Unidade: Zero de funções reais
Unidade I:
0
Unidade: Zero de funções reais
Introdução à origem dos erros
Estamos aptos a discutir a origem dos erros nos computadores e
calculadoras. Consideremos o seguinte problema: calcular a área de um círculo
de raio igual a 100 m.
Sabemos que a área do círculo é calculada pela seguinte fórmula:
Área do círculo = R2
Sem utilizar a calculadora:
Área do círculo = 3,14(100)2 = 31400 m2
Utilizando uma calculadora:
Área do círculo = 31415,92654 m2
Como explicar a diferença entre os resultados? Bem, isso depende da
representação dos números na máquina utilizada. No primeiro caso, utilizamos
 igual a 3,14 (três algarismos significativos) e, no segundo, a calculadora
dispunha na sua memória do valor igual a 3,141592654 (dez algarismos
significativos). Devemos notar que o valor exato da área não pode ser obtido,
pois  é um número irracional. Generalizando, cálculos que envolvam números
que não podem ser representados por um número finito de dígitos não
fornecem valores exatos.
Isso quer dizer que, se fizermos 2*0,35 em um computador, obteremos o
Antes de respondermos a essa pergunta, devemos lembrar que, quando
inserimos um número no computador, este o converte para binário, realiza
operações matemáticas com o mesmo e converte o resultado para decimal
para que possamos observá-lo. Assim, para realizar a operação acima, nossa
máquina primeiro converte 2 e 0,35 para binário, executa a multiplicação e,
então, converte novamente para decimal.
Unidade: Zero de funções reais
valor exato 0,7?
1
Aritmética de ponto flutuante
Agora vamos entender como os números são armazenados na memória
do computador. Se a máquina trabalha com a base , números serão
representados sob o seguinte formato:
 (0,d1d2d3...dt) x e
Em que t é o número de dígitos e e um expoente com limite superior e
inferior (M e m, respectivamente). A fração entre parênteses é chamada de
mantissa. Se nosso expoente e for maior que M, temos “overflow” e, se e for
menor que m, temos “underflow”.
Supondo que nossa máquina trabalhe em base decimal ( = 10) e que
opere com três algarismos significativos (t=3). Um número digitado será
representado no seguinte formato:
 (0,d1d2d3...dt)10 x 10e
Vejamos alguns exemplos:
Representação obtida
Representação obtida
por arredondamento
por truncamento
2,45
0,245x101
0,245x101
1506
0,151x104
0,150x104
3,141593
0,314x101
0,314x101
3,835
0,384x101
0,383x101
50,056
0,501x102
0,500x102
Quando
digitamos
o
número
3,835
(com
quatro
algarismos
significativos), o computador deve armazená-lo, mas só dispõe de três dígitos.
Assim, a nossa máquina dispõe de duas opções:
a) Arredondar – significa determinar se o dígito após o último algarismo
Unidade: Zero de funções reais
Número digitado
2
significativo do número. No caso, 5 (3,835). Assim, se for:
Menor que 5: desprezamos os demais dígitos após o último algarismo
significativo.
Maior que 5: somamos um ao último algarismo significativo.
b) Truncar – significa desprezar os demais dígitos após o último algarismo
significativo.
No arredondamento de 3,835, vemos que o dígito após o último
algarismo significativo é maior ou igual a 5. Então, somamos um ao último
algarismo significativo, que é 3. Obtemos 3,84. No truncamento, simplesmente,
desprezamos os demais dígitos e obtemos 3,83.
Zeros de funções reais
Chamamos de zero ou raiz de uma função o valor x que anula nossa
equação f(x). Então, f( x )=0. Nem sempre dispomos de fórmulas explícitas para
o cálculo das raízes de uma função. Assim, recorremos ao Cálculo Numérico,
que nos fornece ferramentas para determinação dos zeros de forma
aproximada, com a precisão ou dentro do erro desejado.
Consideremos os exemplos a seguir. Devemos procurar um ou mais
números reais que anulem f(x).
Exemplo 1: f(x) = x2 – 16.
Trata-se de um polinômio de segundo grau e sabemos que apresenta
f ( x)  x 2  16
x1  4
x2  4
=>
x 2  16  0
=>
x 2  16
=>
x   16
Unidade: Zero de funções reais
duas raízes, as quais chamaremos de x1 e x2 .
3
Exemplo 2: f(x) = x2 + 1.
f ( x)  x 2  1
=>
x2 1  0
=>
x 2  1
x   1
Podemos definir i2=-1, então, que as raízes são:
x1  i
x2  i
Nossa equação apresenta raízes complexas e não reais. Essas raízes
não serão analisadas em nosso curso.
Frequentemente, para localizar as raízes ou os zeros reais de nossas
funções devemos construir gráficos. As raízes são os pontos no qual a função
intercepta o eixo x. Vejamos alguns exemplos:
2
Figura 2 – Localização de uma raiz de uma função f(x) qualquer. Fonte: O Autor
Unidade: Zero de funções reais
Figura 1 – Localização das raízes da função f(x) = x -9. Fonte: O Autor
4
Figura 3 – Localização de duas raízes de uma função qualquer. Fonte: O Autor
Figura 4 – Localização três raízes de uma função qualquer. Fonte: O Autor
Todos os métodos numéricos para a determinação dos zeros de uma
função apresentam uma idéia em comum: através de uma estimativa inicial
para raiz e refina-se o resultado utilizando um processo iterativo.
Os métodos são compostos de duas etapas:
Primeira etapa: localização ou isolamento das raízes – consiste na
obtenção de um intervalo fechado [a,b] que contenha uma única raiz ( x ) da
função.
Segunda etapa: refinamento – consiste na obtenção de aproximações
cada vez melhores para a raiz, até a precisão fixada () ou, em outras palavras,
dentro do erro estabelecido.
Localização ou isolamento de raízes
Nessa etapa, vamos utilizar a construção de gráficos para localização e
isolamento das raízes. A construção do gráfico pode auxiliar com relação ao
domínio da função, os pontos de descontinuidade, os intervalos de crescimento
e decrescimento, os pontos de máximo e mínimo, concavidade, pontos de
Vamos ver alguns exemplos numéricos.
Exemplo 1: localizar as raízes reais da função f(x)=x3-4x2+2.
1º passo: construir uma tabela com valores para a função e analisar
como varia o sinal.
X
3
2
f(x)=x -4x +2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-223
-126
-61
-22
-3
2
-1
-6
-7
2
27
Unidade: Zero de funções reais
inflexão e assíntotas da função.
5
3
2
Tabela 1 – Valores da função f(x)=x -4x +2
A função alternou de sinal entre -1 e 0, 0 e 1 e 3 e 4. Então, existe pelo
menos uma raiz em cada intervalo. No entanto, sabemos que f(x) possui três
raízes por se tratar de um polinômio de terceiro grau. Assim sendo, existe
apenas uma raiz em cada intervalo: Intervalo I1 = [-1,0];
Intervalo I2 = [0,1];
Intervalo I3 = [3,4] e o problema está resolvido.
2º passo: construir o gráfico com os valores da tabela
Através da análise gráfica, podemos comprovar ou não os intervalos em
que existem as raízes. Utilizando os mesmos valores da tabela, podemos fazer
a construção do gráfico. Lembre-se de que não é necessário fazer um gráfico
extremamente preciso, basta um esboço da curva.
3
2
Exemplo 2: localizar a raiz positiva da função f(x)=4cosx-ex
Estamos interessados em isolar a raiz positiva dessa função. Se formos
utilizar a análise gráfica, não será trivial a construção do gráfico, mas podemos
facilmente esboçar o gráfico de g(x) =4cosx e h(x) =ex. Com isso, as raízes
estão localizadas na intersecção de ambas as curvas. Vamos elaborar uma
tabela com pontos, partindo de x=0, já que queremos a raiz positiva. Não
Unidade: Zero de funções reais
Figura 5 – Construção do gráfico da função f(x)=x -4x +2 indicando os intervalos. Fonte: O
Autor
6
esqueça de trabalhar com a calculadora em radianos, pois vamos trabalhar
com uma função trigonométrica.
x
g(x)=4cosx
0
4
0,5
1
1,5
2
3,51033 2,161209 0,282949 -1,66459
x
h(x)=e
1
1,648721 2,718282 4,481689 7,389056
x
Tabela 2 – Valores das funções g(x) =4cosx e h(x) =e
Podemos observar que a intersecção das curvas ocorre entre 0,5 e 1.
Podemos definir o intervalo com I =[0,5,1]. A título de verificação, uma vez que
o problema está resolvido, podemos realizar a análise teórica da função:
f(0,5) = 4 cos (0,5)-e0,5 = 1,9 > 0
f(1,0) = 4 cos (1,0)-e1,0 = -0,6 < 0
De acordo com os cálculos, verifica-se a ocorrência de inversão do sinal
no intervalo indicado. Portanto, podemos concluir que realmente existe uma
x
Figura 6 – Construção dos gráficos das funções g(x)=4cosx e h(x)=e indicando a localização
da raiz. Fonte: O Autor
Unidade: Zero de funções reais
raiz entre 0,5 e 1,0. Comprove no gráfico.
7
Exemplo 2: localizar a raiz positiva da função f(x)=lnx + x
1º passo: para separar as funções, primeiro vamos igualar f(x) a zero:
lnx + x = 0
lnx = -x
Do lado esquerdo da equação, temos g(x) e do lado direito, h(x). Assim:
g(x) = lnx e h(x)=-x
2º passo: construir a tabela:
x
g(x) = lnx
h(x) = -x
0
-
0
0,5
-0,7
-0,5
1
0
-1
Unidade: Zero de funções reais
Tabela 3 – Valores das funções g(x) = lnx e h(x) =-x
8
3º passo: construir o gráfico:
Figura 7 – Construção dos gráficos das funções g(x) = lnx e h(x) = -x indicando a localização da
raiz. Fonte: O Autor
Vemos que a intersecção das duas curvas ocorre entre 0,5 e 0,6.
Podemos definir o intervalo como I= [0, 5 , 0,6]. Apenas a título de verificação,
uma vez que o problema já está resolvido, podemos realizar a análise teórica:
f(0,5) = ln0,5+0,5 = -0,2 < 0
f(0,6) = ln0,6+0,6 = 0,09 > 0
De acordo com os cálculos, verifica-se a ocorrência de inversão do sinal
no intervalo indicado. Portanto, podemos concluir que realmente existe uma
Para treinar
Agora isole os zeros reais, definindo o intervalo das seguintes funções:
f(x) = 2x + 1 – ex
f(x) = 1 – xlnx
f(x) = 2x - 3x
Resposta: [-0,5 , 0,5]
Resposta: [1, 2]
Resposta: [0 , 1]
Unidade: Zero de funções reais
raiz entre 0,5 e 0,6.
9
Observação: Os intervalos não precisam ser os mesmos.
Refinamento
Na etapa anterior, aprendemos a isolar as raízes de uma função. Como
resultado, obtivemos um ou mais intervalos fechados [a,b] contendo uma única
raiz em cada um deles. Nessa etapa, veremos os métodos numéricos para o
cálculo de uma aproximação para a raiz.
Método da bissecção
Se temos f(x) contínua em [a,b], com f(a)*f(b)<0 e apenas uma raiz
nesse intervalo, podemos utilizar esse método. O objetivo é diminuir ou fechar
o intervalo [a,b] até atingirmos a precisão desejada (b-a<). A cada iteração,
dividimos o intervalo ao meio, modificando o valor de a ou de b. Nossa
estimativa inicial (
x0 
x0 ) para a raiz é:
ab
2
Devemos calcular f(a), f(b) e f(
x0 ).
1ª condição: se f(a)<0, f(b)>0 e f(
x0 )>0 devemos fazer b= x0 ;
2ª condição: se f(a)<0, f(b)>0 e f(
x0 )<0 devemos fazer a= x0 .
Vamos resolver um exercício. Queremos encontrar a raiz da função f(x)
= x – cosx no intervalo [0,1] com erro inferior a 0,01.
Solução: como o intervalo já está definido, não há a necessidade da
a = 0; b = 1; ε=0,01
a = 0 => f(a) = 0 – cos 0 = 0 – 1= -1
=> f(a)<0
b = 1 => f(a) = 1 – cos 1 = 1 - 0,5403 = 0,4597 => f(b)>0
Calculando o valor de b-a=>1-0=>1>ε, então, vamos calcular a
estimativa inicial
Unidade: Zero de funções reais
análise gráfica. Os dados para a solução do problema são:
10
Iteração inicial
x0 
a  b 0 1

 0,5
2
2
f( x0 )=0,5-cos0,5=-0,3776
Temos f(a)<0, f(b)>0 e f( x0 )<0, estamos na 2ª condição e daí a= x0
Recalculando o intervalo: b-a=1-0,5=0,5>ε, temos que iterar mais uma
vez. Observe, na tabela a seguir, como deve ser feita sua montagem e as
Unidade: Zero de funções reais
etapas do processo de solução utilizando o método da bissecção.
11
Vamos construir uma tabela:
Iteraç
ão
a
b
xn 
ab
2
f(a)*f(xn)
1
0
1
x1 
0 1
2
(-1)*(-0,3776)


(-)*(-)=(+)
1
x2 
0,5  1
2
(-0,3776)*(0,0183)

(-)*(+)=(-)
  0,25
x2  0,75
3
0,5
0,75
x3 
0,5  0,75
2
(-0,3776)*(-0,186)

(-)*(-)=(+)
0,625
0,75
x4 
0,625  0,75
2
(-0,186)*(-0,0853)
(-)*(-)=(+)
x4  0,6875
5
0,6875 0,75
x5 
0,6875  0,75
2
x5  0,71875
6
0,7187 0,75
5
x6 
0,71875  0,75
2
x6  0,734375
7
0,7343 0,75
75
x7 
0,75  0,5
2
  0,125
x3  0,625
4
1 0,5
2
(-0,0853)*(0,0339)
(-)*(-)=(+)
(-0,0339)*(0,0079)
Como
f(a)*f(xn)>0 (+)
a=x1
Como
f(a)*f(xn)<0 (-)
b=x2
Como
f(a)*f(xn)>0 (+)
a=x3
0,75  0,625 Como
f(a)*f(xn)>0 (+)
2
a=x4
  0,0625

0,75  0,6875 Como
f(a)*f(xn)>0 (+)
2
a=x5
  0,03125

0,75  0,71875 Como
f(a)*f(xn)>0 (+)
2
  0,015625 a=x6

(-)*(-)=(+)
0,75  0,734375Como
0,734375  0,75 (-0,0079)*(0,0052)

f(a)*f(xn)<0 (-)
2
2
(-)*(+)=(-)
b=x7
x7  0,7421875
  0,0078125
Tabela 4 – Solução pelo método da bissecção para a função f(x) = x-cosx.
Como o erro na iteração 7 é menor que o erro estabelecido pelo
enunciado do problema (0,0078125<0,01), concluímos que o mesmo está
resolvido e a solução é:
Unidade: Zero de funções reais
0,5
1 0
2
  0,5
x1  0,5
2
ba
(Erro)
2
12
x =0,74218750,0078125
Pontos importantes
Convergência: estamos estudando métodos iterativos em que partimos
de uma estimativa inicial e, através do método numérico utilizado, obtemos
aproximações sucessivas com erro cada vez menor. Quando isso ocorre,
dizemos que o método é convergente. O método da bissecção é convergente.
Estimativa do número de iterações: podemos saber quantas iterações
são necessárias para atingirmos a precisão desejada, utilizando o método da
bissecção. Basta utilizarmos a seguinte equação:
n
log( b0  a0 )  log 
log 2
No exemplo resolvido, temos:
a0 = 0 ; b0 = 1 ;  = 0,01
Substituindo na equação:
n
log(1  0)  log 0,01
log 2
n  6,6439 iterações.
O que comprova o exemplo que o resultado foi atingido com 7 iterações.
Para treinar
x
f(x)= x  5e , contida no intervalo I=[1,2] com precisão igual a 0,01. Resolva o
problema arredondando para 4 casas decimais. Resposta: 7 iterações, x
=1,4336, =0,00781
f(x)=4cosx-ex contida no intervalo I=[0,5 , 1,0] com precisão igual a 0,001.
Resolva o problema arredondando para 5 casas decimais. Resposta: 9
iterações, x =0,90479, =0,00098
Unidade: Zero de funções reais
Agora, determine a raiz de cada função abaixo:
13
Método de Newton-Raphson (N-R)
No método de Newton-Raphson, para determinarmos a raiz de uma
função f(x), devemos utilizar a seguinte equação:
 ( x)  x 
f ( x)
f ' ( x)
Em seguida, com uma aproximação inicial, geramos uma sequência de
aproximações da seguinte forma:
x1   ( x0 );
x2   ( x1 );
x3   ( x2 ) ...
O processo é interrompido até que ( f ( xn )   ).
Exemplo: utilizando o Método de Newton-Raphson, obter a raiz da
função f(x)=x2+x-6 contida no intervalo I=[1,3], partindo de x0  1,5 com uma
precisão menor ou igual a 0,001.
Solução:
Primeiro passo: devemos obter a derivada f’(x) da função f(x):
f’(x)=2x+1
Segundo passo: substituir a função f(x) e a sua derivada f’(x), na
 ( x)  x 
f ( x)
f ' ( x)
x2  x  6
 ( x)  x 
2x 1
 ( x) 
2x 2  x  x 2  x  6
2x 1
 ( x) 
x2  6
2x  1
Unidade: Zero de funções reais
equação:
14
Terceiro passo: a partir daí, devemos proceder a substituição dos
valores, utilizando uma tabela para facilitar os cálculos:
xn   ( xn1 )
Iteração
1
x1 
(1,5) 2  6
 2,0625
2(1,5)  1
f ( xn )
f ( x1 )  (2,0625) 2  (2,0625)  6
f ( x1 )  0,31640625
x1  2,0625
(2,0625) 2  6
x2 
2(2,0625)  1
2
f ( x2 )  (2,00076) 2  (2,00076)  6
f ( x2 )  0,0038
x2  2,00076
(2,00076) 2  6
x3 
2(2,00076)  1
3
f ( x3 )  (2,00000) 2  (2,00000)  6
x3  2,00000
f ( x3 )  0
2
Tabela 5 – Solução pelo método da bissecção para a função f(x) = x +x-6
Como o erro na iteração 3 é menor que o erro estabelecido pelo
enunciado do problema (0<0,001), concluímos que o mesmo está resolvido e a
solução é:
x =2,000000
Observe que o método de Newton-Raphson também é convergente.
Para treinar
x
a) f(x)= x  5e , contida no intervalo I=[1,2] com precisão igual a 0,0001 e
partindo de
x0  1,5 . Resolva o problema arredondando para 6 casas decimais
Resposta: 3 iterações,
x3 =1,430443, =0,000003
b) f(x)=4cosx-ex contida no intervalo I=[0,5 , 1,0] com precisão igual a 0,0001 e
Unidade: Zero de funções reais
Agora você deve determinar a raiz de cada função abaixo:
15
partindo de x0  0,75 . Resolva o problema arredondando para 6 casas
decimais
Resposta: 4 iterações, x4 =0,904788, =0,000001
Agora, podem ter surgido algumas dúvidas. Procure consultar o material
complementar,
a
bibliografia
recomendada
e
também
fazer
uso
da
apresentação em Power Point. Além disso, você também pode procurar o tutor
Unidade: Zero de funções reais
e postar a sua dúvida no fórum de discussão.
16
Referências
RUGGIERO, M. A. G., LOPES, V.L.R. - Cálculo Numérico: Aspectos
Teóricos e Computacionais, 2ª edição, 1998, Editora Makron Books – São
Paulo.
SPERANDIO, D., MENDES, J.T., SILVA, L.H.M. - Cálculo Numérico:
Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos Numéricos,
2003, Editora Pearson – São Paulo.
HUMES, A.F.P.C., MELO, I.S.H., YOSHIDA, L.K., MARTINS, W.T. – Noções de
Cálculo Numérico, 1984, Editora McGraw Hill – São Paulo.
Unidade: Zero de funções reais
FRANCO, N.M.B. - Cálculo Numérico, 2006 - Editora Pearson.
17
Revisão Textual:
Profa. Rosemary Toffoli
www.cruzeirodosul.edu.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
01506-000
São Paulo SP Brasil
Tel: (55 11) 3385-3000
18