Métodos Matemáticos da Fı́sica 1
Equação de Laplace
A. Resolva os problemas abaixo:
1. Determine o campo de temperatura invariante com relação ao tempo (regime permanente)
de uma placa quadrada de lado π em que dois lados opostos estejam isolados e os outros
dois estejam mantidos a temperaturas constantes iguais a 0 e a 100. Qual será o valor da
temperatura nos lados isolados? Elas serão iguais nos dois lados?
2. Determine a função u(x, y) que seja harmônica na região x2 + y 2 < 1 e tal que quando
y
x2 + y 2 = 1, tenhamos u(x, y) = 1 + p
.
2
x + y2
3. Qual é a solução da equação ∇2 u = 0 no disco r < 1, tal que
sin(θ), 0 ≤ θ < π
.
u(1, θ) = f (θ) =
0, π ≤ θ < 2π
4. Determine a solução do problema de Laplace no exterior de um cı́rculo de raio r = 1, tal
que u(1, θ) = f (θ) do problema anterior, e tal que u(r, θ) < ∞ quando r → ∞. Encontre
a representação da solução em termos de uma integral de Poisson. O que aconteceria com
a solução se a condição de contorno fosse u(1, θ) = 1?
5. Qual é a solução do problema de Poisson ∇2 u = θ na região r < 1 com condição de
contorno homogênea de Neumann em r = 1?
6. Resolva a equação de Helmholtz ∇2 u = 0.04u no retângulo
0 < x < π e 0 < y < 2π, com
3
u(0, y) = u(x, 0) = uy (x, 2π) = 0 e u(π, y) = sin
y . Identifique a parte da solução
4
deste problema que se diferencia da função harmônica uh (x, y) neste domı́nio.
7. Encontre uma função harmônica no quadrado 0 < x < 1 e 0 < y < 1 que satisfaça
uy (x, 0) = uy (x, 1) = 0, u(0, y) = 0 e u(1, y) = cos2 (πy).
8. Determine a solução da equação de Poisson ∇2 u = 1 com condições de contorno de Dirichlet homogêneas no quadrado 0 < x < π e 0 < y < π. Compare com a solução do problema
de Laplace.
9. Resolva a equação de Laplace ∇2 u = 0 no retângulo 0 < x < a e 0 < y < b com as
seguintes condições de contorno: u(0, y) = f (y), ux (a, y) = k(y), uy (x, 0) + u(x, 0) = h(x),
u(x, b) = g(x).
10. Resolva a equação de Helmholtz ∇2 u + 81u = 0 no quadrado de lado 2, tal que todas as
condições de contorno sejam homogêneas, exceto u(x, 2) = 1.
11. Considere o problema do item 1 em que três lados do quadrado sejam isolados e que um dos
outros lados seja mantido a uma temperatura igual 1. Há alguma mudança significativa
na solução do problema? E se tivéssemos um lado mantido a temperatura igual a 1, o
lado oposto a este e um outro mantidos a temperatura 0, e apenas um lado isolado, o que
mudaria na solução?
Métodos Matemáticos da Fı́sica 1 - 02/14 - Prof. Yuri Dumaresq Sobral - MAT/UnB
B. Encontre a solução da equação de Laplace em um setor circular de ângulo β e raio a tal que
u(r, 0) = u(r, β) = 0 e ur (a, θ) = f (θ). Interprete fisicamente o problema proposto. Atenção na
hora de calcular os coeficientes da série de Fourier resultante!
C. Determine a solução da equação de Laplace ∇2 u = 0 numa região em forma de uma coroa
circular, definida como todos os pontos tais que a < r < b. Em r = a, u(a, θ) = f (θ) e, em
r = b, u(b, θ) = g(θ). Posteriormente, assuma que f (θ) = 0 e g(θ) = sin(θ).
D. Suponha que uma função u(r, θ) seja harmônica no disco r < 2 e que u(2, θ) = 1 + 3 sin(2θ).
Sem encontrar a solução para este problema, determine qual é o valor máximo u(r, θ) na região
r ≤ 2 e determine u(0, θ). Justifique matematicamente suas respostas. Atenção: você não deve
resolver o problema para encontrar o que se pede!
E. Suponha que u(r, θ) seja uma função harmônica e que tenha a propriedade de ser invariante
a rotações, isto é, ela não depende de θ.
1. Determine a forma mais geral das funções harmônicas com esta propriedade.
2. Com a noção de invariância a rotações, encontre a solução da equação de Poisson ∇2 u = 1
em r < a, com u(a, θ) = 0.
3. O que deve acontecer com as condições de contorno para que a solução das equações de
Laplace e Poisson sejam invariantes a rotações?
F. [Soluções por inspeção] Considere resolver a equação de Laplace no setor circular de raio
a e ângulo β com u(r, 0) = 0, u(r, β) = β e u(a, θ) = θ. Reflita sobre que tipo de funções u(r, θ)
devem ser as candidatas para a solução e, posteriormente, resolva o problema.
G. Considere a equação de Laplace num quadrado de lado 1, com as seguintes condições de
y
y
1
, u(0, y) =
e u(1, y) =
. Verifique que
contorno: u(x, 0) = 0, u(x, 1) =
1 + (1 + x)2
1 + y2
4 + y2
u(x, y) =
y2
y
+ (1 + x)2
é solução deste problema. Seria possı́vel encontrá-la pelo método de separação de variáveis?
H. Encontre as autofunções e os autovalores para o problema de autovalor generalizado ∇2 u +
k 2 u = 0 para os seguintes domı́nios abaixo:
1. No quadrado [0, π] × [0, π], com ux (0, y) = ux (π, y) = uy (x, 0) = uy (x, π) = 0.
π
π
2. No setor circular 0 ≤ θ ≤ , r ≤ 1, com u(r, 0) = u r,
= u(1, θ) = 0.
2
2
3. (*) Na coroa circular 1 < r < 2, com u(1, θ) = u(2, θ) = 0.
4. (*) No retângulo [0, π] × [0, 2π], com ux (0, y) = u(π, y) = uy (x, 0) = u(x, 2π) = 0.
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