19/11/2009
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Trigonometria
O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da
conjunção de três palavras:
Tri – três
Gonos – ângulo
Metrein - medir
Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.
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Algumas aplicações da Trigonometria
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Triângulo retângulo
Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou
seja, um ângulo de 90°.
cateto
cateto
hipotenusa
hipotenusa
cateto
cateto
A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo;
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°;
Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros
dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°;
Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses
ângulos são complementares.
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Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é
igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
a=5
a2  b2  c2
52  32  4 2
25  9  16
25  25
b=3
c=4
9
Aplicação do Teorema de Pitágoras
2
2
3 2
 3

2
2 
2
1:   h     h   
h 
h
4
4
2
2
2
2
2 : d 2   2   2  d 2  2 2  d   2
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Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas, intersectado por duas transversais,
determina, sobre essas transversais segmentos proporcionais.
Exemplo de aplicação:
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Solução:
Relações Trigonométricas num triângulo retângulo
Seno
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Exemplo de aplicação:
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Cosseno
15
Exemplo de aplicação:
16
Tangente
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Exemplo de aplicação:
Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos
notáveis
Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º
senα 
cateto oposto
hipotenusa
cosα 
cateto adjacente
hipotenusa
tgα 
2
cateto oposto
catetoadjacente
18
19
Seno, cosseno e tangente de 45°
senα 
cateto oposto
hipotenusa
cosα 
cateto adjacente
hipotenusa
tgα 
cateto oposto
catetoadjacente
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Construção da Tabela Trigonométrica
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Relações entre seno, cosseno e tangente
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Observe a situação a seguir:
Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados
por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio
necessário para a instalação?
Pela necessidade de solucionar
problemas relacionados a triângulos
que não são retângulos, se
desenvolveram formas de trabalhar
com senos e cossenos de ângulos
obtusos ( maiores que 90°).
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Teorema ou Lei dos Senos
A lei dos senos pode ser utilizada em
qualquer triângulo. No caso de
triângulos retângulos, basta considerar
sen 90° = 1.
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Aplicação da Lei dos Senos
A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internos
e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.
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Teorema ou Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas de
dois lados e o ângulo formado por eles.
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Exemplo:
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Área de um triângulo
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Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo
e não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos, a
área pode ser calculada de duas maneiras diferentes:
1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de
dois lados e do ângulo compreendido entre eles.
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2ª maneira: Fórmula de Heron
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ARCOS E ÂNGULOS
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ÂNGULO CENTRAL
Todo ângulo central possui um arco correspondente,
e reciprocamente, a todo arco corresponde um
ângulo central.
A medida de um arco é entendida como a medida do
seu ângulo central. Para medir um arco, usamos o
grau ou o radiano.
O comprimento de um arco é a sua medida linear e é expresso em centímetros,
metros...
IMPORTANTE
Os arcos AB e A’B’ têm a mesma “abertura”, ou
seja, a mesma medida (mesmo ângulo), mas
possuem comprimentos diferentes.
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MEDIDA DE ARCOS: O GRAU
O grau é definido, dividindo-se uma
circunferência em 360 partes iguais. Cada
uma dessas partes, corresponde a um arco
de um grau (1°).
Transferidor:
usado para
medir ângulos.
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MEDIDA DE ARCOS: O RADIANO
Observe o arco AB da circunferência, em
que o comprimento é igual a medida do
raio:
Dizemos que, a medida do arco AB ou do
ângulo central BÔA, é igual a 1 radiano
(1 rad).
Assim, dizemos que um arco AB que
possui comprimento igual ao raio da
circunferência, mede 1 radiano.
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Qual é o comprimento de uma circunferência?
Compriment
o
 3,141592654  (Pi)
Diâmetro
C
   C  2R
2R
Qual é a medida em radianos de um arco de 360°?
Comprimento do arco
R
2πR
Medidado arco
1 rad
x
R
1 rad

2R
x
xR  2R rad
x
2R rad
 x  2 rad  medida do arco de uma circunferência (360 )
R
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Portanto, temos que:
360  2 rad
180   rad
Quantos graus mede um arco de 1 radiano?
Medidado arco em graus
360º
x
360 2π

x
1
2x  360
x
360
180 180
x

 57,3
2π

3,14
Medidado arco em radianos
2π rad
1 rad
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CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
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CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA:
Arcos Simétricos
90 
IIQ : 180  
 

2
IQ : 
180  
360  2
IIIQ : 180  
 
IV : 360  
2π-α
3
270 
2
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SENO, COSSENO E TANGENTE NA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Seno
90°
Sinal SENO:
120° =
= 60°
135° =
= 45°
150° =
= 30°
 2  360
210° =
= 330°
225° =
= 315°
= 300°
240° =
270°
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Sinal COSSENO:
90°
120° =
= 60°
135° =
= 45°
150° =
= 30°
Cosseno
 2  360
210° =
= 330°
225° =
= 315°
= 300°
240° =
270°
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Sinal TANGENTE:
Tangente
90°
120° =
= 60°
135° =
= 45°
150° =
= 30°
 2  360
210° =
= 330°
225° =
= 315°
= 300°
240° =
270°
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Seno
90°
Tangente
120° =
= 60°
135° =
= 45°
150° =
= 30°
Cosseno
 2  360
210° =
= 330°
225° =
= 315°
= 300°
240° =
270°
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DEMAIS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno
sec x 
1
cos x
Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do
seno
1
cos sec x 
sen x
Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da
tangente.
cos x
cot gx 
sen x