PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Américo Augusto Barbosa
Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem relacionadas às
razões e às Funções Trigonométricas, visando uma
perspectiva construtivista
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2009
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Américo Augusto Barbosa
Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem relacionadas às
razões e às Funções Trigonométricas, visando uma
perspectiva construtivista
Dissertação
apresentada
à
Banca
Examinadora
da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a
orientação do Professor Doutor Armando Traldi Junior.
São Paulo
2009
Banca Examinadora
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___________________________________________
___________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
AGRADECIMENTOS
A Deus, por me dar for ça nos momentos conflituosos.
Foi uma longa jorna da, até o momento presente, podendo contar com a
colaboração dos amigos, nesta tra vessia.
À Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires, por sua competência e
colaboração no desenvo lvimento do projeto de pesquisa em Educação
Matemá tica.
Ao Professor Doutor Gerson Pa str e de Oliveira e à Professora Doutora
Maria José Lourenção Briguenti, pelas valiosas contrib uições aponta das
na qualifica ção.
Aos Professor es da Rede Esta dual de Ensino do Estado de São Paulo que
prestaram suas colaborações para que este trabalho fosse r ealizado.
Aos Professor es do Programa de Estudos Pós - Graduados de Educação
Matemá tica da PUC - SP, pelo cr escimento profissional e pela amizade.
Aos amigos Rodrigo Leite, I nês Sca vone, Madalena, Lucio Cerqueira e
Eduar do Crê pelo incentivo, paciência e tor cida para o cumprimento deste
evento.
À minha grande amiga Maria de Fá tima Aleixo de Luna , que esteve pr esente,
em todos os momentos desta jorna da, pelo a poio, carinho, col aboração e
amizade. Muitíssimo obrigado minha amiga .
À Secretaria de Educaçã o do Esta do de São Paulo, pela Bolsa Mestra do
que proporcionou minha evolução profissional.
A todos os que me incentivaram e a credita ssem no meu trabalho, minha
gratidão.
O Autor
Aos meus pais, Augusto Sebastião Barbosa “in
memorian” e a minha mãe Valdemira Farias de
Azevedo, que sempre me incentivaram na busca do
conhecimento.
Em especial
Ao Professor Doutor Armando Traldi Junior,
pelas valiosas críticas, dedicação, incentivo,
orientações e sugestões.
RESUMO
Esta Dissertação faz parte do projeto de pesquisa desenvolvido por
pesquisadores da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, que procura
desenvolver materiais de apoio e inovações curriculares para o Ensino Médio,
tomando com referência a noção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem
(THA), conceito utilizado pelo pesquisador Simon (1995) como parte do “modelo”
de Ciclo de Ensino e de Aprendizagem de Matemática. O objetivo da pesquisa é
analisar a possibilidade de compatibilizar perspectivas de aprendizagem com a
planificação de ensino relacionada às razões e às funções trigonométricas e
verificar a atuação do professor de matemática diante de uma proposta de ensino
visando uma perspectiva construtivista. Para responder às nossas questões
desenvolvemos uma pesquisa de caráter qualitativo, coletando os dados por meio
de relatórios de observação das aulas com professores e alunos de três
diferentes turmas de 2º ano do Ensino Médio da rede pública do Ensino Oficial do
Estado de São Paulo. Os resultados obtidos indicam que: é possível
compatibilizar perspectiva de aprendizagem com a planificação de ensino, e o
quanto é importante a atuação do professor de matemática para que ocorra
aprendizagem. Concluímos que não basta uma boa sequência de ensino, a
interação e a participação entre alunos e professores são os principais
instrumentos para que se efetive uma aprendizagem significativa numa
perspectiva construtivista.
Palavras-chave: Trigonometria; Trajetória Hipotética
Perspectiva construtivista; Educação Matemática.
de
Aprendizagem;
ABSTRACT
This dissertation is part of the research project developed by researchers at the
Pontifícia Universidade Católica of Sao Paulo, which seeks to develop support
materials and curricular innovations to school, taking reference to the notion of
Hypothetical Learning Trajectories (THA), a concept used by Dr Simon (1995) as
part of the 'model' Cycle of Teaching and Learning of Mathematics. The objective
of this research is to analyze the possibility of reconciling perspectives of learning
by teaching plans related to the reasons and trigonometric functions and verify the
performance of a mathematics teacher in front of a proposal aimed at teaching a
constructivist perspective. To answer our questions we developed a qualitative
study, collecting data through contents the observation of lessons with teachers
and students from three different groups of 2nd year high school public school
Education of the State of Sao Paulo. The results indicate that: it is possible to
reconcile learning perspective with the planning of education and how important
the work of mathematics teacher for learning to occur. We conclude that not just
one good result of education, interaction and participation among students and
teachers are the main instruments to be made effective a significant learning in a
constructivist perspective.
Key words: Trigonometry; Hypothetical Learning Trajectory; Constructivist
Perspective; Mathematics Education.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ..........................................................................................................
11
OBJETIVOS DA PESQUISA ..................................................................................
13
QUESTÕES DE PESQUISA ..................................................................................
13
CAPÍTULO 1 ............................................................................................................
15
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................
15
1 Contribuições de Simon e de outros autores .....................................................
15
1.1 A perspectiva construtivista segundo Simon ................................................
19
1.2 O Construtivismo e a Pedagogia da Matemática .........................................
21
1.3 Uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem, segundo Simon ....................
23
1.4 O processo de ensino de Matemática, segundo Simon ...............................
25
1.5 Composição da Trajetória Hipotética de Aprendizagem, segundo Simon ...
26
1.6 A elaboração de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem, (THA) .........
28
1.7 Outras contribuições para a reflexão sobre THAs .......................................
30
1.8 Algumas considerações e reflexões do nosso grupo de pesquisa G1 .........
32
1.9 Revisão Bibliográfica sobre o ensino e aprendizagem da Trigonometria ....
35
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................
41
METODOLOGIA DE PESQUISA ..........................................................................
41
2.1 Abordagem da Pesquisa .................................................................................
41
2.2 Descrição da trajetória para formação da equipe de trabalho .........................
43
2.3 Cenário da Pesquisa .......................................................................................
44
2.3.1 Caracterização da Escolas ....................................................................
44
2.3.2 Caracterização dos Professores ...........................................................
45
2.3.2.1 Professor P1 ..............................................................................
45
2.3.2.2 Professor P2 ..............................................................................
46
2.3.2.3 Professor P3 ..............................................................................
47
2.3.3 Apresentando as unidades de observação...........................................
47
2.3.4 Unidades de Observação......................................................................
48
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................
49
ELABORAÇÃO DA THA ......................................................................................
49
3.1 Apresentando a THA .......................................................................................
50
3.2 Trajetória Hipotética de Aprendizagem relacionada às razões e às funções
trigonométricas ...............................................................................................
51
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................
89
DESCRIÇÃO DOS RELATÓRIOS DE OBSERVAÇÕES .....................................
89
4 Atuação dos professores e dos alunos durante a realização da THA em sala
de aula ................................................................................................................
89
4.1 Organização da classe e clima dominante ...................................................
89
4.2 Explicitação dos objetivos de aprendizagem segundo os professores ........
91
4.3 Atitude dos alunos no desenvolvimento das atividades de aprendizagem
seu compromisso na busca de soluções .....................................................
91
4.4 Intervenções do professor durante a realização das atividades ..................
92
4.5 Problemas relacionados à leitura e compreensão dos textos ......................
93
4.6 Interação entre alunos na realização das atividades de aprendizagem ......
94
4.7 Dificuldades enfrentadas e possíveis causas ..............................................
94
4.8 Compromisso dos alunos no desenvolvimento das atividades ....................
95
4.9 Atitude dos professores durante o desenvolvimento das atividades ..
95
4.10 A opinião dos alunos sobre as atividades ..................................................
96
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................
99
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................
103
ANEXOS ...................................................................................................................
107
Anexo I: Questionário dos Professores .................................................................
107
Anexo II: Roteiro de observação durante a aplicação das THA ............................
110
Anexo III: Opinião dos alunos sobre a THA ..........................................................
112
Anexo IV: Relatório de observações das aulas .....................................................
113
Anexo V: Primeira versão da THA .........................................................................
130
11
INTRODUÇÃO
Ao iniciar meu trabalho no magistério do Estado de São Paulo em 1993,
deparei-me com questões que estão nas pautas de discussões há muito tempo,
entre elas podemos destacar: Como enfrentar as dificuldades de ensino e
aprendizagem de determinados temas relacionados ao currículo do Ensino
Fundamental e Médio e como organizar um currículo que contemple a
interdisciplinaridade e a contextualização? Temos como hipóteses que as
metodologias de ensino praticadas, o planejamento das aulas e a estrutura
curricular podem ser as causas desses problemas, que não atingem apenas os
estudantes brasileiros.
Durante a realização de um curso de Especialização em Educação
Matemática oferecido pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo em
parceria com a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo nos foram
apresentadas algumas teorias que procuram entender o processo de ensino e
aprendizagem, como por exemplo; “Teoria das Situações Didáticas” proposta por
Brousseau, (1986) “A Dialética Ferramenta-objeto e Jogos de Quadro”,
introduzidas por Douady (1996), “A Noção de Registro de Representação
Semiótica”, defendidas por Duval, as análise curriculares discutidas por Bishop
(1991), entre outras teorias que nos subsidiam para reflexões sobre o
desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem, como também para a
elaboração e implementação das propostas curriculares brasileiras.
Integrante do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática desta Universidade, nos aproximamos do G11, que tem a
____________
1
G1, Grupo de Pesquisa „Organização, Desenvolvimento Curricular e Formação de Professores‟,
coordenado pelos Professores Doutores: Célia Maria Carolino Pires e Armando Traldi Junior.
12
preocupação em desenvolver pesquisas que contemplem a perspectiva
construtivista. O grupo estava iniciando uma pesquisa que propunha desenvolver
materiais de inovação curricular no Ensino Médio, tendo por fundamentação
teórica os estudos desenvolvidos por Simon (1995), “A noção de Trajetórias
Hipotéticas de Aprendizagem”.
Martin Simon é pesquisador na área da Educação Matemática, atua na
investigação de como os alunos aprendem conceitos matemáticos e de que forma
essa aprendizagem pode ser promovida, desenvolvendo extensa pesquisa na
forma com que os professores aprendem e ensinam matemática. Em seu artigo
Simon (1995), nos apresenta a noção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem
afirmando que: “Embora o construtivismo tenha potencialidade para sustentar
mudanças no ensino da Matemática, é necessário formular modelos de ensino
baseados no construtivismo” (1995, p. 1).
Utilizando a Noção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem este
trabalho está inserido no G1 e busca, desta forma, trazer inovações curriculares
para o Ensino Médio, contribuindo para a aprendizagem dos discentes.
Além dos Professores coordenadores do projeto de pesquisa, o grupo
conta também com a participação de doze alunos do curso de Mestrado e seis
alunos do curso de Doutorado. O objeto de estudo, deste grupo, é apresentar
propostas de inovações curriculares a serem desenvolvidas para o Ensino Médio,
visando uma perspectiva construtivista.
Cada integrante do grupo foi responsável pela elaboração de Trajetórias
Hipotéticas de Aprendizagem (THA), relacionadas aos diferentes temas do
currículo do Ensino Médio, contando ainda com a participação e contribuição de
três professores de Matemática do Ensino Médio, que deram sugestões para
alteração das THAs, além de desenvolverem as atividades em sala de aula.
Integrante deste grupo de pesquisa, a proposta deste trabalho está
relacionada aos conceitos fundamentais da trigonometria, pois pesquisas
realizadas sobre o desempenho de alunos, no final do Ensino Médio e início do
Ensino Superior, apontam conhecimento insatisfatório, relacionados aos conceitos
fundamentais de Trigonometria. É neste sentido que Costa (1997), ao realizar
13
uma investigação das concepções dos alunos ao término do Ensino Médio e início
do Ensino Superior, observou que esses alunos não conseguem identificar os
gráficos das funções seno e cosseno, colocados próximos a gráficos de funções
polinomiais de 1º e 2º Graus.
Outra pesquisadora, Briguenti (1994), afirma ainda que é fundamental a
construção de trajetórias de aprendizagens de forma contextualizada, que dêem
significado a situações relacionadas a este tema, pois ao aplicar um teste entre
alunos, no início do ensino superior, e fazer uma análise qualitativa constatou que
os alunos encontram dificuldades: em ler e interpretar o enunciado de um
problema; em aplicar conceitos básicos de trigonometria; em formular hipóteses;
além de falhas nos conceitos básicos e fundamentais relacionados às razões
trigonométricas.
OBJETIVO DA PESQUISA
Durante o desenvolvimento deste trabalho teve-se como objetivo:
Analisar a possibilidade de compatibilizar perspectivas de aprendizagem
com a planificação de ensino2 relacionada às razões e às funções
trigonométricas, observando a atuação do professor de matemática
diante de uma proposta de ensino, por meio de uma Trajetória Hipotética
de aprendizagem (THA); visando uma perspectiva construtivista
QUESTÕES DE PESQUISA
Para atender ao objetivo de pesquisa, este trabalho busca responder as
seguintes questões:
Qual a possibilidade de compatibilizar perspectivas de aprendizagem
com a planificação de ensino relacionada às razões e às funções
trigonométricas, por meio de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem
(THA)?
Qual a atuação do professor de matemática diante de uma proposta de
ensino, visando uma perspectiva construtivista?
____________
2
Construção do planejamento, desenvolvimento das atividades e avaliação dos objetivos.
14
Para responder a estas questões, este trabalho está estruturado em quatro
capítulos
No primeiro capítulo apresentamos a noção de Trajetória Hipotética de
Aprendizagem, proposta por Simon (1995) e as contribuições de outros autores
como também o levantamento que realizamos sobre as pesquisas que abordam o
tema relacionado à trigonometria.
No segundo capítulo, descrevemos o ambiente no qual se desenvolveu
este trabalho, os procedimentos de coleta e análise dos dados.
No terceiro capítulo, explicitamos o processo de elaboração da THA, a
descrição do desenvolvimento das atividades observadas em sala de aula, as
atitudes dos alunos e dos professores diante da referida proposta e a análise dos
resultados observados.
No quarto capítulo, Elaboramos uma síntese dos relatórios de observações
em sala de aula.
Nas considerações finais trazemos algumas contribuições que acreditamos
possa vir a contribuir com o processo de ensino e aprendizagem.
15
CAPÍTULO 1
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo, apresentaremos a noção de Trajetória Hipotética de
Aprendizagem, conceito utilizado pelo pesquisador Martin Simon para descrever o
ciclo do processo de ensino-aprendizagem da matemática, e as contribuições que
outros autores trouxeram para a construção e desenvolvimento deste trabalho.
1 Contribuições de Simon e de outros autores
O ensino baseado numa visão construtivista pode trazer grandes
contribuições para o processo de ensino aprendizagem, nos dando indícios de
como se processam as diferentes formas de aprendizagens De acordo com
Simon (1995), o ensino baseado numa perspectiva construtivista tem sido foco
para muitos estudos na Educação Matemática, afirmando que:
Embora o construtivismo tenha proposto aos professores de
matemática cominhos proveitosos para o entendimento de como
se processam as aprendizagens, a tarefa da reconstrução de uma
“Pedagogia da Matemática” baseada na visão construtivista de
ensino é um desafio considerável em que a comunidade de
Educação Matemática tem apenas começado seu manejo.
(SIMON, 1995, p. 1).
Pires (2009) nos relata que no grupo de pesquisa coordenado por ela, o
modelo de Ciclo de Ensino de Matemática, proposto por Simon desempenhou
papel importante para as discussões e reflexões no processo de construções das
16
Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagens visando uma perspectiva construtivista e
para as discussões referentes às atividades de planejamento.
Ela destaca que, dentre as questões discutidas no grupo que puderam ser
amparadas pela leitura dos textos, destacam-se:
a) como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com
a planificação do ensino?
b) como as pesquisas na área de Educação Matemática que trazem
resultados importantes sobre a aprendizagem podem contribuir para a
organização de um ensino que potencialize boas situações de
aprendizagem dos alunos?
c) que atuação pode ter um professor de Matemática no que se refere às
atividades de planejamento do ensino, de forma compatível com uma
perspectiva construtivista de aprendizagem?
Para Pires (2009) o debate e a pesquisa sobre questões curriculares ainda
não é uma tradição na comunidade de educadores matemáticos brasileiros,
afirmando que:
É importante fazer uma avaliação com base na experiência de
alguns integrantes da equipe que participaram na elaboração dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL 1999), em que
analisaram os pareceres vindos de docentes e pesquisadores de
universidades de todo o país. Naquela oportunidade, as
discussões concentraram-se no problema da centralização versus
descentralização das decisões sobre currículos e da necessidade
e/ou adequação da existência de currículos prescritivos em
especial no âmbito nacional. (PIRES, 2009, p. 4)
A autora comenta sobre as discussões que foram travadas durante os
encontros para elaboração dos PCNs.
Questões bastante pontuais como o uso da calculadora nos anos
iniciais do ensino fundamental ou da ênfase a ser conferida ao
ensino de representações fracionárias dos números racionais,
entre outros. A falta de explicitação de critérios usados para a
avaliação de um currículo ficou bastante evidente assim como a
falta de argumentos consistentes sobre a eleição (ou não) de
conhecimentos matemáticos mínimos comuns a serem
construídos pelos estudantes brasileiros ou sobre aspectos
didáticos e metodológicos relativos ao processo de ensino e de
aprendizagem. (PIRES 2009, p. 5)
17
Para Pires, as pesquisas que estão sendo desenvolvidas no campo da
organização curricular ainda são poucas, afirmando que:
No âmbito da pesquisa, são poucas as fontes teóricas no campo
específico da organização e desenvolvimento curricular em
Matemática. Nas investigações que foram conduzidas no
Programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática
da PUC/SP, percebemos inicialmente que em trabalhos como os
de Bishop (1991) e Doll (1997), que apresentam alguns princípios
orientadores e que podem sustentar a construção de critérios de
avaliação, mas ainda são pouco discutidos entre nós. (PIRES,
2009, p. 5)
Pires ainda nos relata sobre a importância das discussões realizadas
durante as reuniões do grupo de pesquisa coordenado por ela.
Nas discussões em nosso grupo observamos que, na área de
Educação Matemática, parte bastante significativa das pesquisas
que foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas situam-se
no campo da Didática da Matemática e se inscrevem no campo de
influência das abordagens construtivistas colocando o foco na
construção de conhecimentos matemáticos pelos estudantes.
Porém, os resultados dessas pesquisas não têm influência direta
na elaboração ou re-significação de propostas de ensino
compatíveis com o que indicam as pesquisas a respeito das
formas de aprendizagem. Também em nossas reflexões no grupo
de pesquisa é bastante freqüente a explicitação de certo
desconforto na discussão sobre currículo entendido como
planificação de uma trajetória a ser realizada por alunos, seja ao
longo da educação básica ou do ensino superior, desconforto
causado por uma idéia bastante comum de que numa perspectiva
construtivista esse percurso deve ser ditado por interesses dos
alunos e sem definições prévias de conteúdos. (PIRES, 2009, p.
5)
Para Simon (1995), o construtivismo epistemológico tem sido fonte de
pesquisas no ensino da Matemática e tem oferecido uma base para recentes
esforços de uma reforma na Educação Matemática.
Para ele, embora o construtivismo tenha apresentado aos professores de
Matemática caminhos proveitosos para o entendimento de como se processam as
aprendizagens, a tarefa da reconstrução de uma “Pedagogia da Matemática”
baseada na visão construtivista de ensino é um desafio considerável, em que a
comunidade de Educação Matemática tem apenas começado a trabalhar. Na
opinião de Simon, o construtivismo pode contribuir com importantes caminhos
18
para o ensino da Matemática em sala de aula, embora não estipule um modelo
particular.
Pires (2009) nos relata que Simon em seu artigo3, discute a tensão criativa
entre a meta dos professores para o ensino e o compromisso de ser sensível ao
pensamento matemático dos seus alunos.
Simon inclui em suas reflexões alguns outros temas, a saber: as
atividades de ensino sendo estruturadas e implementadas tendo
como ponto central a consideração do pensamento/entendimento
dos alunos; o planejamento do ensino sendo gerado a partir de
uma trajetória hipotética de aprendizagem dos alunos; a formação
continuada dos professores apoiada em reflexões sobre trajetórias
hipotéticas de aprendizagem de seus alunos, num processo de
permanente elaboração. (PIRES, 2009, p. 6)
Simon, apud Pires (2009), destaca que a perspectiva construtivista no
ensino tem sido foco para muitos dos estudos empíricos e referenciais teóricos na
Educação Matemática e que, como resultado, tem contribuído para inovações nas
reformas do ensino da Matemática, como é o caso, nos Estados Unidos, das
proposições do NCTM – Conselho Nacional de Professores de Matemática (1989,
1991).
Para Simon (1995), o termo “Pedagogia da Matemática”, tem a intenção de
significar todas as contribuições para a educação matemática na sala de aula,
incluindo não apenas um trabalho multifacetado do professor, mas também
contribuições para o ensino, para a construção do currículo e o desenvolvimento
de materiais de pesquisas educacionais.
Para Simon o foco específico de seu trabalho está na tomada de decisão a
respeito de conteúdos matemáticos e nas tarefas de ensino da Matemática em
sala de aula, começando com uma articulação da perspectiva construtivista entre
a pesquisa de ensino e a revisão teórica pedagógica.
Para expor sua proposta de Ciclo de Ensino de Matemática e de Trajetórias
Hipotéticas de Aprendizagem, Simon busca situar sua posição em relação às
____________
3
Os dados apresentados no artigo de Simon foram coletados dentro de uma sala de aula experimental, de
25 alunos, em que o pesquisador acompanhou um professor de Matemática em tarefas sobre a construção
do conceito de área; a partir da análise dos dados coletados, trabalhou numa fundamentação teórica
visando à formulação de uma Pedagogia da Matemática.
19
perspectivas construtivistas e as relações entre construtivismo e pedagogia da
Matemática.
1.1 A Perspectiva Construtivista segundo Simon
Simon afirma que o interesse na difusão do construtivismo entre teóricos
da Educação Matemática, pesquisadores e praticantes tem moldado o discurso
para diferentes pretensões do construtivismo.
De expressões como “Construtivismo Radical” e “Construtivismo
Social” derivam algumas orientações, caracterizando a existência
de uma diversidade de perspectivas epistemológicas semelhantes
dentro dessas categorias. Conseqüentemente, parece importante
uma descrição aprofundada da perspectiva construtivista na qual
nossa pesquisa está baseada (SIMON, 1995, p. 4).
Para Simon, o construtivismo deriva de uma posição filosófica de que, na
perspectiva construtivista, nós seres humanos, preferivelmente construímos
nosso conhecimento de mundo, por meio de nossas percepções e experiências,
mediadas pelo nosso conhecimento prévio. “O ensino é um processo pelo qual
adapta suas experiências de mundo” (SIMON, 1995, p. 5).
Nosso interesse está no trabalho (adaptação com a nossa
experiência de mundo). Para esclarecer essa concepção de
trabalho precisamos fazer uma extensão: construir nosso senso
de percepção ou dados, construir um prognóstico adequado para
resolver um problema ou para realizar uma meta (SIMON, 1995,
p. 4).
Segundo Pires (2009), de acordo com o ponto de vista de Simon, a maior
parte das informações que dividem os recentes debates epistemológicos sobre o
conhecimento é, fundamentalmente, as que o identificam como um processo
social e as que o tomam como um processo cognitivo.
A posição radical do construtivismo focaliza a construção
individual, obtendo desse modo ou uma perspectiva cognitiva ou
uma perspectiva psicológica. Embora a interação social seja vista
como um contexto importante para o conhecimento, o foco está
na reorganização cognitiva individual. Simon (1995), destaca que
para Piaget, o construtivismo radical contemporâneo somado com
a interação social integra parte do ambiente, mas também não
20
diminui sua relação permanente com o objeto; a criança constrói
seus caminhos pelas experiências vivenciadas. Em contrapartida,
a epistemologia com a orientação sociocultural vê a construção
mental como um processo socialmente determinado; o
conhecimento individual origina-se da dimensão social. Para a
perspectiva social, o conhecimento localiza-se na cultura, inserese num sistema, que é maior que a soma de suas partes. (SIMON,
apud PIRES, 2009, p. 8)
Afirmando que seu trabalho evita qualquer extremo e busca construir um
trabalho teórico baseado em trabalhos como os de: Blumer (1969), Bauersfeld
(1988), Cobb, Yackel, e Wood (1989) e Von Glasersfeld (1991).
Para esses autores, ao considerar a produção de significação como um
processo resultante da comunicação e da interação dos indivíduos com os objetos
do mundo exterior, com outros indivíduos e consigo mesmo, Blumer lançou novas
luzes na problemática das relações plurais dos seres humanos enquanto seres
individuais e sociais.
Para ele, o processo de interpretação humana possui duas fases distintas:
Na primeira fase, o agente determina a si mesmo os elementos
com que se relaciona; necessita especificar para si próprio os
elementos possuidores do significado. A execução de tais
designações constitui um processo social interiorizado, no qual o
agente interage consigo mesmo. Esta operação equivale a algo
bem diferente de uma combinação de fatores psicológicos; tratase de uma situação em que o indivíduo empenha-se em um
processo comunicativo consigo mesmo. Enquanto que na
segunda fase, em virtude desse processo de autocomunicação,
interpretar torna-se uma questão de manobra de significados. O
agente seleciona, modera, susta, reagrupa e transforma os
significados sob o ponto de vista da situação em que se encontra
e da direção dos seus atos. Por conseguinte, a interpretação não
deveria ser considerada como uma mera aplicação automática de
significados existentes, mas como um processo formativo em que
os significados são utilizados e trabalhados para orientar e formar
ações. Deve-se sempre levar em consideração que os
significados desempenham seu papel na ação por intermédio de
um processo de auto-interação. (BLUMER, 1980, p. 22).
Ao referir-se aos trabalhos de (Cobb apud Simon, 1985) destaca que para
esse autor a coordenação das duas perspectivas construtivistas é necessária
para entender a aprendizagem em sala de aula. Ela não está somente no social
21
ou na dimensão cognitiva, mas, preferencialmente, na combinação da análise
dessas duas perspectivas, formulando uma analogia à luz das teorias psíquicas:
Nenhuma teoria em particular acena um enfoque suficiente para
caracterizar dados psíquicos. Porém cada teoria tem construído
uma contribuição significativa para basear teoricamente a
pesquisa; considerando ser um enfoque particular e considerando
ser um enfoque que acena também para cada teoria em
particular, coordena a descoberta que se origina de cada
perspectiva moldada para avanços neste campo (SIMON, 1995, p.
6).
Desta forma, acreditamos que a organização do desenvolvimento do
conhecimento em sala de aula parece uma análise particular coordenada,
baseada em perspectivas psicológicas (cognitivas) e sociológicas. A análise
psicológica da aprendizagem da Matemática em sala de aula foca no
conhecimento individual sobre a Matemática, seu entendimento para o outro, e
seu senso de funcionamento na aula de Matemática. A análise sociológica toma
como ponto de partida o conhecimento e as normas sociais da sala de aula. As
“normas sociais” referem-se àquilo que está entendido como a construção do
conhecimento com a efetiva participação dos alunos nas aulas de Matemática.
Incluem também as expectativas que os membros da comunidade têm sobre os
professores e os alunos, conceitos dos meios utilizados para a elaboração da aula
de Matemática e o caminho utilizado para validar a aula de Matemática. (PIRES,
2009, p 9).
Para Simon (1995) é proveitoso ter uma visão da Matemática como uma
atividade cognitiva apreendida por processos culturais e sociais e como
fenômenos sociais e culturais constituídos por uma comunidade altamente
conscientizada.
1.2 O Construtivismo e a Pedagogia da Matemática
Para Simon, apud PIRES (2009), a aprendizagem é entendida como “um
processo de construção individual e social mediados por professores com a
concepção de um trabalho estruturado na qual se entende a aprendizagem dos
alunos” (Simon, 1995, p. 7). Compreender o desenvolvimento da aprendizagem é
22
extremamente útil e tal fato leva à questão de como o construtivismo poderia
contribuir para a reconstrução de uma Pedagogia da Matemática.
Faz Novamente referência a autores como Wood, Cobb e Yackel para os
quais os professores devem ter como finalidade a construção de uma prática que
capacite seus alunos a percorrerem o caminho da aprendizagem matemática.
Este é o desafio fundamental que deve fascinar os professores de Matemática, o
que implica na necessidade de reconstruir meios para fazer conhecer a
Matemática na escola e, deste modo, meios para ensinar Matemática.
Simon afirma que ao começar a citar o construtivismo como uma teoria
epistemológica pondera que ela não define uma orientação particular de ensino,
apenas descreve que o desenvolvimento do conhecimento está presente no
professor ou no ensino realizado. Não existe uma simples função que mapeie a
metodologia de ensino dentro de princípios construtivistas. Ou seja, o
construtivismo epistemológico não determina a apropriação ou a inapropriação de
estratégias de ensino.
Para Bauerfied, citado por Simon, a construção cognitiva, de natureza
essencialmente humana, e a processual emergente dos temas, regularidades e
normas entrecruzando Matemática, interação social, trazendo a cognição e o
social juntos, não podem ser construídas com simples sumários prescritivos de
ensino.
Assim, não há referências a respeito da operacionalização de uma
perspectiva construtivista social, sem contradizê-la. Comumente é usada a
denominação “ensino construtivista”. No entanto, o construtivismo não oferece
uma noção de como resolver os problemas de ensino ou de como efetivá-lo, para
uma perspectiva teórica a questão que precisa de atenção é a seguinte: “Em
quais caminhos o construtivismo contribui para o desenvolvimento de um
proveitoso trabalho teórico estruturado pela Pedagogia da Matemática”?(Simon,
1995, p. 7).
Pires 2009, concorda plenamente com Simon quando afirma que considera
excessivamente simplista, aproveitar a conexão do construtivismo para o ensino
com a romântica noção “deixe os alunos sozinhos e eles construirão seu
23
conhecimento matemático”. Ou igualmente: “Colocar alunos em grupos e deixálos
socializar
como
eles
resolvem
seus
problemas”.
Nas
experiências
educacionais brasileiras idéias como essas foram veiculadas de forma maciça e
ocasionaram grandes problemas no que se refere ao papel do ensino e do
professor.
Simon nos relata que em sua experiência com alunos na sala de aula
sempre fazia a pergunta: “como poderia entender o pensamento daqueles
estudantes e como poderia trabalhar com eles para verificar se seriam capazes
de
desenvolver
raciocínios
mais
poderosos?”
Concluindo
que,
nessas
experiências com alunos ficou bem nítida a relação entre o projeto de atividades
do professor e a consideração do pensamento que os alunos podem trazer em
sua participação nessas atividades e que conduzem à formulação da idéia de
trajetórias hipotéticas de aprendizagem.
1.3 Uma Trajetória hipotética de Aprendizagem (THA), segundo
Simon
Simon (1995), defende a idéia de que a consideração do objetivo da
aprendizagem, as atividades de aprendizagem e pensamento e conhecimento dos
estudantes são elementos importantes na construção de uma trajetória hipotética
de aprendizagem, parte chave do que ele denomina Ciclo de Ensino de
Matemática.
No que se refere ao conhecimento dos professores de Matemática, além
de suas hipóteses sobre o conhecimento dos alunos, outros diferentes saberes
profissionais intervêm como por exemplo: teorias de ensino sobre Matemática,
representações matemáticas, materiais didáticos e atividades, e também teorias
sobre como alunos constroem conhecimentos sobre um dado assunto, saberes
esses derivados da pesquisa em literatura e/ou da própria experiência docente.
Durante o desenvolvimento de atividades pelos professores, um objetivo
inicial planejado geralmente deveria ser modificado muitas vezes (talvez
continuamente), durante o estudo de um conceito matemático particular. Quando
24
os alunos começam a comprometer-se nas atividades planejadas, os professores
deveriam “comunicar-se” com as observações dos alunos, nas quais eles
formatam novas idéias sobre esse conceito. Assim, o ambiente de aprendizagem
envolve resultados da interação entre o professor e os alunos e como eles se
engajam em um conteúdo matemático.
Simon 1995, refere-se a um comentário de Steffe (1990): um professor
pode propor uma tarefa; contudo, como os alunos constroem suas tarefas e suas
experiências é que vai determinar seu potencial de aprendizagem. Assim por
exemplo, se um aluno dá uma resposta a um problema elaborado pelo professor
e, no entendimento do professor não foi uma compreensão adequada sobre
conceitos ou procedimentos envolvidos, isso deve resultar num novo objetivo de
ensino sobre o assunto. Este objetivo, temporariamente, substitui o original.
Simon afirma ainda que, em suas experiências, a discussão na sala de
aula o impulsionou a reexaminar diversos conhecimentos para favorecer a
elaboração do seu “mapa conceitual”4 e destaca que o uso do termo “mapa” neste
contexto é para enfatizar que o conhecimento do professor serve como um mapa
que traduz como ele se empenha na construção da compreensão dos alunos e
identifica o potencial de aprendizagem.
Ressalta que o que foi observando em seus alunos mudou suas
perspectivas sobre o conhecimento dos alunos e sua perspectiva na concepção
Matemática envolvida (seu mapa interno). Esta reorganização de perspectivas
contribuiu para a modificação de seus objetivos, planos para atividades de
ensino/aprendizagem que havia elaborado anteriormente.
____________
4
O uso do termo “mapa” neste conceito é para enfatizar que o conhecimento do professor sirva como um
mapa, como ele se empenha na construção da compreensão dos alunos e identifica o potencial de
aprendizagem (Simon, 1995, p. 9)
25
1.4 O processo de Ensino de Matemática, segundo Simon
A análise do episódio de ensino vivenciado por Simon contribuiu para o
desenvolvimento do Ciclo de Ensino Matemático (Figura 1), como um modelo de
inter-relações cíclicas dos aspectos do conhecimento do professor, pensamento,
tomada de atitudes.
Trajetória Hipotética de Aprendizagem
Figura 1. Ciclo de ensino de matemática abreviado (Simon, 1995, p. 55)
Simon refere-se a hipóteses sobre o conhecimento dos alunos para
enfatizar que não temos acesso direto ao conhecimento deles. E destaca:
Como professor, minha concepção do conhecimento matemático
dos alunos, está estruturada pelo meu conhecimento da
Matemática em questão. Convenientemente, o que observei no
gosto pelo pensamento matemático dos alunos e meu
entendimento das idéias matemáticas envolveram interconexões.
Estes dois fatos são interessantes na esfera do ensino do
professor (SIMON, 1995, p. 29).
26
E faz uma referência a Stefe (1990) para o qual, usando seu próprio
conhecimento matemático, os professores de Matemática devem interpretar a
linguagem e as ações dos seus alunos e tomar decisões sobre possíveis
conhecimentos matemáticos dos alunos e sua possibilidade de aprendizagem.
Para Simon a meta de aprendizagem que o professor tem para seus
alunos, com os objetivos de aprendizagem e as atividades de ensino é que
possibilitará uma direção para uma trajetória hipotética de aprendizagem, dando
ao professor a possibilidade de construir seu projeto de decisões, baseado em
suas melhores suposições de como o conhecimento poderia ser processado.
1.5 Composição da Trajetória hipotética de aprendizagem, segundo
Simon
Uma trajetória hipotética de aprendizagem – THA – é composta por três
elementos:
o objetivo do professor com direções definidas para a aprendizagem de
seus alunos;
as atividades de ensino;
o processamento hipotético de aprendizagem (uma suposição de como
o pensamento e o entendimento dos alunos será colocado em ação no
contexto de aprendizagem das atividades).
A criação das possibilidades de modificações da trajetória hipotética de
aprendizagem é a parte central do modelo em que está diagramado na figura
abaixo.
27
Figura 2. Elementos que compõem uma trajetória Hipotética de Aprendizagem
Para Simon apud Pires (2009), a noção da Trajetória Hipotética de
Aprendizagem (THA), pressupõe a importância da relação entre a meta
pretendida e o raciocínio sobre decisões de ensino e a hipótese sobre esse
percurso. Para ele, o desenvolvimento de um processo hipotético de
aprendizagem e o desenvolvimento de atividades de aprendizagem tem uma
relação simbólica e a geração de idéias para atividades de aprendizagem é
subordinada à hipótese do professor sobre o desenvolvimento do pensamento e
aprendizagem de seus alunos.
A escolha da palavra “trajetória” é significativa para designar um caminho.
Simon convida a uma analogia:
Façamos uma analogia: considere que você tenha decidido viajar
ao redor do mundo para visitar, na seqüência, lugares que você
nunca tinha visto. Ir para a França, depois Havaí, depois
Inglaterra, sem uma série de itinerário a seguir. Antes, você
adquire conhecimento relevante para planejar sua possível
jornada. Você faz um plano. Você pode inicialmente planejar toda
28
a viagem ou uma única parte dela. Você estabelece sua viagem
de acordo com seu plano. No entanto, você deve fazer constantes
ajustes, por causa das condições que irá encontrar. Você continua
a adquirir conhecimento sobre a viagem e sobre as regiões que
você deseja visitar. Você muda seus planos a respeito da
seqüência do seu destino. Você modifica o tamanho e a natureza
de sua visita, de acordo com o resultado da interação com as
pessoas no decorrer do caminho. Você adiciona os destinos à sua
viagem e que não eram de seu conhecimento. O caminho que
você utilizará para viajar é sua “trajetória”. O caminho que você
antecipa em algum ponto é a sua “trajetória hipotética”. (SIMON,
1995, p. 35)
1.6 A elaboração de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem,
(THA)
Pires (2009), nos relata em seu artigo, que no texto escrito por Simon
(1995) ele destaca que a geração de uma THA prioriza buscar as formas pelas
quais o professor desenvolve seu planejamento em atividades de sala de aula,
mas também identifica como o professor interage com as observações dos
alunos, coletivamente, constituindo uma experiência e construindo novos
conhecimentos.
Esta experiência pela essência da sua construção social é
diferente das primeiras antecipações dos professores.
Simultaneamente ocorre uma construção social de atividades em
sala de aula e a modificação das idéias e conhecimento do
professor, que ele vai construir em função do que está
acontecendo ou do que aconteceu na sala de aula. (SIMON,
1995, p. 35).
O diagrama da figura 1, mostrado anteriormente, indica que a avaliação do
pensamento do aluno (com constantes idas no modelo de ensino apresentado),
pode trazer muitas adaptações a respeito de qualquer conhecimento do professor,
possibilitando uma nova ou modificada trajetória hipotética de aprendizagem.
Simon destaca a relação entre os vários domínios do conhecimento do
professor, a trajetória hipotética de aprendizagem, e as interações com os alunos
(figura 3). O conhecimento matemático do professor contribui para a identificação
de um objetivo de ensino. Estes domínios de conhecimento, a meta de ensino e o
conhecimento da representação das atividades matemáticas para o professor,
29
seu conhecimento sobre a aprendizagem individual do aluno bem como a
concepção de aprendizagem e ensino (ambos em geral dentro da Matemática)
contribuem para o desenvolvimento de atividades de aprendizagem e processos
de aprendizagens hipotéticas.
Figura 3. Domínios do conhecimento do professor, trajetória hipotética de aprendizagem e
interações com os alunos (Simon, 1995, p. 57)
Simon nos alerta quanto à mudança da trajetória hipotética de
aprendizagem, alegando que:
O professor está constantemente comprometido em ajustar a
trajetória de aprendizagem que “hipotetisou”, para melhor refletir
seu aumento de conhecimento. Ele está constantemente
percebendo a extensão das modificações e transformações que
podem ser construídas por algum ou todos os componentes da
trajetória hipotética de aprendizagem: o método, as atividades e o
processamento hipotético da aprendizagem. (SIMON, 1995, p. 27)
30
1.7 Outras contribuições para a reflexão sobre THAs
Pires (2009), nos relata que no artigo de Pedro Gómez e José Luis
Lupiáñez, intitulado “Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje en la formación
inicial de profesores de matemáticas de secundaria”5, os autores fazem uma
análise sobre o interesse de diferentes pesquisadores sobre a noção de THAs,
especialmente no que se refere ao processo de formação inicial de professores.
Os autores começam destacando que o interesse pelas THAs foi
reconhecido com a publicação de um número de Mathematics Thinking and
Learning, dedicado à sua discussão (Clements y Sarama, 2004). Steffe (2004,
apud Gomez e Lupiánez) ressalta a relevância desta noção dentro da Educação
Matemática da seguinte forma:
A construção de THAs dos alunos é um dos desafios mais
urgentes que a educação matemática enfrenta atualmente. É
também um dos problemas mais apaixonantes, pois é ali onde
podemos construir nossa compreensão da matemática dos alunos
e, de que forma, nós professores, podemos influir nessa
matemática. (GOMEZ y LUPIÁNEZ, apud PIRES 2009, p. 21)
E acrescenta, mesmo que os diversos investigadores reconheçam os três
elementos centrais da THA (objetivos de aprendizagem, tarefas matemática e
hipóteses sobre o processo de aprendizagem) e aceitem os quatro pressupostos
mencionados anteriormente, cada um interpreta e usa a noção com propósitos e
maneiras distintas. Para Gomez e Lupiáñez são perceptíveis dois usos
claramente diferenciados: como ferramenta de investigação e como ferramenta
para planejamento.
Gómez e Lupiáñez (2007) esclarecem que em todos os trabalhos
desenvolvidos ocorreram exemplos de THA em temas específicos e que os
investigadores assumiram o papel de professores em aulas reais.
____________
5
Os trabalhos de Steffe (2004), Lesh e Yoon (2004) e Clements, Wilson e Sarama (2004) são trabalhos
essencialmente de investigação nos quais se explora a THA para temas específicos.
Por outro lado, os trabalhos de Gravemeijer (2004) e Simon e Tzur (2004) mesmo explorando também THA,
preocupam-se com maior ênfase por seu uso no planejamento do professor. Finalmente, o trabalho de
Batista (2004) centra-se na avaliação.
31
Mesmo que haja professores que participam de alguns projetos,
não são eles que produzem os resultados das explorações. De
fato, alguns destes trabalhos, como o de Steffe (2004) e de
Gravemeijer (2004), vêem a construção de THAs como um
trabalho do investigador, cujos resultados podem apoiar o trabalho
do professor. (GOMEZ y LUPIÁNEZ, apud PIRES, 2009, p. 22)
E destacam que uma das principais diferenças de interpretação da noção
entre esses investigadores tem a ver com o nível de concretização com que a
utilizam: desde o planejamento de várias aulas, até o trabalho com atividades
específicas numa parte de uma aula. Vejamos algumas análises feitas por Gómez
e Lupiáñez sobre alguns autores citados por Pires (2009).
Gravemeijer (2004) indica que sua proposta de teorias locais de ensino é a
“descrição e a fundamentação para o caminho de aprendizagem prevista em sua
relação a uma coleção de atividades de ensino para um tema” (p. 107).
Steffe (2004), Lesh e Yoon (2004) também utilizam a noção para descrever
a aprendizagem dos estudantes ao longo de várias sessões nas quais se trabalha
um tema.
Simon e Tzur (2004) vêem a THA como uma ferramenta para o
planejamento de atividades matemáticas no dia-a-dia de uma aula.
Finalmente Baroody, Cibulskis, Lai y Li (2004) sugerem que a noção de
THA pode ser utilizada para promover o “desenvolvimento micro-conceitual”,
sendo esta a atividade central do ensino na aula.
Uma questão importante discutida por Gómez e Lupiáñez (2007) indaga
sobre a relação que há entre a atividade diária do professor e a noção de THA.
Para eles, um aspecto ligado à atuação do professor tem a ver com o caráter
reflexivo inerente à noção de THA: “há uma relação reflexiva em que a THA é o
subsídio de juízos e decisões locais que, por sua vez, modificam a THA
(Gravemeijer, Cobb, Bowers e Whitenack, 2000, pp. 249-250, apud Gómez e
Lupiáñez).
Gómez e Lupiáñez destacam que, em seus trabalhos, Simon e Tzur (2004,
p. 93), também enfatizam o papel do professor na construção e revisão
permanente da THA. Mas mostram um desafio: como fazer compatível o
32
propósito de que seja o professor quem construa a revisão da THA com o fato
que a totalidade dos exemplos que se tem de THA foram desenvolvidos por
investigadores que assumiram o papel de professor?
Para Gómez e Lupiáñez (2007), propostas como as desenvolvidas por
Steffe (2004), Lesh e Yoon (2004) são tão complexas e técnicas que acabam
sendo pouco prático para os professores. Por outro lado, as propostas de Simon e
Tzur (2004) e Gravemeijer (2004) têm um caráter essencialmente prático.
Gómez e Lupiáñez lembram que outro ponto essencial é referenciado por
Baroody, Cibulskis, Lai e Li (2004, p. 233). Eles nos alertam para o fato de que a
validade ecológica se conquista à custa da falta de universalidade: se é
comprovado que uma THA é válida em uma circunstância particular (em um
contexto e com alguns estudantes e um professor particular), isto não quer dizer
que essa THA tenha sentido em outras circunstâncias.
Gómez e Lupiáñez trazem ao debate preocupações como as expressas por
Gravemeijer (2004, p. 107) que reconhece a dificuldade que teriam os professores
para construir THA como as que são produzidas pelos investigadores. No entanto,
isso não quer dizer que a única coisa que se pode entregar aos professores
sejam meras seqüências de ensino para usar. Ele sugere dois elementos que
podem ser úteis para os professores: (a) um marco de referência e (b) seqüências
de atividades que lhes sirvam de exemplo. Mas questiona: porém, que pode fazer
um professor com esta informação? Como pode usá-la para produzir e revisar
sistematicamente sua própria THA para um tema, um contexto e alunos reais?
1.8 Algumas Considerações e reflexões do nosso grupo de
pesquisa G16
As reuniões realizadas no nosso grupo de pesquisa nos proporcionaram
algumas reflexões que foram citadas por Pires (2009) em seu artigo.
____________
6
G1, Grupo de Pesquisa „Organização, Desenvolvimento Curricular e Formação de Professores‟,
coordenado pelos Professores Doutores: Célia Maria Carolino Pires e Armando Traldi Junior.
33
Entre as discussões realizadas podemos destacar algumas questões que
nos remeteram às seguintes reflexões:
Como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com
a planificação do ensino e de como as contribuições das pesquisas na
área de Educação Matemática, que trazem resultados importantes sobre
a aprendizagem podem contribuir para a organização de um ensino que
potencialize boas situações de aprendizagem dos alunos?
Encontramos no trabalho de Simon elementos importantes que podem nos
ajudar a responder a estas questões.
Primeiramente, sua posição em afirmar que as visões construtivistas da
aprendizagem têm dado sustentação a fundamentos teóricos na pesquisa no
campo da Educação Matemática e que podem dar pistas importantes para que os
professores possam compreender e antecipar a forma de construção de
conhecimentos matemáticos de seus alunos.
O grupo considera particularmente importante o alerta de Simon no sentido
de que o construtivismo também aponta um desafio para a Educação Matemática,
qual seja o de desenvolver modelos de ensino em que a construção de
conhecimentos seja tomada como perspectiva teórica, advertindo também que a
Educação Matemática não produzirá métodos com idéias fixas ou plataformas
para as ações docentes e as estruturas metodológicas deverão sempre suportar
transformações experimentais. Para Simon, o Ciclo de Ensino Matemático retrata
uma visão das resoluções construídas pelo professor, a respeito do conteúdo e
das tarefas, modeladas pelo encontro de uma perspectiva do construtivismo
social com o desafio das aulas de Matemática. Nesse Ciclo, são particularmente
importantes, algumas premissas:
(a) O pensamento/entendimento dos estudantes é especialmente
considerado e tem o lugar central na formatação e
implementação de instruções. O pensamento/entendimento é
um processo contínuo do conjunto de dados e hipóteses
construídas.
(b) O conhecimento do professor envolve-se simultaneamente
com o crescimento do conhecimento do aluno. Como os
alunos estão aprendendo Matemática, o professor está
aprendendo sobre Matemática, aprendendo, ensinando, a
respeito do pensamento matemático dos seus alunos.
34
(c) O planejamento das instruções é parecido com a inclusão, a
criação de uma trajetória hipotética de aprendizagem. Esta
visão reconhece e valida o método de ensino do professor e a
importância de hipóteses sobre o processamento da
aprendizagem dos alunos (idéias nas quais eu espero ter
demonstrado que não estão em conflito com o construtivismo).
(d) A transformação continuada do conhecimento do professor
cria mudanças contínuas na sua própria trajetória hipotética de
aprendizagem.
Pires destaca ainda que a leitura dos textos, motivou a ampliação das
discussões sobre a atuação do professor de Matemática no que se refere às
atividades de planejamento do ensino e que leve em conta que o aluno
desempenha papel central na construção de suas aprendizagens.
Lembrando que a esse respeito, Simon destaca que indicações para o
professor sobre a importância da interação de pequenos grupos e a manipulação
de materiais, por exemplo, podem ser instrumentos valiosos nas mãos dos
professores de Matemática. No entanto, estes instrumentos não são suficientes
para permitir que os professores sejam arquitetos da produção de situações de
aprendizagens que resultem num crescimento conceitual de seus alunos.
Professores novatos, por exemplo, muitas vezes questionam o conhecimento de
seus alunos, consciente ou inconscientemente, esperando que no mínimo um
aluno esteja habilitado a explicar sua idéia para os outros. E perguntam o que
devem fazer com um grupo de alunos, para que construam conceitos
matemáticos.
Pires ressalta que essas situações são bastante comuns na educação
brasileira hoje. Nos cursos de formação inicial de professores a disciplina
chamada “Prática de Ensino” e mesmo as atividades de estágio, de modo geral,
estão bastante defasadas no que se refere a estudos sobre os elementos que
possibilitem ao futuro professor a construção de trajetórias hipotéticas de
aprendizagem, tanto em termos teóricos como em termos práticos.
35
1.9 Revisão Bibliográfica sobre o ensino e aprendizagem da
Trigonometria
Para nos auxiliar no desenvolvimento deste trabalho, fizemos um
levantamento de pesquisas na biblioteca da PUC-SP e Unesp-Rio Claro,
consultando os trabalhos relacionadas ao ensino de Trigonometria. Elaboramos
então um resumo desses trabalhos, focando: objetivo, questão de pesquisa, a
fundamentação teórica, a metodologia e os principais resultados.
Briguenti (1994), com objetivo de diagnosticar as dificuldades básicas e
erros mais freqüentes e significativos bem como o desenvolvimento cognitivos
dos alunos, aplica um teste envolvendo conceitos básicos de trigonometria em
três turmas que iniciavam Ensino superior em 1992. Uma turma do Curso de
Licenciatura em Matemática, outra do Curso de Bacharelado em Ciências da
computação e outra do Curso de Bacharelado em Química, constatou que esses
alunos apresentavam diversos erros e falhas conceituais relacionadas a este
tema. Propõe então, uma pesquisa, com objetivo de verificar se a proposta
sugerida por ela propiciava a aprendizagem e a descoberta dos conceitos
trigonométricos, verificando o envolvimento dos alunos tanto com o assunto
trabalhado como também entre os alunos e professores e, ainda, se ela
propiciava momentos de reflexão e de discussões entre os alunos.
Fundamenta seu trabalho nas teorias de: Jean Piaget, Jerome Brumer,
David Ausubel e outros teóricos cognitivistas.
Desenvolve uma sequência de atividades e leva para a sala de aula. A
primeira parte da atividade foi aplicada a alunos de uma 8ª série do Ensino
fundamental e a outra parte a alunos da 2ª série do Ensino Médio de uma escola
pública do interior de São Paulo.
Analisando os resultados obtidos a autora constata que ao propor uma
sequência de atividades utilizando a Teoria proposta por Ausubel chamada de
Aprendizagem Significativa, contrapõe-se à metodologia tradicional da escola e
favorece a relação amistosa entre professor e aluno, ficando evidente a interação
36
social, provocando reflexões sobre o tema abordado e um desenvolvimento no
pensamento lógico-matemático.
Apesar dos resultados na aplicação experimental terem sido positivos, não
deixa de externar algumas preocupações quanto à influência do entusiasmo dos
aplicadores que podem ter influenciado nos resultados encontrados e não
considera o trabalho concluído, podendo sofrer alterações, ao longo do tempo.
Ao término da sua pesquisa de mestrado em 1994, Briguenti destaca
algumas preocupações que poderiam ter influenciado nos resultados obtidos e
propõe uma nova pesquisa utilizando a mesma sequência de atividades para
verificar as preocupações explicitadas e apontar para novas questões não
levantadas no primeiro trabalho.
Briguenti (1998) desenvolve sua pesquisa com objetivo de investigar se a
proposta sugerida por ela pode ser apropriada pelos professores no dia-a-dia em
diferentes situações de ensino e em diferentes turnos e escolas, e investigar o
envolvimento dos alunos durante o desenvolvimento das atividades relacionadas
ao tema da trigonometria.
Neste novo trabalho Briguenti continuou se fundamentando na teoria
cognitivista de David Ausubel, conceituada de Aprendizagem Significativa, utilizase de uma metodologia qualitativa de cunho interpretativo baseada nas idéias de
Bogdan e Biklen (1994), e Ludke e André (1996), propondo então a mesma
sequência de atividades, agora realizada pelos próprios professores em classes
de 2º grau de uma escola da rede de Ensino do Estado de São Paulo na cidade
de Bauru.
Analisando os resultados obtidos a autora constatou que a proposta
investigada facilitou o processo instrucional das professoras que a utilizaram,
exigindo a participação ativa dos alunos na construção do seu conhecimento,
possibilitando assim um pensamento reflexivo por parte dos alunos e na prática
dos professores.
Costa (1997) ao constatar durante a realização de uma investigação das
concepções dos alunos ao término do 2º grau e início do 3º grau e verificar que os
mesmos não conseguiam diferenciar o gráfico de uma função polinomial de
37
primeiro e segundo graus colocados diante das funções seno e cosseno,
desenvolve sua pesquisa de mestrado na PUC-SP, com objetivo de construir uma
seqüência didática para investigar a influência de dois contextos, o do computador
e o do mundo experimental na aprendizagem das funções trigonométricas seno e
cosseno.
Ao propor uma sequência de atividades por meio do computador e do
mundo experimental, Costa (1997) levanta algumas questões: Será que o CabriGeometric pode auxiliar a visualização da geometria e da trigonometria,
permitindo ao aluno compreender suas relações e propriedades? O aprendizado é
efetivo, ou o aluno compreende apenas momentaneamente a proposta? O
trabalho com Cabri-Geometric leva o aluno a fazer transferências de conteúdo?
Será que a trigonometria, tal como vem sendo trabalhada tradicionalmente nas
escolas, não é mais uma daquelas coisas que se aprende para usar no “futuro”?
O estudo da trigonometria fica isento de interesse e significado já que o aluno não
consegue fazer uma representação do que está ocorrendo?
Costa (1997) aplica as atividades a um grupo de 32 alunos, divididos em 3
sub-grupos, sendo o primeiro grupo de referência com atividades realizadas em
uma sala de aula tradicional, o segundo grupo iniciou as atividades no
computador, depois pelo mundo experimental e por fim o terceiro grupo com
atividades no mundo experimental, passando a seguir para o computador.
Para o desenvolvimento de tais atividades, buscou auxílio tanto na
psicologia cognitiva, quanto na didática da matemática, utilizando a Função
Simbólica e Conhecimento Figurativo de Piaget (1977), os conceitos de Mediador
e de Zona de Desenvolvimento Proximal de Vygotsky (1991, 1993), a Teoria dos
Campos Conceituais de Vergnoud (1987), o estudo do Significado da Situação de
Nunes (1993), a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1986), a dialética
ferramenta-objeto e o jogo de quadros de Douady (1986), a noção de Obstáculos
de Bachelard (1965) e os Registros de Representação de Duval (1988).
A autora constata que ao analisar os resultados da pesquisa pode perceber
um crescimento na formação e desenvolvimento dos conceitos trigonométricos e
o quanto é proveitoso trabalhar em dois ambientes, pois ao aplicar os testes nos
38
três grupos observou uma melhora significativa no segundo e no terceiro grupo,
enquanto que o primeiro grupo não teve quase nenhum avanço.
Nascimento (2005), com objetivo de construir uma tabela trigonométrica
com base em levantamentos históricos dos trabalhos de Ptolomeu e outros
Matemáticos da Grécia Antiga para investigar apropriação do significado dos
conceitos das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, no triângulo
retângulo, por estudantes do 1º ano do Ensino Médio, desenvolveu um estudo na
PUC-SP para responder as seguintes questões:
Como ensinar trigonometria no triângulo retângulo de maneira significativa?
Quais os fatores influenciam a aquisição de tais conhecimentos? e Como
distanciar a utilização da Trigonometria no Ensino Médio da mecanização?
Para responder suas questões de pesquisa propõe a construção de uma
tabela trigonométrica por estudantes do primeiro ano do Ensino Médio,
desenvolvendo um estudo sobre:
A importância atribuída por Vygotsky (1991) à interação social, à linguagem
e a simbolização no progressivo domínio de um campo conceitual pelos alunos, a
Concepção de Campo Conceitual apresentado por Vergnaud (1987) e também do
modelo de Quadro Teórico de Ensino da Geometria apresentado por Parzysz
(1979, 1992)
Para atingir seu objetivo elaborou uma sequência de ensino para alunos do
primeiro ano do ensino médio, utilizando alguns elementos da engenharia didática
elaborada por Michele Artigue (1990), dando ênfase à Teoria das Situações
Didáticas propostas por Brousseau (1986), na qual a responsabilidade pela
solução das atividades é do aluno, cabendo ao professor a valorização das
questões trazidas por eles e partilhadas pelos colegas.
Nascimento (2005) considera que foi possível perceber que os alunos
tiveram pouco contato com a Geometria tanto no Ensino Fundamental, quanto no
Ensino Médio, ficando claro a pouca familiaridade com os instrumentos oferecidos
como: régua, compasso, transferidor e esquadro. Também apresentaram
dificuldades estruturais quanto ao cálculo algébrico, no entanto, foi possível
39
perceber um avanço cognitivo significativo quanto às categorias de análise e
investigação.
Quanto às respostas para as questões de pesquisa, a autora não garante
que o conhecimento seja adquirido pelo aluno por meio de um conjunto
metodológico de elaboração e aplicação de uma sequência didática, sendo
necessário diagnosticar os conhecimentos prévios dos alunos, pois são fatores
que podem influenciar na aprendizagem, mostrando aos alunos que a educação é
um processo formativo e qual a importância de um determinado conteúdo.
Em 2005 Silva, desenvolve na PUC-SP outra pesquisa relacionada à
trigonometria e tem como objetivo investigar uma abordagem do ensino da
trigonometria no triângulo retângulo, partindo do seguinte questionamento;
Será que uma sequência de ensino enfatizando as construções e
transformações geométricas articuladas ao tratamento figural proporcionariam
uma apreensão significativa dos conceitos relacionados à trigonometria no
triângulo retângulo para o aluno do Ensino Médio?
O autor desenvolve sua pesquisa com base na Dialética-ferramenta-objeto
proposta por Douady, (1995), na qual aborda a relação dialética na produção de
conceitos para o aluno, onde os conhecimentos antigos servem de ferramenta
para analisarmos uma situação nova. Outro teórico que serviu para implantação
da proposta desenvolvida por Silva foi Duval, (1995) que utiliza os registros de
representação, sobretudo o tratamento figural, o ótico e o posicional dos registros,
pois segundo Duval, os registros de representação são instrumentos facilitadores
do processo ensino aprendizagem.
Silva inicia sua pesquisa com um estudo da evolução dos conceitos de
trigonometria no triângulo retângulo nos livros de história da matemática e da
abordagem no processo de ensino-aprendizagem, analisando livros atuais e as
propostas curriculares. À partir dessa análise elabora uma sequência didática
composta
por
algumas
situações-problemas
utilizando
os
princípios
da
Engenharia Didática proposta por Michele Artigue.
Esta sequência didática foi proposta a um grupo de 13 alunos do primeiro
ano do Ensino Médio de uma escola particular na cidade de São Paulo.
40
O autor observa que houve evolução conceitual dos alunos relacionados
aos conceitos trigonométricos no triângulo retângulo, pois os alunos recorreram
ao tratamento figural e isso contribui para elaboração de conjecturas, no entanto,
ficou claro que houve dificuldades e ineficiência operatória na apreensão
perceptiva das situações propostas.
Observando
os
estudos
realizados
podemos
constatar
que
os
pesquisadores têm a preocupação em buscar novas abordagens para o ensino da
trigonometria, utilizando uma abordagem diferenciada, procurando colaborar no
processo de ensino-aprendizagem de professores e alunos, pois trazem
contribuições por meio de sequências de atividades estruturadas em estudos de
teóricos tanto da Psicologia Cognitiva como da Didática da Matemática. No
entanto, percebemos que essas pesquisas enfrentam certas dificuldades para sair
das academias e chegar até os professores em sala de aula, tornando-se
necessário encontrar mecanismos que possam romper com este paradigma, que
acaba impedindo, desta forma, com a melhoria na qualidade do ensino.
41
CAPÍTULO 2
METODOLOGIA DE PESQUISA
Procurando atingir o nosso objetivo de pesquisa: Analisar a possibilidade
de compatibilizar perspectivas de aprendizagem com a planificação de ensino
relacionada às razões e às funções trigonométricas e verificar a atuação do
professor de matemática diante de uma proposta de ensino, visando uma
perspectiva construtivista e responder nossas questões: Qual a possibilidade de
compatibilizar perspectivas de aprendizagem com a planificação de ensino? E
qual a atuação do professor de matemática diante de uma proposta de ensino,
visando uma perspectiva construtivista? Utilizamos a seguinte metodologia de
pesquisa:
2.1 Abordagem da Pesquisa
A pesquisa é de natureza qualitativa, coletando os dados por meio de
questionários e relatórios de observações que apresentam características
básicas, como as apresentadas por Lüdke e André (1986, 11-13):
A pesquisa qualitativa tem o ambiente natural como sua fonte
direta de dados e o pesquisador como seu principal
instrumento: o desenvolvimento das THAs na sala de aula, as
entrevistas e discussões com os professores aconteceram no
seu local de trabalho: a escola.
Os dados coletados são predominantemente descritivos: foram
feitos os relatórios de todas as aulas e discussões com
professores, que serão analisados no quarto capítulo deste
trabalho.
42
A preocupação com o processo é muito maior do que com o
produto: o interesse principal da investigação não era o de
mostrar que a THA elaborada funciona, mas sim de verificar
qual a atuação do professor e sua interação com os alunos,
tendo como base uma THA elaborada por um pesquisador,
mas debatida junto com ele.
O “significado” que as pessoas dão às coisas e à sua vida são
focos de atenção especial pelo pesquisador: houve uma
grande preocupação em capturar a perspectiva dos
professores, ou seja, compreender sua prática e os
conhecimentos profissionais que têm a respeito do tema
ensinado.
Como este estudo tem uma abordagem qualitativa, observando os
procedimentos adotados pelos professores diante do desenvolvimento das
atividades em sala de aula, quais as suas crenças, suas concepções, sua relação
com os alunos e a interação entre os alunos, pois segundo Bogdan e Biklen:
“O objetivo dos investigadores qualitativos é o de melhor
compreender o comportamento e experimentos humanos. Tentam
compreender o processo mediante o qual as pessoas constroem
significados e descrever em que consistem estes mesmos
significados” (BOGDAN e BIKLEN, 1994, p. 124).
Apresentamos uma proposta de trabalho que procura compreender os
procedimentos adotados pelos professores, as orientações dadas aos alunos
durante o desenvolvimento das atividades, o comportamento dos alunos diante de
uma situação de investigação e suas atitudes na busca de estratégias para a
solução das atividades envolvendo as seguintes etapas:
Primeiramente realizamos encontros envolvendo os integrantes do G1 7
de pesquisa para estudos e discussões dos referenciais teóricos que nos
subdisiaram no desenvolvimento desta pesquisa.
Estudos individuais relacionados às principais pesquisas que aborda o
tema da trigonometria;
Elaboração da primeira versão da THA identificando os objetivos de
aprendizagem;
____________
7
G1, Grupo de Pesquisa „Organização, Desenvolvimento Curricular e Formação de Professores‟,
coordenado pelos Professores Doutores: Célia Maria Carolino Pires e Armando Traldi Junior.
43
Encontro com os professores responsáveis em desenvolver a THA para
apresentação da proposta de trabalho;
Encontro com os mesmos professores para análise e possíveis
alterações na primeira versão da THA;
Fechamento das atividades da THA em conjunto com professores
colaboradores, professor orientador e professor pesquisador;
Definição dos dados a serem observados em sala de aula;
Observação e registros dos fatos observados durante o desenvolvimento
da THA em sala de aula;
Transcrição dos relatórios de observação em sala de aula e dos
relatórios
apresentados
pelos
alunos
e
professores
após
o
desenvolvimento da THA.
2.2 Descrição da trajetória para formação da equipe de trabalho
No início de 2008 tivemos o primeiro contato com os professores, fizemos
uma primeira sondagem para verificar qual interesse tinham em participar do
desenvolvimento de uma pesquisa colaborativa. Entre esses professores, alguns
alegavam que não tinham tempo disponível para o desenvolvimento de um
trabalho no qual requeria tempo para grupos de estudos e entrevistas. Três
destes professores que mostraram interesse e disponibilidade, por isso foram
convidados a participar de uma palestra na universidade “PUC”, para conhecer a
proposta de trabalho.
Nesta oportunidade uma das Professoras, coordenadora do Projeto de
pesquisa, Célia Maria Carolino Pires, apresentou aos professores o que vem a ser
uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem “THA” e qual o seu objetivo,
motivando-os a participar do projeto.
Após aquela reunião, convidamos os professores para outra reunião,
apresentando-os a primeira versão da THA. Neste momento tiveram a
oportunidade de opinarem e darem sugestões para alteração da sequência de
44
atividades, surgindo aí a segunda versão da THA, a qual foi levada para sala de
aula e será apresentada a seguir.
Dos três professores que iniciaram este processo, apenas um deles
continuou como colaborador no desenvolvimento das atividades em sala de aula,
devido ao regime de contratação de trabalho “OFA”8, durante o ano de 2009, as
outras professoras não conseguiram ministrar aulas no Ensino Médio, sendo
necessário contatar outros dois professores para continuarmos o projeto.
2.3. Cenário da Pesquisa
2.3.1. Caracterização das Escolas
A primeira escola na qual chamaremos de E1, está localizada município de
Carapicuíba, na grande São Paulo, funciona em três períodos, manhã, tarde e
noite, com um total de 2070 alunos e 78 professores. Do total de alunos
matriculados, 1235 estão no Ensino Fundamental divididos no período da manhã
e da tarde e 835 no Ensino Médio divididos no período matutino e noturno. Do
total de 78 professores, 42 são efetivos e 36 são OFAs.
A segunda escola chamaremos de E2, também localizada no município de
Carapicuíba, funciona em dois períodos, manhã e tarde, com 897 alunos
matriculados, sendo que desses, 500 estão matriculados no Ensino Fundamental
e 397 no Ensino Médio. Dos 52 professores que ministram aulas nesta escola, 14
são titulares de cargo e 38 são OFAs.
A terceira escola, chamaremos de E3, Localizada no Município de Barueri,
funciona nos três períodos, é uma escola compartilhada entre o estado e a
prefeitura, ficando a cargo da prefeitura o Ensino Fundamental e o estado com o
Ensino Médio, com um total de 1112 alunos matriculados, sendo que desse total,
706 estão matriculados no Ensino médio matutino e 406 no Ensino Médio
noturno.
____________
8
Professores OFAs, “Ocupantes de Função Atividade”, contratados por um período de um ano.
45
2.3.2. Caracterização dos professores.
Como tivemos uma preocupação em compreender a perspectiva dos
professores, suas crenças, suas concepções e conhecer sua prática e os
conhecimentos profissionais, elaboramos um questionário9 contendo algumas
informações acadêmicas e profissionais. A partir desses dados elaboramos uma
síntese das respostas dadas por esses professores.
Com
objetivo
de
preservarmos a
identidade
desses professores,
utilizaremos as siglas, P1, P2 e P3 para identificá-los.
2.3.2.1. Professor P1
No questionário apresentado à professora P1, nos respondeu que está no
magistério há 24 anos, formada em Matemática no ano de 1987, leciona na
Escola 1, tanto o ensino Fundamental e Médio, possui alguns cursos de
extensão10 no magistério, alegando nunca participar de trabalho colaborativo em
sua escola por falta de tempo.
Questionada se utiliza metodologia ou estratégias diferenciadas durantes
as aulas, a professora respondeu que sim, aplicando jogos de raciocínio de
memória como sudoku e numerox, trabalhando também com outros recursos
além de livros didáticos, paradidáticos, por exemplo, como “Ensinar e Aprender
Matemática e Experiências Matemáticas”.
Para abordar o tema da trigonometria a professora, geralmente, inicia com
situações do dia a dia do aluno, como aparelhos utilizados na medicina, as ondas
sonoras e os fenômenos físicos.
A colaboradora alega que o manuseio com compasso, régua, transferidor e
interpretação das situações apresentadas são as principais dificuldades
apresentadas pelos alunos na abordagem relacionada a este assunto, e que
____________
9
Ver anexo I
Rede do Saber “Práticas de Leitura na Comtemporâneidade” “PUC-SP” no ano 2006/2007. Ensino Médio
em Rede pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo no ano de 2007.
10
46
costuma trabalhar com a resolução de problemas para aplicar o conceito de
trigonometria, não fazendo uso de software matemático para o estudo de gráficos
em suas aulas por falta de sala de informática na escola, procurando
contextualizar ao abordar questões relacionadas a este tema, levando o aluno a
conhecer um pouco mais a este respeito, não apenas os cálculos.
2.3.2.2. Professor P2
O segundo professor, formado em 2003, está no magistério há sete anos,
leciona para o Ensino fundamental e Ensino Médio na Escola 2, fez curso de
aperfeiçoamento, já participou de trabalho colaborativo envolvendo os professores
de todas as disciplinas num projeto chamado de “Horta Ecológica”.
Ao ser questionado se utiliza alguma metodologia ou estratégias de ensino
diferenciadas disse que sim, sempre que pretende iniciar algum conteúdo propõe
a construção de competências para a solução, utilizando revistas, dicionários,
livros diversos, áudio e vídeo.
Para iniciar o ensino da trigonometria sempre parte de construções das
figuras geométricas e suas aplicações, pois acredita que se o aluno não conhecer
bem as figuras geométricas não é possível ter êxito no estudo da trigonometria.
O professor diz que a falta de conhecimentos dos instrumentos de medida
e das figuras geométricas são as principais dificuldades que os alunos enfrentam
para estudar trigonometria e que ao abordar este tema propõe atividades por
meio de resolução de problemas. Justificou não fazer uso de software matemático
para o estudo de gráficos em suas aulas por falta de instalação da sala de
informática na escola e que costuma contextualizar ao abordar questões
relacionadas a este tema.
47
2.3.2.3. Professor P3
A Professora 3 trabalha na E3, formada em Matemática tem 22 anos de
magistério leciona no Ensino Médio, atualmente é aluna de um curso de mestrado
numa universidade em São Paulo e diz que nunca participou de trabalho
colaborativo.
No questionário apresentado, a professora nos relatou que trabalha com
estratégia de resolução de problemas e desafio, utilizando recursos como revistas
e pesquisas além do livro didático. Para abordagem do ensino da trigonometria
faz um levantamento prévio do conhecimento dos alunos, confrontando os seus
conhecimentos e o que está sendo ensinando.
Alega que as maiores dificuldades enfrentadas pelos alunos ao estudar
este assunto são dificuldades básicas com operações e proporcionalidade,
trabalhando por meio de resolução de problemas, tenta utilizar software
matemático para o estudo de funções, porém a sala de informática da escola está
em reforma.
Costuma contextualizar ao abordar trigonometria, por meio de discussão
com o que os alunos sabem, mostrando o conceito para eles verem o que
aprenderam.
2.3.3. Apresentando as unidades de observação
Após a coleta de dados por meio de relatórios descritivos durante o
desenvolvimento das atividades em sala de aula, fizemos a descrição dos dados
coletados na expectativa de responder às nossas questões de investigações, pois
de acordo com (Bogdan e Biklen, 1994), a análise dos dados podem ser feitos
concomitantemente com a coleta dos dados ou após sua coleta.
Ao realizar uma pesquisa por meio de um estudo de caso podemos
descrever um fenômeno intensamente, porém não é possível conhecer tudo em
relação a este objeto, portanto acreditamos que vários detalhes escaparão da
análise diante de nossas observações e registros.
48
2.3.4. Unidades de observação
Na tentativa de compreender como se dá o processo de ensino e
aprendizagem, a escolha das unidades de observação que utilizamos está
baseado na nossa fundamentação teórica, pois segundo Simon (1995, p. 4), “o
desenvolvimento do conhecimento está presente no professor ou no ensino
realizado”.
Os objetivos de aprendizagem, as atividades de aprendizagem o
pensamento e as hipóteses de aprendizagens dos alunos, atitudes adotadas
pelos professores, a interação mantida com alunos, as intervenções realizadas
durante o processo, o comprometimento que os alunos mantém durante o
desenvolvimento das atividades são elementos importantes para construção do
conhecimento, no entanto a maneira como os alunos se interagem com as tarefas
é quem determina o potencial de aprendizagem.
“O ambiente de aprendizagem envolve resultados da interação
entre o professor e os alunos e como eles se engajam em um
conteúdo matemático. Um professor pode atribuir uma tarefa,
contudo como os alunos constroem suas tarefas e suas
experiências é quem determinam seu potencial de aprendizagem”
(SIMON, 1995, p. 8).
Percebemos que a aprendizagem é um processo complexo, envolvendo
interações, atitudes e boas situações de intervenções e está centrado tanto no
professor quanto no aluno, portanto não basta uma boa sequência de ensino é
necessário que haja participação e envolvimento de todos num processo dialógico
e continuo.
No próximo capítulo apresentaremos a segunda versão de nossa THA
seguida de uma síntese dos dados coletados por meio de relatórios descritivos
durante a realização das atividades em sala de aula.
49
CAPÍTULO 3
ELABORAÇÃO DA THA
Para elaboração da nossa THA, além de realizarmos um levantamento
sobre as pesquisas que falam sobre trigonometria, consultamos também alguns
livros didáticos, que fazem referências a este tema. Faremos um breve relato de
alguns que contribuíram para a estruturação do nosso trabalho.
Na coleção de 11 volumes apresentados por Iezzi (2004), o terceiro volume
é dedicado ao estudo da trigonometria e parte das Razões Trigonométricas no
Triângulo Retângulo, passando pela Trigonometria na Circunferência e chegando
ao estudo das funções trigonométricas.
Outro livro consultado foi proposto por Dante (2005), em volume único,
inicia também com o estudo da Trigonometria no Triângulo e chegando até o
estudo das funções trigonométricas.
Bonjorno e Giovani (2000), apresentam uma coleção para o Ensino Médio
em três volumes. O primeiro volume faz referências ao estudo da trigonometria
nos triângulos e no segundo volume a trigonometria na circunferência.
Como já fizemos referência na revisão bibliográfica, os trabalhos que
trouxeram grandes contribuições para o desenvolvimento desta dissertação foram
as pesquisas desenvolvidas por Briguenti em 1994 e 1998.
Um dos instrumentos utilizados para desenvolvermos as atividades em
ambiente computacional, foi o livro de Silva (2002), professor da disciplina de
Cálculo do Mestrado Profissional da PUC-SP.
50
Analisando os trabalhos desenvolvidos por esses autores, iniciamos a
construção da THA dando ênfase às razões trigonométricas no triângulo retângulo
e ao estudo das funções trigonométricas seno e cosseno.
Cada uma das atividades apresentadas têm um objetivo geral e para
atingir a este objetivo elaboramos tarefas com objetivos específicos.
3.1 Apresentando a THA
Neste capítulo apresentamos a última versão da THA que foi levada para
sala de aula para ser desenvolvida com os alunos. Mostraremos a primeira versão
que foi adaptada seguindo sugestões dos colaborados nos anexos11.
Ao apresentarmos a primeira versão da THA para os colaboradores, fomos
orientados a retirar as atividades sobre semelhança, proporcionalidade e Teorema
de Pitágoras, que apesar de serem conceitos fundamentais ao estudo da
Trigonometria alegaram que são conhecimentos adquiridos em séries anteriores e
que acreditavam já estarem incorporados nas estruturas cognitivas dos alunos,
portanto iniciamos a THA pelo estudo das razões trigonométricas,
Para um melhor entendimento das situações apresentadas explicitaremos
a seguir o significado das diferentes cores utilizadas nas escritas:
Preto: Questões elaboradas em conjunto com os professores para
serem analisadas e respondidas pelos alunos;
Vermelho: Respostas esperadas dos alunos, ou seja, as hipóteses que
tínhamos em relação às expectativas de aprendizagem;
Azul: Definição utilizada pelos autores para conceituar os entes
matemáticos.
____________
11
Anexo v: Primeira versão da THA.
51
A THA que apresentamos a seguir é igual à versão apresentada aos
professores. Na versão apresentada aos alunos não foram expostos os objetivos
gerais nem específicos.
3.2. Trajetória Hipotética de Aprendizagem relacionada às razões e
às funções trigonométricas.
3.2.1. Atividade I
Objetivo: Retomar o conceito de triângulo retângulo e identificar os
elementos que compõem o estudo da trigonometria.
Observe a figura abaixo e responda as questões a seguir:
C
a
c
A
b
B
a) Você reconhece essa figura?
Espera-se que os alunos respondam que sim.
b) Se sim, qual o nome da figura?
Partiremos do pressuposto que os alunos irão responder que seja um
triângulo retângulo.
c) Por que ela recebe esse nome?
Espera-se que os alunos respondam que seja porque tem um ângulo
que mede 90º e recebe o nome de ângulo reto, daí o nome de triângulo
retângulo.
52
d) Como podem ser chamados os segmentos AB e AC ?
Espera-se que respondam que são os catetos.
e) E o segmento BC que é oposto ao ângulo reto, você sabe como é
chamado?
Espera-se que os alunos respondam que seja a hipotenusa.
O triângulo retângulo esteve presente ao longo da história da matemática e
recebe nomes especiais para os seus lados.
O segmento BC que está oposto ao vértice que dá origem ao ângulo
reto e é chamado de hipotenusa.
Os segmentos AB e AC que formam os lados do ângulo reto são
denominados catetos.

O segmento AB é chamado de cateto oposto ao ângulo C e cateto

adjacente ao ângulo B .

O segmento AC é chamado de cateto adjacente ao ângulo C e cateto

oposto ao ângulo B .
A partir do triângulo retângulo estudaremos as relações existentes entre os
seus lados e seus ângulos. É a parte da matemática chamada de trigonometria
que em grego significa: tri = três, gonos = ângulos e metron = medida.
3.2.2. Atividade II
Objetivo geral: Estabelecer a relação entre
cateto oposto
hipotenusa
como sendo a
razão seno do triângulo retângulo.
3.2.2.1. Tarefa I
Objetivo Específico: Perceber que a relação
cateto oposto
hipotenusa
retângulo é uma constante e recebe o nome de seno do ângulo.
em um triângulo
53
Material necessário: Régua, esquadro, transferidor, calculadora, lápis e
papel.
Procedimentos:
Formar grupos com três alunos. Os alunos poderão interagir para
resolver a atividade, porém cada um deverá resolver a sua.
Traçar um segmento AB de qualquer medida;
Construa um triângulo retângulo ABC de tal forma que o ângulo B seja
igual a 90º e o ângulo A seja de 40º.
Completar a tabela a seguir junto com seu grupo.
Medida Medida
Razão
Aluno 1
BC
AC
BC
AC
Aluno 2
BC
AC
BC
AC
Aluno 3
BC
AC
BC
AC
Comparando as medidas encontradas responda:
a) As medidas dos segmentos BC são as mesmas?
Espera-se que os alunos respondam que não.
b) E as medidas dos segmentos AC são as mesmas?
Espera-se que os alunos também respondam que não
c) E a medida da razão entre os segmentos BC tem o mesmo valor?
AC
Sim.
d) Qual é este valor?
Espera-se que os valores encontrados para as razões entre os
segmentos BC se aproximem de 0,6.
AC
54
Observe que apesar de cada colega ter encontrado uma medida diferente
para os segmentos AC e BC a razão entre eles tem aproximadamente o mesmo
valor.
A figura que vocês desenharam é semelhante ao triângulo retângulo que
está representado abaixo.
Cada triângulo representado por vocês tem uma medida diferente para os
segmentos AC e BC , no entanto, todos possuem a mesma medida para o

ângulo A , ou seja, 40º.
Sobreponha essas medidas no triângulo que está desenhado abaixo e
observe que apesar das medidas dos segmentos serem diferentes, os triângulos
são semelhantes, pois todos têm os três ângulos com as mesmas medidas. Esta
é uma das condições para que dois triângulos sejam semelhantes.
C
40,0 °
A
B
Podemos observar que ao compararmos as diferentes medidas dos
segmentos, a razão permanece constante. O valor da razão é aproximadamente
igual a 0,6.
Para a razão entre
de seno do ângulo de 40º.
cateto oposto
hipotenusa
em um triângulo retângulo damos o nome
55
3.2.2.2. Tarefa II
Objetivo Específico: Apresentar outros exemplos que possibilite ao aluno
conjecturar que a razão seno não depende do tamanho do triângulo, mas sim da
medida do ângulo.
Será que a relação observada na tarefa acima entre o
cateto oposto
hipotenusa
para o
ângulo de 40º é válida para outros valores de ângulos, ou seja, será que a razão
sempre será uma constante?
Para responder a esta questão utilize os mesmos procedimentos da tarefa
I:
Formar grupos com três alunos. Os alunos poderão interagir para
resolver a atividade, porém cada um deverá resolver a sua.
Traçar um segmento AB de qualquer medida;


Construa um triângulo retângulo ABC de tal forma que o ângulo B seja

igual a 90º e o ângulo A seja de 20º.
Complete a tabela abaixo.
Medida BC
Medida AC
Razão BC
AC
Aluno 1
Aluno 2
Aluno 3
a) Comparando as diferentes medidas dos segmentos e a razão entre eles
o que observamos
Espera-se que os alunos respondam que apesar das medidas entre os
segmentos serem diferentes, a razão entre eles permaneceram as
mesmas.
56
b) Observando as medidas dos segmentos, a razão entre eles e a medida
do ângulo, qual a condição para que a razão entre
cateto oposto
hipotenusa
seja a
mesma?
Neste item é esperado que os alunos observem que apesar das
medidas dos segmentos serem diferentes o ângulo mantém a mesma
medida, portanto, esta é a condição para que a razão
cateto oposto
hipotenusa
permaneça a mesma.
c) Ao analisarmos o valor da razão encontrada para a tarefa I e
comparamos aos resultados encontrados na tarefa II, o que podemos
dizer em relação aos valores das razões?
A razão da tarefa I é diferente em relação às razões da tarefa II.
d) O que influenciou para que os valores da razão da tarefa I e da tarefa II
fossem diferentes?
É esperado que os alunos percebam que o resultado foi influenciado
pela alteração na medida do valor do ângulo.
e) Observe as medidas dos lados, dos valores dos ângulos e a razão entre
cateto oposto
hipotenusa
dos triângulos retângulos da tarefa I e II, o que podemos
afirmar?
Espera-se que os alunos percebam que para a relação
cateto oposto
hipotenusa
permaneça a mesma não importando o tamanho do triângulo, basta que
o ângulo permaneça com o mesmo valor. Observe:
Para que a razão entre
cateto oposto
hipotenusa
permaneça a mesma não importa as
medidas dos lados do triângulo, a razão depende apenas do valor do ângulo.
3.2.2.3. Tarefa III
Objetivo Específico: Resolver situações problemas aplicando o conceito
de seno de um ângulo de 20º e de 40º.
57
a) Observe a figura: Uma pessoa que se encontra no ponto A e se desloca
até o ponto B formando um ângulo de 20º com o plano horizontal.
Quantos metros essa pessoa se eleva verticalmente?
B
20m
x
A
C
Espera-se que os alunos apliquem o conceito de
cateto oposto
hipotenusa
= seno
20º, usando o valor de seno de 20º encontrado na tarefa II
b) Um avião levanta vôo formando um ângulo de 40º com o solo. Quando
atingir uma altura de 200m, quanto terá percorrido?12
Espera-se que os alunos apliquem o conceito de
cateto oposto
hipotenusa
= seno de
40º para determinar a distância percorrida pelo avião que corresponde à
hipotenusa formada pelo desenho do triângulo retângulo.
3.2.3. Atividade III
Objetivo Geral: Estabelecer a relação entre
cateto adjacente
hipotenusa
do triângulo
retângulo.
3.2.3.1. Tarefa I
Objetivo Específico: Perceber que a relação
cateto adjacente
hipotenusa
em um
triângulo retângulo é uma constante, chamada de cosseno, que depende apenas
da medida do ângulo.
Material necessário: Régua, transferidor, calculadora, lápis e papel.
____________
12
Atividade adaptada de: BRIGUENTI, Maria José Lourenção. Alterando o ensino da Trigonometria em
escolas públicas de nível médio: a representação de algumas professoras. Tese de Doutorado
58
Procedimentos:

Efetue a medida do Ângulo O ;




Desenhe os triângulos FOC , GOD , HOE e AOB ;
Meça os segmentos indicados na tabela e complete-a.
A
H
G
F
O
D
C
E
B

Medida do ângulo O : ________
Cateto adjacente

ao ângulo O
Hipotenusa
Razão
cateto adjacente
hipotenusa
OCF
Med OC
Med OF
OC
OF
ODG
Med OD
Med OG
OD
OG
OEH
Med OE
Med OH
OE
OH
OBA
Med OB
Med OA
OB
OA
Responda as questões com base nas informações encontradas.
59
a) O que podemos afirmar, a partir da tabela acima, em relação às
medidas dos catetos adjacentes, das medidas das hipotenusas e a
razão
cateto adjacente
hipotenusa
dos diferentes triângulos?
Espera-se que os alunos afirmem que apesar das medidas catetos
adjacentes e das hipotenusas serem diferentes a razão entre eles é
aproximadamente a mesma.
b) As razões
cateto adjacente
hipotenusa
têm os mesmos valores?
Espera-se que os alunos respondam que os valores são aproximados.
c) Qual é este valor?
Ao dividir o valor do cateto adjacente pela hipotenusa deverão
encontrar um valor próximo de 0,8.
d) Qual a condição para que a razão
cateto adjacente
hipotenusa ,
em relação a um
ângulo, de um triângulo retângulo, permaneça a mesma?
Espera-se que os alunos respondam que o valor do ângulo, pois
sempre manteve o mesmo valor.
3.2.3.2. Tarefa II
Objetivo Específico: Perceber que a relação
cateto adjacente
hipotenusa
não depende
do tamanho do triângulo, mas da medida do ângulo que tomamos a razão
chamamos de cosseno do ângulo.
Escolha dois outros ângulos quaisquer com medidas variando entre 0º e
90º.
Faça o esboço do desenho como modelo abaixo;




Desenhe os triângulos FOC , GOD , HOE e AOB ;

Efetue as medidas dos catetos adjacentes ao ângulo O e das
hipotenusas dos diversos triângulos;
60
Calcule o valor da razão
cateto adjacente
hipotenusa
nos diversos triângulos;
A seguir responda as questões.
A
H
G
F
O
E
D
C
B
a) Qual a medida dos ângulos que você escolheu?
Neste item os alunos poderão escolher qualquer valor entre 0 e 90º.
b) A razão
cateto adjacente
hipotenusa
permanece a mesma para o mesmo ângulo?
Espera-se que os alunos digam que sim, permanece a mesma quando
se está trabalhando com ângulos de mesmo valor.
c) E
para
os
ângulos
cateto adjacente
hipotenusa permanece
com
valores
diferentes
a
razão
a mesma?
Espera-se que os alunos observem que não.
d) Qual a condição para que a razão
cateto adjacente
hipotenusa
permaneça a mesma?
A condição é que o ângulo mantenha a mesma medida.
A razão
cateto adjacente
hipotenusa
em um triângulo retângulo é chamada de cosseno.
Esta relação depende apenas da medida do ângulo.
3.2.3.3. Tarefa III
Objetivo Específico: Resolver situações problemas aplicando o conceito
de cosseno de um ângulo.
61
a) Uma escada com 10m de comprimento foi apoiada em uma parede
formando um ângulo de 50º com o solo.
Determine a que distância da parede está apoiada a base da escada?13
Para resolver esta atividade espera-se que os alunos já construíram o
conceito de que não importa o comprimento do cateto adjacente ao
ângulo e nem da hipotenusa, importando apenas que o ângulo tenha
50º, portanto deverão desenhar um segmento qualquer, construir com o
transferidor um ângulo de 50º e usando o esquadro desenhar um
triângulo retângulo, a seguir calcular a razão
cateto adjacente
hipotenusa ,
a partir daí
aplicar a relação cosseno de 50º, para determinar a distância que a
base da escada se encontra da parede
Cos50º =
0,6
cateto adjacente
hipotenusa
x
10
6m , portanto a escada tem aproximadamente 6m de comprimento.
x
b) Para medir a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a
200m da base da mesma, vendo o topo da torre sob um ângulo de 30º.
Sabendo-se que a luneta do teodolito está a 1,70m do solo, qual é
aproximadamente a altura da torre?14
Nesta atividade tem-se a medida do cateto adjacente, mas precisamos
da medida do cateto oposto que é a altura da torre, portanto para
aplicar a razão
cateto oposto
hipotenusa
= sen30º é necessário primeiro encontrar a
medida da hipotenusa e a seguir encontrar a medida do cosseno de 30º
=
cateto adjacente
hipotenusa
e, por fim somar a este valor a altura que a luneta do
teodolito se encontra do solo. Para encontrar o valor do cosseno de 30º,
poderão desenhar um triângulo retângulo com um ângulo de 30º de
qualquer medida para os lados.
____________
13
Atividade adaptada de: LONGEN, Adilson. Matemática para o ensino Médio. Curitiba – PR: Nova didática,
2004. p. 61.
14
Atividade adaptada de: BRIGUENTI, Maria José Lourenção. Alterando o ensino da Trigonometria em
escolas públicas de nível médio: a representação de algumas professoras. Tese de Doutorado,
Universidade Estadual Paulista, Marília, 1998.
62
3.2.4. Atividade IV
Objetivo Geral: Associar a razão cateto oposto em relação ao cateto
adjacente como sendo a tangente de um ângulo.
3.2.4.1. Tarefa I
cateto oposto
Objetivo Específico: Perceber que a relação cateto adjacente em um
triângulo retângulo é uma constante chamada tangente.
Observe a figura abaixo:
Uma pessoa que se encontra no ponto A e se desloca em relação ao ponto
B sob um ângulo α. A cada ponto alcançado na subida, “G”, “H”, “I” e “B”, temos
um afastamento correspondente “C”, “D”, “E” e “F”, que corresponde a certa
altura15.
B
I
H
G
4,00 cm
3,00 cm
2,00 cm
1,00 cm
A
2,00 cmC
D
E
F
4,00 cm
6,00 cm
8,00 cm
Observando os valores acima complete a tabela
____________
15
Atividade adaptada: Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor. 1ªed. São Paulo:
Ática, 2005.
63
Ponto
Afastamento
(metros)
(Cateto adjacente)
Altura (metros)
(Cateto oposto)
altura
Razão afastamento
cateto oposto
cateto adjacente
C
CG
AC
1
2
0,5
D
DH
AD
2
4
0,5
E
EI
AE
3
6
0,5
F
FB
AF
4
8
0,5
a) Quando aumenta a altura da pessoa em relação à horizontal, o que
acontece com seu afastamento em relação ao ponto A.
Seu afastamento também aumenta.
b) O que acontece com a razão entre a altura que a pessoa se encontra e
o seu afastamento em relação ao ponto A?
A razão entre a altura e o afastamento permanece a mesma.
c) Você observou que apesar dos segmentos sofrerem uma alteração o
ângulo α permanece com o mesmo valor?
Espera-se que os alunos respondam que sim.
cateto oposto
d) O que podemos afirmar que influenciou para que a razão cateto adjacente
permanecesse a mesma?
A medida do ângulo α permaneceu a mesma
e) Comparando as diferentes medidas dos catetos opostos, dos catetos
cateto oposto
adjacentes, das razões entre cateto adjacente , e do ângulo α o que
podemos concluir?
Espera-se que os alunos concluam que apesar de ocorrer uma variação
entre as medidas dos catetos opostos e dos catetos adjacentes, o
ângulo α permaneceu com o mesmo valor, portanto, não importa o
cateto oposto
tamanho do triângulo para que a razão cateto adjacente permaneça a
mesma e sim que o ângulo permaneça com o mesmo valor
64
3.2.4.2. Tarefa II
cateto oposto
Objetivo Específico: Mostrar que a relação cateto adjacente não depende do
tamanho do triângulo, mas da medida do ângulo que tomamos a razão damos o
nome de tangente do ângulo.
Desenho
Vamos verificar se acontece o mesmo para outro ângulo de subida.
Uma pessoa que se encontre num ponto A, se desloca em direção a um
ponto I formando um ângulo de subida de 25º como mostra a figura.
I
H
G
2,80 cm
F
3,74 cm
1,87 cm
0,93 cm
25,0 °
A 2,00 cm C 2,00 cm D 2,00 cm E 2,00 cm B
Complete a tabela com os valores encontrados:
Triângulos
Afastamento
(cateto
adjacente)
Elevação
(cateto
oposto)
cateto oposto
Razão cateto adjacente

FAC
AC
FC
FC
AC

GAD
AD
GD
GD
AD

HAE
AE
HE
HE
AE

IAB
AB
IB
IB
AB
Ao analisar os valores encontrados responda as questões:
65
f) Quando aumenta a altura da pessoa em relação à horizontal, o que
acontece com seu afastamento em relação ao ponto A.
Seu afastamento também aumenta.
g) O que acontece com a razão entre a altura que a pessoa se encontra e
o seu afastamento em relação ao ponto A?
A razão entre a altura e o afastamento permanece a mesma.
h) Você observou que apesar dos segmentos sofrerem uma alteração o
ângulo α permanece com o mesmo valor?
Espera-se que os alunos respondam que sim.
cateto oposto
i) O que podemos afirmar que influenciou para que a razão cateto adjacente
permanecesse a mesma?
A medida do ângulo α permaneceu a mesma
j) Comparando as diferentes medidas dos catetos opostos, dos catetos
cateto oposto
adjacentes, das razões entre cateto adjacente , e do ângulo α o que
podemos concluir?
Espera-se que os alunos concluam que apesar de ocorrer uma variação
entre as medidas dos catetos opostos e dos catetos adjacentes o
ângulo α permaneceu com o mesmo valor, portanto, não importa o
cateto oposto
tamanho do triângulo para que a razão cateto adjacente permaneça a
mesma, e sim que o ângulo permaneça com o mesmo valor
Para que razão entre cateto oposto e cateto adjacente permaneça
constante depende que o ângulo permaneça com o mesmo valor.
cateto oposto
Esta razão cateto adjacente chamamos de tangente do ângulo e é valida para
qualquer triângulo retângulo.
66
3.2.4.3. Tarefa III
Objetivo Específico: Aplicar o conceito de tangente na resolução de
exercícios e situações problemas.
a) Quais as diferentes estratégias que podemos utilizar para calcular o
valor aproximado da tangente de 70º?
Para resolver este exercício o aluno deverá desenhar um triângulo
retângulo com um dos ângulos agudos medindo 70º, medir o cateto
adjacente e o cateto oposto a este ângulo, a seguir aplicar a razão
cateto oposto
cateto adjacente ,
encontrando um valor próximo de 2,7.
b) O topo de um prédio é visto por um observador que tem 1,80m de altura
e está a 100m da base desse prédio sob um ângulo de 70º. Qual a
altura desse prédio?
Para resolver este problema os alunos deverão usar a razão
cateto oposto
cateto adjacente
= tangente de 70º.
De acordo com as relações estudadas entre os lados do triângulo
retângulo, podemos estabelecer as seguintes razões trigonométricas:
Seno de um ângulo α =
cateto oposto
hipotenusa
Cosseno de um ângulo α =
cateto adjacente
hipotenusa
cateto oposto
Tangente de um ângulo α = cateto adjacente
3.2.5. Atividade V
Objetivo
complementares.
Geral:
Perceber
a
relação
que
há
entre
os
ângulos
67
3.2.5.1. Tarefa I
Objetivo Específico: Verificar a relação entre os ângulos complementares.
Desenhe um triângulo retângulo ABC, reto em  e que tenha as seguintes
medidas: med(AB)
3m , med(AC)
4cm e med(BC)
5cm , a seguir responda:
C
B
A
a) Qual a medida do ângulo B + C?
B + C = 90º
A estes ângulos B e C, chamamos de complementares, pois a soma B + C
é igual a 90º, ou seja, um é o complemento do outro.
Complete a tabela abaixo:
Ângulo B
Ângulo C
Seno
0,8
0,6
Cosseno
0,6
0,8
Tangente
4/3
¾
b) O que podemos observar entre o valor encontrado para o seno de B e o
cosseno de C?
Eles têm o mesmo valor.
c) E entre o cosseno de B e o seno de C?
Eles também possuem o mesmo valor.
d) Observe agora a tangente de B e a tangente de C. Qual a relação
existente entre elas?
68
A tangente de B é o inverso da tangente de C.
e) A partir dessas observações o que podemos afirmar em relação ao
seno de B e o cosseno de seu complemento?
Espera-se que os alunos percebam que num triângulo retângulo, o seno
de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento.
f) E em relação ao cosseno B e o seno do seu complemento, o que
podemos observar?
Que o cosseno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento.
g) E em relação a tangente de B e a tangente do seu complemento o que
podemos observar?
Num triângulo retângulo a tangente de um ângulo é o inverso da
tangente do seu complemento.
Podemos afirmar que num triângulo retângulo:
O seno de um ângulo α é igual ao cosseno do seu complemento, ou
seja: senα = (cos 90 - α)
O cosseno de um ângulo α é igual ao seno do seu complemento, ou
seja: cosα = (sen 90 – α)
A tangente de um ângulo α é o inverso da tangente do seu
complemento, ou seja: tgα =
1
tg(90
)
.
3.2.5.2. Tarefa II
Objetivo Específico: Aplicar o conceito dos ângulos complementares para
as razões trigonométricas.
Sabendo-se que a tg
3
e o seu complemento é β. (
4

ABC) 16
a) Construa o triângulo ABC;
____________
16
Atividade adaptada de: BRIGUENTI, Maria José Lourenção. Alterando o ensino da Trigonometria em
escolas públicas de nível médio: a representação de algumas professoras. Tese de Doutorado,
Universidade Estadual Paulista, Marília, 1998.
69
C
A
B
b) Determine a medida da hipotenusa desse triângulo;
Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
h² = 3² + 4²
h=5
c) Encontre a medida do seno α e do cosseno α;
seno α = 0,6 e cosseno α = 0,8
d) Qual o valor do seno β e do cosseno β?
seno β = 0,8 e cosseno β = 0,6
e) Qual a tangente β?
1,3
3.2.6. Atividade VI
Objetivo geral: Aplicar o conceito de seno, cosseno e tangente num
triângulo retângulo com lados de medidas genéricas.
3.2.6.1. Tarefa I
Objetivo Específico: Determinar o valor do seno, cosseno e tangente para
um ângulo agudo de 45º num triângulo retângulo de qualquer medida de lado.
Seja um triângulo retângulo cujo lado mede l e o ângulo agudo mede 45º,
determinar o seno o cosseno e a tangente desse ângulo.
70


Primeiramente, utilizando o Teorema de Pitágoras devemos determinar a
medida da hipotenusa:
h² = cat² + cat²
h2
2
h2
22
h
2
 2
=
=
3.2.6.2. Tarefa II
Objetivo específico: Concluir que independente do tamanho do triângulo a
razão seno, cosseno e tangente do ângulo de 45º é sempre a mesma.
Se os lados do triângulo retângulo acima tivesse como medida 2 , qual
seria o seu seno, seu cosseno e sua tangente?
71
Para responder a esta questão os alunos deverão aplicar o teorema de
Pitágoras para calcular a hipotenusa. A seguir calcular o seno, o cosseno e a
tangente para o ângulo de 45º.
h² = cat² + cat²
h2
22
h2
42
h
2 2
22
Observando os resultados das razões entre os lados dos triângulos
retângulos acima, ou seja, ao calcularmos o seno o co-seno e a tangente do
ângulo de 45º, e os resultados encontrados quais conclusões podemos chegar?
Qualquer que seja as medidas dos lados do triângulo, as razões entre os
seus lados permanecem a mesma, ou seja, o seno, o co-seno e a tangente terão
os mesmos valores.
3.2.6.3. Tarefa III
Objetivo Específico: Determinar o seno, co-seno e a tangente dos
ângulos de 30º e de 60º.
Procedimentos
Construa um triângulo equilátero de lado igual a  ;
Identifique as medidas dos ângulos;
72
Trace a altura relativa a base do triângulo;
Identifique as medidas dos novos ângulos nos triângulos retângulos
formados a partir da altura do triângulo equilátero;
Determine a medida da altura no triângulo equilátero utilizando o
Teorema de Pitágoras;
h² =(cat. oposto)² + (cat. Adjacente)²
h
 3
2
Determine o seno o co-seno e a tangente dos ângulos de 30º e de 60º,
completando a tabela abaixo.
3
2
Seno 60º
Cosseno 60º
1
2
Tangente 60º
3
30º
45º
Seno
Cosseno
tangente
1
60º
73
3.2.6.4. Tarefa IV
Objetivo Específico: Aplicar as razões trigonométricas em situações
problemas.
1) O vento quebra uma árvore durante uma tempestade. A copa dessa
árvore encosta no solo a 10 m de sua base. Sabendo que o ângulo
formado entre a copa da árvore e o solo é de 45º, determine a altura da
árvore.
2) Dois topógrafos estão na mesma margem de um rio, separados 36m um
do outro. Um deles observa uma pedra que está na outra margem, bem
em frente ao seu companheiro. Com a ajuda de um teodolito, o
observador verifica que a linha perpendicular que une a pedra ao seu
colega forma um ângulo de 45º com a linha de mira do teodolito à
pedra. Qual é a largura do rio?
3) Uma escada, que mede 3,30m de comprimento, está apoiada numa
parede vertical, sua base forma um ângulo de 60º com o solo. Uma
pessoa que se encontra em seu topo está a quantos metros do solo?
4) Determine a altura de uma árvore que projeta uma sombra de 13m
quando os raios de sol formam um ângulo de 30º com o solo.
3.2.7. Atividade VII
Objetivo
tg
sen
cos
Geral:
e sen2
Conhecer
cos2
e
aplicar
as
relações
trigonométricas
1 em situações problemas.
3.2.7.1. Tarefa I
Objetivo Específico: Conhecer as relações trigonométricas tg
sen2
cos2
1.
sen
cos
e
74
No triângulo retângulo abaixo, a hipotenusa tem 1u de medida, determine o
seno , cosseno
e tangente .
C
cateto oposto
A
B
cateto adjacente
Observe os procedimentos para determinar o seno .
sen =
cateto oposto
hipotenusa
sen =
cateto oposto
,
1
como a hipotenusa vale 1, temos que:
seno = cateto oposto.
Utilizando os mesmos procedimentos determine o cosseno e a tangente .
Para o cálculo do cosseno de , temos:
cos =
cateto adjacente
hipotenusa
cos =
cateto adjacente
,
1
como a hipotenusa vale 1, temos que:
cos = cateto adjacente.
Para a tangente , temos:
tangente =
cateto oposto
cateto adjacente ,
como cateto oposto é igual ao seno e o cateto
adjacente é igual ao cosseno, vem que: tangente =
sen
.
cos
75
Observe a figura abaixo e utilize os conceitos estudados na tarefa I.
C
seno
A
B
cosseno
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
hipotenusa² = sen² + cos²
Como a hipotenusa tem 1u de comprimento, podemos dizer que:
Sen² + cos² = 1que é valido para qualquer ângulo 0º ≤
≤ 90º.
b) Determine a tangente de ;
tg =
sen
cos
como cateto oposto é igual ao seno e o cateto adjacente é igual
ao cosseno, vem que: tg =
sen
.
cos
Se tivermos o seno de um ângulo podemos calcular o seu cosseno e sua
tangente aplicando a relação sen²
ângulo
+ cos²
= 1, ou, se tivermos a tangente do
podemos determinar o seu seno e o cosseno aplicando a relação tg
=
sen
.
cos
3.2.7.2. Tarefa II
Objetivo específico: Aplicar as relações trigonométricas sen² + cos²
e tg =
sen
cos
em situações problemas.
=1
76
1) Sabe-se que o seno de um ângulo é
1
, calcule seu cosseno e sua
2
tangente aplicando a relação fundamental temos17:
sen² + cos² =1
2) Sabendo-se que tg =
2
e0<
3
< 90º, calcule sen e cos .
3) Sabendo-se que sen 30º = 0,5, calcule cos 30º, tang 30º, cos 60º, tan
60º.
4) Um avião levanta vôo do ponto A, formando um ângulo de 15º com a
horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida, quando
passar por um ponto B situado a 2 km do ponto de partida? Sabe-se
que o cos 15º = 0,97.
3.2.8. Atividade VIII
Objetivo Geral: Localizar o ponto de extremidade de arcos, utilizando-se
de duas unidades de medida: o grau e o radiano.
3.2.8.1. Tarefa I
Objetivo específico: Perceber que um radiano é a medida do arco
correspondente à medida do raio.
Usando um compasso construa, na figura abaixo, uma semicircunferência
 , meça 180º.18
de centro O e extremidades A e M, de modo que o arco AM
O
____________
17
Atividade adaptada de: BRIGUENTI, Maria José Lourenção. Alterando o ensino da Trigonometria em
escolas públicas de nível médio: a representação de algumas professoras. Tese de Doutorado,
Universidade Estadual Paulista, Marília, 1998.
18
Atividade adaptada de: BRIGUENTI, Maria José Lourenção. Alterando o ensino da Trigonometria em
escolas públicas de nível médio: a representação de algumas professoras. Tese de Doutorado,
Universidade Estadual Paulista, Marília, 1998.
77
Usando um barbante verifique o tamanho do raio. Transfira esta medida
 de mesma medida que o
sobre a semicircunferência de modo a obter o Arco AN
raio.
a) Qual o comprimento do raio?
Cada aluno deverá encontrar uma medida diferente para o tamanho do
raio.
b) Qual a relação que existe entre o comprimento do raio e o arco
encontrado?
Espera-se que os alunos percebam que o arco medido sobre o
semicírculo, tenha o mesmo comprimento do raio.
Esta
medida
encontrada
sobre
o
arco
da
semircircunferência
correspondente ao comprimento do raio e é chamado de radiano.
c) Usando um transferidor efetue a medida do ângulo correspondente ao
arco encontrado. Qual o valor do ângulo encontrado por você?
Independente do comprimento do arco marcado os alunos deverão
encontrar um ângulo próximo a 57º.
d) Compare a medida do raio marcado pelos seus colegas e o seu e a
medida do ângulo encontrado por vocês. O que você observou?
Todos encontraram um valor muito próximo a 57º.
O arco encontrado por vocês, cujo comprimento é igual ao raio da
circunferência que o contém é chamado de radiano e indica a medida do ângulo
central correspondente e tem o mesmo valor independente do comprimento do
raio.
e) Usando um barbante e uma régua graduada, encontre o valor
 .
aproximado da semicircunferência AM
f) Divida o valor encontrado pela medida do raio. Qual o valor encontrado
 pelo comprimento do raio?
ao dividir o comprimento do arco AM
Os alunos deverão encontrar um valor próximo a 3,1.
78
g) Compare o resultado encontrado por você e por seus colegas. O que
você observou ao comparar seu resultado e dos seus colegas?
Espera-se que os alunos observem que os valores encontrados são
aproximadamente o mesmo e que independente do comprimento do
arco ao dividir seu comprimento pelo comprimento do raio sempre terá
o mesmo valor.
Este valor encontrado aproximadamente 3,1, significa a quantidade de
vezes que o raio cabe num arco de 180º.
Esse número encontrado por vocês que está próximo de 3,1... é uma
constante chamada de , que é valor o número irracional igual 3,14, portanto
temos que um ângulo de 180º corresponde a um arco de
radianos.
3.2.8.2. Tarefa II
Objetivo específico: Converter uma medida de graus em radianos.
a) Se um arco de 180º corresponde a
rad, então um arco de 360º
corresponde a quantos radianos?
Espera-se que os alunos relacionem um arco de 360º a 2 radianos
Temos então que para um ângulo de 360º, corresponde a um arco de 2 rd.
Com base nas informações da tarefa I e da tarefa II, podemos estabelecer
uma relação para transformar graus em radianos utilizando uma regra de três:
Graus
Radianos
180º
360º
x
Complete o quadro abaixo:
Graus
Radianos
0
30
45
60
90
180 270 360
79
a) Quantos radianos correspondem a 30º?
b) Quantos radianos correspondem a 90º?
6
2
c) Quantos radianos correspondem a 180º? 
d) Quantos radianos correspondem a 270º?
3
2
e) E a 360º, quanto radianos correspondem?  2
Percebemos que a qualquer arco sobre a circunferência podemos associar
um número real, e a qualquer número real podemos associar um arco
correspondente.
3.2.8.3. Tarefa III
Objetivo
específico:
Localizar
a
medida
do
arco
em
radiano
correspondente ao número na reta numérica.
Utilizando uma calculadora, localizem na reta numérica os seguintes
números:
0, /6, /4, /3, /2, , 3 /2, 2 , - /6, - /4, - /3, - /2, - , -3 /2, -2 .
3.2.8.4. Tarefa IV
Objetivo específico: localizar o número correspondente ao arco em
radiano sobre a circunferência. Sabendo-se que o raio da circunferência abaixo é
de 1u e que seu comprimento é 2 , ou seja, 360º corresponde a 2 .
A cada número real x, com 0
posição de P sobre a circunferência.
x
2 , podem ser associados a uma
80
Localize os seguintes pontos sobre a circunferência:
A=0, E= /6, F= /4, G= /3, B= /2, C= , D=3 /2, A=2 .
60º
45º
30º
O
3.2.9. Atividade IX
Objetivo Geral: Calcular seno, co-seno, tangente, de um ângulo no círculo
trigonométrico.
3.2.9.1. Tarefa I
Objetivo específico: Perceber que as coordenadas de qualquer ponto
sobre a circunferência é (cosx, senx).
A circunferência abaixo tem 1u de medida de raio, sabendo que x é a
medida do ângulo central correspondente ao arco OP.
P
PQ = cateto oposto a POQ
x
O
Q
OQ = cateto adjacente a POQ
PO = hipotenusa
81

a) Qual o seno do ângulo O ?
 cateto oposto
senO = hipotenusa
 PQ
senO = PO
 PQ
senO = 1

senO = PQ

b) Qual o cosseno do ângulo O ?
 cateto adjacente
cosO = hipotenusa
 OQ
cosO = PO
 OQ
cosO = 1

cosO = OQ
c) De acordo com as informações acima, qual é o eixo dos senos?
Espera-se que os alunos observem e respondam que o eixo dos senos
é o eixo das ordenadas.
d) E qual o eixo dos cossenos?
O eixo dos cossenos é o eixo das abscissas.
e) Com base nessas informações qual a coordenada do ponto P?
(cosx, senx)
Como o seno de um arco na circunferência trigonométrica coincide com a
ordenada do ponto correspondente à extremidade do arco e o co-seno de um
arco na circunferência trigonométrica coincide com a abscissa do ponto
correspondente à extremidade do arco temos que: o eixo das ordenadas é o eixo
dos senos e o eixo das abscissas é o eixo dos cossenos.
P
senx
O cosx Q
x
82
3.2.9.2. Tarefa II
Objetivo específico: Localizar as coordenadas de um ponto sobre o
círculo trigonométrico.
Observe a circunferência abaixo de 1u de raio.
y
B
(0,1)
C (-1,0)
1u
(1,0) A
E
x
(0,-1)
D
As coordenadas dos pontos A, B, C, D e E sobre a circunferência podem
ser dadas de diferentes formas: coordenadas cartesianas (x, y), coordenadas
trigonométricas (cos, sen), graus de 0º a 360º ou radianos 0 rd a 2 rd .
Com base nas informações acima complete a tabela abaixo:
Pontos
A
B
C
D
E
Graus
0º
90º
180º
270º
360º
Radianos
0
3
2
2
Coordenadas
(1,0)
(0,-1)
(1,0)
2
(0,1)
(-1,0)
cartesianas
Coordenadas
(cos,sen) (cos,sen) (cos,sen) (cos,sen) (cos,sen)
trigonométricas
Seno
0
1
0
-1
0
Cosseno
1
0
-1
0
1
83
Observando os dados acima, responda:
a) Qual o seno de 0º? 0
b) E qual o cosseno de 0º? 1
c) Qual o seno de 90º? 1
d) E qual o cosseno de 90º? 0
e) Qual o seno de 180º? 0
f) E qual o cosseno de 180º? -1
g) Qual o seno de 270º? -1
h) E qual o cosseno de 270º? 0
i) Qual o seno de 360º? 0
j) E qual o cosseno de 360º? 1
k) Qual o maior valor para o seno de um arco? 1
l) E o menor valor para o seno de um arco? -1
m) Qual o maior valor para o cosseno de um arco? 1
n) E o menor valor para o cosseno de um arco?-1
3.2.10. Atividade X
Objetivo geral: Construir e reconhecer um gráfico das funções
y
sen x, y
cos x .
3.2.10.1. Tarefa I
Objetivo específico: Construir o gráfico da função y
sen x .
Utilizando-se dos valores fornecidos para seno x, monte uma tabela e
construa os gráficos das funções y
sen x .
84
Arco
0º
Radianos 0
Seno
0
30º
45º 60º 90º 180º 270º 360º
6
4
0,5
0,7 0,8
X
3
y
0
3
2
2
1
0
2
-1
0
sen x
0
0,5
6
0,7
4
0,8
3
1
2
0
3
2
-1
2
0
y
x
3.2.10.2. Tarefa II
Objetivo específico: Construir o gráfico da função y
cos x .
Utilizando-se dos valores fornecidos para cos x , monte uma tabela e
construa os gráficos das funções y
cos x .
85
Arco
0º
Radianos 0
Cos
1
30º
45º 60º 90º 180º 270º 360º
6
4
0,8
0,7 0,5 0
X
0
6
4
3
2
3
y
2
-1
3
2
2
0
1
cos x
1
0,8
0,7
0,5
0
-1
3
2
0
2
1
3.2.11. Atividade XI
Objetivo geral: Observar o comportamento do gráfico das funções
y
cos x com o de suas associadas19.
sen x , y
3.2.11. 1. Tarefa I
Objetivo específico: Utilizando o software Geogébra, construir em um
mesmo plano cartesiano o gráfico das seguintes funções:
I) y
sen x
____________
19
Atividade adaptada de: SILVA, Benedito Antonio da. Atividades para o estudo de funções em ambiente
computacional.
86
II) y
2sen x
III) y
sen2x
IV) y
3sen x
V) y
sen3 x
Para cada uma delas observar seu comportamento e responder as
seguintes questões:
a) Qual seu domínio?
b) Qual sua imagem?
c) Qual seu período?
d) Qual a relação que existe entre seu gráfico e o de y
sen x ?
3.2.11.2. Tarefa II
Objetivo específico: Comparar o domínio e a imagem da função y
sen x
com o de suas associadas. Utilizando o software Geogébra, construir em um
mesmo plano cartesiano o gráfico das seguintes funções
I) Y
cos x
II) Y
2cos x
III) Y
cos2 x
IV) Y
3cos x
V) Y
cos3 x
Para cada uma delas observar seu comportamento e responder:
a) Qual seu domínio?
b) Qual sua imagem?
c) Qual seu período?
d) Qual a relação que existe entre seu gráfico e o de y
cos x ?
87
Observando o comportamento das funções seno, cosseno e suas
associadas respondam:
e) Ao multiplicarmos as funções periódicas por uma constante o que
acontece com o domínio?
f) E o que acontece com a imagem?
g) E com o período?
h) Ao multiplicarmos a variável independente por uma constante o que
acontece com o domínio?
i) E o que acontece com a imagem?
j) E o que acontece com o período?
89
CAPÍTULO 4
DESCRIÇÃO DOS RELATÓRIOS DE OBSERVAÇÕES
4 Atuação dos professores e dos alunos durante a realização da
THA em sala de aula
A seguir apresentamos uma síntese das observações realizadas em sala
por meio de relatórios de cada aula que foram organizadas em onze categorias. A
descrição dos relatórios está nos anexos V.
4.1 Organização da classe e “clima” dominante:
Os alunos da professora P1 são organizados a sentarem por ordem
numérica. Ao chegarem em sala de aula cada um tem seu lugar definido, não
causando nenhum tumulto, se algum aluno falta sua carteira fica vazia, ninguém
assume aquele lugar.
Durante a realização da atividade os alunos se sentavam individualmente,
apenas na atividade que estava sugerindo para formarem grupos a professora os
organizava dessa maneira, no entanto deixou claro que não gostava de trabalhar
desta maneira, acreditando que os alunos acabam se dispersando muito e não
tendo um bom rendimento.
90
A professora estava sempre passando pelas carteiras e orientando seus
alunos, ia para a lousa muitas vezes, explicando como era para ser desenvolvida
as atividades, às vezes dava exemplos, elaborava esboço por meio de desenhos.
O tempo inteiro a professora incentivava seus alunos no desenvolvimento
das atividades justificando sua importância, contextualizando as situações.
O professor P2 não dava nenhuma orientação a seus alunos na forma de
se
organizarem,
deixava-os a
vontade
para
sentarem
em
grupos ou
individualmente, não os repreendia no comportamento apresentado durante as
aulas. Os alunos sentavam com os pés sobre as carteiras, falavam alto, gritavam
muito, andavam pela sala, usavam celulares para mandarem mensagens, tiravam
fotos, ouviam música, não se importando com a fala do professor.
Em nenhum momento o professor foi até a lousa para dar explicações de
como a atividade deveria ser desenvolvida, ia até as carteiras quando era
solicitado por algum grupo que estava interessado em desenvolver as atividades,
justificando sempre quanto à metodologia utiliza por ele, nunca dava as respostas
a seus alunos.
Eles estão acostumados a copiarem da lousa as respostas, eles têm que
ler, interpretar e responder sozinhos, pois tem capacidade para isto, eu
nunca dou as respostas, eles estão acostumados que o professor
responda para eles e quando os deixa à vontade ficam desta forma.
A professora P3 só desenvolveu duas atividades com seus alunos, contudo
vários foram os empecilhos enfrentados pelo calendário da escola e não houve
como continuar, no entanto foi possível perceber a postura adotada pela
professora em suas aulas.
Ao entrarem na sala os alunos sentaram individualmente, deixando claro
que a professora não gosta que eles trabalhem em grupos. A professora não dá
nenhuma explicação sobre o conteúdo, não foi até a lousa para explicar os
conceitos envolvidos. Quando foi questionada se poderiam sentar-se em grupos,
foi firme dizendo não, alegando que a atividade II já seria desenvolvida em
grupos.
91
4.2 Explicitação dos objetivos de aprendizagem segundo os
professores
Apesar das atividades dos professores conterem os objetivos gerais e
específicos em nenhum momento explicitaram para seus alunos quais objetivos
tinham aquela atividade.
Os professores orientaram os alunos para se organizarem em grupos ou
individualmente, apenas os alunos do P2 sentavam da forma que queriam, não
respeitando as regras impostas pelo professor.
A P1 distribuía régua, esquadro, transferidor individualmente, explicando
que para o desenvolvimento da atividade seria necessário o uso deste material,
fazia a leitura da atividade e muitas vezes ia até a lousa para explicar como a
atividade deveria ser desenvolvida, dando exemplos e justificando a aplicabilidade
daquele conteúdo.
O professor P2 distribuia o material em grupos, nunca ia para a lousa, nem
fazia leitura do material. Ao ser solicitado pelos alunos ia até as carteiras e
explicava individualmente.
Nas duas aulas desenvolvidas pela P3, esta orientou os alunos se a
atividade seria desenvolvida em grupos ou individualmente, porém não prestou as
explicações a respeito dos conteúdos. Ao ser questionada retornou a pergunta ao
aluno não recebendo mais nenhum questionamento.
4.3 Atitude dos alunos no desenvolvimento das atividades de
aprendizagem e o compromisso na busca de soluções
Os alunos da P1 sempre questionavam, perguntavam como desenvolver a
atividade, comparavam os resultados encontrados entre eles, mesmo quando
estavam sentados individualmente interagiam com os colegas que estavam à sua
frente ou atrás, quando estavam em grupos auxiliavam os que enfrentavam
92
dificuldades, e quando todos estavam com dificuldades solicitavam ajuda à
professora, sentiam felizes ao encontrar as respostas.
No início a maioria dos alunos do P2 não estavam interessados em
desenvolver as atividades, apenas alguns alunos desenvolviam as atividades e as
entregavam ao professor. Ao perceber que estavam sendo avaliados e que
receberiam uma nota pela participação começaram a correr atrás dos colegas
para copiarem suas respostas e entregar ao professor. A partir daí sempre
perguntavam ao professor se valeria nota, e o mesmo respondia que a todo o
momento estavam sendo avaliados.
Muitos alunos não apresentavam nenhum interesse pelo assunto, pois
esperavam que os colegas resolvessem, para depois copiarem, porque queriam
apenas a nota de participação.
Nas duas atividades desenvolvidas os alunos da P3, estes se mostraram
interessados nas atividades, pois sempre procuraram a solução e como não
tinham orientação da professora não sabiam se os resultados encontrados eram
os esperados, mas todos desenvolveram as atividades e entregavam para
professora.
4.4 Intervenções do professor durante a realização das atividades
A P1 sempre fazia intervenções e ao perceber que a grande maioria dos
alunos apresentava dificuldades em certa atividade, ia para a lousa e dava
exemplos, caso contrário ia de carteira em carteira auxiliando-os.
O P2 não fazia nenhuma explicação coletiva, não dava exemplos na lousa,
quando solicitado por algum aluno ia até a carteira e explicava o que era para ser
feito.
Durante o desenvolvimento de uma das atividades um dos alunos
perguntou ao professor se aquela matéria caia na prova da Fatec. Foi a única vez
que o professor foi até a lousa e explicou a importância do que estavam
93
estudando, fez o esboço dos gráficos das funções polinomiais de primeiro e
segundo grau e da função seno e cosseno.
Os alunos acostumados a falarem alto, a gritarem, andarem pela sala
fizeram silêncio ouvindo as explicações do professor.
A P3 não auxiliou os alunos em nenhum momento, não explicou nenhum
conceito e também não fez o fechamento das atividades, apenas perguntou aos
alunos ao final das atividades o que tinham achado da atividade.
4.5 Problemas relacionados à leitura e compreensão dos textos
Não detectamos grandes problemas relacionados à leitura interpretação
dos textos, pois as atividades não contemplavam grandes textos, apenas no item
c da tarefa II da atividade II, a maioria dos alunos chegou a uma resposta que não
era a esperada, mas que poderia ser aceita, portanto acreditamos que é
necessário uma reformulação da atividade ou uma mudança no texto de forma
que não leve a dupla interpretação.
A P1 fazia a leitura das atividades antes de iniciarem seu desenvolvimento,
em seguida as comentava para seu desenvolvimento, o que acreditamos que
possa ter facilitado seu entendimento. Para o desenvolvimento da atividade VI
percebemos uma falta de entusiasmo dos alunos que foi justificada pela
professora como sendo a grande quantidade de conceitos envolvidos e que os
mesmos não estavam acostumados a trabalhar com o abstrato, nos levando a
uma reflexão na forma de abordagem da atividade.
O P2 ia até as carteiras e lia junto com os alunos quando apresentavam
dificuldades na interpretação dos enunciados, já P3 deixava os alunos ler e tirar
suas próprias conclusões, portanto acreditamos que não há grandes dificuldades
na leitura e interpretação dos textos.
94
4.6 Interação entre alunos na realização das atividades de
aprendizagem
Percebemos que os alunos de P1 apresentaram uma boa interação, pois
auxiliaram os colegas e pediam ajuda sempre que fosse necessário.
Os alunos mostraram uma participação ativa em praticamente todas as
atividades, com exceção da atividade VI, sendo necessária a intervenção da
professora várias vezes, como já relatado e a professora acredita que possa ter
sido uma atividade que envolvia muitos conceitos, dificultando sua interpretação.
Percebemos que em várias situações quando todos os alunos de um grupo
apresentavam dificuldades solicitavam auxilio aos alunos de outro grupo
mantendo um diálogo produtivo.
Os alunos do P2 enfrentaram dificuldades no relacionamento, pois todos
queriam falar ao mesmo tempo, razão que dificultava a interação entre estes.
Aqueles
que
estavam
interessados
no
desenvolvimento
das
atividades
solicitavam aos colegas para se calarem, pois estavam atrapalhando no
desenvolvimento das atividades.
Os alunos da P3 mantiveram uma relação cordial, respeitando os colegas e
auxiliando-se quando necessário.
4.7 Dificuldades enfrentadas e possíveis causas
Várias foram as dificuldades enfrentadas pelos alunos de P1 e P2, entre as
mais freqüentes podemos destacar as que chamaram mais atenção:
Operações com números racionais;
Aplicação do conceito de semelhança e proporcionalidade;
Aplicação do Teorema de Pitágoras;
Racionalização de denominadores;
Dificuldade em realizar divisões entre um número menor por um número
maior;
95
Fazer o esboço de uma figura envolvendo conceitos geométricos.
Utilização dos instrumentos de medidas, esquadro, transferidor e
compasso.
Acreditamos que antes de termos iniciado a THA, deveríamos ter feito uma
avaliação diagnóstica para detectarmos os conceitos que os alunos possuíam ou
então termos desenvolvido uma atividade envolvendo todos esses conceitos, pois
como defendido pelos professores em reunião para alteração da THA. Apesar de
serem conceitos que os alunos já deveriam ter adquiridos não se lembravam mais
e precisam ser relembrados.
4.8 Compromisso dos alunos no desenvolvimento das atividades
Os alunos da P1 se mostraram bem interessados no desenvolvimento das
atividades, sempre emitiam questionamentos, solicitavam o auxílio da professora
ao encontrarem dificuldades, socializavam com os colegas os resultados
encontrados.
A maioria dos alunos do P2 não se mostraram motivados no
desenvolvimento das atividades.
Ao iniciar as atividades os alunos da P3 se mostraram bem motivados,
fizeram alguns questionamentos, mas a professora sempre respondia com outras
questões, impedindo-os de fazerem novos questionamentos.
4.9 Atitude dos professores durante a realização das atividades
O P1 fez várias intervenções durante o desenvolvimento das atividades,
sempre que percebia que a maioria dos alunos enfrentava dificuldades na
realização de uma atividade ia para a lousa dava exemplos de situações
parecidas, fazia esboços de figuras geométricas de forma que se assemelhassem
com a solicitada.
96
Em outras situações a professora desenvolvia parte das atividades e pedia
aos alunos que continuassem com seu desenvolvimento.
Em todas as aulas a professora se dirigia até os grupos e os auxiliavam, na
atividade VII foi necessário que a professora fizesse várias intervenções, pois os
alunos encontravam dificuldades na utilização de vários conceitos como:
racionalização de denominadores, teorema de Pitágoras, cálculo de altura de
triângulo eqüilátero.
A professora socializa e sistematizava os conceitos durante a realização da
atividade.
O P2 quando solicitado ia até os grupos e os auxiliavam, sempre pedindo
para que lessem o enunciado das questões novamente, não fazia intervenções
coletivas, nem socializava e sistematizava as conclusões.
Nas duas atividades que foram desenvolvidas pela P3 não observamos sua
intervenção nem a socialização e sistematização das conclusões.
4.10 A opinião dos alunos sobre as atividades
Vários foram os comentários dos alunos, mas todos relataram a
importância e a contribuição que as atividades trouxeram para seu aprimoramento
em trigonometria. Segue abaixo parte da transcrição de alguns relatos:
A parte mais interessante foi que o trabalho pôde ser feito em grupo,
assim uma oportunidade que os alunos tiveram para discutir os
resultados e assim chegar a uma solução.
Vários alunos fizeram comentários sobre a oportunidade que tiveram em
fazer as atividades em grupos, uma forma de aprender com a
colaboração e ajuda dos colegas.
O trabalho foi muito interessante, nos descobrimos novas técnicas para
fazer os cálculos e aprimorarmos o nosso conhecimento sobre o
assunto.
97
Não tenho nenhuma crítica a fazer sobre as atividades, a não ser a
atividade nº VII, que estava meio complicada, tinha um grau de
dificuldade maior do que as outras.
As atividades propostas foram muitos interessantes, pois mostraram um
modo diferente de calcularmos seno e cosseno, vimos como é fácil
descobrir ângulos a partir de medidas dos lados de um triângulo e,
também como é fácil percebemos que a razão entre os lados dos
triângulos é sempre a mesma quando o ângulo é o mesmo não
importando o comprimento dos seus lados, uma nova forma de ver a
matemática.
Foi uma contribuição para a minha aprendizagem, pois me ajudou a
entender melhor o Teorema de Pitágoras. Só tenho uma crítica, as
perguntas depois de cada tarefa tinham as respostas muito parecidas,
isso impediu que fossem respostas mais elaboradas.
O ponto forte foi a participação da sala, mas o ponto fraco foi as
questões terem o mesmo sentido tanto na pergunta quanto na resposta.
Eu gostei muito, pôde esclarecer bem minhas dúvidas a respeito de
ângulos, como usar o transferidor e a diferença de ângulos.
Eu gostei das atividades, foram bem legais, participei de todas, aprendi
bastante sobre trigonometria, tive um bom desempenho, conheci coisas
que eu nem sabia que existia, foi muito bom, se tivesse de novo eu
participaria com maior prazer, pois aprender nunca é demais.
Como nosso objetivo não foi verificar a aprendizagem dos alunos, mas sim
verificar a atuação dos alunos e dos professores não fizemos uma avaliação ao
final da atividade, no entanto, percebemos uma evolução dos alunos tanto quanto
aos conceitos relacionados às razões e às funções trigonométricas quanto ao uso
dos instrumentos de medidas de ângulos.
99
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os questionamentos que surgiram no início do trabalho no magistério
paulista em 1993, foi o eixo norteador que originou um processo de estudo e
pesquisa até o desenvolvimento deste trabalho. A busca por respostas e uma
metodologia que auxilie na melhoria do processo de ensino e de aprendizagem
nos aproximou da teoria apresentada por Martin Simon (1995), Trajetórias
Hipotéticas de Aprendizagem (THA), que procura trazer suas contribuições para
elaboração e desenvolvimento de uma proposta de ensino voltada para reflexão
da prática pedagógica.
Com base na teoria de Simon (1995) e de outros pesquisadores
desenvolvemos uma pesquisa procurando atingir os objetivos:
Analisar a possibilidade de compatibilizar perspectivas de aprendizagem
com a planificação de ensino20 relacionada às razões e às funções
trigonométricas, observando a atuação do professor de matemática
diante de uma proposta de ensino, por meio de uma Trajetória Hipotética
de Aprendizagem (THA). Com vistas uma perspectiva construtivista.
Sendo assim, para atingir esse objetivo elaboramos duas questões que
procuramos responder durante o desenvolvimento deste trabalho:
Qual a possibilidade de compatibilizar perspectivas de aprendizagem
com a planificação de ensino relacionada às razões e às funções
trigonométricas por meio de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem
(THA)?
____________
20
Construção do planejamento, desenvolvimento das atividades e avaliação dos objetivos.
100
Qual a atuação do professor de matemática diante de uma proposta de
ensino, visando uma perspectiva construtivista?
Para
responder
a
estas
questões
recorremos
aos
relatórios
de
observações em sala de aula, observando a atuação do professor e o
desenvolvimento
das
atividades
pelos
alunos,
fizemos
então,
algumas
considerações sem termos a pretensão de propor um modelo ideal do processo
de ensino e aprendizagem e sim trazer contribuições que venham auxiliar o
professor no planejamento, desenvolvimento das atividades e avaliação dos
objetivos de aprendizagem.
O planejamento desenvolvido durante o início de cada ano letivo se torna
um instrumento burocrático apenas para cumprir meras formalidades, quase não
sendo utilizado pelo professor. Desta forma acreditamos que uma Trajetória
Hipotética de Aprendizagem possa vir a contribuir com a planificação de ensino
visando uma perspectiva construtivista, no entanto, devemos estar atentos quanto
as preocupações levantadas por Gravemeijer, quanto às dificuldades enfrentadas
pelos professores reconhecendo que:
As dificuldades que teriam os professores para construir THA
como as que são produzidas pelos investigadores. No entanto,
isso não quer dizer que a única coisa que se pode entregar aos
professores sejam meras seqüências de ensino para usar. Ele
sugere dois elementos que podem ser úteis para os professores:
(a) um marco de referência e (b) seqüências de atividades que
lhes sirvam de exemplo. Mas questiona: porém, que pode fazer
um professor com esta informação? Como pode usá-la para
produzir e revisar sistematicamente sua própria THA para um
tema, um contexto e alunos reais? (GRAVEMEIJER 2004, p. 107).
Para Simon (1995) o desenvolvimento do conhecimento está presente no
professor ou no ensino realizado, portanto, não basta uma boa sequência de
ensino, é importante que além do conhecimento do conteúdo relacionado a sua
área o professor tenha conhecimento dos instrumentos que fundamentam as
teorias da Didática e do Currículo. Percebemos que os três professores que
desenvolveram as atividades tem conhecimento do conteúdo, no entanto, a forma
como P2 e P3 desenvolveram as atividades em sala não motivaram seus alunos
na busca do conhecimento. Ao observarmos a atuação do professor P2 que deixa
101
seus alunos à vontade, não os orientando quanto aos objetivos de aprendizagem,
acabou gerando o desinteresse desses alunos, ficando claro que só desenvolviam
as atividades se tivessem uma nota, portanto é fundamental as atitudes do
professor diante de uma proposta de ensino.
Outro fator importante no desenvolvimento de uma proposta de ensino está
relacionado aos objetivos de aprendizagem, as atividades de aprendizagem, o
pensamento e as hipóteses de aprendizagens dos alunos, a interação mantida
com alunos, as intervenções realizadas durante o processo, o comprometimento
que os alunos mantém durante o desenvolvimento das atividades são elementos
importantes para construção do conhecimento, no entanto, a maneira como os
alunos interagem com as tarefas é o que determina o potencial de aprendizagem.
O ambiente de aprendizagem envolve resultados da interação
entre o professor e os alunos e como eles se engajam em um
conteúdo matemático. Um professor pode atribuir uma tarefa,
contudo como os alunos constroem suas tarefas e suas
experiências é quem determinam seu potencial de aprendizagem
(Simon, 1995, p. 8).
A aprendizagem é um processo complexo, envolvendo interações, atitudes
e boas situações de intervenções e está centrado tanto no professor quanto no
aluno, portanto não basta uma boa sequência de ensino é necessário que haja
participação e envolvimento de todos num processo dialógico e contínuo. Nesse
sentido consideramos que o plano de ensino estabelecido pelo professor,
contendo: objetivos de aprendizagem, atividades de aprendizagem e as hipóteses
de aprendizagem dos alunos não bastam para que se tenha uma aprendizagem,
a relação estabelecida entre professores e alunos é fundamental para que se
estabeleça uma aprendizagem.
A partir do comportamento estabelecido pelos professores que participaram
desta pesquisa fica claro o quanto é importante a relação estabelecida em sala de
aula entre o aluno, o professor e as intervenções realizadas. A professora P1
apesar de organizar seus alunos por ordem de chamada mantém uma relação
dialógica com seus alunos, dando autonomia para questionamentos, permitindo
desta forma que estes desenvolvam um raciocínio mais elevado, enquanto que o
professor P2 e P3, não permite tal interação. A falta de orientação, deixando os
102
alunos desenvolverem suas atividades sozinhos permitiu uma falta de interesse e
compromisso no desenvolvimento das atividades. Pires (2009) concorda com
Simon quando afirma que considera excessivamente simplista a idéia de
aproveitar a noção romântica do construtivismo deixando os alunos sozinhos e
eles construirão seu conhecimento matemático, ou coloque-os em grupos e eles
resolverão seus problemas.
Ao analisar a atuação do professor de matemática diante de uma proposta
de ensino, visando uma perspectiva construtivista percebemos o quanto é
fundamental esta atuação para que ocorra a aprendizagem. Para Simon o
construtivismo pode contribuir com caminhos importantes para o ensino da
Matemática, no entanto, percebemos que para efetivar este ensino é fundamental
a atuação e interação estabelecida pelo professor e aluno em sala de aula.
A partir do desenvolvimento das atividades pelos alunos percebemos o
quanto é importante a noção de Trajetória Hipotética de Aprendizagem defendida
por Simon (1995) e outros teóricos, pois um objetivo de aprendizagem definido
pelo professor pode ser alterado de acordo com os questionamentos que forem
surgindo no desenvolvimento das atividades.
Consideramos que não basta uma boa sequência de atividade, a atuação
do professor como mediador das situações de aprendizagem, sua postura diante
de uma situação desafiadora e seu olhar reflexivo são elementos importantes
para que ocorra uma evolução na educação.
103
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BISHOP, Allan. J. Enculturación matemática: la educación matemática desde una
perspectiva cultural. Barcelona: Paidós. 1991.
BRIGUENTI, Maria José Lourenção. Ensino e aprendizagem da trigonometria:
Novas perspectivas da educação matemática. Dissertação de Mestrado, Rio
Claro: UNESP. 1994.
__________. Alterando o ensino da Trigonometria em escolas públicas de nível
médio: a representação de algumas professoras. Tese de Doutorado, Marília :
UNESP. 1998.
CHEVALLARD, V. Sur l’analyse didactique: deux études sur les notions de
contract et de situttation. L‟IREM, Marseille, v. 4. 1998.
COLL, Cesar. Psicologia e Currículo: uma aproximação psicopedagógica à
elaboração do currículo escolar - tradução de Cláudia Schilling. São Paulo: Ed..
Ática. 1997.
COSTA, Nielce Meneguelo Lobo da. Funções seno e cosseno: Uma sequência de
ensino a partir dos contextos do “mundo experimental”. Dissertação de Mestrado.
São Paulo: PUC-SP. 1997.
CURI, E. Formação de professores de Matemática: realidade presente e
perspectivas futuras. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC-SP. 2000.
DOLL JR., W. E. Currículo: uma perspectiva pós moderna. Tradução de Maria
Adriana Veríssimo Veronese. Porto Alegre: Artes Médicas. 1997.
DANTE, Luis Roberto. Matemática. São Paulo: Ed. Ática. 2005.
ESTRELA, Albano. Formação de professores por competências. Lisboa:
Fundação Calcuste Gulbenkaian, (s.d.).
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H.
Domingues. São Paulo: UNICAMP. 2004.
104
FAZENDA, I. C. A Interdisciplinaridade no ensino brasileiro. São Paulo: Edições
Loyola. 1979.
FAZENDA, Ivani (org). Novos enfoques da pesquisa educacional. São Paulo:
Cortez. 1992.
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática: Dando corda na
Trigonometria. São Paulo: Ed. Ática. 1993.
GIOVANI, J. R. BONJORNO. J. R. Matemática uma nova abordagem. São Paulo:
FTD. 2000.
IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar: Trigonometria. 8. ed.,
São Paulo: Ed. Atual. 2004.
JUNIOR, Armando Traldi. Formação de formadores de professores de
matemática: identificação de possibilidades de limite da estratégia de organização
de grupos colaborativos. Tese de Doutorado, São Paulo: PUC-SP. 2006.
LAURO, Maira Mendias. Percepção – Construção – Representação – Concepção.
Os quatro processos de ensino da Geometria: Uma proposta de articulação.
Dissertação Mestrado. São Paulo: USP. 2007.
LONGEN, Adilson. Matemática para o Ensino Médio. Curitiba – PR: Nova
Didática, 2004.
MACEDO, Lino de. Competências e Habilidades: Elementos de uma reflexão
pedagógica. In: Paper de Palestra na Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. 1998.
MACHADO, N. J. Epistemologia e Didática: A alegoria como norma e o
conhecimento como rede. Tese de Livre Docência. Faculdade de Educação da
Universidade de São Paulo. São Paulo: USP. 1994.
MENEZES, L. C. O Brasileiro está chegando ao ensino médio. Programa de
Melhoria e Expansão do ensino médio no Estado de São Paulo. São Paulo. 2001.
____________. Rever o quê, mudar por quê? Acesso. Revista de Educação e
Informática. São Paulo. 2000.
MORAN, J. Massetto, M. e Behrens, M. Novas tecnologias e mediação
pedagógica. São Paulo. Ed.Papirus. 2000.
NASCIMENTO, Alessandra Zeman, Uma Sequencia de Ensino para Construção
de Uma Tabela Trigonométrica. Dissertação de Mestrado São Paulo: PUC-SP.
2005.
PERRENOUD, Philippe A Formação de Competências na Escola. Porto AlegreRS: Ed. Artes Médicas. 1997.
105
____________. Formação Contínua e Obrigatoriedade de Competência na
Profissão do Professor. São Paulo: Revista Ideias. n. 30. 1998.
____________. Novas Competências para Ensinar. Tradução Patrícia C. Ramos.
Porto Alegre-RS. Ed. Artmed. 2000.
____________. Dez Novas Competências para Ensinar. Porto Alegre- RS. Ed..
Artes Médicas. 2000.
PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da Organização Linear à Ideia de
Rede, São Paulo: FTD. 2000.
____________. Formulações Basilares e Reflexões sobre a Inserção da
Matemática no Currículo Visando à Superação do Binômio Máquina e
Produtividade. Educação Matemática Pesquisa. São Paulo: EDUC. 2004.
____________. Orientações Curriculares para a Educação Básica: Qual o
caminho? Revista de Educação PUC-Campinas. V. 18. 2005.
____________. Ensino de Geometria no Brasil: Uma Análise com Base em
Modelos de Referência que colocam em relação a Epistemologia e a Didática da
Geometria. In: VII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul, 2006, Águas
de Lindóia. Anais da VII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul. 2006.
____________. Perspectivas construtivistas e organizações curriculares: Um
encontro com as formulações de Martin Simon. Revista Educação matemática.
São Paulo, v. 11, nº 1, pp. 70-89, 2009.
PONTE, J. P. Perspectivas de Desenvolvimento Profissional de Professores de
Matemática. In: João Pedro Ponte et al (org). Desenvolvimento Profissional de
Professores de Matemática: Que Formação?. Lisboa. 1995.
SÃO PAULO ESTADO. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO. Coordenadoria de
Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Educacional: Currículo e Avaliação.
São Paulo. SE/CENP. 1992.
_____________. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Caderno de
apoio ao Professor: Matemática: Ensino Fundamental – 8ª série, 3º Bimestre. São
Paulo. 2008.
_____________. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta
Curricular para o Ensino de Matemática no Segundo Grau. São Paulo, SE/CENP.
1992.
_____________. Avaliação dos Concluintes do Ensino Médio 1997. Programa de
Expansão e Melhoria do Ensino Médio. V 1. São Paulo. 2000.
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA. MINISTÉRIO DA
EDUCAÇÃO. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio- Bases Legais,
Brasília. 1999.
106
_____________. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Ensino Médio MEC - Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias. Brasília. 1999.
SILVA, B. A. Atividades para o estudo de Funções em Ambiemte Computacional.
Benedito Antonio da Silva. et al (org). São Paulo: Ed. Iglu. 2002.
SILVA, Silvio Alves. Trigonometria no Triângulo Retângulo: Construindo uma
Aprendizagem Significativa. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC-SP. 2005.
SIMON, M. A. Reconstructing Mathematics Pedagogy from a constructivist
perspective. Journal for Research in Mathematics Education, 26 (2), 114-145.
1995.
107
ANEXOS
Anexo I
Questionário dos Professores
1) Nome: ______________________________________________________
_______________________________________________________
2) Formação (Graduação Plena em Matemática ou Complementação/Ano):
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
3) Tempo de magistério: ____________________
4) Segmento que leciona: (
) E.F.II
(
) E.M.
5) Pós-Graduação cursada e/ou em andamento
a) ( ) Extensão
b) ( ) Aperfeiçoamento
c) ( ) Especialização
d) ( ) Mestrado
e) ( ) Doutorado
6) Já participou de algum trabalho colaborativo em sua escola? Qual?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
108
7) Em suas aulas costuma utilizar alguma metodologia ou estratégia de
ensino? Qual?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
8) Utiliza outro recurso além do livro didático? Qual?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
9) Levando em consideração a sua experiência e o seu conhecimento, como
você abordaria o ensino de Trigonometria?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
10) Quais são as dificuldades que os alunos apresentam ao estudar este
assunto?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
11) Costuma trabalhar com resolução de problemas para desenvolver e/ou
aplicar o conceito de Trigonometria?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
12) Já fez o uso de algum software matemático para o estudo de funções em
suas aulas? Por quê?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
109
13) Você costuma contextualizar ao abordar trigonometria? Por quê?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
110
Anexo II
Roteiro de observação durante a aplicação das THA
Data: __/__/____
Nome da Escola:____________________________________________
Nome do Professor:__________________________________________
Turma:___________
Período:__________
Quantidade de alunos presentes: _______
1) Identificação da aula:
2) Organização da classe e “clima” dominante:
3) Explicitação dos objetivos de aprendizagem segundo os professores:
4) Atitude dos alunos no desenvolvimento das atividades de aprendizagem e
compromisso na busca de solução
5) Intervenções do professor durante a realização das atividades:
6) Problemas relacionados à leitura e compreensão dos textos:
7) Interação entre alunos na realização das atividades de aprendizagem:
8) Dificuldades enfrentadas e possíveis causas:
9) Compromisso dos alunos no desenvolvimentos dasatividades
10) Intervenções dos professores durante o desenvolvimento das atividades
111
11) A opinião dos alunos sobre as atividades:
12) A aprendizagem dos alunos com as atividades envolvendo às razões e às
funções trigonométricas:
112
Anexo III
Opiniões dos alunos sobre a THA
1. Qual a sua opinião sobre as atividades desenvolvidas?
2. Quais os pontos positivos e quais os pontos negativos na forma como foi
abordado o tema da trigonometria?
113
Anexo IV
Relato de observação das aulas
Aula 1
P1 - Para o desenvolvimento desta atividade, a professora, distribuiu as
atividades aos alunos pedindo que lessem e respondessem as questões,
individualmente, dizendo:
A atividade é muito simples, apenas para relembrar alguns conceitos, e
ao final teria uma historinha para eles lerem, referindo-se a
institucionalização do conceito de triângulo retângulo e os elementos que
compõem o estudo da trigonometria, portanto acreditava que ninguém
teria dúvidas.
O professor não se manifestou durante o desenvolvimento da atividade,
não questionando os alunos se apresentavam dificuldades ou não.
Ninguém se manifestou quanto às dúvidas apresentadas, não mantendo
comunicação entre eles, não fizeram questionamentos, respondendo a todos os
itens da tarefa, entregando a folha à professora,
Ao observarmos as respostas dos alunos percebemos que vários alunos
apresentavam dificuldades em alguns itens, não reconhecendo na figura um
triângulo retângulo e nem porque recebe este nome, no entanto não fizeram
nenhuma pergunta.
P2 - O professor deixa os alunos à vontade, sentam da forma que querem,
em duplas, em grupos de três ou até mais.
O professor explicou aos alunos que a atividade tinha o objetivo de retomar
alguns conceitos relacionados à trigonometria, encontrando muita dificuldade em
explicar aos alunos como deveria ser desenvolvida a atividade, pois os mesmos
conversavam muito e gritavam o tempo todo, alguns sentavam sobre as carteiras,
colocavam os pés sobre as cadeiras, andavam pela sala e não se importavam
muito com a fala do professor.
114
O professor distribuiu as atividades entre os alunos, deixando-os a vontade
para responder, justificando que utilizava uma metodologia diferenciada:
Eles estão acostumados a copiar da lousa as respostas, eles tem que
ler, interpretar e responder sozinhos, pois tem capacidade para isto e eu
não dou as respostas, eles estão acostumados que o professor
responda para eles e quando os deixa à vontade eles ficam desta forma.
Alguns alunos nem tocaram na atividade, conversavam entre eles,
curvavam a cabeça sobre a carteira, passavam batom, faziam esboços de
desenhos, olhavam em espelhos, ouviam músicas nos celulares viam vídeos,
mandavam e recebiam mensagens.
Alguns grupos que tentavam responder as atividades estavam enfrentando
dificuldades em responder as questões, então começaram a chamar o professor
para auxiliá-los.
Ao tocar o sinal para troca de aula, poucos alunos entregaram as
atividades respondidas para o professor, os demais deixaram as folhas sobre as
carteiras e saíram sem dar nenhuma justificativa.
O professor me entregou as atividades dizendo novamente:
Aqueles que querem aprender me chamam para ajudá-los, os outros
não estão acostumados com esta forma de aula, querem que o
professor vai para a lousa e responde para que eles copiem, isto eu
nunca faço.
P3 - Os alunos entraram na sala e sentaram individualmente, aguardando
as instruções da professora. Nesta aula apenas treze alunos estavam presentes,
a professora fez apresentação do projeto e comentou sobre a importância de
fazer um levantamento para averiguar os conhecimentos que tinham assimilado
sobre trigonometria e a importância de retomar o assunto.
Após esta apresentação a professora distribuiu a atividade aos alunos não
fornecendo nenhuma informação. Alguns alunos queriam desenvolver a atividade
em grupo, porém a professora foi firme em destacar que a atividade deveria ser
115
desenvolvida individualmente, e que a próxima atividade já seria desenvolvida em
grupo, referindo-se a atividade 2.
Todos os alunos responderam a atividade, respondendo que reconhecia a
figura, como sendo um triângulo retângulo, porém ao serem questionados por que
a figura recebe este nome, alguns responderam:
Porque possui cateto e hipotenusa, outros;
Porque possui três ângulos;
Porque recebe nomes especiais para os seus lados e dois alunos
responderam:
Porque tem ângulo reto.
Um aluno perguntou à professora:
Porque recebe este nome, então a professora respondeu com outra
pergunta:
O que você acha?
Não questionaram a professora mais nenhuma vez para tirar dúvidas, e
assim que iam terminando, entregavam a atividade.
Ao final da atividade a professora perguntou:
O que acharam da atividade?
Várias foram as respostas:
É diferente;
É importante a retomada dos conceitos relacionados ao triângulo
retângulo, pois é uma forma de aprender um pouco mais, “clarear”.
Atividade II
P1 - Para realização desta atividade a professora pediu para que os alunos
formassem grupos com três alunos, distribuindo régua e transferidor a todos os
alunos.
116
Neste momento houve certo tumulto na sala, pois todos andavam à procura
dos que tinham mais afinidade, não se agrupando com os colegas que estavam
ao seu lado.
A professora leu os procedimentos da tarefa 1, dizendo que um dos
materiais necessários para o desenvolvimento das atividades seria abolido: o uso
da calculadora, justificando que todos aprenderam a realizar divisão com números
decimais, portanto não usariam a calculadora.
Um dos alunos questionou-a, dizendo:
Mas professora, a atividade está pedindo para usar a calculadora, a
senhora não vai deixar a gente usar?
P1 - Mas nós não a usaremos, pois vocês estão com dificuldades em
efetuar divisões e quando forem fazer uma prova, um concurso, não poderão
fazer o uso da calculadora, portanto é necessário que aprendam a dividir.
Ao usar o transferidor para medir os ângulos na tarefa I os alunos
apresentaram grandes dificuldades, sendo necessária a intervenção da
professora em todos os grupos, a partir da tarefa II esta dificuldade foi amenizada,
os alunos que ainda estavam com certa dificuldade foram auxiliados pelos
colegas do grupo.
Um dos alunos nos questionou sobre a divisão entre a medida de um
segmento de medida menor, por outro de medida maior, dizendo:
Não dá para dividir 6 por 9, será que eu posso inverter, dividir 9 por 6?
A professora foi até a lousa e explicou como efetuar a divisão entre os
números decimais, confirmando a hipótese levantada anteriormente, a grande
dificuldade em realizar as operações de divisões.
Alguns alunos que apresentaram maior facilidade e foram terminando o
desenvolvimento da tarefa ajudavam os colegas que apresentavam dificuldades.
O item c da tarefa II levou os alunos a uma resposta que não era a
esperada, portanto acreditamos que a comanda apresenta várias interpretações,
sendo necessária uma reformulação no texto.
117
Na tarefa III a professora foi até a lousa e explicou como deveria ser feita a
interpretação do problema, conversamos antes da realização da atividade, e a
mesma alegou que se não iniciasse a atividade os alunos teriam grandes
dificuldades para associar a situação à razão seno.
No item b da tarefa III, alguns alunos ao efetuar a divisão entre
200
0,6
encontraram como resposta o número 33, outros 3,3, confirmando novamente a
hipótese da professora quanto a dificuldade apresentada pelos alunos em realizar
divisões. ...
P2 - O professor encontrou grandes dificuldades na organização da sala,
pois a atividade deveria ser desenvolvida em grupos com três alunos e os
mesmos se organizavam de acordo com suas vontades.
Os alunos falavam alto, não respeitando o professor, após pedir várias
vezes para que se organizassem em trios começou a distribuir as atividades e um
conjunto contendo uma régua, um esquadro e um transferidor aos grupos.
Foi necessário que o professor fosse aos grupos para orientá-los no uso do
material, pois apresentavam dificuldades para entender o enunciado da atividade,
como também no manuseio dos instrumentos de medidas.
Para efetuar os cálculos entre as medidas dos segmentos os alunos não
apresentaram grandes dificuldades, pois utilizaram as calculadoras dos celulares.
Três grupos se mostraram bastantes empenhados no desenvolvimento das
atividades, solicitando sempre a presença do professor para auxiliá-los, gritando
muitas vezes para chamar sua atenção e serem atendidos.
Ao final o professor começou a recolher as atividades e a marcar o número
dos alunos que a haviam desenvolvido, alegando que daria uma nota de
participação aos que haviam desenvolvido a atividade, neste momento houve
certa preocupação entre os alunos, começando a pedir emprestado aos colegas
para que pudessem copiar e entregar ao professor.
118
P3 - A professora pediu aos alunos que formassem grupos com três
integrantes, pois a atividade deveria ser desenvolvida em grupo. Entregou uma
atividade a cada grupo e pediu para que respondessem numa folha de caderno.
A partir desta atividade não foi possível que a professora continuasse
desenvolvendo o projeto devido a uma série de atividades que estavam
programadas na escola, como: teatro, cinema, festas, e logo em seguida entraram
de recesso escolar.
Atividade III
P1 - Ao entrar na sala os alunos sentaram um atrás do outro como de
costume, aguardaram instruções da professora para que formassem duplas.
A professora distribuiu as atividades e a seguir um transferidor para cada
aluno, não permitindo novamente que usassem a calculadora.
A tarefa II tomou bastante tempo dos alunos, não permitindo que
terminassem a atividade nesta aula que tem apenas cinqüenta minutos, sendo
necessário retomar na próxima aula.
Ao iniciar a aula os alunos deveriam retomar a atividade do dia anterior, ou
seja, estavam sentados em grupos e deveriam permanecer com a mesma dupla,
no entanto sentaram como o de costume, um atrás do outro aguardando
instruções da professora para que se agrupassem e retomassem as atividades.
Como faltaram muitos alunos na aula anterior foi necessário que
formassem novas duplas, foi então que a professora pediu que pulassem a tarefa
I e iniciassem pela tarefa II para que não atrasassem a aula, indo até a lousa e
fazendo o esboço do desenho que deveriam fazer.
Para resolução da tarefa III a professora foi até a lousa, fez o esboço
desenho, explicando a função de um topógrafo e do teodolito. Os alunos não
conseguiam resolver, pois era necessário o valor do cosseno de 50º e os mesmos
não tinham este valor e não sabiam como calcular, sendo necessária a
intervenção da professora novamente, indo até a lousa e explicando os
procedimentos para seu cálculo.
119
P2 - Ao chegarmos à sala os alunos estavam agitados como sempre,
andavam, gritavam, gesticulavam, ouviam música ao celular, sentavam com pés
sobre as carteiras, sendo difícil para o professor iniciar a aula.
Como nas outras aulas o professor mantinha muita tranquilidade, falava
baixo, não gritava, pedia aos alunos para se acalmarem, no entanto não tinha o
retorno esperado. Distribuiu as atividades uma régua e um transferidor para cada
grupo, quando um dos alunos perguntou:
Hoje vale nota?
O professor respondeu:
Tudo o que vocês fazem está sendo avaliado, eu não dou nada para
vocês só por dar, tudo tem um objetivo, não dou as respostas prontas,
vocês tem que pesquisar ir atrás.
Nesta aula apenas três alunos não se dispuseram a realizar as atividades,
dois deles estavam preocupados em realizar alguns desenhos e uma aluna
dormia sobre a carteira, mas tarde soube que a mesma havia trabalhado a noite
inteira e estava com muito sono. Os outros solicitavam a presença do professor
em seus grupos o tempo todo para auxiliá-los.
Para a resolução da tarefa III, era necessário que utilizassem alguma das
estratégias que haviam apreendido para o cálculo do cosseno de 50 e 30º, mas
não o fizeram, foram consultar uma apostila que havia sido fornecido pela escola
e autorizado pelo professor em uma de suas falas:
P2 - Se vocês precisarem de alguma informação para resolver os
exercícios pode consultar o material que quiserem.
Ao terminarem as atividades iam entregando para o professor e o mesmo
ia marcando seus números numa folha para avaliá-los.
120
Atividade IV
Ao iniciar a atividade a professora justificou-se:
Como
na
aula
anterior
trabalharam
em
grupos,
nesta
vocês
desenvolverão a atividade individualmente, para verificar a autonomia de
cada um.
Todos desenvolveram as tarefas I e II sem solicitar o auxílio da professora,
não sendo possível desenvolver a tarefa III por falta de tempo.
A professora fez o seguinte comentário:
Apesar de alguns alunos ainda apresentarem algumas dificuldades no
enunciado, estou observando que eles estão apresentando uma
melhora.
Ao analisar os resultados encontrados pelos alunos observamos que
quatro dos alunos ao realizar a divisão da medida do cateto oposto pela medida
do cateto adjacente, inverteu as grandezas, encontrando como resultado 2 e não
0,5.
P2 - Nesta aula os alunos não solicitaram muito a presença do professor,
perguntando apenas se valeria nota.
Alguns alunos não demonstravam muito interesse em desenvolver as
atividades, esperando que os colegas respondessem para que copiassem suas
respostas. O professor não se preocupava com essa atitude e continuava com a
fala:
Eu não dou a resposta, eles tem que conseguir sozinhos.
Ao término da aula entregavam a atividade ao professor e cobravam para
que marcasse seu número na folha para terem nota.
Atividade V
P1 - Nesta aula a professora deixou os alunos sentarem em grupos e foi
até a lousa para fazer o esboço da figura solicitada pela tarefa.
121
A professora passou entre os grupos para auxiliá-los no desenvolvimento
das tarefas.
Os alunos que apresentavam dificuldades também eram auxiliados pelos
colegas que apresentavam uma maior facilidade para o desenvolvimento das
atividades.
P2 - A maioria dos alunos continuava no mesmo ritmo, falavam alto, riam
muito e não davam muito atenção ao que o professor dizia. Alguns alunos que
prestavam atenção na fala do professor se sentiam incomodados com o barulho
da sala e pediam para os colegas calarem a boca, gritando:
Dá para calar a boca, eu quero ouvir o professor falar.
Meu, senta aí.
O professor distribuiu as atividades e começou a passar nos grupos
orientando no desenvolvimento das atividades, alguns se preocupavam em
realizar e outros simplesmente copiavam dos colegas.
Um dos alunos perguntou ao professor:
Professor essa matéria cai na prova da Fatec?
O professor respondeu com outra pergunta:
Há você vai fazer a prova?
Eu vou, já fiz a inscrição, outro também gritou:
Eu também vou fazer.
Uma das meninas que se olhava no espelho o tempo todo, penteava os
cabelos, passava batom, gritou lá do fundo:
Eu quero fazer um curso de fotografia, será que lá tem?
O professor respondeu:
Não sei, entra no site e dá uma pesquisada, se não tiver, uma escola
que tenha curso de fotografia.
122
A aula se desenvolveu com base nesses assuntos, falando sobre os cursos
que queriam fazer, seus sonhos e objetivos.
O professor foi até a lousa e começou a explicar como funcionava os
vestibulares, as provas de processo seletivos das escolas técnicas e a
importância do que estavam estudando, fez o esboço dos gráficos das funções
polinomiais de primeiro grau e do segundo grau, da função seno e da cosseno,
dizendo;
Se cair num teste uma questão pedindo para identificar qual a figura que
melhor representa o gráfico da função seno, qual vocês responderiam?
Todos ficaram calados, não arriscando nenhum palpite.
O professor continuou;
Está vendo a importância de vocês se dedicarem, aqui nós temos o
gráfico de uma função polinomial do primeiro grau, que é uma reta,
neste aqui temos o gráfico de uma função polinomial do segundo grau,
que é uma parábola, essa matéria vocês já estudaram no primeiro ano.
Agora esses outros dois são os gráficos da função seno e cosseno, essa
matéria que nós estamos estudando. Se cair uma questão dessas vocês
não saberão responder por que não prestaram atenção, mas o professor
já trabalho com vocês.
Neste momento a sala toda ficou em silêncio.
P2 - Vamos lá pessoal, agora que vocês já sabem onde vão usar o que
estão aprendendo, vamos continuar fazendo as atividades.
Os alunos ficaram mais calmos, recomeçaram a chamar o professor nos
grupos para orientá-los.
Ao final da aula, quase todos entregaram a atividade para o professor,
observando se estava marcando seus números na folha da nota.
123
Atividade VI
P1 - A Professora distribuiu as atividades para serem desenvolvidas
individualmente. Os alunos estavam desmotivados para o desenvolvimento das
atividades, pois encontravam muitas dificuldades para interpretação dos
enunciados, chamando-a para ir até as carteiras, sendo necessário a professora ir
até a lousa e explicar que o objetivo da atividade era calcular o seno, o cosseno e
a tangente para os ângulos de 30, 45 e 60º para qualquer triângulo retângulo, por
isso os lados da figuras eram genéricos, ou seja estava representado por uma
letra.
Ao conversar com a professora me relatou que um dos motivos para o qual
os alunos não estavam motivados era a quantidade de conceitos envolvidos na
atividade e que os mesmos não estavam acostumados a trabalhar com o
abstrato, no qual os lados do triângulo não eram representados por um número e
sim por uma letra.
A professora foi até a lousa várias vezes para explicar como aplicar o
Teorema de Pitágoras, Racionalização de denominadores, o cálculo da altura de
um triângulo eqüilátero e vários outros conceitos, de acordo com seu relato, eles
não se lembravam mais.
A professora esclareceu todas as dúvidas apresentadas, na tentativa de
motivar os alunos, ia até a lousa e resolvia as atividades. Os alunos prestavam
atenção em suas explicações e mesmo encontrando muitas dificuldades não a
questionavam.
Para o desenvolvimento da atividade IV foi necessário a intervenção da
professora, porém os alunos já estavam se habituando a fazer o esboço do
desenho para representar uma situação problema.
P2 - Nesta aula os alunos estavam mais preocupados com o
desenvolvimento das atividades, porém as dúvidas e perguntas foram muitas, os
alunos não entendiam porque os lados da figura tinham como medida “l” e não um
número, perguntando:
Quanto que vale esse “l”?
124
Por que não tem um número em vez de “l”?
O professor explicou várias vezes que não importava a medida dos lados, o
que importava era a medida dos ângulos, que tanto fazia ser um “l”, dois “l”, eles
encontrariam o mesmo valor para o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de
45º, eles estavam usando uma medida genérica.
As dificuldades foram muitas, não estavam acostumados a trabalhar com
letras e com racionalização de denominadores. Foi necessário o professor ir a
todos os grupos por várias vezes e orientá-los, o tumulto voltou à sala, pois
solicitavam a presença do professor o tempo todo e não tinham paciência de
esperar.
Não foi possível terminar a atividade nesta aula, o professor pediu que
levassem para casa e terminassem em casa.
Atividade VII
P1 - Apesar da atividade trazer um modelo para o cálculo de uma das
razões do triângulo retângulo e pedir para ser calculado outras duas razões os
alunos não conseguiam fazer a associação entre elas, sendo necessário a
intervenção da professora por diversas vezes, ou seja, ia até a lousa e resolvia a
atividade ou parte dela.
Mesmo os alunos estando sentados individualmente, eles ajudavam os
colegas que estavam próximos e apresentavam uma maior dificuldade na
resolução das atividades.
P2 - Ao chegarmos na sala, percebemos que alguns alunos tinham
terminado as atividades da aula anterior em casa, outros copiavam dos que
tinham feito e outros não fizeram e também não estavam muito preocupados.
O professor recolheu a atividade VI entregando a VII, os alunos
perguntavam:
O senhor não vai marcar a nota?
125
Como de costume, os alunos não tinham calma nem paciência para ler as
atividades, entender e responder, já queriam que o professor fosse até as
carteiras e explicasse como desenvolver as atividades.
O professor ia a todos os grupos e pedia para ler e verificar o que estava
pedindo para ser feito, observar que já tinha um modelo pronto, bastava seguir os
mesmos procedimentos para resolver
Atividade VIII
P1 - Ao chegar na sala de aula os alunos sentaram em ordem numérica,
aguardando as instruções da professora.
Antes de iniciar o desenvolvimento das atividades a professora explicou
aos alunos o objetivo do projeto e pediu a colaboração de todos, o que se
mostraram bem animados e motivados em colaborar no desenvolvimento das
atividades.
Ao distribuir as atividades, a professora orientou que a atividade seria
desenvolvida individualmente, fornecendo compasso e transferidor aos alunos.
Os alunos mostraram bem familiarizados com tais instrumentos, pois já
haviam utilizados em outras atividades não apresentando dificuldades no seu
manuseio, ao serem questionados, me revelaram que haviam desenvolvido uma
sequência de atividades utilizando compasso, referiam-se ao material fornecido
pelo Estado.
As
maiores
dificuldades
apresentadas
pelos
alunos
foram
nas
interpretações dos enunciados, na aplicação de regra de três simples e na
localização de um número na reta real, sendo necessária a intervenção da
professora, indo até a lousa e mostrando como utilizar uma regra de três na
resolução de problemas e como localizar um número na reta real.
P2 - Ao iniciar as atividades o professor fez o seguinte comentário:
Esta atividade eles vão gostar de fazer, eles estão acostumados a
trabalhar com material concreto, e vão precisar usar o barbante para
medir o comprimento da circunferência.
126
A hipótese do professor foi confirmada, os alunos se sentiram bastante
motivados na utilização de um pedaço de barbante para medir o raío da
semicircunferência, porém solicitavam a presença do professor para auxiliá-los o
tempo todo.
Os alunos encontraram dificuldades na utilização da regra de três como
instrumento para transformação de graus em radianos, na localização de um
número irracional na reta numerada e na localização de um ponto sobre a
circunferência, sendo necessário o auxílio do professor.
Alguns alunos ao terminarem as atividades auxiliavam os colegas que
estavam com dificuldades, outros simplesmente copiavam as respostas, no
entanto percebemos uma melhora tanto no comportamento, quanto no
comprometimento do desenvolvimento das atividades na grande maioria dos
alunos.
Atividade IX
P1 - Como de costume os alunos entraram na sala calmos, tranqüilos,
sentaram um atrás do outro por ordem de chamada, aguardando as instruções da
professora,
que
distribuiu
as
atividades
e
pediu
para
trabalhassem
individualmente.
A professora foi até a lousa e reproduziu o desenho que estava na
atividade explicando-a e justificando que não encontrariam dificuldades, pois já
haviam trabalhado com uma atividade muito parecida na apostila.
Os questionamentos foram poucos, apenas para preencher a tabela foi
necessário que a professora os orientasse sobre as coordenadas de cada ponto.
P2 - Apesar de terem apresentado uma melhora no comportamento e no
comprometimento no desenvolvimento das atividades os alunos solicitavam muito
a presença do professor no grupos para auxiliá-los no desenvolvimento das
atividades, o qual estava sempre disposto para atendê-los.
127
Em todas as aulas surgia a pergunta:
Vai valer nota hoje?
O professor sempre respondia:
Claro que vale. Vocês sabem que estão sendo avaliados o tempo todo.
Atividade X
P1 - Para o desenvolvimento desta atividade a professora teve que
fornecer os valores dos senos e dos cossenos dos arcos pedidos pela atividade,
pois já tinham entregado a atividade que continha os valores pedidos, houve
vários questionamentos nas características dos gráficos do seno e cosseno, pois
já conheciam suas características e na figura fornecida para suas construções
não ficou clara, sendo necessária a intervenção da professora.
P2 - As dúvidas apresentadas pelos alunos foi na construção dos gráficos.
O eixo das abscissas tinha apenas quatro pontos e na tabela foram atribuídos oito
valores para x, sendo necessário esclarecer que os pontos que estavam sobre o
eixo eram para os valores dos arcos de 0, 90, 180, 270 e 360 graus, e os arcos de
30, 45 e 60 graus deveriam ser colocados entre 0 e 90 graus, dando a noção que
a característica da curva do gráfico da função seno e cosseno, portanto
acreditamos que deveríamos ter complementado a atividade para outros arcos.
Atividade XI
P1 - A atividade deveria ser desenvolvida no laboratório de informática
utilizando um software gráfico, mas não foi possível, pois o laboratório estava
passando por uma reforma.
A professora me relatou o fato e tomou a iniciativa de desenvolver a
atividade em sala de aula utilizando régua, lápis e papel.
Ao distribuir a atividade explicou aos alunos que a atividade deveria ser
desenvolvida no laboratório de informática utilizando um software chamado
Geogébra, mas não seria possível devido a reforma, então teriam que fazer
utilizando papel, lápis e régua.
128
Apesar da falta do recurso adequado os alunos se mostraram bem
interessados na construção dos gráficos, pois já tinha desenvolvido uma atividade
semelhante a esta com material fornecido pelo Estado.
Alguns alunos encontraram dificuldades na montagem das tabelas sendo
uma para a função y=senx e suas associadas e outra para y=cosx e suas
associadas, atribuindo os valores para x e solicitando que os alunos
encontrassem os valores de y=senx, y=2senx, y=sen2x, y=3senx e y=sen3x.
Os alunos que estavam com dificuldades procuraram a ajuda da professora
ou dos colegas para auxiliá-los.
Não foi possível terminarem a atividade na aula sendo incentivados pela
professora a levarem para casa e o terminarem.
P2 - A atividade não foi desenvolvida, o professor me relatou que o
laboratório de informática estava passando por reformas e não seria possível
desenvolver as atividades.
Relatório final dos alunos
Na última aula foi passado aos alunos para desenvolverem um relatório
contendo as seguintes informações:
1) Qual a opinião de vocês sobre as atividades desenvolvidas?
2) Quais os pontos positivos e quais os pontos negativos na forma como
foi abordado o tema da trigonometria?
Vários foram os comentários dos alunos, mas todos relataram a
importância e a contribuição que as atividades trouxeram para seu aprimoramento
em trigonometria. Segue abaixo parte da transcrição de alguns relatos:
Aluno 1 - A parte mais interessante foi que o trabalho pode ser feito em
grupo, assim uma oportunidade que os alunos tiveram para discutir os resultados
e assim chegar a uma solução.
129
Vários alunos fizeram comentários sobre a oportunidade que tiveram em
fazer as atividades em grupos, uma forma de aprender com a colaboração e
ajuda dos colegas.
Aluno 2 - O trabalho foi muito interessante, nos descobrimos novas
técnicas para fazer os cálculos e aprimorarmos o nosso conhecimento sobre o
assunto.
Aluno 3 - Não tenho nenhuma critica a fazer sobre as atividades, a não ser
a atividade nº VII, que estava meio complicada, tinha um grau de dificuldade
maior do que as outras.
Aluno 4 - As atividades propostas foram muitos interessantes, pois
mostraram um modo diferente de calcularmos seno e cosseno, vimos como é fácil
descobrir ângulos a partir de medidas dos lados de um triângulo e, também como
é fácil percebemos que a razão entre os lados dos triângulos é sempre a mesma
quando o ângulo é o mesmo não importando o comprimento dos seus lados, uma
nova forma de ver a matemática.
Aluno 5 - Foi uma contribuição para a minha aprendizagem, me ajudou a
entender melhor o Teorema de Pitágoras. Só tenho uma crítica, as perguntas
depois de cada tarefa tinham as respostas muito parecidas, isso impediu que
fossem respostas mais elaboradas.
Aluno 6 - O ponto forte foi a participação da sala, mas o ponto fraco foi as
questões terem o mesmo sentido tanto na pergunta quanto na resposta.
Aluno 7 - Eu gostei muito, pode esclarecer bem minhas dúvidas a respeito
de ângulos, como usar o transferidor e a diferença de ângulos.
Aluno 8 - Eu gostei das atividades, foram bem legais,participei de todas,
aprndi bastante sobre tigonometria, tive um bom desempenho, conheci coisas que
eu nem sabia que existia, foi muito bom, se tivesse de novo eu participaria com
maior prazer, pois aprender nunca é demais.
Todas as respostas foram nesse sentido, alegando que gostaram muito,
aprenderam coisas novas.
130
Anexo V
Primeira versão da THA
Ao iniciarmos este trabalho estamos propondo um texto com objetivo de
despertar o interesse e a motivação dos alunos para os conteúdos a serem
aprendidos, pois desde os tempos antigos a curiosidade tem sido elemento
propulsor para a descoberta, construções e demonstrações de teoremas na
solução de problemas.
Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na
Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiu todo o conhecimento do Egito, da
Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à
matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre
Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a
estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos
geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola
pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas
construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de
calcular.
Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa
"muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por
intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento
de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar “desde os tempos da
antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada
para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram
solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um
observador e o cálculo da altura de uma construção”.
No primeiro caso, para calcular, por exemplo, à distância de um barco até a
costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de
maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à
linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois
observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque
os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e, portanto os catetos eram iguais.
131
Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância
do barco até a costa.
O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma
árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e
espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. Os
triângulos formados pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de
ambos são isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.
Naquela época, o sábio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao Egito. O
faraó já conhecia sua fama de matemático. Ouvira dizer até que Tales era capaz
de uma incrível façanha: podia calcular a altura de uma construção, por maior que
fosse sem precisar subir nela.
Por ordem do monarca, alguns matemáticos egípcios foram ao encontro do
visitante e pediram-lhe que calculasse a altura de uma das pirâmides. Tales
ouviu-os com atenção e se dispôs a atendê-los imediatamente.
Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fincou no chão uma vara, na
vertical. Observando a posição da sombra, Tales deitou a vara no chão, a partir
do ponto em que foi fincada, marcando na areia o tamanho do seu comprimento.
Depois, voltou à vara à posição vertical.
Vamos esperar alguns instantes, disse ele. Daqui a pouco poderei dar a
resposta.
Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num
determinado momento, a sombra ficou exatamente o comprimento da vara. Tales
disse então aos egípcios:
Vão depressa até a pirâmide, meçam sua sombra e acrescentam ao
resultado a medida da metade do lado da base. Essa soma é a altura
exata da pirâmide21.
Podemos perceber que por meio deste texto a matemática é fruto da
construção humana e vem sendo construída ao longo dos anos, não sendo
possível trabalhar de forma descontextualizada.
____________
21
Texto adaptado de: Contando a História da Matemática, “Dando corda na Trigonometria”, Oscar Guelli.
132
Atividade I
Objetivo Geral: Retomar o conceito de proporcionalidade envolvendo
unidades de medida de comprimento.
Tarefa I
Objetivo Específico: Estabelecer a relação entre a medida do lado de um
quadrado e seu perímetro.
Material necessário: régua
Procedimentos: Desenhar quadrados com lados medindo: 2cm, 3cm, 4cm,
5cm e 6cm, a seguir, completar a tabela abaixo relacionando as medidas dos
lados dos quadrados, seus respectivos perímetros e a razão entre eles:
Medida do
Perímetro Razão
Lado em cm em cm
2
8
¼
3
12
¼
4
16
¼
5
20
¼
6
24
¼
L
4ℓ
¼
Então, podemos estabelecer a seguinte relação entre os lados de um
quadrado e seu perímetro:
Seja um quadrado de lado ℓ e perímetro 4ℓ, a razão entre o lado e o seu
perímetro sempre será
proporcionalidade.

4
1
, que neste caso, é chamada de constante de
4
133
Tarefa II
Objetivo Específico: Estabelecer a relação existente entre o comprimento
de uma circunferência e o seu diâmetro.
Material necessário: objetos circulares com tamanhos diverso e fita métrica.
Procedimentos: medir o comprimento dos objetos circulares e seus
respectivos diâmetros, a seguir completar a tabela abaixo relacionando o
comprimento da circunferência, o seu diâmetro e a razão entre eles.
Comprimento da
Diâmetro
Circunferência em cm
Em cm
C
D
Razão
3,14
Então, podemos estabelecer a seguinte relação entre o comprimento de
uma circunferência e o seu diâmetro:
Seja uma circunferência de comprimento c e diâmetro d, a razão entre o
comprimento e o seu diâmetro será sempre
c
d
3,14 , que é chamada de
constante de proporcionalidade.
A constante de proporcionalidade entre o comprimento de uma
circunferência e o seu diâmetro corresponde aproximadamente ao número
irracional , que vale aproximadamente 3,14.
Tarefa III
Objetivo Específico: Estabelecer a relação existente entre a altura de uma
pessoa „A‟ e à medida do umbigo ao chão „U‟.
134
Material necessário: fita métrica
Procedimentos: Os alunos deverão medir a altura dos colegas e a medida
do umbigo ao chão, a seguir deverão completar a tabela relacionando a media do
umbigo ao chão „U‟ as respectivas alturas „A‟22.
Altura Altura Umbigo
U/A
1
2
3
4
5
A
A
U
0,618
Então, neste caso, podemos estabelecer a seguinte relação existente entre
a altura de uma pessoa e a medida do umbigo ao chão:
Seja a medida do umbigo ao chão „U‟ de uma pessoa e a respectiva „A‟. As
razões obtidas serão as mesmas para a maioria das pessoas
U
A
0,618 que é
chamada de razão áurea, ou divina proporção e tem valor aproximado de 0,618.
Tarefa IV
Objetivo
Específico:
Aplicar
o
conceito
de
razões
diretamente
proporcionais na resolução de problemas envolvendo a relações entre duas
grandezas.
1) Um automóvel percorreu 240km com 10 litros de gasolina. Para
percorrer 360 km, qual a quantidade de gasolina que será necessário?
240
10
360
x
x
15 litros de gasolina
____________
22
Atividade adaptada de: LAURO, Maira Mendias. Percepção – Construção – Representação – Concepção.
Os quatro processos de ensino da Geometria: uma proposta de articulação. Dissertação Mestrado. USP,
São Paulo. 2007.
135
2) Durante o atendimento aos clientes de um banco verificou-se que um
caixa atendia 3 clientes a cada 5 minutos, sabendo-se que na sua fila encontramse 36 clientes, qual o tempo necessário para atender a todos?
3
5
36
x
x
60 minutos
3) Um alpinista escala uma montanha a uma razão de 2 metros por minuto.
Sabendo-se que a montanha tem 1200 metros de altitude, quanto tempo será
necessário para esse alpinista atingir seu topo?
2
1
1200
x
x
600 minutos, ou seja, 10 horas
Atividade 2
Objetivo Geral: Retomar o conceito de homotetia.
Tarefa I
Objetivo Específico: Perceber que ao ampliar ou reduzir uma figura por
homotetia elas mantém as mesmas características, ou seja, permanecem
semelhantes, pois a razão entre seus lados e a medidas dos ângulos
correspondentes permanecem as mesmas;
Construção de um arranjo de teto utilizando figuras planas com medidas
diferentes.
Materiais: Papel color-set colorido, barbante, régua, lapis, esquadro, cola,
fita adesiva e palitos de sorvete.
Procedimentos:
1º Passo:
Desenhar quatro quadrados com medidas diferentes: O primeiro
medindo 5 cm de lado, o segundo com 10 cm de lado, o terceiro 15cm e
o por fim, um quarto quadrado com 20cm de lado.
136
Recortar;
Traçar as duas linhas diagonais em cada quadrado;
Fazer um pequeno orifício no centro e próximo de cada vértice em cada
quadrado, como o modelo a seguir:
2º Passo:
Cortar cinco pedaços de barbante com 40 cm de comprimento cada um;
Amarrar suas pontas num único ponto;
Passar os pedaços de barbante pelos orifícios dos quadrados,
começando pelo quadrado de 5 cm a seguir pelo de 10 cm, depois pelo
de 15 cm,e por fim o de 20 cm, deixando uma distância de mais ou
menos 5cm entre uma e outra figura, amarrando num único ponto, ver
figura abaixo:
P
Determine a razão entre os lados dos quadrados.
Efetue as medidas dos ângulos dos quadrados
Quais conclusões podemos chegar?
137
Ao analisar a construção acima podemos observar que a partir de um
ponto P se traçarmos segmentos passando pelos vértices da figura, podemos
ampliar ou reduzir esta figura, e manter as mesmas características da figura
original, pois seus ângulos permanecem com as mesmas medidas e a razão entre
as medidas dos seus lados é sempre uma constante. Esta técnica é chamada de
“Homotetia”,
Tarefa III
Objetivo específico: Identificar grupo de figuras ampliadas por homotetia.
Ao analisar os grupos de figuras semelhantes abaixo, identifique quais
foram ampliadas utilizando homotetia.
grupo a, c e d.
a)
b)
c)
d)
138
Atividade 3
Objetivo Geral: Reconhecer propriedades de figuras semelhantes e
resolver situações problema que envolve semelhança entre figuras.
Tarefa I
Objetivo Específico: Ampliar figuras por homotetia.
Material necessário: Régua, compasso e calculadora.
Construir na malha quadriculada abaixo os pontos de coordenadas
R(G,5), S(G,7) e T(E,5).
Traçar segmentos RT , RS e ST de forma a obter o
RST .
Construir um ponto P de coordenadas (G,2).
A partir do ponto P traçar semi-retas passando pelos vértices do
RST .
Construir o segmento PR de mesmo sentido e mesma direção que PR ,
medindo 2 vezes a distância de PR .
Construir o segmento PS de mesmo sentido e mesma direção que PS ,
medindo 2 vezes a distância de PS .
Construir o segmento R T de coordenadas (C,8)
Traçar os segmentos R T , R S e S T , de forma a obter o
RST .
Indique a medida dos segmentos R S e R T .
Tarefa II
Objetivo específico: Reduzir figuras por Homotetia.
Construir o segmento PR de mesmo sentido e mesma direção que PR ,
medindo a metade „½‟ da distância de PR .
Construir o segmento PS de mesmo sentido e mesma direção que PS ,
medindo a metade „½‟ da distância de PS .
Marcar o ponto T , de coordenadas (F; 3,5)
139
Construir o segmento R T .
Traçar os segmentos R T , R S e S T ,de forma a obter o
RST .
Indique a medida dos segmentos R S e R T .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
B
T'
C
D
T
E
T"
F
4 cm
2cm
1cm
G
P
R"1cmS" R
2cm
S
4 cm
S'
H
I
Tarefa II
Objetivo Específico: Determinar a medida do lado oposto ao ângulo reto
de um triângulo retângulo pelo Teorema de Pitágoras.
Aplicando o teorema de Pitágoras calcular a hipotenusa em cada um dos
triângulos retângulos.
(ST)2
RST
(ST)2
22
(ST)2
4 4
ST
8
ST
2 2
RST
RST
(PR)2
22
ST
ST
4 2
2
(RT)2
140
Tarefa II
Determinar as razões entre os lados dos triângulos R S T e RST.
a)
med(R S )
med(RS)
4
2
2
b)
med(R T )
med(RT)
4
2
2
c)
med(S T )
med(ST )
4 2
2 2
2
Ao ampliarmos uma figura, podemos observar que as razões entre os seus
um
lados permanecem a mesma, ou seja, 2 .
Tarefa III
Objetivo específico: determinar as razões entre os lados de um triângulo.
Determinar as razões entre os lados do triângulo R S T e RST.
d)
med(R S )
med(RS)
1
2
e)
med(R T )
med(RT)
1
2
f)
med(S T )
med(ST)
2
2 2
1
2
Ao reduzirmos uma figura, podemos observar que as razões entre os seus
lados permanecem o mesmo, ou seja,
1
.
2
Utilizando um transferidor e medindo os ângulos desses triângulos,
podemos observar que ao comparar os ângulos correspondentes em cada
triângulo as medidas permanecem a mesma, ou seja, 45º
141
Portanto, se dois triângulos possuem todos os lados correspondentes com
a mesma razão e os ângulos correspondentes com as mesmas medidas podemos
dizer que esses triângulos são semelhantes.
Tarefa IV
Objetivo
específico:
Aplicar
o
conceito
de
razões
diretamente
proporcionais entre figuras semelhantes.
O triângulo GIL é uma ampliação proporcional do triângulo MEU23
U
L
G
4 cm
I
8 cm
M
E
Sabendo-se que o triângulo MEU é uma ampliação proporcional do GIL,
então podemos estabelecer as seguintes relações:
med(GI)
med(GL)
med(ME)
med(MU)
4
3
8
x
x
6cm : Portanto, a medida x é igual a 6
cm.
Tarefa V
Objetivo Específico: Resolver problemas que envolvam o conceito de
semelhança de triângulos:
1) Num dia ensolarado, Silvia aproveitou para fazer uma experiência
sugerida por seu professor de matemática. Num mesmo instante que
mediu sua sombra, mediu a sombra de um poste de iluminação que fica
no pátio de sua escola. A sombra de Marta mediu 40 cm e a do poste
____________
23
Atividade adaptada do caderno de apoio do professor: matemático ensino fundamental – 8ª série, 3º
Bimestre/ Secretaria da Educação; São Paulo.
142
mediu 1,75 m. Sabendo que Marta tem 1,60 m de altura, qual deve ser
a altura do poste em questão?
160
40
x
175
x
7m .
2) Qual é a altura de um mastro usado para hasteamento de bandeiras
sabendo que o comprimento de sua sombra é igual a 4m num instante
em que o comprimento da sombra de uma barra vertical de 1,2 m é de
80 cm?
x
4
1,2
0,8
x
6m
3) Uma pessoa se localizada a 6,30 m da base de um poste. Num
determinado instante, a sombra projetada por ela é de 2,70 m e coincide
com a extremidade da sombra do poste. Sabendo que essa pessoa
mede 1,80 m, determinar a altura do poste.
x
3,60
1,80
2,70
x
2,40 m
4) Ana, com 1,71 m de altura coloca um espelho no chão e se situa a
0,90m dele, de modo que consiga ver refletido no espelho o topo de
uma árvore que está a 4,50 m do espelho. Qual a altura da árvore?
1,70
0,90
x
4,50
x
8,50m
Atividade 4
Objetivo Geral: Demonstrar e explorar situações problema que envolva o
Teorema de Pitágoras.
Tarefa I
Objetivo Específico: Demonstrar o Teorema de Pitágoras por meio de
material concreto.
Marcar os pontos P, Q e R de coordenadas P (H,6), Q(H,10) e R(E,6).
Unir os pontos P a Q, Q a R e R a P, formando o ∆PQR.
143
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13141516 17 18 19 20 21 22 23 24
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
Utilizando a malha quadriculada abaixo, construir 3 quadrados com os
lados medindo, 3u, 4u e 5u.
Recortar os quadrados e colar sobre os lados do ∆PQR da figura acima.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13141516 17 18 19 20 21 22 23 24
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
Então, podemos estabelecer a seguinte relação entre os lados do triângulo
retângulo: hipotenusa2
cateto2 cateto2 .
Tarefa II
Objetivo específico: Resolver situações problemas envolvendo o
Teorema de Pitágoras.
144
1) Quantos metros de arame são necessários para cercar um terreno que
tem a forma de um triângulo retângulo e seus lados perpendiculares
medem 30 cm e 40 cm, sendo que o cercado terá 8 voltas de arame ?
h2
302
h2
900 1600
h
2500
h
402
50m
Para dar uma volta no terreno serão necessários 120 m de arame. Como o
terreno terá 8 voltas, serão necessários 400 m de arame.
2) Um pescador quer atravessar um rio usando um barco. A largura do rio é a
distância de A até B. Partindo do Ponto A, a correnteza faz com que ele
atraque no ponto C 480 m abaixo do ponto B, percorrendo uma distância
de 600 m. Qual a largura do rio?
6002


4802
2
590400
768 metros aproximadamente
3) Um bambu de 32 m de altura é quebrado pelo vento, de modo que a
ponta encontre o chão a 16m da base, a que altura a partir do chão ele
foi quebrado?
(32 x)2
1024 64x
64x
x2 162
x2
x 2 162
768
x 12 metros
4) Uma escada de 2,5 m de comprimento está apoiada em um muro, de
modo que sua extremidade inferior encontra-se a 0,7 m desse muro.
Qual a altura do muro?
(2,5)2
x
x2 (0,7)2
2,4 metros
145
Atividade 5
Objetivo Geral: Identificar seno, co-seno e tangente como razões entre
dois lados de um triângulo retângulo.
Tarefa I
Objetivo específico: Determinar seno, co-seno e tangente do ângulo de
45 .
Construa um triângulo retângulo isóscele ABC, retângulo em A e catetos
de medida  ;
Identifique as medidas dos ângulos;
Utilizando o Teorema de Pitágoras determine a medida da hipotenusa;
x2
2
x
 2
2
Determine:
a) A razão entre o cateto oposto a B e a hipotenusa;
cateto oposto
hipotenusa

1
2
 2
2
2
2
2
2
b) A razão entre o cateto adjacente a B e a hipotenusa;
cateto adjacente
hipotenusa

 2
1
2
2
2
2
2
2
146
c) A razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente;
cateto oposto
cateto adjacente


1
Utilizando o conceito de homotetia construa os triângulos A B C medindo
2 vezes a medida dos lados do triângulo ABC.
Determine a medida da hipotenusa.
x2
x
(2)2 (2)2
2 2
Usando um transferidor efetue as medidas dos ângulos internos
Determine:
a) A razão entre o cateto oposto a B‟ e a hipotenusa:
cateto oposto
hipotenusa
2
2 2
1
2
2
2
2
2
2
b) A razão entre o cateto adjacente a B‟ e a hipotenusa:
cateto adjacente
hipotenusa
2
2 2
1
2
2
2
2
2
2
c) A razão entre o cateto oposto a B‟ e o cateto adjacente.
cateto oposto
cateto adjacente
2
2
1
Em qualquer triângulo retângulo que tiver um ângulo agudo α, podemos
estabelecer as seguintes relações:
a razão entre o cateto oposto ao ângulo α e a hipotenusa é denominado
seno de α.
a razão entre o cateto adjacente ao ângulo α e hipotenusa é
denominado co-seno de α.
a razão entre o cateto oposto de α e o cateto adjacente de α é
denominado tangente de α.
147
Observando os cálculos das razões entre os lados dos triângulos
retângulos acima, ou seja, ao calcularmos o seno o co-seno e a tangente dos
ângulos α e α‟, e os resultados encontrados quais conclusões podemos chegar?
Qualquer que seja as medidas dos lados do triângulo, as razões entre os
seus lados permanecem a mesma, ou seja, o seno, o co-seno e a tangente terão
os mesmos valores.
Tarefa II
Objetivo Específico: Determinar o seno, co-seno e a tangente dos
ângulos de
e6 .
Construa um triângulo equilátero de lado igual a  ;
Identifique as medidas dos ângulos;
Trace a altura relativa a base do triângulo;
Identifique as medidas dos novos ângulos nos triângulos retângulos
formados a partir da altura do triângulo equilátero;
Determine a medida da altura no triângulo equilátero utilizando o
Teorema de Pitágoras;
2
h
h2 ( / 2)2
( 3) / 2
Determine o seno o co-seno e a tangente dos ângulos de 30º e de 60º,
completando a tabela abaixo.
/2
cateto oposto
a) sen 30º = hipotenusa

b) cos 30º =
cateto adjacente
hipotenusa
c) tangente 30º =
d) cos 60º =
=
( 3) / 2

=
3
3
/2

1
2
cateto oposto
cateto adjacente
cateto adjacente
hipotenusa
=
1
2
3
2
148
e) sen 60º =
cateto oposto
hipotenusa
f) tangente 60º =
=
( 3) / 2

cateto oposto
cateto adjacente
=
3
2
 3 /2
/2
3
30º
45º
60º
seno
1
2
2
2
3
2
co-seno
3
2
2
2
1
2
tangente
3
3
1
3
Tarefa III
Objetivo Específico: Aplicar as razões trigonométricas em situações
problemas.
1) O vento quebra uma árvore durante uma tempestade. A copa dessa
árvore encosta no solo a 10 m de sua base. Sabendo que o ângulo
formado entre a copa da árvore e o solo é de 45º, determine a altura da
árvore.
co
ca
tg 45º
ca
hip
cos 45º
x
y
x
10
1
10
y
x 10
2
2
y 10 2
(10 10 2)m
2) Dois topógrafos estão na mesma margem de um rio, separados 36 m
um do outro. Um deles observa uma pedra que está na outra margem,
bem em frente ao seu companheiro. Com a ajuda de um teodolito, o
observador verifica que a linha perpendicular que une a pedra ao seu
149
colega forma um ângulo de 45º com a linha de mira do teodolito à
pedra. Qual é a largura do rio?
co
ca
tg 45º
36
x
1
x
36 m
3) Uma escada, que mede 3,30 m de comprimento, está apoiada numa
parede vertical, sua base forma um ângulo de 60º com o solo. Uma
pessoa que se encontra em seu topo está a quanto metros do solo?
co
hip
sen 60º
x
3,30
3
2
x
(1,65 3)m
4) Determine a altura de uma árvore que projeta uma sombra de 13 m
quando os raios de sol formam um ângulo de 30º com o solo.
co
ca
sen 30º
x
13
1
2
x
6,5m
Atividade VI
Objetivo Específico: Localizar o ponto de extremidade de arcos,
utilizando-se de duas unidades de medida: o graus e radianos.
Tarefa I
Construa, na figura abaixo, um arco de circunferência de centro O e raio
qualquer de modo que o arco AM, meça 180º.
O
Meça com um barbante o comprimento do raio.
Ajuste esse comprimento do raio sobre o semicírculo traçado e marque o
arco encontrado, de tal forma que o arco tenha comprimento igual ao raio.
150
O arco encontrado cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que
o contém é chamado de radiano.
Meça, com um barbante, a medida do arco AM; Divida o valor encontrado
pela medida do raio.
O valor encontrado é ______, isso significa quantas vezes o raio cabe num
arco de 180º, ou seja, ________
Construa, na figura abaixo uma circunferência de centro O e raio qualquer.
Meça, com um barbante, a medida do raio. A seguir meça também com
barbante o comprimento da circunferência. Divida o valor encontrado pela medida
do diâmetro.
O
Comparando os resultados encontrados, o que podemos concluir?
Esse número 3,14... é o valor do número irracional .
Podemos estabelecer uma relação para transformar graus e radianos
utilizando uma regra de três:
Graus
Radianos
180º
360º
2
Complete o quadro abaixo:
Graus
0
30
45
60
90
180 270 360
Radianos
Utilizando uma calculadora, localize na reta numérica os seguintes
números:
151
0, /6, /4, /3, /2, , 3 /2, 2 , - /6, - /4, - /3, - /2, - , -3 /2, -2 .
Sabendo-se que o raio da circunferência abaixo é de 1u e que seu
comprimento é 2 , temos que, a cada número real x, com 0
x
2 , podem ser
associados a uma posição de P sobre a circunferência, localize os seguintes
pontos sobre a circunferência:
A=0, E= /6, F= /4, G= /3, B= /2, C= , D=3 /2, A=2 .
60º
45º
30º
O
Atividade VII
Objetivo geral: Calcular seno, co-seno, tangente, de um ângulo no círculo
trigonométrico.
Tarefa I
Objetivo específico: Calcular seno, co-seno, tangente, de um ângulo no
círculo trigonométrico.
A circunferência abaixo tem 1u de medida de raio, sabendo que x é a
medida do ângulo central correspondente ao arco OP, quais as coordenadas do
ponto P?
Durante a realização desta atividade os alunos deverão perceber que as
coordenadas de qualquer ponto sobre a circunferência é (cosx, senx).
152
P
PQ = cateto oposto a POQ
x
O
OQ = cateto adjacente a POQ
PO = hipotenusa
Q
Como o seno de um arco na circunferência trigonométrica coincide com a
ordenada do ponto correspondente à extremidade do arco e o co-seno de um
arco na circunferência trigonométrica coincide com a abscissa do ponto
correspondente à extremidade do arco temos que: o eixo das ordenadas é o eixo
dos senos e o eixo das abscissas é o eixo dos cossenos.
P
x
senx
O cosx Q
De acordo com as informações acima, onde as coordenadas de um ponto
no ciclo trigonométrico é dado por (cosx, senx), sabendo-se que o raio da
circunferência é de 1u dê as coordenadas do ponto A, B e F.
B
F
45º
A
O
Seja um arco de x rad com extremidade P. Observando a figura qual a
relação existente entre senx e cosx ?
153
tangentes
senos
B
senx
45º
cosx
P T
x tgx
A
co-senos
O
Complete a tabela abaixo:
Graus
0
30
45
60
90
180 270 360
Radianos
Seno
Cosseno
Tangente
Discutir com alunos quais os maiores e os menores valores para o seno e
cosseno de um ângulo no circulo trigonométrico e os valores de tangente de 90º e
270º.
Atividade VIII
Tarefa I
Objetivo específico: Construir e reconhecer um gráfico das funções
y=senx, y=cosx e y=tgx.
Utilizando-se dos valores fornecidos para seno, co-seno e tangente de x,
monte uma tabela e construa os gráficos das funções y=senx e y=cosx.
154
Radianos 0
/6
/4
/3
/2
3 /2 2
Seno
Co-seno
Tangente
x
y=senx
0
/6
/4
/3
/2
3 /2
2
y
x
155
x
y=cosx
0
/6
/4
/3
/2
3 /2
2
y
x
x
0
/6
/4
/3
/2
3 /2
2
y=tgx
156
y
x
Atividade IX
Tarefa I
Objetivo específico: Construir o gráfico das funções y=senx, y=cosx e
y=tangx por meio de software.
Utilizando o software graphmática, construir os gráficos das funções
y=senx, y=cosx e y=tangx comparar seus valores a partir das construções acima
respondendo:
Qual o domínio das funções?
Qual a imagem das funções?
Pesquisar aplicações dessas funções trigonométricas em outras áreas de
conhecimento
Tarefa II
Objetivo específico: Identificar o período e imagem das funções y = senx,
y= cosx e y = tgx e o de suas associadas.
Construir no computador o gráfico de y = senx e depois os gráficos de:
a) y = 2 senx
b) Y = sen2x
c) y = ½ senx
d) y = senx/2
e) u = - senx
157
Comparar o gráfico de cada uma das funções com o da função y = senx,
identificando em especial, o período e formulando conjecturas sobre gráficos de
funções tais como.
f) y = 3 senx
g) Y = sen3x
h) y = 1/3 senx
i) y = senx/3
Construir no computador o gráfico de y = cosx e depois os gráficos de:
j) y = 2 cosx
k) Y = cos2x
l) y = ½ cosx
m) y = cosx/2
n) u = - cosx
Comparar o gráfico de cada uma das funções com o da função y = cosx,
identificando em especial, o período e formulando conjecturas sobre gráficos de
funções tais como.
o) y = 3 cosx
p) Y = cos3x
q) y = 1/3 cosx
r) y = cosx/3
Construir no computador o gráfico de y = tgx e depois os gráficos de:
s) y = 2 tgx
t) Y = tg2x
u) y = ½ tgx
v) y = tgx/2
w) u = - tgx
158
Comparar o gráfico de cada uma das funções com o da função y = tgx,
identificando em especial, o período e formulando conjecturas sobre gráficos de
funções tais como.
x) y = 3 tgx
y) Y = tg3x
z) y = 1/3 tgx
aa)
y = tgx/3
Atividade X
Objetivo Geral: Formular a lei dos senos e dos co-senos e utilizar em
situações problemas.
Tarefa I
Objetivo Específico: formular a lei dos cosssenos.
Observe o triângulo acutângulo ABC.
C
a
b
A
B
c
Traçando a altura H em relação ao lado AB temos:
C
a
b
h
A
m
H
c
B
159
Aplique o Teorema de Pitágoras no triângulo BCH, (I)
Aplique o Teorema de Pitágoras no triângulo ACH, (II)
Substituindo (II) em (I), tem-se (III):
Ainda no triângulo ACH, tem-se que o cosα=m/b
m = b . cosα (IV)
Substituindo (IV) em (III), obtemos:
As demonstrações são válidas para os ângulos α,
e , portanto podemos
enunciar a lei dos cossenos:
Num triângulo qualquer, o ____________ da medida de um lado é igual à
______ dos _____________ das medidas dos outros dois lados, ______ duas
vezes o ____________ das medidas desses lados pelo __________ do ângulo
formado por eles.
Tarefa II
Objetivo Específico: Formular a Lei dos senos.
Observe os triângulos acutângulos ABC.
C
C

a
b
x
b
a
y

A
B
H
c
A
x = b . sen A
b . sen A = a . sen B
Sen B = x/a
H
c
Da figura à esquerda temos que:
Sen A = x/b

a/sen A = b/sen B (I)
x = a . sen B
B
160
Da figura à direita temos que:
Sen B = y/c
y = c . sen B
c . sen B = b . sen C
Sen C = y/b
c/sen C = b/sen B (II)
y = b . sen C
De (I) e (II), podemos concluir que a/senA=B/senB=c/senC (lei dos senos)
Tarefa III
Objetivo Específico: Resolver situações problemas aplicando as Leis dos
senos e dos cossenos.
Problemas
1) Um observador está em A e necessita calcular sua distância até o ponto
B, mas este ponto é inacessível a ele. No entanto, ele conta com os
dados mostrados na figura:
B
x
100m
RIO DAS PEDRAS
60º
C
A
80m
2) Imagine um menino sentado num muro, observa o topo e o “pé” de um
prédio, conforme a figura abaixo. Determine a altura do prédio.
65m
x
60º
25m
161
3) Uma equipe de trabalho parte de um ponto P, em linha reta, abrindo
uma estrada de 1200 m que forma um ângulo de 60º com a reta r. Uma
segunda equipe esta em Q a 1639,23 m da primeira e deve iniciar uma
segunda estrada que ligará Q a L. Sob que ângulo deve seguir a
segunda equipe e qual o comprimento da estrada?
L
1200m
x
a
60º
P
1639,23m
Q
4) Um barco de pescadores A emite um sinal de socorro que é recebido por
dois radioamadores, B e C, distantes entre si 70 km. Sabendo que os
ângulos ABC e ACB medem respectivamente, 64º e 50º, qual radiador
se encontra mais próximo do barco. A que distância ele está do barco?