UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WINPLOT NO ENSINO DE FUNÇÕES
CUJA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA É UM PARABOLÓIDE
CIRCULAR
Daiane Cristina Zanatta1 - UNICENTRO
Grupo de Trabalho - Educação Matemática
Agência Financiadora: não contou com financiamento
Resumo
O presente estudo buscou analisar as potencialidades do software Winplot no ensino e
aprendizagem das funções reais de várias variáveis cuja representação gráfica é um
parabolóide circular, em uma turma do quarto ano de um curso de licenciatura em matemática
de uma universidade estadual do Paraná. A abordagem de tais funções foi através de uma
sequência de atividades nas quais os alunos, com uso do software Winplot e outras mídias,
como o lápis e o papel, puderam explorar as representações: algébrica, gráfica e numérica das
funções reais de duas variáveis, interligar as diferentes representações de uma mesma função,
bem como, construir gráficos. A Matemática tem sido uma das áreas bastante agraciada com o
grande número de softwares educativos disponíveis, gratuitos e não gratuitos, destinados ao
ensino de seus conceitos. O Winplot é um software gráfico gratuito, de fácil manuseio e que
pode ser utilizado do ensino fundamental a universidade. No estudo das funções reais de
várias variáveis, o Winplot permite construir gráficos e curvas de nível, a partir de funções ou
equações, bem como, girar os gráficos e sólidos construídos, construir o gráfico de várias
funções na mesma tela, entre outras opções. Os resultados da pesquisa evidenciaram que o
software Winplot contribuiu para o interesse dos alunos na construção de gráficos e sólidos,
bem como, possibilitou interligar diferentes representações de uma mesma função,
possibilitando, assim, uma melhor compreensão do conteúdo estudado. Percebeu-se que essa
ferramenta tecnológica auxiliou os alunos na apropriação do conteúdo, como também,
contribuiu para que as aulas ficassem mais diversificadas e interessantes.
Palavras-chave: Funções de várias variáveis. Tecnologias da informática. Cálculo diferencial
e integral.
Introdução
Um dos conteúdos estudados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de várias
1
Mestre em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Professora no curso de
Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO). E-mail:
[email protected]
ISSN 2176-1396
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variáveis são funções reais de várias variáveis. Muitos alunos apresentam dificuldades na
aprendizagem das funções reais de várias variáveis, tanto em relação ao conceito quanto às
suas representações: algébrica, gráfica e numérica. Alguns pesquisadores, tais como, Imafuku
(2008) e Nasser (2007) apontam essas dificuldades em suas pesquisas.
Na tentativa de amenizar as dificuldades referentes às diferentes representações de
uma mesma função, e outras oriundas do ensino e aprendizagem de Cálculo Diferencial e
Integral de funções de várias variáveis, foram desenvolvidas atividades nas quais os alunos,
com uso do software Winplot e outras mídias, como o lápis e o papel, puderam explorar as
diferentes representações das funções de duas variáveis, especialmente, funções cuja
representação gráfica é um parabolóide circular, interligar essas representações e construir
gráficos. Machado (2008) enfatiza a necessidade de mesclar o uso das tecnologias da
informática com outras como, por exemplo, quadro, giz, lápis e papel e que a utilização de
apenas uma forma ou tipo de mídia não constitui uma eficiência nas relações de ensino e
aprendizagem.
Como a representação gráfica das funções de duas variáveis acontece no espaço
tridimensional, sua exploração é dificultada quando são utilizadas apenas as mídias lápis e
papel. Desta forma, o objetivo desse trabalho foi analisar as potencialidades do software
Winplot como ferramenta auxiliar para o ensino das funções reais de duas variáveis,
especialmente, funções cuja representação gráfica é um parabolóide circular.
Para Machado (2008), a visualização matemática, através da tela do computador,
oferece a possibilidade de elaborar um conjunto de argumentos e ainda utilizá-los para
resolver problemas, permitindo aos alunos construir e relacionar as diferentes representações
de uma função e construir os conceitos matemáticos.
O ensino de matemática e o Winplot
O avanço tecnológico ocorrido nas últimas décadas tem pressionado a sociedade e, em
especial, o setor educacional, a promover transformações no processo de ensino, de modo a
preparar cidadãos capazes para enfrentar os desafios da nova realidade (TAJRA, 2008).
As primeiras experiências com o uso de computadores na educação apareceram em
meados da década de 50, limitando-se a atividades relacionadas ao armazenamento de
informações em uma determinada sequência, para posteriormente, transmiti-las ao aluno
(VALENTE, 1999).
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Hoje, a utilização do computador na educação tem sido considerada como uma
metodologia auxiliar no processo de construção de conhecimento do aluno e como uma
ferramenta que enriquece os ambientes de aprendizagem (VALENTE, 1999).
Atualmente, existem diversos softwares que podem ser utilizados pelo professor no
processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos, dentre eles, o Winplot.
O Winplot é gratuito e pode ser obtido via Internet através do endereço
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. Desse modo, pode ser utilizado, sem restrições,
em escolas e em computadores individuais. Sua versão original, em língua inglesa, foi
desenvolvida pelo professor Richard Parris, da Phillips Exeter Academy, nos Estados Unidos,
mas também está disponível uma versão em português, preparada com a assistência do
professor Adelmo Ribeiro de Jesus, da Universidade Federal da Bahia.
O Winplot é um software gráfico, de fácil utilização, que dispõe de vários recursos
para o estudo das funções de uma ou mais variáveis e outros conteúdos matemáticos. Desse
modo, o software é apropriado tanto ao nível médio como superior de ensino (ALLEVATO,
2010).
Para transformar o ensino de matemática menos temido pelos alunos e,
conseqüentemente, ser maior o aproveitamento dessa disciplina, pode-se usar mídias
tecnológicas, como por exemplo, o software Winplot (D’AMBRÓSIO, 2002).
De acordo com Hendres (2005, p.26) “o uso do computador no ensino de Matemática
é uma necessidade atual e deve, cada vez mais, ligar-se à rotina didática dos professores e à
escola em geral”.
As tecnologias da informática “podem auxiliar o ensino da matemática, criando
ambientes de aprendizagens que possibilitem o surgimento de novas formas de pensar e de
agir, que valorizem o experimental e que tragam significados para o estudo da matemática”
(MATOS FILHO; MENEZES, 2010, p. 4).
No ensino das funções não se deve privilegiar um tipo apenas de representação, mas
proporcionar, aos alunos, a possibilidade de uma interligação entre elas, propiciando, assim, a
produção de conhecimentos mais abrangentes a respeito do tema. Essa abordagem ganha
força com o uso de mídias informáticas, nas quais se incluem os softwares gráficos, tais
como, o software Winplot, que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões algébricas
(BORBA; PENTEADO, 2005).
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A possibilidade de exploração das representações algébrica, numérica e gráfica de uma
mesma função, que as tecnologias da informática oferecem, a coordenação dessas diferentes
representações e a compreensão das relações que as vinculam possibilitam, ao aluno, conectar
conhecimentos que, de outra forma, permaneceriam separados, entretanto, se conectados,
geram compreensões mais amplas e completas de conceitos matemáticos (ALLEVATO,
2010).
Metodologia
O presente estudo trata-se de uma pesquisa qualitativa, de caráter exploratório,
desenvolvida com acadêmicos do quarto ano de um curso de licenciatura em matemática, a
partir da aplicação de uma proposta de trabalho diferenciada, baseada no uso do software
Winplot na abordagem das funções reais de várias variáveis, especialmente, funções cuja
representação gráfica é um parabolóide circular.
Na pesquisa qualitativa o investigador precisa recorrer à observação e reflexão que faz
sobre os problemas que enfrenta e à experiência vivida e atual dos homens na solução destes
problemas, a fim de munir-se dos instrumentos mais apropriados à sua ação e intervenção no
mundo (CHIZZOTTI, 2005).
Os estudos de caráter exploratório, de acordo com Gil (2010, p.27)
[...] têm como propósito proporcionar maior familiaridade com o problema, com
vistas a torná-lo mais explícito ou a construir hipóteses. Seu planejamento tende a
ser bastante flexível, pois interessa considerar os mais variados aspectos relativos ao
fato ou fenômeno estudado.
Para a realização da experiência, as aulas foram realizadas no laboratório de
informática da universidade, havia máquinas para todos os alunos.
As aulas foram organizadas de modo que, primeiramente, foi abordada a teoria das
funções reais de várias variáveis. Na sequência, foi feita uma explanação, no laboratório de
informática, sobre o software Winplot, com a apresentação aos alunos de suas ferramentas e
possibilidades de uso. Posteriormente, foram desenvolvidas as atividades baseadas nos
estudos de Mota (2010), que apresenta um estudo de parabolóides utilizando-se o software
Winplot.
Participaram da experiência seis alunos da disciplina de Cálculo III e foram utilizadas
dez horas/aulas, sendo duas horas/aula por semana. Os alunos foram orientados a registrar as
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respostas das questões, nas folhas de atividades, de maneira detalhada para posterior análise
da pesquisadora.
A realização das atividades foi acompanhada pela professora pesquisadora, que fez a
coleta dos dados por meio dos registros escritos e de suas impressões sobre a atitude dos
alunos, seus comentários e questionamentos, bem como, das situações que ocorreram durante
os encontros.
No final de cada encontro, foi solicitada a devolução das folhas de atividades para
posterior análise.
Análise e discussão dos resultados
Na primeira etapa, que teve duração de uma aula, os alunos foram familiarizados com
o software, foram apresentadas instruções básicas para o início da utilização do software
Winplot, direcionando para as ferramentas fundamentais para o estudo das funções de várias
variáveis. Os alunos mostraram-se interessados em manipular os comandos do software. De
acordo com Tajra (2008) os ambientes de informática podem ser usados como uma alternativa
capaz de tornar as aulas de matemática mais atrativas e dinâmicas e, além disso, podem
contribuir para a motivação dos alunos de forma que eles possam pesquisar e aprender
cooperativamente.
Para a última etapa, foi elaborado um roteiro de atividades para o estudo do gráfico
das funções assim definidas: f(x,y)=x^2+y^2-3, f(x,y)=x^2+y^2 e f(x,y)=-x^2-y^2+3, e para a
construção de sólidos limitados pelas funções assim definidas: f(x,y)=x^2+y^2-3 e z=4;
f(x,y)=x^2+y^2 e z=2; e f(x,y)=x^2+y^2-3 e f(x,y)=-x^2-y^2+3.
Para o desenvolvimento da primeira atividade foi solicitado aos alunos que fizessem o
esboço do gráfico, utilizando lápis e papel, das funções assim definidas: f(x,y)=x^2+y^2-3,
f(x,y)=x^2+y^2 e f(x,y)=-x^2-y^2+3, com o auxílio das curvas de nível. Conforme foi
solicitado, os alunos fizeram, inicialmente, o esboço das curvas de nível. Da análise dos
retornos dos alunos foi verificado que todos fizeram o esboço das curvas de nível
corretamente. Com relação ao esboço do gráfico da função assim definida: f(x,y)=x^2+y^2-3,
os alunos apresentaram dificuldades em encontrar e fazer o esboço das seções transversais,
z=x^2-3 e z=y^2-3, e também não conseguiram relacionar as curvas de nível da função com
as seções transversais. Foi feito, então, um esboço do gráfico no quadro. Assim, os alunos
afirmaram que haviam entendido a construção. Quanto ao esboço do gráfico da função assim
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definida: f(x,y)=x^2+y^2, apenas um aluno não acertou, esboçou apenas as seções
transversais, z=x^2 e z=y^2, ou seja, não conseguiu relacionar as seções transversais e as
curvas de nível sem o auxílio da professora. Com relação ao esboço do gráfico da função
assim definida: f(x,y)=-x^2-y^2+3 todos os alunos conseguiram realizar a atividade com
sucesso, mas um aluno afirmou que estava difícil de compreender o gráfico.
Como atividade seguinte foi solicitado aos alunos que construíssem o gráfico das
funções propostas, f(x,y)=x^2+y^2-3, f(x,y)= x^2+y^2 e f(x,y)=-x^2-y^2+3, usando o
Winplot. Foram dadas as orientações referentes aos comandos, conforme a seguinte
sequência: Abra o Winplot. Use a opção Janela3D. Clicar em EquaçãoExplícita.
Com relação à construção do gráfico das funções, usando o Winplot, todos os alunos
conseguiram construir os gráficos e fizeram comparações entre os esboços feitos utilizando
lápis e papel e os gráficos construídos no software. Nessa atividade, foi observado que, com a
possibilidade de girar os gráficos, os alunos puderam fazer uma melhor análise dos gráficos.
Para Mota (2010) a integração da mídia computacional com o esboço do gráfico, utilizando
lápis e papel, traz a possibilidade de uma melhor compreensão dos gráficos, possibilitando,
ainda, uma melhor interpretação de sua equação.
A Figura 1 apresenta o resultado dos comandos executados na tela do Winplot para
f(x,y)=x^2+y^2-3:
Figura 1. Representação gráfica da função assim definida: f(x,y)=x^2+y^2-3.
z
x
y
Fonte: Software Winplot.
Em seguida, os alunos identificaram que alterando os valores de x e y, na janela
Fatiador do software, são apresentadas parábolas paralelas aos planos coordenados yz e xz,
respectivamente. Ainda nessa atividade, três alunos observaram que quando a variável x
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assume valores constantes, nas funções propostas, obtemos equações de parábolas paralelas
ao plano yz, e quando a variável y assume valores constantes, nas funções propostas, obtemos
equações de parábolas paralelas ao plano xz. Para a função assim definida: f(x,y)=x^2+y^2,
todos os alunos observaram que quando x=0 ou y=0, obtemos f(0,y)=y^2 ou f(x,0)=x^2,
respectivamente, ou seja, obtemos equações de parábolas que passam pela origem do sistema
de coordenadas, sendo que o mesmo não acontece com as funções assim definidas:
f(x,y)=x^2+y^2-3 e f(x,y)=-x^2-y^2+3. Nesses momentos, percebeu-se que os alunos estavam
fazendo uma relação entre a representação algébrica e geométrica das funções propostas,
evidenciando que o software Winplot facilitou a compreensão do conteúdo que estava sendo
abordado. De acordo com Allevato (2010, p.114), a utilização do Winplot:
permitiu uma compreensão mais ampla do conteúdo em questão. Estes aspectos têm
sido destacados como potencialmente favoráveis ao ensino, pois desobrigam os
alunos de tarefas essencialmente mecânicas ou operacionais, proporcionando mais
tempo a reflexões de natureza interpretativa e conceitual.
As atividades seguintes são usadas, por exemplo, no cálculo de volumes, da massa
total do sólido, entre outras aplicações.
Quanto ao esboço, usando lápis e papel, do gráfico da função assim definida:
f(x,y)=x^2+y^2-3 e do plano de equação z=4, no mesmo sistema de coordenadas, todos os
alunos fizeram o esboço parcialmente correto, pois a figura não mostrava o plano
corretamente posicionado. Foi feito, então, um esboço da figura no quadro. Após o esboço no
quadro os alunos afirmaram que haviam entendido a construção, mas estava difícil de
compreender a figura. Em relação ao esboço da figura composta por um parabolóide circular
de equação z=x^2+y^2 e um plano de equação z=2, apenas um aluno não conseguiu fazer o
esboço sem a orientação da professora. Com relação ao esboço da figura composta pelas
funções assim definidas: f(x,y)=x^2+y^2-3 e f(x,y)=-x^2-y^2+3, todos os alunos conseguiram
fazer o esboço no mesmo sistema de coordenadas.
Como atividade seguinte, foi solicitado aos alunos que construíssem as figuras
compostas pelas equações z=x^2+y^2-3 e z=4; z=x^2+y^2 e z=2; e f(x,y)=x^2+y^2-3 e
f(x,y)=-x^2-y^2+3, usando o Winplot. Para isso, foram dadas as orientações referentes aos
comandos. Nessa atividade, todos os alunos conseguiram construir as figuras, sem
dificuldades, e identificaram que a interseção dos planos propostos com os respectivos
parabolóides circulares resultou em circunferências. Ainda, nessa atividade, os alunos
encontraram as equações das circunferências que correspondem as interseções das equações
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z=x^2+y^2-3 e z=4; z=x^2+y^2 e z=2; e z=x^2+y^2-3 e z=-x^2-y^2+3, que são x^2+y^2=7,
x^2+y^2=2 e x^2+y^2=3, respectivamente. Essas interseções são usadas no estudo de
conteúdos que fazem parte da ementa da disciplina de Cálculo III, como, por exemplo, cálculo
do volume do sólido e cálculo da massa total do sólido.
A Figura 2, apresenta o resultado dos comandos executados na tela do Winplot, na
atividade referente à construção da figura composta pelas equações z=x^2+y^2-3 e z=4:
Figura 2. Parabolóide de equação z=x^2+y^2-3, seccionado pelo plano de equação z=4.
z
y
x
Fonte: Software Winplot.
Durante o desenvolvimento das atividades, notou-se o entusiasmo e o interesse dos
alunos com as aulas, apesar de apresentarem algumas dificuldades. Para retratar essa situação,
citamos a fala de alguns alunos: “O Winplot auxilia muito na interpretação dos gráficos”,
“Os sólidos ficam bem definidos, usando o software”, “O Winplot ajuda na compreensão dos
sólidos” e “É excelente usar o software para estudar funções de várias variáveis, gostaria de
ter conhecido este software desde o primeiro ano do curso”.
Considerações Finais
Durante as atividades, foi observado que, o uso do Winplot favoreceu a interpretação e
a construção dos gráficos e sólidos, contribuindo para maior interesse dos alunos na
construção dos mesmos. Foi observado, também, que a possibilidade de girar os gráficos e os
sólidos, oferecida pelo software, proporcionou uma melhor compreensão dos mesmos,
possibilitando, assim, uma melhor compreensão do conteúdo pelos alunos. Segundo Matos
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Filho e Menezes (2010), a utilização do software Winplot, no estudo de funções, permite que,
a partir da visualização dos gráficos construídos pelo software, os alunos possam se dedicar
mais ao estudo das características das funções.
A exploração das representações algébrica e geométrica que o software ofereceu e a
coordenação dessas representações, favorecida pela capacidade do Winplot em apresentar
simultaneamente as duas representações, permitiu, ao aluno, conectar conhecimentos que, de
outra forma, permaneciam separados, contribuindo, assim, para uma compreensão mais
profunda de conceitos matemáticos. Para Borba (1999), com mídias informáticas, a ênfase
algébrica dada ao estudo das funções pode ser transformada numa atenção maior à
coordenação entre as diferentes representações para uma mesma função, propiciando a
produção de conhecimentos mais abrangentes a respeito do tema.
Os resultados desse trabalho mostram, também, que o computador é uma ferramenta
de motivação, e que é importante inovar nas aulas para torná-las mais atrativas e dinâmicas.
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