Raízes de Funções Reais
Alunos:
Luiz Felipe Pericolo da Costa Barbosa
Pedro de Souza Asad
Thiago Machado Santos
Professor: Marcello Goulart Teixeira
Índice
1. Introdução
2. Como usar
3. Métodos
3.1. Bissecção
3.2. Falsa Posição
3.3. Ponto Fixo
3.4. Newton-Raphson
3.5. Secante
1. Introdução
Um dos assuntos abordados na disciplina Cálculo Numérico é como achar raízes de funções
reais. É possível achar raízes para polinômios do segundo grau, por exemplo, mas para polinômios
de graus mais altos, ou funções mais complexas, é extremamente complicado achar com precisão as
raízes, se não impossível.
Para contornar tal problema, existem métodos cuja finalidade é encontrar aproximações das
raízes de uma função. Esses métodos são iterativos, ou seja, fornecem uma sequência de soluções
aproximadas que, sob certas condições, tendem a solução exata.
Para auxiliar o estudo deste tópico de Cálculo Numérico, foi proposto o desenvolvimento de
uma aplicação que implementa tais métodos, possibilitando, ao fornecer uma função e os
parâmetros necessários, acompanhar o cálculo de uma raiz aproximada.
2. Como usar
Ao iniciar a aplicação, a tela a seguir deverá aparecer:
•
Método – selecionar o método desejado. As opções são:
◦ Bissecção
◦ Falsa Posição
◦ Ponto Fixo
◦ Newton-Raphson
◦ Secante
Note que, ao alterar o Método selecionado, todos os campos são apagados, e os dois últimos
campos podem mudar, de acordo com o Método.
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Função – entrar com a função cuja raiz deseja-se achar. A função deve seguir o formato
definido pelo Interpretador de Funções (ver documento referente a esse item)
•
Erro – definir a precisão da aproximação. Deve ser um número real positivo.
Note que se o erro da raiz calculada por uma iteração for maior que o valor do campo Erro,
será exibida acima da área de texto a seguinte mensagem: “A precisão desejada não foi
atingida.”;
•
Iterações – definir quantas iterações serão calculadas. Deve ser um número inteiro positivo.
•
Os dois últimos campos são específicos de cada método, e variam de acordo com a escolha.
As possibilidades são:
◦ a – valor do intervalo [a,b]. Deve ser um número real.
◦ b – valor do intervalo [a,b]. Deve ser um número real.
◦ Q(x) – função de iteração. Segue o mesmo formato do campo Função.
◦ Derivada – derivada da função cuja raiz deseja-se achar. Segue o mesmo formato do
campo Função.
◦ Ponto 0 – ponto inicial para iniciar o método. Deve ser um número real.
◦ Ponto 1 – ponto inicial para iniciar o método. Deve ser um número real.
•
Os campos X inicial e X final indicam o intervalo [X inicial, X final] em que a função será
plotada no gráfico. Devem ser números reais. É possível plotar o gráfico num intervalo sem
raízes e usar um método. É importante escolher um intervalo adequado para visualizar a raiz
calculada e as iterações.
•
Ao calcular as iterações, suas informações são exibidas na área de texto localizada abaixo
dos botões. Este campo não pode ser editado, e exibirá as iterações de maneiras diferentes,
de acordo com o método.
•
O gráfico irá exibir o gráfico da função, no intervalo definido pelos campos X inicial e X
final.
•
Ao apertar o botão Achar Raiz, o método selecionado será executado e fará o número de
iterações desejado, podendo parar antes se a precisão desejada for obtida. Requer todos os
campos preenchidos para executar o método.
•
Ao apertar o botão Próximo Passo é executada mais uma iteração do método, mesmo que o
número inicial de iterações já tenha sido alcançado ou a precisão já tenha sido obtida.
Se nenhuma função estiver sendo avaliada, é necessário ter todos os campos preenchidos.
Caso contrário, basta os campos X inicial e X final.
Note que se quisermos alterar algum parâmetro enquanto uma função estiver sendo avaliada,
é necessário apertar o botão Limpar.
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O botão Limpar, ao ser apertado, apaga todos os campos e reseta o gráfico.
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Ao clicar no botão Ajuda é possível ver uma breve descrição de cada método:
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Ao clicar no botão Voltar será exibida novamente a tela anterior.
3. Métodos
3.1. Bissecção
Segue um exemplo do método:
Os pontos em vermelho representam a, b e x[i] no gráfico. Cada linha na área de texto
representa uma iteração, e que exibe [a,b] e x.
3.2. Falsa Posição
Segue um exemplo do método:
Os pontos em vermelho representam a, b e x[i] no gráfico. Cada linha na área de texto
representa uma iteração, e que exibe [a,b] e x.
3.3. Ponto Fixo
Segue um exemplo do método:
O ponto em vermelho representa x[i] no gráfico. Cada linha na área de texto representa uma
iteração, e que exibe x[i] calculado.
3.4. Newton-Raphson
Segue um exemplo do método:
O ponto em vermelho representa x[i] no gráfico. Cada linha na área de texto representa uma
iteração, e que exibe x[i] calculado.
3.5. Secante
Segue um exemplo do método:
O ponto em vermelho representa x[i] no gráfico. Cada linha na área de texto representa uma
iteração, e que exibe x[i] calculado.