1
CUFSA - FAFIL – Graduação em Matemática
TRIGONOMETRIA
(Resumo Teórico)
INTRODUÇÃO
ARCOS:
Dados dois pontos A e B de uma circunferência, definimos Arco AB a qualquer uma das partes
desta circunferência compreendida entre A e B. Se os pontos A e B coincidem, então uma das
partes é um arco nulo (AB = 0°) e a outra é um arco de uma volta (AB = 360°)
•
A
•A≅
B
•B
•C
•C
Medida de Arcos:
A medida de uma grandeza é sempre um número real x que exprime a relação que existe entre
essa grandeza e uma grandeza unitária da mesma espécie.
As unidades usuais de medida de arcos são:
1
/360 dessa mesma
i)
Grau (°): é um arco de uma circunferência que equivale a
circunferência.
ii)
Grado (gd): é um arco de uma circunferência que equivale a
circunferência.
iii)
Radiano (rd): é um arco de uma circunferência que equivale, retificado, ao raio dessa
mesma circunferência.
1
/400 dessa mesma
ÂNGULOS:
Duas retas AB e CD, de um plano, que se interceptam no ponto O, dividem este plano em 4
(quatro) regiões. Cada uma destas regiões é definida como Ângulo.
A
D
•
O
C
B
Medida de Ângulos:
Do mesmo modo que os arcos, os ângulos são medidos em Graus, Grados e Radianos,
considerando que cada ângulo corresponde à medida do arco relativo a este, determinado pela
circunferência de centro O (vértice deste ângulo).
2
As medidas aqui utilizadas serão Grau (°) e Radiano (rd)
Assim valem as relações:
Graus
(°)
Radianos
(rd)
0
0
30
π
45
π
60
π
90
π
/6
/4
/3
/2
120
2π
/3
135
3π
/4
150
5π
/6
180
π
210
7π
/6
225
5π
/4
240
4π
/3
270
3π
/2
300
5π
/3
315
7π
/4
330
11π
/6
360
2π
Circunferência e Arco orientado: A partir de qualquer um de seus pontos,
os demais pontos da circunferência se sucedem em dois sentidos, horário e
anti-horário. Convencionaremos que o sentido anti-horário como positivo e o
sentido horário como negativo.
Desta forma a medida algébrica de um arco de circunferência será positiva
ou negativa conforma a orientação deste arco, no sentido anti-horário ou
horário, respectivamente.
Redução à Primeira Volta: Observamos que após cada volta, as medidas
dos ângulos se repetirão, assim sendo a medida de um ângulo x será dada
pela relação
x = 2kπ + ϕ sendo k um número Inteiro (∈Ζ),
correspondente ao número de voltas no sentido anti-horário ou horário e ϕ o
ângulo correspondente antes de completar a primeira volta.
Desta forma dado um arco AB cuja medida seja, por exemplo, µ , devemos
procurar decompor esse número na forma µ = 2kπ + ϕ , com 0 ≤ ϕ < 2π;
a medida de ϕ dará sua representação na primeira volta.
Exemplificando:
i)
ii)
iii)
Um ângulo µ de 17π, corresponderá ao ângulo ϕ= π, pois sendo
µ = 2kπ + ϕ, teremos µ = 17π = 16π+ π.
π
π
Um ângulo µ de 37 /2, corresponderá ao ângulo ϕ = /2 π, pois
π
π
π
sendo µ = 2kπ + ϕ, teremos µ = 37 /2 = 36 /2+ /2.
Um ângulo µ de 3720°, corresponderá ao ângulo ϕ= 120°, pois
sendo µ = 2kπ + ϕ, e lembrando que 2π= 360°, teremos µ =
3720°= 10 •360° + 120°.
3
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
Círculo (ou Circunferência) Trigonométrico (a):
Vamos considerar um Sistema Cartesiano Ortogonal de origem O e uma circunferência de centro O
e raio unitário (r = 1).
Nestas condições o conjunto assim definido recebe o nome de Círculo (ou circunferência)
Trigonométrico (a), e os seus arcos, arcos trigonométricos.
y
P
1
O
x
A
ϕ
x
O arco x = AP , ao lado representado, é um arco
trigonométrico. Como conseqüência teremos:
a) Todo arco trigonométrico pertence a uma
Circunferência Orientada, cujo raio é Unitário (=1).
b) Os arcos côngruos ao AB de uma circunferência
Trigonométrica medem x= 2kπ +ϕ , k ∈Ζ, onde ϕ é a
Primeira determinação positiva de AB e x varia nos
reais ( − ∞ < x < + ∞ ).
c) A circunferência orientada cujo raio é unitário será
Definida
como
Circulo
(ou
circunferência)
Trigonométrico(a)
Conceitos de Seno e Cosseno de um Arco:
+1
P
sen x
arco x
A
+1
−1
cos x
−1
Consideremos no Círculo Trigonométrico um arco x=(AP)
com origem no ponto A e extremidade no ponto P, tal
como na figura ao lado, definimos a Abscissa do ponto
P (extremidade do arco), como sendo o valor do
Cosseno deste arco e a Ordenada deste mesmo Ponto
como sendo o valor do Seno deste arco.
Os valores relativos ao Seno e Cosseno de um arco
dependem da posição que o ponto P ocupa no círculo.
Assim:
No primeiro Quadrante o Seno e Cosseno são maiores
que zero (>0).
No segundo Quadrante o Seno é >0 e o Cosseno < 0.
No terceiro Quadrante o Seno e o Cosseno são menores
que zero (<0).
No quarto Quadrante o Seno é <0 e o Cosseno > 0.
Quando a extremidade P do arco ocupar as posições
Dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema
Cartesiano, os valores de Seno e Cosseno serão iguais
+1 ou − 1, conforme o caso.
4
FUNÇÃO SENO:
Considerando um arco x, a função em IR, definida pela lei de composição que a cada arco x faz
corresponder o número real y = sen x, é denominada Função Seno.
Y
Lembrando que o raio do Círculo Trigonométrico é igual
a 1, a variação do seno de x será − 1 ≤ sen x ≤ +1 ,
isto é a Imagem da função Seno será:
Im (sen x)=[ − 1,1].
A variação da função Seno, pode ser vista na tabela:
+1
P
arco x
sen x
ϕ
O
A
−1
x
x
0
Sen x
0
π
/2
+1
3π
π
2π
0
/2
−1
0
+1
+1
−1
O Gráfico da Função Seno será:
0
π
/2
π
3π
/2
2π
−1
Observamos que a função Seno é uma função periódica e que seu período é 2π, isto é, o
comportamento e a variação da função se repetem a cada 2π radianos (360°). Este período é
composto por 4 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de
π
/2 radianos (90°).
Y
Observando a figura ao lado, concluímos que:
sen x = − sen (−x) ou sen (−x) = − sen x .
+1
Sendo assim, Seno é uma Função Ímpar.
P
sen x
arco x
ϕ
−1
O•
sen −x
−ϕ
A•+1
x
arco −x
P´
−1
5
FUNÇÃO COSSENO:
Considerando um arco x, a função em IR, definida pela lei de composição que a cada arco x faz
corresponder o número real y = cos x, é denominada Função Cosseno.
Y
Lembrando que o raio do Círculo Trigonométrico é igual
a 1, a variação do cosseno de x será −1 ≤ cos x ≤ +1 ,
isto é a Imagem da função Cosseno será:
+1
Im (cos x)=[ − 1,1]. A variação da função Cosseno,
pode ser vista na tabela:
P
arco x
π
3π
x
0
2π
π
/2
/2
−1
ϕ
+1
0
+1
cos x
+1
0
−1
O
A
x
cos x
+1
−1
O Gráfico da Função Cosseno será:
0
π
/2
π
3π
/2
2π
−1
Observamos que a função Cosseno é uma função periódica e que seu período é 2π, isto é, o
comportamento e a variação da função se repetem a cada 2π radianos (360°). Este período é
composto por 4 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de
π
/2 radianos (90°).
Y
Observando a figura ao lado, concluímos que:
cos x = cos (−x) .
+1
Sendo assim, Seno é uma Função Par.
P
arco x
−1
ϕ
O•
A•+1
x
−ϕ
arco −x
P´
−1
cos x = cos (−x)
6
FUNÇÃO TANGENTE:
y
•B
P
1
tg x
arco x
O
ϕ
A
O arco x = AP , ao lado representado, é um arco
trigonométrico.
Definimos Tangente do arco x, ao número real
relativo ao comprimento do segmento AB, sobre a reta
tangente no Círculo Trigonométrico no ponto A. Sendo
B o ponto de intersecção desta reta com a reta que
contem o raio OP.
x
Conceitos do valor da Tangente de um Arco:
Os valores relativos a Tangente de um arco dependem
da posição que o ponto P ocupa no círculo.
Assim:
No 1° Quadrante o valor da tangente é positivo (>0).
No 2° Quadrante o valor da tangente é negativo (<0).
No 3° Quadrante o valor da tangente é positivo (>0).
No 4° Quadrante o valor da tangente é negativo (<0).
+1
P´
P
tg x
arco x
O
−1
A
+1
tg x
P”´
P”
−1
Quando a extremidade P do arco ocupar as posições
dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema
Cartesiano, os valores da Tangente do arco não estão
definidas, pois a intersecção que define o ponto B não
existe.
Neste caso, considerando que na vizinhança destes
Pontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto
assumimos que os valores da Tangente tendem ao
Infinito.
Assim:
x
0
tg x
0
π
/2
+∞ −
π
0
3π
/2
−∞+
2π
0
Concluímos então:
i. O conjunto Imagem da função tangente é todo o campo dos Reais, isto é Im (tg x) =IR);
ii. A função tangente é sempre crescente, nos intervalos em que é definida;
π
3π
π
iii. A função tg x não assume valores em /2 e /2, ou de modo geral em /2+ kπ, onde k∈Ζ.
π
iv. O domínio da Tangente é: D(tg)= {x∈IR, tal que x ≠ /2+ kπ, onde k∈Ζ}.
v. A variação da Tangente de x será − ∞ < tg x < +∞ .
7
O Gráfico da Função Tangente será:
Y
+∞
0
π
+∞
3π
π
/2
/2
−∞
2π
−∞
Observamos que a função Tangente é uma função periódica e que seu período é π, isto é, o
comportamento e a variação da função se repetem a cada π radianos (180°). Este período é
composto por 2 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de
π
/2 radianos (90°).
y
Observando a figura ao lado, concluímos que:
tg x = − tg (−x) ou tg (−x) = − tg x .
P´
P
tg x
arco x
O
A
arco −x
P”
x
tg −x
P”´
:
8
FUNÇÃO COTANGENTE:
y
cotg x
C
D
•B
P
tg x
1
O arco x = AP , ao lado representado, é um arco
trigonométrico.
Definimos Cotangente do arco x, ao número real
relativo ao comprimento do segmento CD, sobre a reta
tangente no Círculo Trigonométrico no ponto C. Sendo
D o ponto de intersecção desta reta com a reta que
contem o raio OP.
arco x
O
ϕ
A
x
Conceitos do valor da Cotangente de um Arco:
cotg x
Os valores relativos a Cotangente de um arco
dependem da posição que o ponto P ocupa no círculo.
Assim:
No 1° Quadrante o valor da cotangente é positivo (>0).
No 2° Quadrante o valor da cotangente é negativo (<0).
No 3° Quadrante o valor da cotangente é positivo (>0).
No 4° Quadrante o valor da cotangente é negativo (<0).
cotg x
+•1
P´
P
arco x
O
−1
A
+1
P”´
P”
−1
Quando a extremidade P do arco ocupar as posições
dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema
Cartesiano, os valores da Cotangente do arco não estão
definidas, pois a intersecção que define o ponto D não
existe.
Neste caso, considerando que na vizinhança destes
Pontos, a intersecção é tal que torna o valor muito alto
assumimos que os valores da Cotangente tendem ao
Infinito.
Assim:
x
0
cotg x
+∞
π
/2
0
π
−∞+
3π
/2
0
2π
−∞
Concluímos então:
i. O conjunto Imagem da função Cotangente é todo o campo dos Reais, isto é Im (cotg x) =IR;
ii. A função Cotangente é sempre decrescente, nos intervalos em que é definida;
iii. A função cotg x não assume valores em 0 e π, ou de modo geral em kπ, onde k∈Ζ.
iv. O domínio da Cotangente é: D(cotg)= {x∈IR, tal que x ≠ kπ, onde k∈Ζ}.
v. A variação da Cotangente de x será − ∞ < tg x < +∞ .
9
O Gráfico da Função Cotangente será:
Y+ ∞
+∞
π
3π
π
/2
0
/2
−∞
2π
−∞
Observamos que a função Cotangente é uma função periódica e que seu período é π, isto é, o
comportamento e a variação da função se repetem a cada π radianos (180°). Este período é
composto por 2 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de
π
/2 radianos (90°).
y
cotg −x
P´
Observando a figura ao lado, concluímos que:
cotg x = − cotg (−x) ou cotg (−x) = − cotg x .
cotg x
P
arco x
O
A
arco −x
P”
P”´
x
10
FUNÇÃO SECANTE:
y
O arco x = AP , ao lado representado, é um arco
trigonométrico.
Definimos Secante do arco x, ao número real
relativo ao comprimento do segmento OB, sobre o eixo
das abscissas. Sendo B o ponto de intersecção deste
eixo com a reta tangente ao Círculo Trigonométrico no
ponto P extremidade do arco x.
Observar que a origem do arco x é o ponto A.
•P
1
arco x
O
ϕ
A
B
x
sec x
Conceitos do valor da Secante de um Arco:
Os valores relativos a Secante de um arco dependem
da posição que o ponto P ocupa no círculo.
Assim:
No 1° Quadrante o valor da secante é positivo (>0).
No 2° Quadrante o valor da secante é negativo (<0).
No 3° Quadrante o valor da secante é negativo (<0).
No 4° Quadrante o valor da secante é positivo (>0).
C +1
P´
D
− 1 sec ±x
P
O
arco x
A
sec ±x
P”´
P”
E
−1
+1
Quando a extremidade P do arco ocupar as posições
dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema
Cartesiano, os valores da Secante do arco serão:
No ponto A igual a +1, no ponto D igual a −1.
Nos pontos C e E os valores da Secante não são
definidos, pois a intersecção que define o ponto B não
existe. Neste caso, considerando que na vizinhança
destes Pontos, a intersecção é tal que torna o valor
muito alto assumimos que os valores da Secante
tendem ao Infinito. Assim:
x
0
sec x
+1
π
/2
+∞ −
π
−1
3π
/2
−∞+
Concluímos então:
i. O conjunto Imagem da função secante é todo o campo dos Reais, isto é Im (sec x) =IR;
ii. A função secante pode ser crescente ou decrescente, nos intervalos em que é definida;
π
3π
π
iii. A função sec x não assume valores em /2 e /2, de modo geral em /2+ kπ, onde k∈Ζ.
π
iv. O domínio da Secante é: D(sec)= {x∈IR, tal que x ≠ /2+ kπ, onde k∈Ζ}.
v. sec x = sec (−x) ou sec x = sec ± x
vi. A variação da Secante de x será − 1 > sec x > +1 .
2π
+1
11
O Gráfico da Função Secante será:
+∞
Y
+∞
+1
+1
π
3π
π
/2
0
/2
−1
2π
−1
−∞
−∞
Observamos que a função Secante é uma função periódica e que seu período é 2π, isto é, o
comportamento e a variação da função se repetem a cada 2π radianos (360°). Este período é
composto por 4 passos de variação de comportamento e crescimento da função, cada um deles de
π
/2 radianos (90°).
FUNÇÃO COSSECANTE:
y
O arco x = AP , ao lado representado, é um arco
trigonométrico.
Definimos Cossecante do arco x, ao número real
relativo ao comprimento do segmento OB, sobre o eixo
das ordenadas. Sendo B o ponto de intersecção deste
eixo com a reta tangente ao Círculo Trigonométrico no
ponto P extremidade do arco x.
Observar que a origem do arco x é o ponto A.
B
C
cossec x
•P
1
arco x
O
ϕ
A
x
12
Conceitos do valor da Cossecante de um Arco:
P´
Os valores relativos a Cossecante de um arco
dependem da posição que o ponto P ocupa no círculo.
Assim:
No 1° Quadrante o valor da cossecante é positivo (>0).
No 2° Quadrante o valor da cossecante é positivo (>0).
No 3° Quadrante o valor da cossecante é negativo (<0).
No 4° Quadrante o valor da cossecante negativo (<0).
C +1
cossec +x
P
arco x
D
−1
O
A
+1
cossec −x
P”´
P”
E
−1
Quando a extremidade P do arco ocupar as posições
dos pontos de intersecção do Circulo com o Sistema
Cartesiano, os valores da cossecante do arco serão:
No ponto C igual a +1, no ponto E igual a −1.
Nos pontos A e D os valores da cossecante não são
definidos, pois a intersecção que define o ponto B não
existe. Neste caso, considerando que na vizinhança
destes Pontos, a intersecção é tal que torna o valor
muito alto assumimos que os valores da Cossecante
tendem ao Infinito. Assim:
x
0
cossec x
+∞
π
/2
+1
π
+∞−
3π
/2
−1
2π
−∞
Concluímos então:
i.
O conjunto Imagem da função cossecante é todo o campo dos Reais, isto é Im (cossec x) =IR;
ii. A função cossecante pode ser crescente ou decrescente, nos intervalos em que é definida;
iii. A função cossec x não assume valores em 0 e π, ou de modo geral em kπ, onde k∈Ζ.
iv. O domínio da Cossecante é: D(cossec)= {x∈IR, tal que x ≠ kπ, onde k∈Ζ}.
v.
cossec x = cossec (−x) ou cossec (−x) = − cossec x
vi. A variação da Cossecante de x será − 1 > cossec x > +1 .
O Gráfico da Função Cossecante será:
+∞
+∞
y
+1
0
+1
π
/2
π
−1
3π
/2
2π
−1
−∞
−∞
Observamos que a função
Cossecante é uma função
periódica e que seu período é 2π,
isto é, o comportamento e a
variação da função, se repetem
a cada 2π radianos (360°).
Este período é composto por 4
passos de variação de
π
função, cada um deles de /2
radianos (90°).
13
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Consideremos o Triângulo ABC reto em A. Indicamos os valores de comprimento dos lados por
BC = a ; AC = b ; AB = c e AP = h. (altura relativa ao lado BC)
C
Relações Métricas nos Triângulos
Retângulos
m
γ
a = m+n ;
P
a
b
h
b2 = a m ;
c2 = a n
;
a2 = b2 + c2 ;
n
h2 = m n
α
A
β
c
B
Definiremos as seguintes relações:
I. Seno de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida do cateto
oposto a este ângulo e a medida da Hipotenusa.
Assim:
b
sen β = /a
e
sen
γ
c
= /a
II. Cosseno de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida do cateto
adjacente a este ângulo e a medida da Hipotenusa.
Assim:
c
cos β = /a
e
cos
γ
b
= /a
III. Tangente de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre as medidas do
cateto oposto e adjacente a este ângulo.
Assim:
b
tg β = /c
e
tg
γ
c
= /b
IV. Cotangente de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre as medidas do
cateto adjacente e oposto a este ângulo.
Assim:
c
cotg β = /b
e
cotg
γ
b
= /c
V. Secante de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida da
Hipotenusa e a medida do cateto oposto a este ângulo.
Assim:
a
sec β = /c
e
sec
γ
a
= /b
VI.
Cossecante de um Ângulo Agudo de um Triângulo Retângulo, é a razão entre a medida do
cateto adjacente a este ângulo e a medida da Hipotenusa.
Assim:
a
cossec β = /b e cossec
γ
a
= /c
14
Observamos que:
i) As relações de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, são razões entre
grandezas de mesma espécie. Assim sendo resultam em um número puro.
ii) Em um triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento.
iii) Em um triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente de
seu complemento.
iv) A tangente de um ângulo é igual à razão entre os valores de seno e cosseno.
v) A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente deste ângulo e vice-versa.
vi) A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente deste ângulo e vice-versa.
vii)
A cotangente de um ângulo é igual à razão entre os valores de cosseno e seno.
viii) A Secante de um ângulo é o inverso dd cosseno deste ângulo e vice-versa.
ix) A Cossecante de um ângulo é o inverso do seno deste ângulo e vice-versa.
Tabela de alguns valores de relações Trigonométricas
π
π
90° ou /2 rd
√3
/2
1
½
0
√3
∞
Seno
0
½
√2
/2
Cosseno
1
√3
√2
/2
Tangente
0
√3
Cotangente
∞
Secante
1
2√3
√2
2
∞
Cossecante
∞
2
√2
2√3
1
/3
√3
/3
1
1
60° ou /3 rd
π
30° ou /6 rd
/2
45° ou /4 rd
π
0° ou 0 rd
√3
/3
/3
0
15
TRIÂNGULOS QUAISQUER
Consideremos um Triângulo ABC qualquer. Indicamos os valores de comprimento dos lados por
BC = a ; AC = b ; AB = c .
A
α
b
c
γ
β
B
C
a
•
r
Definiremos as seguintes relações:
a
I.
Lei dos Senos:
 =
senα
b
 =
sen β
c

sen γ
Observamos que em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo
oposto a este lado, é constante e vale igual a 2r , em que r é a medida do raio da circunferência
circunscrita ao triângulo.
II.
a2 = b2 + c2 − 2 b c cosα
Lei dos Cossenos: b2 = a2 + c2 − 2 a c cosβ
c2 = a2 + b2 − 2 a b cosγ
Observamos que em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos
outros dois lados, menos duas vezes o produto destes dois lados pelo cosseno do ângulo formado
por eles.
Centro Universitário da FSA – FAFIL
Prof.: Anastassios H.K.