Licenciatura em Matemática
Teoria de Números
31 de Maio de 2004
1. Sejam x e y dois números reais:
(a) mostre que [xy] [x][y], se ambos forem positivos;
(b) qual será a relação se os dois números forem negativos?
Sugestão: Escreva x = k + a e y = p + b, com k; p 2 Z e a; b 2 [0; 1[.
2. Use indução para mostrar que
n
P
k(k + 1) =
k=1
n(n + 1)(n + 2)
3
3. Mostre que o quadrado de qualquer inteiro ímpar é da forma 8k +1, k 2 N.
4. Mostre que para k 2 N., os números da forma 5k + 3 e 3k + 2 são primos
entre si.
Sugestão: Utilize o algoritmo de Euclides.
5. Um grupo de amigos vai jantar a um restaurante onde só se pagam as
doses e tudo o resto (bebidas, pão, aperitivos, etc.) é oferecido. A maioria
dos amigos prefere carne, mas, como alguns querem peixe, resolvem encomendar doses de frango na púcara e de robalo com molho de manteiga,
sendo uma dose por pessoa. Cada dose de frango custo 8 e e cada dose
de peixe custa 11 e. O grupo paga 245 e ao todo. Quantos amigos foram
jantar?
6. Considere a congruência 1 + 2 + 3 + ::: + (n
1)
0(mod n).
(a) Mostre que o resultado é válido sempre que n é um inteiro ímpar.
(b) E se n for um inteiro par, o que acontece?
7. Encontre o resto da divisão de 212 por 13.
8. Use a matriz
1
2
7
5
para cifrar a mensagem O JANTAR É PEIXE.
9. Determine o dia da semana em que será o dia de Ano Novo do ano 2016.
C
Y
Sugestão: Use a expressão w (k + 5C + Y +
+
+ [2:6 m
4
4
0:2])(mod7)
10. Seja a um inteiro formado por n algarismos iguais a 1. A que condição
deve obedecer n para que:
(a) a seja múltiplo de 3
(b) a seja múltiplo de 9
(c) a seja múltiplo de 11
1