DMAT – UDESC - JOINVILLE
Zeros de funções
Jones Corso
1o sem / 2015
Definição
Um zero de uma função f: [a,b] ----> R é um número real
ξ tal que f(ξ) = 0. Geometricamente ξ é a abcissa do
ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Ox.
A raiz de uma equação f(x) = 0 é um número real ξ tal
que f(ξ) = 0. Se ξ é uma raiz da equação f(x) = 0 então
ξ é um zero de f .
Problema
y
f(x)
a
ξ1
ξ2
ξ3
b
x
Zeros de funções
• Polinomiais:
– 1º grau: equação da reta
– 2º grau: fórmula de báskara
– 3º e 4º grau: Fórmulas de Cardano
– Polinômio de grau n (n>4): Não existem fórmulas
• Transcedentais (não-algébricas):
– Combinam funções trigonométricas (seno,
cosseno,...), exponenciais (ex, 3x2,...) ou logarítmicas
(log x, ln x, …): Raramente conseguimos encontrar
um zero por métodos analíticos.
Procedimentos
• Localizar (isolar) uma raiz de f(x) num
intervalo (a,b).
•
Partindo de um valor inicial, aproximar-se
sucessivamente do valor da raiz, até
atingir uma precisão ε.
1. Isolamento das raízes
• Teorema 1
Se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um
ponto x = ξ entre a e b que é zero de f(x)
f(x)
f(x)
a
a
ξ
b
x
ξ1
ξ2 ξ3 b x
1. Isolamento das raízes
• Observação
Sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e
preservar sinal em (a,b), então este intervalo contém
um único zero de f(x)
f(x)
f' (x) < 0, x  [a,b]
f(x)
f' (x) > 0, x  [a,b]
a
b
ξ
b
x
a
ξ
x
1. Isolamento das raízes
Ex. 1)
f(x) = x 3  9x + 3
Análise do sinal de f(x):
-
x
-5 -3
1
0
1
2
f(x)
-
+
+
-
- +
+
3 4
+
5
+
Como f(x) é contínua, existe ao menos um zero de f(x)
em cada um dos intervalos I1=[-5,-3], I2=[0,1], I3=[2,3].
Além disso, como f(x) é um polinômio de grau 3, cada
intervalo contém um único zero de f(x).
1. Isolamento das raízes
f(x) = x  5e  x
Ex. 2)
Temos que D(f)= 
+
e o sinal de f(x) fica:
x
0
1
2
3
...
f(x)
-
-
+
+
...
Logo, f(x) tem ao menos um zero em (1,2). Para saber se este zero é
único, devemos analisar o sinal de f’(x):
f' (x) =
1
2 x
+ 5e  x > 0, x > 0
Assim f(x) admite um único zero em (1,2).
1. Isolamento das raízes
• Observação: Se f(a)f(b) > 0 então podemos ter
nenhuma raiz ou um número par de raízes
(Teorema de Bolzano)
f(x)
f(x)
a
b
x
a ξ1
f(x)
ξ2 b
x
a
ξ1=ξ2 b x
1. Isolamento das raízes
Procedimentos para análise gráfica:
i)
esboçar o gráfico de f(x) e localizar as
abcissas dos pontos onde a curva intercepta
o eixo x; ou
ii) a partir de f(x), desmembrá-la numa
equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os
gráficos de g(x) e h(x) e localizar os pontos
onde as curvas se interceptam, pois f(ξ) = 0
↔ g(ξ) = h(ξ)
∴
1. Isolamento das raízes
• Ex. 1:
f(x) = x  9x + 3
3
(pelo método i)
f' (x) = 3x 2  9
ξ1  ( 4,3 )
f(x)
f' (x) = 0  x = ± 3
ξ 2  ( 0,1 )
ξ3  ( 2,3 )
ξ1
ξ2
ξ3
x
∴
1. Isolamento das raízes
• Ex 1:
f(x) = x 3  9x + 3
(pelo método ii)
g(x)
Equação equivalente
h(x)
3
x = 9x− 3
onde
g(x) = x 3 e h(x) = 9x  3
ξ1  ( 4,3 )
ξ 2  ( 0,1 )
ξ3  ( 2,3 )
ξ1
ξ2
ξ3
x
2. Refinamento da solução
• É realizado através de métodos iterativos
• Método iterativo: sequência de instruções
executadas passo a passo, repetidas em ciclos
(iterações), que fornecem uma aproximação
para a solução exata
f(x)
ε
b
a ξ x3 x2 x1x0
x
2. Refinamento da solução
• Métodos iterativos a serem estudados:
– Bissecção
– Posição falsa
– Ponto fixo (iteração linear)
– Newton-Raphson (tangente)
– Secante
Critério de parada
•
A execução de um método iterativo é
interrompida quando:
– Alcançou-se uma precisão desejada para a
solução. Neste caso:
i)
ii)
x  ξ  < ε
 f(x) < ε
(abordagem pelo eixo-x) ou
(abordagem pelo eixo-y)
Teste da precisão da solução
• Nem sempre é possível satisfazer os critérios (i)
e (ii) ao mesmo tempo
f(x)
f(x)
ξ
x
x
f(x)
x
ξ
x
ξx
| x  ξ |>> ε
| x  ξ | ε
| x  ξ |< ε
| f(x ) |< ε
| f(x ) |>> ε
| f(x ) |< ε
x
Outro critério de parada
2. Executando-se um número máximo de
iterações estipuladas.
f(x)
ε
b
a ξ x3x2 x1x0
x4
x5
x
Método da bissecção
• Seja f(x) contínua em (a,b) e tal que f(a)f(b) < 0
• Suponha que o intervalo [a,b] contenha uma única raiz
da equação f(x)=0
• Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo até que (b - a)
< ε, dividindo sucessivamente o intervalo ao meio
f(x)
a
=a0
=a1
ξ
x1
x0
=a2 x2 =b1=b2=b3
=a3
b=b0
x
Método da bissecção
Exemplo: f(x)= xlog(x) – 1, tem um zero em [2,3]
Método da bissecção
• Iterações:
Método da bissecção
Algoritmo: Bissecção
Método da bissecção
ESTUDO DA CONVERGÊNCIA
Dada uma precisão ε e um intervalo inicial [a0,b0] é possível
saber , a priori, quantas iterações serão efetuadass pelo método da
bissecção até que se tenha b0-a0 < ε. Pelo algorítmo da bissecção
podemos concluir (ver ref [1], pág 46) que
k>
𝑙𝑜𝑔 𝑏0 −𝑎0 −𝑙𝑜𝑔 𝜖
𝑙𝑜𝑔 2
k= 𝜋𝑟 2
Por exemplo, se desejamos encontrar ξ, o zero da
função f(x) = xlog(x) – 1 que está no intervalo [2, 3] com
precisão ε = 10−2 , devemos ter um número de iterações
k, tal que
k>
𝑙𝑜𝑔 3−2 −𝑙𝑜𝑔 10−2
𝑙𝑜𝑔 2
≅ 6,64
logo o número mínimo de iterações necessárias para obter a
precisão é de k=7
Método da bissecção
• Considerações finais
– A vantagem do método é que as iterações
não envolvem cálculos laboriosos
– A convergência é lenta, pois se b0 - a0 >> ε e
se ε for muito pequeno, o número de
iterações tende a ser muito grande
– É normalmente utilizado apenas para diminuir
o intervalo que contém a raiz
Método da posição falsa
• Seja f(x) contínua em (a, b). Se f(a) está mais próximo de
zero que f(b), então é provável que a raiz esteja mais
próxima de a que de b (ao menos se f(x) é linear em (a, b)).
O inverso também é verdadeiro (se f(b) está mais próximo
de zero então a raiz deve estar mais próxima de b).
• Ou seja, podemos usar a idéia do método da bissecção,
mas fazendo uma média ponderada de a e b:
a | f(b)| +b | f(a)|
x=
| f(b)| + | f(a)|
Método da posição falsa
• Aplicação do método:
f(x)
y
a
= a0
x0
=a1
=a2
ξ
x2
x1
=b2
b
=b0
=b1
x
Método da posição falsa
Algoritmo do Método da Posição Falsa
Início
Se f(a) * f(b) < 0 Então
Início
x ← ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) – f(a) )
Enquanto ( | f( x ) | > epsilon E | b – a | > epsilon ) Faça
Início
Se f(a) * f(b) < 0 Então
a←x
Senão
b←x
x ← ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) – f(a) )
Fim-Enquanto
Escreva(‘A raiz do intervalo dado é ’, x )
Fim - Se
Senão
Escreva(‘Não há raízes no intervalo dado.’)
Fim
Variáveis utilizadas no algoritmo:
• Reais: x, a, b, epsilon.
OBS: a e b são, respectivamente, o ponto inicial e o ponto final do intervalo, f é a
função definida e epsilon é a precisão fornecida.
Método da posição falsa
f(x) = x 3  9x + 3
• Ex.1
a
b
f(a)
f(b)
x_n
f(x_n)
|a-b|
|f(x_n)|
0
1
3
-5
0,375
-0,32227
1
0,322266
0
0,375
3
-0,32227 0,338624 -0,00879
0,375
0,00879
0
0,338624
3
-0,00879 0,337635 -0,00023 0,338624
0,000226
< ε =0,001
Método do ponto fixo
(ou iteração linear)
1. Construir uma função φ(x) a partir da equação f(x) = 0, tal que:
x = φ(x)
(Obs: este passo consiste em aplicar o método gráfico (ii), visto anteriormente, com
g(x) = x e h(x) = φ(x) )
2. A partir de uma aproximação inicial x0, gerar a sequência {xk}, a partir da
relação:
xk+1=φ(xk)
3. A raiz ξ de f(x)=0 corresponde a um ponto fixo da relação anterior, isto é,
f(x)=0 ↔ φ(ξ) = ξ
{x0, x1=φ(x0), x2=φ(x1), x3=φ(x2),..., xk=φ(xk-1), xk= φ(xk)= ξ}
4. A função φ(x) que satisfaz as condições acima é dita uma função de
iteração para f(x)=0
Método do ponto fixo
• Geometricamente
g(x) = x
f(x)
y
h(x) = φ(x)
ξ
x
Método do ponto fixo
• Geometricamente
g(x) = x
y
h(x) = φ(x)
x1 ξ x2
x0
x
Método do ponto fixo
• Geometricamente
g(x) = x
y
h(x) = φ(x)
x3
x1 x0
ξ
x2
x
∈
Método do ponto fixo
• Teorema 2
Seja ξ uma raiz da equação f(x)=0, isolada num
intervalo I centrado em ξ. Seja φ(x) uma função de
iteração para f(x)=0.
Se
i)  (x) e ' (x) são contínuas em I
ii) | ' (x) | M < 1, x  I
iii) x 0 I
Então a sequência {xk} gerada pelo processo iterativo
xk+1=φ(xk) converge para ξ.
Método do ponto fixo
• Geometricamente
g(x) = x
y
h(x) = φ(x)
x1 ξ x2
x0
x
 1 < ' (x) < 0, x  I = [ξ  x0 ,ξ + x0 ]
convergência oscilante
Método do ponto fixo
• Geometricamente
g(x) = x
y
h(x) = φ(x)
x3
x1 x0
ξ
x2
 ' (x) < 1, x  I = [ξ  x0 ,ξ + x0 ]
divergência oscilante
x
Método do ponto fixo
• Análise da primeira derivada de φ(x):
-1 < φ’(x) < 0 : convergência oscilante
φ’(x) < -1 : divergência oscilante
0 < φ’(x) < 1 : convergência monotônica
φ’(x) > 1 : divergência monotônica
Método do ponto fixo
2
• Ex: x +x− 6= 0
Possíveis funções de iteração:
1(x) = 6  x
2
 2 (x) =  6  x
6
3 (x) =  1
x
 4 (x) =
6
x 1
Sabendo que existe uma raiz ξ1 num intervalo centrado em -3 e outra raiz ξ2
num intervalo centrado em 2, podemos estudar a convergência das funções
de iteração para o intervalo centrado em 2, utilizando o Teorema 2:
1(x) e '1 (x) = 2 x são contínuas em R
1
1
|

'
(x)
|<
1

|
2x
|<
1


<
x
<
(ii)
1
2
2
(i)
Portanto, não existe um intervalo centrado em 2 que satisfaça a condição (ii)
do Teorema 2. Logo, φ1(x) gerará uma sequência divergente.
Método do ponto fixo
• Para
(i)
 2 (x) = 6  x
 2 (x) é contínua em S = x  R | x  6
-1
' 2 (x) =
é contínua em S = x  R | x < 6
2 6-x
(ii)
1
| ' 2 (x) |< 1 |
|< 1  x < 5,75
2 6 x
Portanto, é possível obter um intervalo centrado em 2 tal que as
condições (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ2(x)
gera uma sequência convergente.
Método do ponto fixo
• Para
6
3 (x) =  1
x
3 (x) é contínua em S = x  R | x  0
(i)
'3 (x) =
-6
é contínua em S = x  R | x  0
2
x
(ii)
6
| '3 (x) |< 1 | 2 |< 1  x 2 > 6  x <  6 ou x > 6
x
É possível obter um intervalo centrado em -3 tal que as condições (i),
(ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ3(x) gera uma
sequência convergente para x0=-2,5, no intervalo I = [-3,5, -2,5], por
exemplo.
Método do ponto fixo
Algoritmo: Ponto fixo
Entrada: x0 (aproximação inicial), ε (precisão)
Saída:
Início xn (raiz aproximada)
repita
xn =  (x0 )
se | f(xn ) |< ε ou | xn  x0 |< ε então
Fim
senão
x0 = xn
até que não se excedeu o número máx. de iterações
Fim
Método do ponto fixo
• Exercício:
Seja f(x) = x 3  9x + 3
x3 + 3
 (x) =
é convergente para x0 = 0,5 e ξ  ( 0,1 ) ?
9
Estudo da convergência
Seja 𝑥𝑘 uma sequência que converge para um número ξ
e seja 𝑒𝑘 = 𝑥𝑘 - 𝜉 o erro na iteração k.
Se existir p > 1 e uma constante C > 0 tais que
𝑒𝑘+1
lim
𝑘→∞ 𝑒𝑘 𝑝
=𝐶
então p é chamado ordem de convergência da sequência
é a constante assintótica de erro
𝑒𝑘+1
𝑘→∞ 𝑒𝑘 𝑝
Se lim
menos linear
= 𝐶, 0 ≤ 𝐶 < 1, então a convergência é pelo
{x k }
eC
Estudo da convergência
Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método
iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de
𝑒𝑘+1
𝑘→∞ 𝑒𝑘 𝑝
convergência do processo, pois de lim
= 𝐶 podemos
escrever
A seguinte relação 𝑒𝑘+1 ≈ 𝐶 𝑒𝑘 𝑝 para k muito grande
Se dois processos iterativos geram sequências 𝑥𝑘 e 𝑥𝑘 ,
ambas convergentes para ξ, com ordem de convergência 𝑝1 e
𝑝2 , se 𝑝1 > 𝑝2 ≥ 1 o processo que gera a sequência 𝑥𝑘
converge mais rapidamente que o outro
∣∣
Ordem de convergência do MPF
Seja φ(x) uma função de iteração para o método do ponto fixo
que satisfaz as hipóteses do teorema de convergência. Demonstrase (ver referência [1], pag 66) que para o método do ponto fixo
tem-se que
𝑒𝑘+1
𝑘→∞ 𝑒𝑘 𝑝
lim
= φ´(ξ) = 𝐶 e 𝐶 < 1
pois φ(x) fornece convergência. Esta relação afirma que para
grandes valores de k o erro em qualquer iteração é proporcional ao'
erro na iteração anterior, sendo que o fator de proporcionalidade éφ
. Observamos que a convergência será mais rápida quanto
Observamos que a convergência será mais rápida quanto menor for φ'
Conforme visto anteriormente a relação
lim
k
∞
ek
ek
1
p
= φ' ξ = C
nos diz
que o método do ponto possui convergência linear ou seja a ordem
de convergẽncia do método do ponto fixo é p=1
Método de Newton-Raphson
(ou das tangentes)
• Seja f(x) contínua em (a,b) e f’(x) ≠ 0, então:
f(x0 )
f(x0 )
 x1 = x0 
x0  x1
f' (x0 )
f(xn )
Porindução, xn+1 = xn 
f' (xn )
tgα = f´(x0 )  f' (x0 ) =
y
f(x)
f(x0)
a
α
ξ
x2 x1 x0 x
=b
Método de Newton-Raphson
• Condições de Newton-Raphson-Fourier
– O método converge para a raiz contida no
intervalo (a,b) se e somente se:
f(a)f(b) < 0
f’(a)f’(b) > 0
f’’(a)f’’(b)>0
(extremos com sinais contrários)
(função apenas crescente ou decrescente)
(concavidade não muda no intervalo)
Método de Newton-Raphson
• Condições de Newton-Raphson-Fourier
y
f(x)
x0
ξ
x1
x’1
x’0 x
Método de Newton-Raphson
Algoritmo: Newton-Raphson
Entrada: x0 (aproximação inicial), ε (precisão)
Saída:
x (raiz aproximada)
Início n
repita
f(x0 )
xn = (x0 ) = x0 
f' (x0 )
se | f(xn ) |< ε ou | xn  x0 |< ε então
Fim
senão
x0 = xn
até que não se excedeu o númeromáx.de iterações
Método da secante
• Utiliza a mesma forma da função φ de iteração do método de
Newton, mas aproximando o valor da derivada de f(x) pelo
quociente das diferenças:
f´(xn ) 
f(xn )  f(xn1 )
xn  xn1
onde xn e xn-1 são aproximações para a raiz. Assim, a função de
iteração fica:
f(xn )
 (xn ) = xn 
=
f(xn )  f(xn 1 )
xn  xn 1
xn 
f(xn )
(xn  xn 1 )
f(xn )  f(xn 1 )
Método da secante
• Geometricamente, o ponto xn+1=φ(xn) é a absissa do
ponto de intersecção do eixo x e da reta secante que
passa por (xn-1,f(xn-1)) e (xn,f(xn))
f(x)
x0
x1
x3
ξ
x2 x
Método da secante
Algoritmo: Secante
Entrada: x0, x1 (aproximações iniciais), ε (precisão)
Saída: (raiz aproximada)
Início
x
repita
xn = x1 
f(x1 )
(x1  x0 )
f(x1 )  f(x0 )
se | f(xn ) |< ε ou | xn  x1 |< ε então
Fim
senão
x0 = x1
x1 = xn
até que não se excedeu o númeromáx.de iterações
Fim
Observações acerca de
equações polinomiais
• Regra de sinal de Descartes:
“Dado um polinômio com coeficientes reais, o
número de zeros reais positivos p esse
polinômio, não excede o número v de
variações de sinal dos coeficientes. Ainda
mais, v-p é inteiro, par e não negativo”.
Regra de sinal de Descartes
• Ex:
p5  2x5  3x4  4x3  x 1
v  p  0, p  2
v 2
v  p  2, p  0
Regra de sinal de Descartes
• Para se determinar o número de raízes reais
negativas, neg, faz-se pn(-x) e usa-se a regra de
Descartes para raízes positivas:
p5 ( x)  2x5  3x4  4x3  x 1
p5 (x)  2x5  3x4  4x3 x 1
v  neg  0, neg  3
v  3  neg : 
v  neg  2, neg  1
Regra de sinal de Descartes
• Exercício: Determinar o número de raízes reais
das equações:
a)4x  x + 4x  x  1 = 0
5
7
3
b)x +1 = 0
2
Localização gráfica dos zeros polinomiais
Exemplo: Para o polinômio f(x) = x⁶ - 5 x⁵ + 11 x⁴ - 15 x³ + 14 x² - 10 x + 4
Temos as seguintes localizações para os zeros reais e complexos;
Localização de zeros polinomiais
Localizar as raízes reais de p(x) = 0 é determinar um intervalo (a,b)
que contenha todas as raízes reais de p(x). Localizar as raízes
complexas é determinar os raios interno e externo dos circulos no
plano complexo que contenham as raízes complexas de p(x) = 0.
Existem vários teoremas que oferem as cotas para localização de
raízes complexas: Cota de Vene, cota Laguerre-Thibault, Cota de
Cauchy, cota de Kojima e outras. Apresentaremos aqui neste texto
apenas a cota de Kojima