Cálculo Aplicado à
Administração
Introdução
Aula 6
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Introdução
Rendas
Taxa Interna de Retorno
Tema 1
Rendas
Valor Presente Líquido
Rendas ou
Séries Uniformes
Por renda entende-se uma
sucessão de pagamentos, ou
recebimentos ou depósitos
Uma sucessão de
pagamentos ou recebimentos
ou depósitos pode se destinar
à Amortização de uma dívida
ou a um Investimento
1
Representação
de uma Renda
Classificação
de uma Renda
Quanto ao prazo
p
a) Temporárias
0
1
2
3
4
5
6
7
n
b) Perpétuas
Quanto à forma
Quanto ao valor
a) Imediatas
Antecipada
a) Constantes
b) Variáveis
Postecipada
b) Diferidas
Postecipada
Antecipada
Quanto à periodicidade
a) Periódicas
b) Não periódicas
Tema 2:
Modelo Básico de Renda
e Renda Antecipada
2
Modelo Básico de Renda
É uma renda que,
simultaneamente, é temporária,
constante, imediata postecipada
e periódica
Fórmula a utilizar:
V = p . (1 + i)n – 1
(1 + i)n . i
Portanto, não há carência
e não há entrada
Renda Antecipada
É aquela cuja única diferença,
quando comparada ao Modelo
Básico de Renda, é o fato
de o primeiro pagamento ter
ocorrido no dia zero (ou seja,
houve uma entrada no mesmo
valor dos demais pagamentos)
Fórmula a utilizar:
V = p . (1 + i)n – 1 . (1 + i)
(1 + i)n . i
Renda Diferida
O que é isso?
Tema 3
Renda Diferida
É uma renda em que é dado
um prazo de carência
Você já deve ter visto aquela
propaganda no mês de agosto
que diz “compre agora e
comece a pagar com o seu 13º”
3
Divide-se o problema em
duas partes: a carência +
o Modelo Básico de Renda
p
0 1 2 3 4 5 6
7 8
9 10 11
p
n
Como resolver um problema
com carência?
0 1 2 3 4 5 6
7 8
9 10 11
n
Carência
Modelo básico
Na carência, utilizar a fórmula
da Capitalização Composta:
M = C . (1 + i)n
No Modelo Básico de Renda:
Tema 4
Taxa Interna de Retorno
V = p . (1 + i)n – 1
(1 + i)n . i
Taxa Interna de Retorno
Para o cálculo da TIR, deve-se
Popularmente, essa taxa
é conhecida como TIR
ter em mãos uma calculadora
O que é isso?
sem a mesma, além de
É a taxa de juros compostos
que anula o seu valor atual
demorado, nos fornece um
financeira, pois seu cálculo
valor aproximado da taxa
4
Suponhamos um financiamento
de R$10.000,00 que será
pago em 3 parcelas mensais e
10000
consecutivas de R$ 3.000,00,
n (meses)
R$ 5.000,00 e R$ 4.000,00
3000 5000 4000
Qual o custo efetivo do
financiamento?
Utilizando uma calculadora
financeira HP 12c, temos:
f REG
f 4
10000
3000
5000
4000
f IRR
g CFo
CHS
g
CFj
CHS
g
CFj
CHS
g
CFj
(9,2647% a.m.)
Para a comprovação de que essa é
a Taxa Interna de retorno, vamos
utilizar a definição de TIR:
10000 =
3000
+
5000
+
4000
=
(1 + 0,092647)1 (1 + 0,092647)2 (1 + 0,092647)3
10000 = 2.745,62 + 4.188,04 + 3.066,34
10000 = 10000
Valor Presente Líquido
Popularmente conhecido
como VPL
Tema 5
Valor Presente Líquido
O que é isso?
É uma ferramenta para a
tomada de decisão: deve-se
ou não fazer determinado
investimento?
5
Para o cálculo do VPL, deve-se
trazer ao diz zero cada valor
futuro: M1, M2, M3 etc.
A seguir soma-se todos
esses valores futuros e desse
resultado subtrai-se o valor
do capital inicial
Do Valor Presente deduz-se o valor
inicial do fluxo de caixa (no ponto
zero) e assim obtém-se o VPL
Logo:
VPL =
M1
(1 + i)1
+
M2
(1 + i)2
+ ... +
Mn
– C
(1 + i)n
Sabendo que as receitas
líquidas estimadas, em 5 anos,
são de R$ 18.000,00,
R$ 18.500,00, R$ 19.200,00,
R$ 20.000,00 e R$ 21.200,00,
respectivamente
VPL = Valor Presente Líquido
Consiste em calcular o Valor
Presente de uma série de
pagamentos, de recebimentos
ou de depósitos, a uma
determinada taxa de
juros conhecida
Exemplo
Uma empresa de radiotáxi
está analisando a
possibilidade de adquirir, para
a sua frota, veículos no valor
unitário de R$ 40.000,00
Ao final do 5º ano, o valor
residual de cada veículo é de
R$ 10.000,00. Verifique se a
empresa deve ou não investir
nesses veículos, para uma taxa
de retorno de 18% ao ano
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VPL =
18000
+ 18500 + 19200
+
(1 + 0,18)1 (1 + 0,18)2 (1 + 0,18)3
+ 20000
+ 31200
– 40000
(1 + 0,18)4 (1 + 0,18)5
VPL = + 24.179,95 (como
é positivo, isso significa que
a taxa efetiva de retorno é
superior aos 18% esperados.
Logo, é um bom negócio)
Se o resultado dessa
subtração for nulo ou positivo,
deve-se investir o capital
inicial. Caso contrário, não é
aconselhável o investimento
Por renda entende-se uma
Síntese
sucessão de pagamentos, ou
recebimentos ou depósitos
O Modelo Básico de
Renda é uma renda que,
simultaneamente, é
temporária, constante,
imediata postecipada e
periódica. Portanto, não há
carência e não há entrada
Renda Diferida é uma renda em
que é dado um prazo de carência
Taxa Interna de Retorno (TIR)
é a taxa de juros compostos
que anula o seu valor atual
Valor Presente Líquido (VPL) é
uma ferramenta para a tomada
de decisão: deve-se ou não fazer
determinado investimento?
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Referências de Apoio
CASTANHEIRA, Nelson Pereira.
Matemática aplicada e
análise financeira para
todos os níveis. 2. ed.
Curitiba: Juruá, 2014.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira;
MACEDO, Luiz Roberto Dias
de. Matemática financeira
aplicada. 5. ed. Curitiba:
Intersaberes, 2010.
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