Calculando um
valor futuro
Uma aula preparada por
Luiz A. Bertolo
IMES-FAFICA
O fundamental
Suponhamos que você coloque
$100 numa conta que paga 4% de
juros por ano. Quanto você terá na
conta no final de um ano?
O fundamental, cont.
Saldo
= $100

principal
+ ($100 x 0,04)

juros
Valor futuro = valor presente +
FV
= PV
FV
= PV (1 + i)
+
juros
(PV x i)
A taxa de juros
 A taxa de juros representa a compensação
para o valor no tempo do dinheiro e risco.
 O valor no tempo do dinheiro é o conceito
que um investidor é compensado pelo uso
de fundos.
 Quanto maior o risco, maior a taxa de juros
demandada por um investidor.
Valor futuro exemplo

Suponha que você deposite $1.000 numa
conta hoje que pague 5% de juros,
composto anualmente. Qual será o saldo
na conta no final de quatro anos?
Valor futuro exemplo, cont.
 No final de um ano,
FV = $1.000 (1 + 0,05)
= $1.050,00
 No final de dois anos,
FV = $1.050 (1 + 0,05)
= $1.102,50
 No final de três anos,
FV = $1.102,50 (1 + 0,05)
= $1.157,63
 No final de quatro anos,
FV = $1.157,63 (1 + 0,05)
= $1.215,50
Juro-sobre-juros
Ano
FV
c/juros
simples
FV c/juros
compostos
Juros sobre
juros
1
$1.050
$1.050,00
$0,00
2
$1.100
$1.102,50
$2,50
3
$1.150
$1.157,63
$7,63
4
$1.200
$1.215,51
$15,51
Valor futuro exemplo, cont.
$1.400
$1.200
$1.000
$800
$1.157,63 $1.215,50
$1.102,50
$1.000,00 $1.050,00
In
ic
ia
4º
an
o
3º
an
o
2º
an
o
1º
an
o
lm
en
t
e
$600
$400
$200
$0
Valor futuro exemplo, cont.
Número de períodos
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
0
$8.000
$7.000
$6.000
$5.000
Valor $4.000
$3.000
$2.000
$1.000
$0
Usando a
equação de avaliação básica
FV = PV (1 + i)n
Notação
FV = valor futuro
PV = valor presente
i = taxa de juros por período composto
n = número de períodos compostos
Exemplo de valor futuro, cont.
Usando a equação de avaliação básica,
PV = $1.000
i = 5%
n =4
FV = $1.000 (1 + 0,05)4
= $1.000 (1,2155)
= $1.215,50
HP-12C
Tabela dos fatores de composição
taxa de juros
1%
2%
3%
4%
5%
6%
1
1.0100 1.0200 1.0300 1.0400 1.0500 1.0600
2
1.0201 1.0404 1.0609 1.0816 1.1025 1.1236
3
1.0303 1.0612 1.0927 1.1249 1.1576 1.1910
4
1.0406 1.0824 1.1255 1.1699 1.2155 1.2625
5
1.0510 1.1041 1.1593 1.2167 1.2763 1.3382
6
1.0615 1.1262 1.1941 1.2653 1.3401 1.4185
Problema de valor futuro
Se fosse depositado $1.000 numa conta
que rendesse 10% de juros ao ano,
compostos anualmente, qual seria o
saldo na conta no final de quatro anos
se não existissem retiradas?
Problema de valor futuro
Solução
Dado:
PV = $1.000
i = 10%
n=4
FV
=
$1.000 (1 + 0,10)4
=
$1.464,10
Um outro problema
Suponha que você invista $10.000 num
investimento que renda 6% de juros,
compostos anualmente. Quanto valerá
este investimento daqui a 5 anos? 10
anos? 15 anos?
Um outro problema, cont.
Solução
Dado:
PV = $10,000
i = 6%
n = 5, 10
FV5 = $10.000 (1 + 0.06)5 = $13.382,26
FV10 = $10.000 (1 + 0.06)10 = $17.908,48
FV15 = $10.000 (1 + 0.06)15 = $23.965,58
Usando uma calculadora
10000
6
5
FV
+/i
n
10
FV
n
PV
Usando as tabelas
 Usar a tabela dos fatores de composição
 Achar a entrada na tabela que
corresponda ao i e ao n
FV5 = $10.000 (1,3382) = $13.382
FV10 = $10.000 (1,7908) = $17.908
Freqüência de composição
 A taxa de juros, i, é a taxa de juros por
período de composição.
 Se o juro é composto com freqüência
maior do que uma vez por ano, você
precisa transladar o juro anual (chamado
de APR) numa taxa por período, n.
 O número de períodos deve refletir o
número de períodos de composição.
Exemplos de Composição
 Exemplo 1: Se a APR é 10%, com juro
composto semestralmente, a taxa por
período é 10% / 2 = 5%
 Exemplo 2: Se a APR é 12% e o juro é
composto mensalmente, i = 12% / 12 = 1%
 Exemplo 3: Se a APR é 8% e o juro é
composto trimestralmente, i = 8% / 4 = 2%
Mais um outro problema
Suponha que você deposite $1.000 numa
conta que paga 12%, composto
mensalmente. Quanto você terá na
conta no final de uma ano?
Mais um outro problema, cont.
Solução
Dado:
PV = $1,000
i = 12%/12 = 1%
n = 12
FV = $1.000 (1 + 0,01)12 = 1.126,83
Composição contínua


Se a freqüência de composição (ou desconto)
com um período de tempo que se aproxima do
infinito, referiremos a isto como composição
contínua.
Com composição contínua, o juro é composto
instantaneamente.
Composição contínua e fatores
 O fator de composição para um period with
composição contínua é eAPR.
 O fator de composição para mais do que um
período de composição é ex APR.
Calculando o valor futuro: composição
contínua
Problema
Se você investir $1.000 numa conta que paga
10% de juros, composto continuamente, qual
será o saldo na conta no final de cinco anos?
Solução
FV = $1.000 e5(0,10)
FV = $1.000 (1,6487) = $1.648,72
Cálculos: Encontre FV
assumindo composição discreta
Problem PV
a
1
$1.000
2
$500
3
$350
4
$1.000
5
$500
i
n
7
5%
2%
6%
4%
10
5
100
20
5
FV
Soluções: Encontre FV
assumindo composição discreta
Problema
1
2
3
4
5
PV
$1.000
$500
$350
$1.000
$500
i
7
5%
2%
6%
4%
n
FV
10 $1.967,15
5 $638,14
100 $2.535,63
20 $3.207,14
5 $608,33
Cálculos: Encontre FV
assumindo composição contínua
Problema
PV
1
2
3
4
5
$1.000
$500
$350
$1.000
$500
APR
7
5%
2%
6%
4%
No. de
anos
10
5
100
20
5
FV
Soluções: Encontre FV
assumindo composição contínua
Problema
PV
1
2
3
4
5
$1.000
$500
$350
$1.000
$500
APR
7%
5%
2%
6%
4%
No.
FV
de
anos
10 $2.013,75
5 $642,01
100 $2.586,17
20 $3.320,12
5 $610,70
Problemas Práticos
Problema #1
Se você investir $10.000 numa conta que
paga 4% de juros, compostos trimestralmente,
quanto estará na conta ao final de 5 anos se
você não fizer retiradas?
Problema #2
Se você investir $2.000 numa conta que paga
12% por ano, compostos mensalmente, quanto
estará na conta ao final de seis anos se você
não fizer retiradas?
Problema #3
Suponha que você invista $3.000 numa conta
que paga juros à taxa de 8% por ano,
composto semestralmente. quanto você terá
na conta ao final de cinco anos, se você não
fizer retiradas?
Problema #4
Suponha que você invista $100 por 20 anos
numa conta que paga 2% por ano, compostos
trimestralmente.
 Quanto você terá na conta ao final de 20
anos?
 Quanto juro sobre juros estarão na conta ao
final de 20 anos?
Problema #5
Suponha que você deposite $100 numa conta
que paga 4% de juros, compostos anualmente.
Qual é o saldo da conta ao término de três
anos se você retirar cada ano somente o juro
sobre os juros?
Problema #6
Suponha que você invista $100 hoje num
investimento que renda 5% por ano,
composto anualmente. Quanto você
terá na conta ao término de seis anos?
Problema #7
Suponha que você compre um revista em
quadrinhos no final de 1991 por $1. Se
você vender a revista em quadrinhos por
$5 ao término de 1997, qual é o retorno
médio anual (i.e., a média geométrica ou
taxa de crescimento anual) sobre seu
investimento?
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Calculando
um valor
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