CÁLCULO NUMÉRICO
PROF. MARCUS VINICIUS
AULA 05 – RAÍZES DE UMA FUNÇÃO REAL
Método de Newton-Raphson (método das tangentes)
Introdução
Seja a equação f (x) = 0 que possua uma raiz real em [a , b] .
O método consiste em traçar a tangente à curva f (x) em uma de suas extremidades e determinar a
interseção da tangente com o eixo das abcissas.
Se o ponto for a raiz, o problema está resolvido!
Caso contrário, determina-se o valor da f (x) nesse ponto e repete-se o procedimento anterior.
O critério de parada desse procedimento é quando se encontra a raiz com a precisão desejada.
Dedução da fórmula de iteração do Método
Do triângulo retângulo
temos:
f (a)
tg
x1 a
f , (a )
x1
a
f (a)
x1 a
f (a)
,
f (a )
De modo análogo:
f ( x1 )
tg
x 2 x1
f , ( x1 )
x2
x1
f ( x1 )
x 2 x1
f ( x1 )
f , ( x1 )
Generalizando:
xn
1
xn
f (xn )
f , (xn )
Critério de Fourrier
condição de convergência
Se aplicarmos o mesmo critério no extremo b, o intervalo para determinar a raiz aumentaria.
Neste caso, para escolhermos adequadamente o extremo, aplicamos o critério de Fourrier, que é:
a) f '(x) tem que ter sinal determinado em [a , b] .
b) f "(x) não pode se anular em [a , b] .
c) Escolhe-se o extremo em que f (x) · f "(x) > 0