nominal (“preços constantes”)
deu o mesmo resultado
180
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• Com o acesso a fontes diferentes de
informação e com o decorrer do tempo, as
séries de preços mudam de base.
• Nessa alturas, o índice sofre uma quebra
porque salta do valor do antigo tramo da
série para 100 e são alterados os pesos
relativos dos grupos agregados no índice
(a representatividade de cada grupo no
índice).
181
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• Quando é preciso utilizar o número índice ao
longo de todos os períodos, torna-se necessário
compatibilizar os vários tramos da série à
mesma base.
• A redução não é uma mudança para a mesma
base porque não se tem em consideração que
existem alterações dos ponderadores mas
permite fazer uma transição suave entre os
vários tramos da série.
182
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• No sentido de tornar possível a
compatibilização dos tramos, estes
sobrepõem-se (pelo menos) durante um
período.
• Temos que usar os períodos de
sobreposição para calcular o valor do
“salto” em termos relativo entre as séries e
reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de
uma mudança de base.
183
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
184
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• Ex.1.28. A série do IPC do banco mundial
WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para
1974 e vale 108.10 para 2002, e
• a série do INE (base o ano 2002) vale
116.187 para 2009 (media até abril),
compare, em termos reais, o salário
mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM
actual (450.00€/mês).
185
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• R. Há uma salto em 2002 entre as séries
pelo que o valor da série do INE
compatibilizado ao da série do Banco
Mundial será 116.19108.10/100 =
125.60. O valor a preços de 2009 dos
16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 =
516.84€/mês.
186
Análise de investimentos
187
Análise de investimentos
• um investimento é uma entrega de
recursos em períodos mais próximos
do presente que permite ter
recebimentos mais afastados para o
futuro
188
Análise de investimentos
• Teremos uma contabilização das
entregas e dos recebimentos
• com referência a um mesmo instante
de tempo.
• Será necessário capitalizar uns valores
e descontar outros
189
Análise de investimentos
• Sendo que a análise é financeira,
interessa saber as entregas e os
recebimentos em dinheiro (i.e., saber o
cash flow)
190
Valor actual líquido
• No Valor Actual
• Agregar todas as parcelas ao instante
presente, descontadas ao presente
• É Liquido porque se amortiza o Capital
191
Valor actual líquido
• Apesar de não haver um horizonte
temporal de encerramento
• O risco aconselha a usarmos um
horizonte temporal limitado.
– 5 anos
– 10 anos
– 25 anos
– 50 anos
192
Valor actual líquido
• Ex.1.30. Sobre um investimento são
previstas as seguintes entregas e
recebimentos (mil €):
– i) Somando as entregas e os recebimentos
qual o saldo do investimento?
193
Valor actual líquido
• O saldo seria 175 mil€
• ii) Determine, para uma taxa de
remuneração do capital de 10%, qual será
o Valor Actual Líquido deste investimento
194
Valor actual líquido
• O VAL seria de apenas 2921€
• B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois
copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).
195
Valor actual líquido
• A taxa de juro usada é elevada porque
– os recebimentos são incertos
– as entregas são certas
• A taxa de juro contém o risco do negócio
– o VAL do investimento é comparável a um
activo sem risco (e.g., depósito a prazo).
• Para investimentos diferente, a taxa de
juro será diferente.
196
Taxa interna de rentabilidade
• Quantifica a taxa que torna o VAL igual a
zero.
• Estando o modelo implementado no
Excel, determina-se a TIR facilmente com
a ferramenta “Atingir objectivo”.
197
Taxa interna de rentabilidade
198
Exercício de recapitulação
199
Exercício -1
• Suponha que empresto 1000€.
– A inflação (prevista) é de 2.5% / ano
– O juro real (acordado) é de 2.0% / ano
– O risco de não cobrança é de 7.0% / ano
• i) Quanto devo pedir de taxa de juro?
200
Exercício -1
A taxa de juro seria de10.41%:
i = (1+ 0.025) x (1 + 0.02) / (1 – 0.07)
i =11.869%
ii) Se acordar receber os 1000€ em 12
prestações trimestrais caindo a primeira
depois de decorridos 2 anos do empréstimo,
de quanto deve ser a prestação?
201
Exercício -1
A renda é antecipada


P
N
. 1  (1  i ) .(1  i )
i
E começa daqui a dois anos


P
N
8
. 1  (1  i ) .(1  i ).(1  i )
i
A taxa de juro trimestral é (1+11.869)0.25 -1 = 2.8435%
202
Exercício -1


P
12
7
1  1.028435  1.028435  1000
0.028435
P  121.11€
203
Exercício -1
204
Exercício -2
• Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de
4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M€.
Qual o capital final que vou receber?
205
Exercício -2
• O capital final a receber será de
25000.(1 + 4%)5 - 5000 .(1 + 4%)2.5 =
= 24901,22€.
[25000.(1 + 4%)2.5 - 5000] .(1 + 4%)2.5 =
= 24901,22€.
206
Exercício -3
• Vou receber 1000€ daqui a 10 anos. Para
uma taxa de juro de 4€/ano, qual o valor
actual dessa soma?
207
Exercício -3
• R. O valor dos 1000€ no presente resolve:
1000 (1  4%)
10
 675.56€
208
Exercício -4
Um indivíduo deposita, durante 40 anos,
100€/mês para receber uma reforma
mensal durante 15 anos.
Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano
e a inflação de 2.5%, determine o valor da
reforma a preços correntes e a preços
constantes de agora.
209
Exercício -4
Vou somar quatro rendas perpétuas ou
duas de duração limitada:




100
R
 480
180
 480
. 1  (1  i )
 . 1  (1  i )
(1  i )
0
i
i

1  (1  i) 
R  100.
1  (1  i) (1  i)
480
180
 480
210
Exercício -4
A preços correntes, i = 0,374%/mês
R = 854.67€ /mês
A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)]1/12 -1
i = 0,0125%/mês
R = 277.90€/mês
211
Exercício -5
• Num investimento de 1000€ prevê-se
que as vendas aumentem 25% ao ano e
que o custo das vendas sejam 60%.
• As amortizações são constantes a 5
anos
• Calcule o VAL e a TIR
212
Exercício -5
213
Exercício -5
214
Exercício -5
D6: =C6*(1+$B$1)
C7: =C6*$B$2
C8: =C6-C7
C9: =$B$3/5
C10: =C8-C9
C11: =C10*25%
C12: =C10-C11
C13: =C12+C9
C14: =C13*(1+$B$4)^(-C5)
B15: =SOMA(B14:G14)
215
Exercício -5
• Aplico agora o modelo para determinar a
TIR
216