Segunda Série de Problemas para o Curso 18.155, Inverno 2002
Observe que os livros de Folland [1] e Rudin [2] cobrem a maioria do material visto
nas aulas anteriores . Este problemas se relacionam com o teorema da decomposição de
Hahn para medidas – Irei supor isto na prova do teorema da representação de Riesz.
Problema 1. Seja (X, M) o conjunto com uma σ-algebra. Seja µ : M →¨ R uma medida
finite no sentido que µ(φ) = 0 e para qualquer
{Ei}∞i=1
⊂ M com E i ∩ E j = φ para i ≠ j,
∞
∞ 
µ  U E i  = sup ∑ (E i )
 i =1 
i =1
com a serie a direita sempre absolutamente convergente (ou seja , este é parte do requisito
sobre µ). Defina
(0.1)
∞
(0.2)
µ (E ) = sup ∑ µ (E i )
i =1
para E∈ M, com o supremo sobre todas as decomposições mensuráveis E =
os Ei disjuntos. Mostre que |µ| é uma medida finita, positiva.
∞
Sugestão 1. Você deve mostrar que |µ| (E) =
∑ µ ( A ) se U A
i =1
disjunto. Observe que se A j =
U
j
i
i
i
U
∞
i =1
Ei com
= E, Ai ∈ M sendo
A jl é uma decomposição mensuravel de Aj então junto
com os A jl fornece uma decomposição de E. Analogamente , se E =
U
j
E j é qualquer tal
decomposição E então Ajl = Aj ∩ El fornece uma decomposição de A j .
Sugestão 2. Veja [2] p. 117!
Problema 2. (Decomposiç ão de Hahn )
Com hipóteses com no Problema 1:
1
1
(1) Mostre que µ+ = ( µ + µ ) e µ− = ( µ − µ ) são medidas positivas ,
2
2
µ+ = µ + − µ− . Conclua que a definição de uma medida assinada como sendo
simplismente a diferença de duas medidas positivas é a mesma que a do Problema
1.
(2) Moste que os µ± construidos desta forma são ortogonais no sentido existe um
conjunto E ∈ M tal que µ-(E) = 0, µ+ (X \ E) = 0.
Sugestão. Use a definição de |µ| para mostrar que para qualquer F ∈ M e
qualquer ∈ > 0 existe um subconjunto F’∈ M, F’⊂ F tal que µ+(F ’) ≥ µ+(F) - ∈ e
µ-(F’) ≤ ∈ Dado δ > 0 aplique este resultado repetetivamente (digamos com ∈ = 2nδ
) para achar uma seqüência decrescente de conjuntos F 1 = X, Fn ∈ M, Fn+1 ⊂ Fn
tal que µ+(Fn ) ≥ µ+(Fn-1 ) - 2-nδ e µ-(Fn ) ≤ 2-nδ. Conclua que G = I F tem µ+(G)
n
¡Ý µ+(X) - ä e µ-(G) = 0. Agora faça com que Gm seja escolhido desta forma com δ
= 1/m. Mostre que E = Um Gm é como requerido.
Problema 3. Agora suponha que µ é medida Radon positive , finita em um espaço métrico
X localmente compacto (significando uma medida externa finite e positive de Borel regular
nos conjuntos de Borel e regular interna nos conjuntos abertos). Mostre que µ é regular
interna em todos os conjuntos de Borel e portanto, dado ∈ > 0 e E ∈ B(X) exitesm
conjuntos K ⊂ E ⊂ U com K compacto e U aberto tal que µ(K) ≥ µ(E) - ∈, µ(E) ≥ µ(U) ∈.