Universidade Aberta do Nordeste e Ensino à Distância são marcas registradas da Fundação Demócrito Rocha. É proibida a duplicação ou reprodução desse fascículo. Cópia não autorizada é crime.
Matemática e
suas Tecnologias
Matemática
Adriano Aquino, Carlos Mattos,
Márcio Rebouças e Samyo Praciano
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U
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GRA ublicaçãro
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6
0
122
Prezado(a) Leitor(a),
temática e suas Tecnologias,
nto referentes à área de Ma
ime
hec
con
do
s
eto
obj
dos
udos
exponencial, logarítmica,
Dando continuidade aos est
mial do 2º grau, funções
ino
pol
ção
fun
re
sob
gem
uma aborda
faremos, neste fascículo,
.
ades e suas
trigonometria e estatística
er, com precisão, suas habilid
olv
env
des
sa
pos
que
a
par
,
ial e resolva os exercícios
Leia atentamente este mater
competências nessa área.
Bom estudo!
Função Polinomial do 2º
Grau
−b ± b² − 4ac
, na qual uma raiz é
2a
-b - b² - 4ac
−b + b² − 4ac
e a outra é x =
. Gex=
2a
2a
Esse tópico da matemática elementar é muito abrangente no que diz respeito a aplicações no cotidiano. Tais
aplicações estão presentes na economia, na engenharia,
na indústria – só para citar alguns exemplos.
da fórmula x =
Definição
ralmente, as raízes são simbolizadas por x’ e x”.
Toda função f : → , definida por f(x) = ax2 + bx + c,
na qual a 0, b e c são números reais, é dita função polinomial do 2o grau ou simplesmente função quadrática.
O seu gráfico é uma curva chamada parábola.
A construção do gráfico pode ser realizada facilmente quando conhecemos a concavidade, as raízes reais (se
existirem) e os pontos extremos absolutos da parábola.
A expressão b2 – 4ac é chamada discriminante, pois,
através de seu sinal, podemos discriminar a quantidade de pontos de intersecção da parábola com o eixo x.
Geralmente, o discriminante é representado pela letra
grega maiúscula ∆, isto é, ∆ = b2 – 4ac.
Se as raízes não são reais, então a parábola não intercepta o eixo das abscissas (eixo x), pois, geometricamente, as raízes reais de uma função quadrática são as
abscissas dos pontos pertencentes à parábola que estão
sobre o eixo x. Observe os casos:
i) a > 0
Concavidade da parábola quando
representa uma função quadrática
A concavidade da parábola está diretamente relacionada
com o sinal do coeficiente a em y = ax2 + bx + c.
a > 0: concavidade voltada a < 0: concavidade voltada
para baixo
para cima
ii) a < 0
Raízes ou zeros da função quadrática
São os valores numéricos (reais ou não) atribuídos a
x que anulam ax2 + bx + c, isto é, tornam ax2 + bx +
c = 0. Esses valores numéricos são obtidos por meio
Universidade Aberta do Nordeste
123
Coordenadas do vértice/
máximos e mínimos
– 9, cujas raízes são 1 e −
O ponto V, de ordenada máxima (ou mínima) do gráfico
de uma função quadrática, é denominado Vértice. Suas
 −b − ∆ 
coordenadas são  ,
 . A ordenada desse ponto
 2a 4a 
fornece o valor máximo (ou mínimo) da função, de acordo com a seguinte regra:
I) a > 0 (parábola côncava para cima)
rada:
9
, tem a seguinte forma fato2

 9 
f(x) = 2 . ( x − 1) .  x −  −   ,
 2 

ou seja,
9

f(x) = 2 . ( x − 1) .  x +  .
2

Essa forma pode ser obtida de imediato quando se conhecem as raízes e o coeficiente a.
Questão comentada
Com 140 metros lineares de tela de arame, um fazendeiro
construiu dois currais: um quadrado e um retangular, este de
comprimento igual ao triplo da largura. O fazendeiro resolveu escolher para medida do lado do quadrado um valor que
torne a soma das áreas dos currais a menor possível. Qual é a
área de cada curral?
Solução comentada
−∆
O valor y =
é dito valor mínimo da função. O núme4a
ro x =
−b
é o valor de x que torna o valor de y o menor
4a
possível (mínimo).
II) a < 0 (parábola côncava para baixo)
Supondo que a medida da largura do curral retangular é x
metros, a medida do comprimento será de 3 x metros. Assim, restam 140 – 8x metros de tela de arame para construir o curral em forma de quadrado; portanto, a medida de cada lado desse curral é 35 – 2x metros lineares.
Denotando por S a soma das áreas desses currais, teremos
S = x . 3x + (35 – 2 x)² = 3x² + 1.225 – 140 x + 4 x² = 7x² – 140
x + 1.225.
O valor mínimo dessa área é dado pelo valor mínimo
da função quadrática real de variável real definida por
y = 7 x² – 140 x + 1.225.
Esse valor mínimo é atingido quando x é igual a
=
−b
, isto é, x
2a
− ( −140) 140
=
= 10. Sendo x = 10 m, as dimensões do
2.7
14
curral retangular são 10m x 30m, e as dimensões do curral
quadrado são 15m x 15m. Assim, a área do curral retangular
é de 300 m² e a do curral em forma de quadrado é 225 m².
−∆
é dito valor máximo da função.
4a
−b
O número x =
é o valor de x que torna o valor
4a
O valor y =
Questão comentada
O gráfico mostra a trajetória de uma pedra atirada para cima,
obliquamente em relação à horizontal:
de y o maior possível (máximo).
A parábola toca o eixo das ordenadas (eixo y) no
ponto (0, c). Logo o valor c na função ff:: → , definida por f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, indica a ordenada do
ponto no qual a parábola intercepta o eixo y.
Forma fatorada de uma função quadrática
A função ff:: → , definida por f(x) = ax + bx + c, a ≠
0, pode ser reescrita na forma f(x) = a.(x – x’).(x – x”), em
que x’ e x” são as raízes (reais ou não) da função.
Assim, a função ff:: → , definida por f(x) = 2x2 + 7x
2
124
Os valores nos eixos Ox e Oy indicam, respectivamente, as distâncias, em metro, percorridas pela pedra na horizontal e na
vertical (altura).
Sabendo-se que essa trajetória é parabólica, qual foi a altura
máxima atingida pela pedra?
Solução comentada
A parábola em questão intercepta o eixo Ox nos pontos de
abscissas 0 e 100. Logo, as raízes da função quadrática associada à parábola são x’ = 0 e x” = 100, consequentemente,
sua forma fatorada é f(x) = a . (x – 0) . (x – 100). Como (80,16)
é ponto da parábola, temos que f(80)=16. Utilizando a forma
fatorada e f(80) = 16, teremos:
a ⋅ (80 − 0) ⋅ (80 − 100) = 16
16
16
1
=
=−
= − 0,01 . Logo:
a=
80 ⋅ ( −20) − 1.600
100
f(x) = – 0,01 . (x – 0) . (x – 100)
f(x) = – 0,01x2 + x
A altura máxima, em metro, atingida pela bola é dada pelo
valor máximo dessa função. Este valor é dado pela ordenada
do vértice, isto é,
−
1² − 4 ⋅ ( − 0,01) ⋅ 0
∆
1
=
= 25 .
=−
4a
4 ⋅ ( − 0,01)
0,04
Para aprender mais!
A) 17,5 m.
C) 12,5 m.
E) 7,5 m.
B) 15,0 m.
D) 10,0 m.
garítmica
Funções exponencial e lo
Existem vários fenômenos que podem ser descritos por
meio de relações exponenciais ou logarítmicas. Dentre
eles podemos citar, por exemplo: reprodução de bactérias, desintegração de uma substância radioativa, estudo
do pH e do nível sonoro de um determinado ambiente.
Essas duas funções também serão objeto de estudo nesse módulo.
Definição de função exponencial
Define-se função exponencial de base a, 0 < a ≠ 1, a funçãoff:: → , cuja lei básica de formação é f(x) = ax.
O seu gráfico é uma curva cujo aspecto depende do valor da base a.
Caso 1: a > 1
1. Após uma análise de mercado, concluiu-se que um
produto seria vendido em conformidade com a expressão Q = 2.000 – 100P, na qual Q representa a
quantidade que será vendida ao preço unitário P, em
real. Além disso, o lucro, em real, por unidade vendida é P – 10. Qual deverá ser o preço unitário desse
produto, que tornará máximo o lucro total?
A) R$ 10,00.
C) R$ 20,00.
E) R$ 30,00.
B) R$ 15,00.
D) R$ 25,00.
2. A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada, e a distância entre quaisquer dois deles, consecutivos, é 25 m. Sabendo-se que os elementos de sustentação BF, CG e DH são todos perpendiculares ao plano da
estrada e que a altura do elemento central CG é 20 m,
a altura de DH é
Nesse caso, temos uma curva crescente que intercepta
o eixo das ordenadas no ponto (0,1) e cuja assíntota é o
eixo das abscissas.
Caso 2: 0 < a < 1.
Nesse caso, temos uma curva decrescente que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,1) e cuja assíntota é
o eixo das abscissas.
Questão comentada
Quando uma droga passa pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada a uma taxa que depende da droga adminis-
Universidade Aberta do Nordeste
125
trada. Para o antibiótico ampicilina, 40% da droga é eliminada
a cada hora. Após t horas de ingestão da droga, qual é o
percentual da droga que foi eliminada do corpo do paciente?
Solução comentada
Supondo que a quantidade administrada no paciente tenha
sido Q0 mg, após 1 hora, a quantidade eliminada será Q0 .
0,6; após 2 horas, Q0 . (0,6)2; após 3 horas, Q0 . (0,6)3, e assim
por diante. Nessas condições, após t horas, a quantidade Q
eliminada pelo corpo do paciente será de Q0 . (0,6)t mg, isto
é, Q = Q0 . (0,6)t mg.
O exemplo mostra que a quantidade de droga eliminada
pelo organismo do paciente decai exponencialmente, em função do tempo.
Logaritmo
Considerando a, b e x números reais, tais que 0 < a ≠
1 e b > 0, e sendo x o expoente que deve ser dado ao
número a para se obter b, dizemos que x é o logaritmo
de b na base a.
Em símbolos:
ax = b ⇔ loga b = x
a: base
b: logaritmando (ou antilogaritmo)
x: logaritmo
Além disso, são válidas as seguintes propriedades:
Sendo 0 < a ≠ 1, b > 0, c > 0 e β ≠ 0 :
P1: loga (b ⋅ c ) = logab + logac
b
P2: loga   = logab − logac
c
P3 : logabα = α ⋅ logab
P4 : logaβ b =
1
⋅ logab
β
Por fim, existindo a necessidade de se efetuar uma mudança na base do logaritmo, digamos, da base a para
a base c, podemos fazer isso através da seguinte regra:
logc b , onde 0 < a ≠ 1, b > 0 e 0 < c ≠ 1
loga b =
logc a
Função logarítmica
Sendo 0< a ≠ 1 e x > 0, toda função f: *+ → definida
por f (x) = loga x é denominada função logarítmica de
base a.
O seu gráfico é uma curva cujo aspecto depende do valor da base a.
Caso 1: a > 1
Exemplos
log3 81 = 4, pois 34 = 81
log7 7 = 1, pois 71 = 7
3
 1
log 1 8 = − , pois  
2
4
4
−
3
2
=8
Observações
I)
Se a base do logaritmo for igual a 10 (base do sistema de logaritmos decimais), podemos omiti-la. Assim, por exemplo, log 7 é o mesmo que log107.
II) Se a base do logaritmo for o número irracional
e = 2,71828182... (base do sistema de logaritmos
naturais ou neperianos), podemos utilizar a notação
ln. Assim, por exemplo, loge7 é o mesmo que ln 7.
A partir do uso da definição de logaritmo, é fácil
constatar que:
Sendo 0 < a ≠ 1; b > 0 e c > 0:
logaa = 1
loga1 = 0
alogab = b
logab = logac ⇔ b = c
126
Nesse caso, temos uma curva crescente que intercepta
o eixo das abscissas no ponto (1,0) e cuja assíntota é o
eixo das ordenadas.
Caso 2: 0 < a < 1
Nesse caso, temos uma curva decrescente que intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0) e cuja assíntota é
o eixo das ordenadas.
Exemplo
O nível sonoro N, em decibel, pode ser calculado em
função da intensidade I do som em watt por metro quadrado, através da relação N = 10.log(I.1012). O gráfico de
N em função de I está construído a seguir:
Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?
A)5.
C)8.
E)10.
B) 7.
D)9.
4. Em uma experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), coloca-se num recipiente certa
quantidade de água do mar e expõe-se o recipiente
a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água
se evapora.
Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litro) é dada pela expressão
Questão comentada
Sabe-se que a pressão atmosférica varia com a altitude do lugar. Em Fortaleza, ao nível do mar, a pressão é de 760 milímetros de mercúrio (760 mmHg). Em São Paulo, a 820 metros de
altitude, ela cai um pouco. Já em La Paz, capital da Bolívia, a
3.600 metros de altitude, a pressão cai para, aproximadamente, 500 mmHg. Nesta cidade, o ar é mais rarefeito do que em
São Paulo, ou seja, a quantidade de oxigênio no ar em La Paz
é menor do que em São Paulo.
Adaptado de: www.searadaciencia.ufc.br (acesso em: 2ago.2006)
Esses
dados
podem ser obtidos pela equação
 760  , que relaciona a pressão atmosférica P,
h = 18.400 ⋅ log 

 P 
dada em mmHg, com a altura h, em metro, em relação ao
nível do mar.
A cidade de Tetonia, no estado americano de Idaho, localiza-se
a 1.840 m acima do nível do mar. Qual é a pressão atmosférica
existente em Tetonia? Utilize a aproximação 10 10 = 1,258
Solução comentada
Fazendo h = 1.840 m na equação dada, teremos
1
760
 760  1
 760 
⇔
= 1010
1.840 = 18.400 ⋅ log 
=
 ⇒ log 
P
 P  10
 P 
760 760
760
= 10
=
≈ 604,1 mmHg
P=
1
10 1,258
10
10
Para aprender mais!
3. Num período prolongado de seca, a variação da
quantidade de água de certo reservatório é dada
pela relação q (t) = q0.2–0,1.t, sendo q0 a quantidade
inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de
água no reservatório após t meses.
 10k 
Q(t) = log 
 , sendo k uma constante positiva e t em hora.
 t+1 
Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
A) 7 horas.
C) 9 horas.
E) 18 horas.
B) 8 horas.
D) 16 horas.
Trigonometria
Desde a sua origem, que remonta ao século II a.C., a
trigonometria foi se desenvolvendo, desde o argumento
teórico a respeito da proporcionalidade entre os lados
correspondentes de dois triângulos semelhantes – encontrado no Papiro de Hind – até o simbolismo analítico
atual, que permite sua utilização em inúmeras aplicações
nos mais diversos ramos da Matemática e da Física, como
também em outros campos do conhecimento humano.
Neste módulo, exaltaremos as noções básicas desse
assunto, desde a noção de triângulo retângulo e suas
razões trigonométricas até as funções trigonométricas
fundamentais.
Um triângulo é dito retângulo quando um de seus
ângulos internos mede 90°. O lados que formam o ângulo reto (90°) são chamados catetos (do grego káthetos, que significa “perpendiculares”), e o terceiro lado é
chamado hipotenusa (do grego hypoteínousa, que significa “linha estendida por baixo”).
Universidade Aberta do Nordeste
127
De acordo com o triângulo da figura anterior, temos que
c
b
sen θ = e cos θ = e c2 + b2 = a2. Assim, podemos afira
a
2
2
c² + b² a²
c b
2
2
= = 1.
mar que sen θ + cos θ =   +   =
a²
a²
a  a
A seguir, temos as razões trigonométricas para os ângulos de medidas 30°, 45° e 60°:
Em todo e qualquer triângulo retângulo, vale a seguinte relação entre as medidas de seus lados: “O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
a = b +c
2
2
2
sen
cos θ =
tg θ =
medida do cateto adjacente a θ
medida da hipotenusa
medida do cateto oposto a θ
medida do cateto adjacente a θ
45o
60o
1/2
/2
/2
cos
/2
tg
/3
/2
1/2
1
Além das razões mencionadas anteriormente, temos as
definições de secante, cossecante e cotangente de um
ângulo q, cujas respectivas abreviaturas são sec q, cossec
q e cotg q.
sec θ =
Podemos definir, no triângulo retângulo, as seguintes razões trigonométricas:
medida do cateto oposto a θ
sen θ =
medida da hipotenusa
30o
cos θ
1
1
, cossec θ =
e cotg θ =
cos θ
sen θ
sen θ
A relação fundamental cos2q, + sen2q = 1 sugere que, para
todo ângulo q, os números x = cos q e y = sen q são as
coordenadas de um ponto da circunferência de raio 1 e
centro na origem (0,0), isto é, x2 + y2 = 1. Tal circunferência é chamada circunferência unitária ou círculo unitário
ou ciclo trigonométrico.
Considerando o triângulo ABC da figura a seguir,
podemos escrever
c
c
b
, cos θ = e tg θ =
a
a
b
É possível concluir que
sen θ =
c
sen θ
c  a 
⇒ tg θ =
tg θ = =
b
b  
cos θ
 
a
128
Assim, as coordenadas do ponto B, extremidade do arco
AB, nos dão, respectivamente, o cosseno e o seno do
arco que tem origem em A e extremidade em B, medido
no sentido positivo de percurso (adotado como sendo o
anti-horário).
métrico a seguir, considerando a reta que passa pelos
pontos O e P de modo que sua intersecção com a reta
paralela ao eixo y passando por A seja o ponto T, denominamos tangente de q (e indicamos por tg q) a medida
algébrica do segmento AT.
Essa conclusão é igualmente válida quando se trabalha
com um arco de medida negativa.
Em vista do que foi dito, podemos construir uma tabela
para o seno e o cosseno de alguns ângulos.
Questão comentada
Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
Com apenas uma explanação, podemos efetuar as conclusões necessárias. Por exemplo, o arco de medida
cos 3π = 0
2
tem extremidade no ponto D (0,–1), partindo de A (1,0).
sen 3π 2 = 1
As coordenadas do ponto D fornecem, respectivamente,
o cosseno e o seno do arco de origem em A e extremidade nesse ponto. Assim, concluímos que
( )
( )
( 2)
sen ( 3π ) = 1
2
cos 3π
Ângulo
(em graus)
SENO
COSSENO
TANGENTE
10
0,174
0,985
0,176
11
0,191
0,982
0,194
12
0,208
0,978
0,213
13
0,225
0,974
0,231
14
0,242
0,970
0,249
=0
A tabela a seguir fornece os valores do cosseno e do
seno de
0
p
2
p
2p
cos
1
0
–1
0
1
sen
0
1
0
–1
0
Dado o número real q ∈ [0,2p], θ ≠
π
3π
, repree θ≠
2
2
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 cm
e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm.
De acordo com a tabela, a medida do ângulo AÔP, em radianos, tem o seguinte valor
A)
C)
E)
p
2
13p
180
B)
D)
p
15
7p
90
p
12
sentando o comprimento do arco AP do ciclo trigono-
Universidade Aberta do Nordeste
129
Solução comentada
Função Tangente
Observe a reprodução de parte da figura dada no problema:
No triângulo PQR, temos que
π


f : − x ∈ ; x = + kπ, k ∈  → 2


f(x)
=
tgx
agudo cujo seno vale 0,225, é igual a 13°. Como p rad equiπ


13
f : − x ∈ ; x = + kπ, Imagem:
k ∈  → valem a 180°, 13° equivalem a
⋅ π rad.
2

 p
180
Período:
f(x) = tgx
Gráfico: tangenoide (acima)
sen θ =
27
= 0,225 . De acordo com a tabela, o ângulo
120
As principais funções trigonométricas são as funções seno,
cosseno e tangente, definidas como se segue.
Função Seno
ff:: → f(x) = sen x
Imagem: [–1,1]
Período: 2p
Gráfico: senoide (acima)
Função Cosseno
f f:: → f(x) = cos x
Imagem: [–1,1]
Período: 2p
Gráfico: cossenoide (acima)
130
Período de uma função é o comprimento do intervalo, medido no eixo das abscissas, no qual a função
passa por um ciclo completo de variação. As funções
definidas por y = sen x e y = cos x completam um ciclo de variação quando x varia em um intervalo de
comprimento 2p radianos, e a função definida por
y = tg x completa um ciclo de variação quando x varia
em um intervalo de comprimento p radianos.
Questão comentada
A conjugação da atração gravitacional entre os corpos do sistema Terra – Lua – Sol é o principal fator responsável pela
ocorrência das marés, quando as águas do mar atingem limites máximo e mínimo com determinada regularidade. A altura
da maré (em metros) observada em uma praia do litoral nor-
 t
 6
destino é aproximada pela função f(t) = 1,5 + cos  π  , em
que o tempo t é medido em horas e 0 ≤ t ≤ 24.
A figura a seguir é parte do gráfico da referida função, desenhado em um período:
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:
(I) Depois das 18 h, a maré começa a secar.
(II) Às 6 h, a maré atinge a altura mínima.
(III) Às 9 h, a maré está secando.
(IV) A média entre as alturas máxima e mínima é de 1,5 m.
(V) Às 3 h, a maré está enchendo.
Assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as
falsas, obtém-se a seguinte sequência
A) F – F – V – V – F
B) V – F – V – F – V
C) V – V – F – F – V
D) F – F – V – V – V
E) F – V – F – V – F
Solução comentada
Analisando o gráfico, é possível inferir que a função completa
um ciclo de variação quando x varia de 0 a 12. Assim, a função
tem período 12, significando que, a cada 12 horas, temos um
período completo de esvaziamento e enchimento da maré.
Em um intervalo de tempo de 24 horas, a maré seca entre
0h e 6 h e entre 12 e 18 h. Enche entre 6 h e 12 h e entre 18h
e 24 h. Atinge a altura máxima de 2,5 m nos instantes 0 h, 12h
e 24 h e atinge a altura mínima nos instantes 6 h e 18 h. A
média entre a alturas máxima e mínima é
6. Em 20 de abril de 2012, a maré alta, em uma praia
do litoral cearense, ocorreu à meia-noite. A altura
da água é uma função periódica do tempo, pois oscila regularmente entre a maré alta e a maré baixa.
A altura H, em metros, da maré nesta praia é apro π 
⋅ t  , em que
ximada pela função H = 1,5 + 1,49 ⋅ cos 
 6,2 
t é o tempo em horas desde a meia-noite de 20 de abril
de 2012.
Na referida praia, o intervalo de tempo entre duas
marés altas sucessivas é de
2,5m + 0,5m 3m
=
= 1,5m .
2
2
A)
B)
C)
D)
E)
Desse modo, são falsas as afirmativas (I), (III) e (V).
Resposta: E
Ampliando conhecimentos para o Enem
Para aprender mais!
5. O método padrão para determinar a altura de uma
árvore ou de um mastro de bandeira, por meio de
triângulos retângulos, não funciona quando se tem
de medir a altura de uma montanha, porque os
contrafortes e a própria base desta interferem na
medida da distância horizontal do observador até o
ponto situado diretamente sob o cume da montanha. Porém, o problema frequentemente pode ser
resolvido fazendo-se duas observações. Suponha
que P e Q sejam dois pontos que estão no mesmo
plano da base da montanha, como mostra a figura.
Suponha também que os ângulos segundo os quais
se vê o cume da montanha, a partir de P e Q, meçam, respectivamente, 32° e 20,5°. Qual é a altura
da montanha?
Dados; tg 20,5° = 0,4 e tg 32° = 0,6
11 horas.
6 horas.
12 horas.
6 horas e 12 minutos.
12 horas e 24 minutos.
1. Pedro dispõe de R$ 640,00 para cercar um terreno
retangular. Sabe-se que o preço do metro linear das
cercas dos lados e do fundo é de R$ 8,00 e da cerca
da frente é R$ 24,00. As dimensões do terreno de
área máxima que Pedro pode cercar, nessas condições, são:
A) 20 m x 25 m
C) 10 m x 25 m
E) 15 m x 20 m
2. Certa indústria pode produzir x aparelhos por dia,
e o custo C(x) para produzir um desses aparelhos é
dado pela função
 −x² + 12x + 5, se 0 ≤ x ≤ 10

C(x) =  3
− x + 40, se 10 < x ≤ 20
 2
Se, em um dia, foram produzidos 9 aparelhos e, no dia
seguinte, 15 aparelhos, a diferença entre o maior e o menor
custo de produção por unidade, nesses dois dias, foi de
A)R$12,00
C)R$15,00
E)R$20,00
A) 931 metros.
C) 1.000 metros.
E) 1.500 metros.
B)
D)
950 metros.
1.200 metros.
B) 15 m x 15 m
D) 10 m x 20 m
B) R$14,50
D)R$17,50
3. Um posto de combustível vende 10.000 litros de
álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto
que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a
Universidade Aberta do Nordeste
131
mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço
do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto
dado no preço de cada litro e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, a expressão
que relaciona V e x é
A)
B)
C)
D)
E)
V = 10.000 + 50x – x2.
V = 10.000 + 50x + x2.
V = 15.000 – 50x – x2 .
V = 15.000 + 50x – x2.
V = 15.000 – 50x + x2.
4. Os biólogos observaram que, sob condições ideais,
o número de bactérias de uma determinada cultura
cresce segundo um modelo exponencial. Esse modelo está descrito a seguir
Q = 2.000 . e0,05.t
Foto meramente ilustrativa de uma cultura de bactérias.
Nesse modelo, Q representa o número de bactérias
presentes na cultura no instante t, dado em minutos, e e
é a base do sistema de logaritmos naturais.
A partir do número inicial de bactérias presentes
nessa cultura, em quanto tempo esse número duplica?
(Use ln 2 = 0,69)
A)
B)
C)
D)
E)
13,8 minutos (13 minutos e 48 segundos)
14 minutos
15,2 minutos (15 minutos e 12 segundos)
15,9 minutos (15 minutos e 54 segundos)
16,4 minutos (16 minutos e 24 segundos)
5. Em um experimento para testar a memória de curto
prazo, L. R. Peterson e M. J. Peterson observaram
que a probabilidade P(t) de que um indivíduo consiga lembrar-se de uma lista de números e letras, t
segundos depois de examiná-la, é dada por
P(t) = 0,89 . [0,01 + 0,99 . (0,85)t]
Segundo esse modelo matemático, qual é a probabilidade de que o indivíduo se lembre da lista imediatamente após examiná-la?
132
A) 11 %.
C)51%.
E)100%.
B) 15%.
D)89%.
6. Sabe-se que, sob certas condições em laboratório, o
crescimento da população de bactérias duplica em
intervalos regulares e a taxa de crescimento aumenta
exponencialmente (20, 21, 22, 23,..., 2n) em que n é o
número de gerações. Portanto, temos uma situação
real que pode ser representada matematicamente.
Se a população de bactérias começa com 100 indivíduos e dobra a cada 3 horas, então o número N de
bactérias após t horas é N = 100 . 2t/3
Em quanto tempo, a partir do início da contagem de
100 bactérias, a população atingirá 50.000 bactérias?
Use, se necessário: log25 = 2,32
A)
B)
C)
D)
E)
Aproximadamente 20 horas.
Aproximadamente 21 horas.
Aproximadamente 22 horas.
Aproximadamente 25 horas.
Aproximadamente 27 horas.
7. Tratar com números que variam em escalas muito grandes, por exemplo, de 0,000000000001 a
10.000.000.000, pode ser problemático. O trabalho
pode ser realizado de forma mais eficiente se forem usados os logaritmos dos números (no exemplo
dado, a variação dos logaritmos decimais desses números seria apenas de –12 a 10).
Um exemplo de aplicação de escala logarítmica está
no cálculo da intensidade de som. A escala logarítmica
decibel para a medição da intensidade sonora é definida
 I 
como D = 10 ⋅ log  −12  , sendo D o nível sonoro, em
 10 
decibel, e I é a intensidade sonora, em watt por metro
quadrado.
Uma intensidade sonora de 104 watts por metro
quadrado provoca a perfuração instantânea do tímpano. O nível sonoro, em decibel, que corresponde a essa
intensidade de som é igual a
A)150.
C)160. E)170.
B) 155.
D)165.
8. No sistema circulatório, a circulação do sangue se
realiza com um gasto mínimo de energia. Quanto
menor a resistência ao fluxo em um vaso sanguí-
neo, menor a energia gasta pelo coração. Assim, o
sistema vascular sanguíneo opera de tal forma que
a circulação do sangue do coração através dos órgãos do corpo e de volta ao coração é executada
com mínimo de gasto de energia possível. Assim, é
razoável esperar que, quando a artéria se ramifica, o
ângulo entre a artéria “mãe” e a artéria “filha” deve
minimizar a resistência total ao fluxo do sangue.
Nesta última aproximação, a distância entre o observador e o prédio vale
A) 25 m.
C) 17 m.
E) 18 m.
10.O Serviço Nacional de Meteorologia dos Estados
Unidos, no período de 1941 a 1970, analisou a média diária de temperatura na cidade de Fairbanks,
no estado americano do Alasca. Foi utilizada uma
função senoide para ajustar os dados coletados:
 2π
f(x) = 37 ⋅ sen 
( x − 101) + 25 , em que f(x) é a
 365

A figura mostra uma artéria “filha” de raio r sendo
uma ramificação a partir de uma artéria “mãe” de raio
R. O sangue flui na direção das setas, do ponto A para o
ramo em B e, a partir daí, para C e para D. Considerando
a resistência do sangue em fluir do ponto A para o ponto
B e, a partir daí, do ponto B para os pontos C e D, e a
viscosidade do sangue, é possível deduzir que o ângulo q
 r4 
que minimiza essa resistência é tal que cos θ =  4 
R 
No caso de uma “artéria mãe” de diâmetro 50 mm
com uma ramificação (“artéria filha”) de diâmetro 42
mm, o ângulo q de ramificação que minimiza a resistência do fluxo de sangue nessas artérias é igual a
use
A)
C)
E)
4
p
2
p
3
p
8 = 1,68
B)
D)
B) 22 m.
D) 16 m.
temperatura em graus Fahrenheit e x é o número de dias
contados a partir do início do ano, isto é, x = 1 é o 1º dia
do ano, x = 2 é o 2o dia do ano e assim por diante.
De acordo com a modelagem proposta, sabendo
que as escalas Celcius (C)e Fahrenheit (F) estão relacionadas pela equação C = F − 32 , a temperatura média,
5
9
em 12 de abril de 1941, foi de
A)
B)
C)
D)
E)
– 5 oC.
– 3,9 oC.
– 0 oC.
– 1 oC.
– 5 oC.
Estatística
p
4
p
6
5
9. O ângulo, sob o qual um observador vê o topo de
um prédio de 88 m de altura, duplica quando ele se
aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se
aproxima mais 50 m, conforme a figura a seguir.
A palavra estatística provém do latim status, que significa
estado. Foi cunhada pelo matemático alemão Gottfried
Achenwall por volta da metade do século XVIII. Sobre essa
palavra, acumularam-se descrições e dados relativos ao
estado ou ao país. Tais descrições e dados se tornaram
verdadeiras ferramentas administrativas. A origem da estatística moderna remonta a duas áreas de interesse que,
na aparência, pouco têm em comum: governo e jogos de
azar. Os governos vêm utilizando, de longa data, recenseamentos para contar indivíduos e propriedades. No início do século XIX, foram elaborados métodos estatísticos
para os jogos de azar, como “cara ou coroa”, “vermelho
ou preto”, “par ou ímpar”, etc. A partir daí, esses métodos passaram a ser aplicados na vida real, em que os
resultados eram “menino ou menina”, “vida ou morte”
e assim por diante, estudando situações envolvendo um
elemento de incerteza ou chance.
Universidade Aberta do Nordeste
133
A estatística é uma coleção de métodos para planejar experimentos através da coleta, da organização,
da análise e da interpretação de dados e deles extrair
conclusões.
Em estatística, utilizamos extensamente os termos
população e amostra. Esses termos, que serão agora definidos, estão no próprio cerne da estatística.
Uma população é uma coleção completa de todos
os elementos (valores, pessoas, medidas) que têm pelo
menos uma característica comum.
Uma amostra é um subconjunto formado por elementos extraídos de uma determinada população.
Um censo é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população, obtidos através de
uma pesquisa.
Por exemplo, uma pesquisa eleitoral utiliza uma
amostra de 3.000 eleitores e, com base nos resultados,
formula conclusões acerca da população de todos os
130 milhões de eleitores brasileiros.
Vale lembrar que em estatística, o termo população não significa necessariamente pessoas. Podemos ter
uma população de palitos de fósforos defeituosos, para
citar apenas um exemplo.
Estreitamente relacionados com os conceitos de população e amostra, estão os conceitos de parâmetro e
estatística.
Um parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica de uma população.
Uma estatística é uma medida numérica que descreve uma característica de uma amostra.
Por exemplo, em uma pesquisa feita com 10.000
pessoas escolhidas aleatoriamente, 2.650 (ou 26,5%)
pessoas possuíam computador. Como a cifra 26,5% se
baseia em uma amostra, e não em toda a população,
trata-se de uma estatística. Já, se uma pesquisa feita entre os 26 governadores estaduais do Brasil mostra que
22 (ou 84,6%) deles possuem computador, a cifra de
84,6% é um parâmetro porque se baseia em toda a população de governadores estaduais.
As características estudadas de uma população são
chamadas variáveis.
Por exemplo, na compra de um aparelho de TV,
além da marca, podemos escolher as dimensões da tela,
os recursos disponíveis, bem como o preço. Cada uma
dessas características – marca, dimensões da tela, recursos disponíveis e preço – é chamada de variável.
A estatística é geralmente iniciada com base em
um conjunto de dados. Ao estudarmos esse conjunto de dados, é conveniente agrupá-los e resumi-los,
construindo uma tabela de frequências ou distribuição
de frequências. Entende-se por frequência a quantidade de valores que se enquadram em uma determinada
categoria.
Exemplo:
Numa pesquisa sobre os preços, em reais, de um modelo
de notebook, em 10 lojas de informática, foram coletados os seguintes valores:
1.350
1.350
1.100
1.350
1.350
1.100
1.810
1.100
1.350
1.410
Podemos organizar os dados relativos à variável preço do seguinte modo:
Preço (R$)
Frequência
absoluta
Frequência
absoluta
acumulada
Frequência relativa
Frequência relativa acumulada
1.100
3
3
30%
30%
1.350
5
3+5=8
50%
30% + 50% = 80%
1.410
1
3+5+1=9
10%
30% + 50% + 10% = 90%
1.810
1
3 + 6 + 1 + 1 = 10
10%
30% + 50% + 10% + 10% = 100%
Total
10
–
100%
–
Os números do lado direito da tabela (distribuição
de frequências) representam as frequências absolutas ou
simplesmente frequências dos valores da variável preço.
Quando as frequências absolutas são comparadas
com o total de valores da distribuição, teremos as chamadas frequências relativas, geralmente em porcentagem.
Para obtermos mais detalhes sobre a variável estu134
dada até certo ponto, podemos somar cada frequência
absoluta com as frequências absolutas anteriores. Essa
nova frequência é dita frequência absoluta acumulada.
As frequências acumuladas são úteis quando o objetivo é saber a quantidade ou a porcentagem (frequência
relativa acumulada) até uma determinada faixa de valores. Por exemplo, se quisermos saber quantos notebooks
custam, até no máximo R$ 1.410,00, basta encontrar na
frequência absoluta acumulada, a quantidade referente
ao valor R$ 1.410,00: 09 notebooks.
Quando lidamos com grandes conjuntos de dados,
e, às vezes, até lidando com conjuntos nem tão grandes,
pode ser bem problemático obter uma boa visualização
das informações transmitidas. Em geral, é necessário que
reordenemos ou agrupemos os dados da variável em
classes (intervalos) para compactar essas informações. O
preço que pagamos, por isso, é a perda de alguns pormenores acerca dos dados, mas, em geral, compensa.
Ruído
60
64
68
72
Um estudo feito pela Secretaria do Meio Ambiente de uma
grande cidade brasileira mostrou que a poluição sonora na
cidade atingiu níveis alarmantes, colocando-a como uma
das cidades mais barulhentas do planeta. Os dados a seguir
se referem aos níveis de ruído (em decibéis) de algumas
áreas residenciais da cidade, em valores aproximados.
Frequência
Frequência acumulada
Frequência relativa
Frequência relativa acumulada
60
5
5
15,62%
15,62%
64
12
17
37,50%
53,12%
68
11
28
34,38%
87,5%
72
3
31
9,38%
96,88%
76
1
32
3,12%
100%
32
–
100%
–
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
56
Exemplo:
Total
De acordo com os dados obtidos, é possível concluir,
por exemplo, que 11 áreas residenciais apresentam ruído inferior a 68 decibéis e maior ou igual a 64 decibéis;
9,38% das áreas residenciais apresentam ruído maior ou
igual a 68 decibéis e inferior a 72 decibéis; 96,88% das
áreas residenciais analisadas apresentam ruído inferior a
72 decibéis.
Em geral, quando as distribuições de frequências
são construídas principalmente para condensar grandes
conjuntos de dados e apresentá-los numa forma simples
de interpretar, é melhor representá-las graficamente. Representar graficamente significa fazer um desenho que
sintetize, de maneira clara, o comportamento de uma ou
mais variáveis.
Quando empregados corretamente, os gráficos podem evidenciar, em uma forma visual eficiente e atraente, os dados e as informações que precisam transmitir.
Observe o exemplo:
Um estudo com uma amostra de 200 alunos do
a
2 série do Ensino Médio em escolas públicas de uma
cidade revelou que suas idades variam de acordo com
a tabela.
Classe
(idade)
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
15
18
9%
16
44
22%
17
52
26%
Classe
(idade)
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
18
48
24%
19
38
19%
TOTAL
200
100%
Observe que cada classe é representada por um único
número, isto é, a amostra foi separada em classes unitárias.
Os dados dessa tabela podem ser representados
graficamente de diversas formas.
Gráfico de linha (ou de segmentos)
Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compõem a linha oferecem informações sobre os dados da amostra. Veja:
Universidade Aberta do Nordeste
135
Gráfico de barras verticais
Nesse tipo de gráfico, as frequências são indicadas
no eixo vertical. Veja
Por exemplo, para a classe 18 anos, o ângulo central
do setor tem medida igual a 24% de 360°:
360° . 24% = 86,4°
Histograma
Quando as classes são intervalos reais, a representação
da distribuição de frequências em um sistema de eixos é
feito por um tipo de gráfico chamado histograma.
Considere o exemplo:
Para avaliar o consumo de água em um bairro, considerou-se uma amostra de 25 residências, cujos consumos em certo mês, em metro cúbico, foram organizados
na seguinte distribuição de frequências:
Gráfico de barras horizontais
Nesse tipo de gráfico, as frequências são indicadas
no eixo horizontal. Veja:
Classe
(consumo em m3)
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
[6,14[
4
16%
[14,22[
6
24%
[22,30[
3
12%
[30,38[
7
28%
[38,46[
5
20%
TOTAL
25
100%
Essa tabela corresponde ao seguinte histograma:
Gráfico de setores
Para a construção do gráfico de setores, dividimos
o círculo em setores de modo que os ângulos centrais
tenham medidas proporcionais às frequências relativas
das classes. Veja:
A diferença entre o histograma e o gráfico de barras
é que cada retângulo do histograma descreve a frequência dos dados agrupados em intervalo real; no gráfico de
barras, cada barra descreve a frequência de uma classe
unitária (um único número).
Frequentemente, um conjunto de números pode
reduzir-se a uma ou a algumas medidas numéricas que
resumem o conjunto. Duas características importantes
dos dados que as medidas podem evidenciar são:
I) o valor central mais típico
II) a dispersão dos números
A característica I) é uma medida de tendência central, enquanto a característica II) é uma medida de dispersão.
136
As medidas de tendência central são usadas para
indicar um valor que tende a tipificar ou a representar
melhor um conjunto de números. As três medidas mais
usadas são a média, a mediana e a moda.
A média aritmética é a ideia que ocorre à maioria
das pessoas quando se fala em média. Como ela possui
certas propriedades matemáticas convenientes, é a mais
importante das três médias mencionadas aqui.
A média aritmética (m) é calculada dividindo-se a
soma dos elementos ( ∑ x ) pelo número (N) de elementos. Em símbolos:
µ=
∑x
N
Por exemplo, se um estudante fez quatro provas e
obteve as notas 83, 94, 95 e 86, a sua nota média é
µ=
83 + 94 + 95 + 86
= 89,5.
4
A fórmula anterior para calcular a média aritmética
supõe que cada observação tenha a mesma importância.
Nos casos em que um valor do conjunto tem uma maior
importância do que um outro valor, isso deve ser levado
em consideração. Por exemplo, o professor informa à
classe que haverá duas provas valendo cada uma 30%
do total de pontos do curso, e uma prova final valendo
40%. O cálculo da média deve levar em conta os pesos
desiguais das provas.
Essa média aritmética é chamada média ponderada.
O cálculo dessa média é feito através da expressão
n
média ponderada =
∑w
i =1
n
i
. xi
∑w
i =1
i
em que wi é o peso do elemento xi.
Assim, um estudante que obtém 80 na primeira prova,
90 na segunda e 96 na prova final terá nota média igual a
80 . 30% + 90 . 30% + 96 . 40% 2.400% + 2.700% + 3.840%
=
=
30% + 30% + 40%
100%
8.940%
= = 89,4.
100%
É importante salientar que:
I) Quando adicionamos uma constante a cada elemento de um conjunto de valores, a média aritmética fica adicionada a essa constante.
II) Quando multiplicamos cada elemento de um conjunto de valores por uma constante, a média aritmética fica multiplicada por essa constante.
Questão comentada
A nota final de um curso é dada pela média ponderada de quatro provas – três provas parciais e uma prova final – sendo que
o peso da prova final é o quádruplo do peso da prova parcial.
Dois alunos, Carlos Alberto e Plauto, que fizeram esse curso,
obtiveram as seguintes notas:
Carlos Alberto: 72, 80 e 66 nas provas parciais e 82 na
prova final.
Plauto: 81, 87 e 73 nas provas parciais e 78 na prova final.
De acordo com a situação apresentada, pode-se inferir que
A) Carlos Alberto obteve nota final maior que a nota final
de Plauto.
B) As notas finais dos alunos Carlos Alberto e Plauto foram
as mesmas.
C) Carlos Alberto obteve nota final inferior a 72.
D) Plauto obteve nota final superior a 87.
E) A nota final de Plauto foi inferior a 80.
Solução comentada
Sejam x e 4x os pesos das provas parcial e final, respectivamente. As notas finais dos alunos Carlos Alberto e Plauto foram as seguintes:
Carlos Alberto:
Nota final =
=
72 ⋅ x + 80 ⋅ x + 66 ⋅ x + 82 ⋅ (4 ⋅ x)
=
7⋅ x
546 ⋅ x
= 78.
7⋅ x
Plauto:
Nota final =
=
81⋅ x + 87 ⋅ x + 73 ⋅ x + 78 ⋅ (4 ⋅ x)
=
7. x
553 ⋅ x
= 79.
7⋅ x
Assim, a nota final de Plauto foi inferior a 80.
Uma segunda medida do meio de um conjunto é a mediana. Sua característica principal é dividir um conjunto
ordenado de dados em dois grupos iguais em quantidade; a metade terá valores inferiores ou iguais à mediana, a outra metade terá valores superiores ou iguais
à mediana.
Para calcular a mediana, é necessário primeiro ordenar
os valores do mais baixo ao mais alto. Em seguida, conta-se até a metade dos valores para achar a mediana.
Por exemplo, a mediana do conjunto 5, 6, 8, 12, 29,
45 67 é 12; 12 está na posição central da distribuição
ordenada. No conjunto cujos elementos ordenados são
3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 10, 10, a mediana é igual a 4,
pois o termo que ocupa a posição central vale 4.
Universidade Aberta do Nordeste
137
Para o conjunto 7, 8, 9, 10, o valor da mediana será
dado pela média aritmética dos dois valores centrais, ou
8+9
seja,
= 8,5 .
2
O processo para determinar a mediana é o seguinte:
1. Ordene os valores.
2. Verifique se há um número ímpar ou par de valores.
3. Para um número ímpar de valores, a mediana é o valor
do meio. Para um número par de valores, a mediana é
a média aritmética dos dois valores centrais.
Questão comentada
No estudo da distância de frenagem de carros de passeio num
asfalto plano, seco e limpo, 21 motoristas que estavam a 50
km/h conseguiram, após o acionamento dos freios, parar totalmente os carros nas distâncias – as chamadas distâncias de
frenagem – indicadas na tabela a seguir:
A)
C)
E)
Distância de
frenagem
(em metro)
Frequência
(no de carros)
20
21
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
1
3
1
1
1
1
1
2
1
4
1
1
1
2
Total
21
Qual é a mediana dessas distâncias de frenagem?
28 metros.
B) 29 metros.
30 metros.
D) 31 metros.
32 metros.
Solução comentada
Colocando em ordem crescente essas 21 distâncias de frenagem, aquela que irá ocupar a posição central (11a posição) é
a distância 28 metros. Logo, a mediana dessa distribuição é
28 metros.
A terceira medida de tendência central é a moda,
que é o valor que ocorre com maior frequência num
conjunto. Por exemplo, dados os números 10, 10, 8, 6,
10, há três 10’s e um de cada um dos outros números. O
valor mais frequente – a moda – é 10. No conjunto 10,
138
10, 6, 6, 5, 5, não há moda, pois cada um dos elementos aparece um número igual de vezes. Já o conjunto 5,
5, 5, 7, 4, 4, 4, 9, 9 é bimodal, pois os elementos mais
frequentes são 5 e 4 (cada um deles aparece três vezes).
A moda é o valor que ocorre com maior frequência.
Questão comentada
O Sr. Péricles, um pequeno comerciante (dono de mercadinho) da Região Metropolitana de Fortaleza, localizado em Eusébio, tem por hábito – via de regra – , ao fazer novos pedidos
aos fornecedores, escolher somente os produtos que tiveram
“maior saída”, isto é, mais vendidos.
Intuitivamente, esse comerciante – que sabe apenas as
quatro operações aritméticas –, ao renovar os pedidos, está
utilizando a ideia de
A) moda.
B) média aritmética.
C) média harmônica. D) mediana.
E) desvio padrão.
Solução comentada
Os produtos com “maior saída” são aqueles que são vendidos
em maior quantidade. Nesse caso, a escolha desses produtos
está associada à ideia de moda.
Uma característica da maioria dos conjuntos de dados é que os valores não são todos iguais entre si; de
fato, a extensão de sua variabilidade é de fundamental
importância na Estatística. Considere o exemplo:
Num hospital em que o pulso de cada paciente
é medido três vezes por dia, o paciente Carlos Alberto acusou os valores 72, 76 e 74, enquanto o paciente
Plauto acusou os valores 72, 91 e 59. A pulsação média
de cada paciente é a mesma – 74 – existindo, no entanto, uma diferença de variabilidade. Enquanto a pulsação
do Carlos Alberto é estável, a de Plauto apresenta uma
grande flutuação.
Esse exemplo retrata a necessidade de medir a extensão da variação ou dispersão dos dados; as medidas
correspondentes que fornecem essa informação são denominadas medidas de dispersão.
As medidas estatísticas que descrevem o comportamento de um grupo de valores em torno das medidas de
tendência central recebem o nome de medidas de dispersão ou de variabilidade.
As principais medidas são conhecidas como variância e desvio-padrão.
Se um grupo de N valores x1, x2,...,xn possui média
aritmética m, então as diferenças x1 – m, x2 – m,..., xn – m
são denominadas desvios da média.
Se tomarmos a média dos quadrados dos desvios,
calculamos a chamada variância populacional. Geralmente utilizamos a letra grega minúscula sigma (σ) elevada ao quadrado para simbolizar a variância.
N
σ2 =
( x1 − µ )
2
+ ( x 2 − µ ) + ....... + ( xN − µ )
2
2
N
=
∑ (x
i=1
i
− µ)
2
N
Na interpretação da variância, pode surgir alguma
dificuldade em relação à unidade de medida dos elementos do grupo de valores. Por exemplo, quando os
elementos do grupo representam comprimentos em
metros, a variância representa um resultado em metros
quadrados. Para contornar o problema, tomamos a raiz
quadrada do resultado. Com isso, teremos uma medida
com a mesma natureza dos valores do grupo. Essa medida é o desvio-padrão populacional. O símbolo adotado
para o desvio-padrão é s
N
σ=
( x1 − µ )
2
+ ( x 2 − µ ) + ....... + ( xN − µ )
2
N
2
=
∑ (x
i
i=1
− µ)
2
N
Exemplo:
Retomando a situação inicial das pulsações dos pacientes Carlos Alberto e Plauto, temos:
Carlos Alberto: pulsações 72, 76 e 74; Média das
pulsações: 74.
Plauto: pulsações: 72, 91 e 59; Média das pulsações: 74.
O desvio-padrão das pulsações do paciente Carlos
Alberto é
σ=
(72 − 74 )
2
O desvio-padrão é uma forma de dizer a que distância os valores do grupo estão da média aritmética. Quanto menor o desvio-padrão, mais próximos os valores
estão da média aritmética. Dependendo da finalidade,
um desvio-padrão grande é um bom resultado. Também
pode ocorrer um desvio-padrão pequeno como resultado satisfatório. Por exemplo, se estivermos fabricando
peças para uma máquina, é melhor que o desvio-padrão
dos tamanhos das peças seja pequeno para que tenhamos certeza de que todas as peças sejam aproximadamente iguais. Por outro lado, se estivermos examinando os salários de uma grande empresa multinacional, o
desvio-padrão desses salários deverá ser grande em vista
da disparidade entre os salários dos funcionários (muitos
funcionários ganhando pouco e um pequeno grupo ganhando muito).
É importante salientar que:
I) Quando adicionamos uma constante a cada elemento de um conjunto de valores, o desvio-padrão
não se altera.
II) Quando multiplicamos cada elemento de um conjunto de valores por uma constante, o desvio-padrão fica multiplicado por essa constante.
Para aprender mais!
7. A tabela de frequências a seguir informa o número
de filhos dos 80 funcionários de uma escola.
Número de filhos
Frequência
0
20
1
36
2
14
3
8
4
2
+ ( 76 − 74 ) + ( 74 − 74 )
8
=
≈ 1,63.
3
3
2
2
O desvio-padrão das pulsações do paciente Plauto é
σ=
(72 − 74 )
2
+ ( 91− 74 ) + (59 − 74 )
518
=
≈ 13,14.
3
3
2
2
O primeiro desvio-padrão, 1,63, indica que os valores
do primeiro grupo estão, em média, a uma distância 1,63
(aproximadamente) da média das pulsações do paciente
Carlos Alberto. Já o segundo desvio-padrão indica que os
valores do segundo grupo estão, em média, a uma distância 13,14 (aproximadamente) da média das pulsações do
paciente Plauto.
Com isso, podemos concluir que a pulsação com
maior dispersão em torno da média foi a do paciente
Plauto. A pulsação do paciente Carlos Alberto apresentou uma maior homogeneidade, portanto mais estável.
A média e o desvio-padrão correspondente ao
número de filhos dos funcionários são, nessa ordem,
iguais a 1,2 e 1,01. Supondo que cada funcionário da
escola tenha um novo filho, qual será o novo desvio-padrão correspondente ao número de filhos dos funcionários?
A)1,01
B)2,2
C)0,2
D)1,2
E)2,01
Universidade Aberta do Nordeste
139
8. Gustavo e Lucas são estudantes do 2ª série do Ensino Médio. Eles estão disputando uma bolsa de estudos para o próximo ano na instituição na qual estudam. O critério de desempate é o desempenho mais
regular nas disciplinas Física, Português e Química,
desde que a nota final em cada disciplina seja igual
ou superior a 4. Entende-se por desempenho mais
regular aquele em que as notas finais nessas disciplinas apresentem uma menor dispersão em relação à
média aritmética dessas notas.
A seguir, temos a tabela que apresenta as notas finais desses alunos nas referidas disciplinas:
12. Geralmente as populações de bactérias crescem exponencialmente com o tempo. Por exemplo, se uma
população inicial de 500 bactérias de uma determinada colônia triplica a cada 10 minutos, o número
N de bactérias no instante t ≥ 0, em minuto, é dado
t
Disciplina
Nota
Disciplina
Nota
Física
7,0
Física
10,0
Português
10,0
Português
10,0
Química
7,0
Química
4,0
Qual dos dois candidatos conseguiu a bolsa de
estudos?
Gustavo, pois a média é maior que a mediana das notas.
Lucas, pois a mediana é maior que a média das notas.
Lucas, pois obteve a maior moda.
Gustavo, pois obteve menor desvio-padrão.
Lucas, pois obteve menor desvio-padrão.
Ampliando conhecimentos para o Enem
11. Quando se administra uma medicação a um paciente, a droga entra na corrente sanguínea, depois passa pelo fígado e pelos rins, quando é metabolizada.
A eliminação da droga pelo organismo depende da
droga específica. Por exemplo, para o medicamento
propanolol (utilizado no tratamento da hipertensão
arterial e da cardiopatia isquêmica), 50% da droga
presente no corpo do paciente é eliminada a cada 6
horas. Uma dose de propanolol tem 40 mg.
A tabela, a seguir, mostra a quantidade, em mg,
de propanolol eliminada pelo organismo, em função do
tempo, em horas, de um paciente que ingeriu uma dose
da droga.
140
A)linear. B) quadrática.
C)modular. D) exponencial.
E)trigonométrica.
Lucas
Gustavo
A)
B)
C)
D)
E)
A função que fornece a quantidade Y, em mg, de
propanolol eliminada pelo organismo, em função do
tempo X, em horas, é
Tempo (h)
Massa eliminada (mg)
0
6
12
18
.
.
.
40
20
10
5
.
.
.
pela lei exponencial N = 500 . ( 3)10 .
Foi realizado um experimento com uma colônia da
bactéria E. coli, cuja população dobra a cada 20 minutos. Colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio,
uma amostra de 1.000 bactérias por mililitro. No final do
experimento, obteve-se um total de 4.096 x 106 bactérias por mililitro.
O tempo total de experimento foi de
A)
B)
C)
D)
E)
3 horas e 40 minutos.
3 horas e 20 minutos.
3 horas.
4 horas e 10 minutos.
4 horas.
13. A Associação de Corretores de Imóveis de uma grande cidade brasileira mantém um banco de dados das
casas à venda existentes. Uma lista usa a mediana dos
preços das casas vendidas e outra usa a média dos
preços das casas vendidas. As vendas para o primeiro
trimestre de 2011 são mostradas no gráfico a seguir.
Determinando o preço médio da média dos preços
e o preço mediano das medianas dos preços das casas
no 1o trimestre de 2011, é possível concluir que o preço
médio é superior ao preço mediano em
A) R$ 250.00,00.
C) R$ 350.00,00.
E) R$ 450.00,00.
B)
D)
R$ 280.00,00.
R$ 400.00,00.
16.Os gráficos de setores exibidos a seguir ilustram
a distribuição percentual do consumo de energia
elétrica no Brasil dos diversos setores e do setor
industrial.
14. O generoso diretor-presidente de uma grande empresa deseja conceder a todos os seus 19 executivos um
aumento de salário. Ele está na dúvida se deve dar a
todos um aumento direto de R$ 1.000,00 ou se deve
aumentar os salários em 5%. O salário médio dos executivos é de R$ 50.000,00, a mediana desses salários é
de R$ 20.000,00 e a moda é de R$ 10.000,00. A partir
desses dados, pode-se concluir que,
A) se o diretor-presidente optar pelo aumento de R$
1.000,00, o salário médio dos executivos ficará aumentado de R$ 1.000,00, mas a moda e a mediana
dos salários não sofrerão qualquer alteração.
B) se o diretor-presidente optar pelo aumento de 5%,
a média, a moda e a mediana desses salários serão
aumentadas em 5%.
C) se o diretor-presidente tiver em mente aumentar o
mínimo possível a média da folha salarial dos executivos, o ideal é conceder a todos um aumento de 5%.
D) se algum executivo estiver ganhando a média dos
salários, o mais vantajoso para ele é um aumento
salarial de R$ 1.000,00.
E) antes do aumento, não é possível afirmar que algum
executivo ganhava R$ 20.000,00.
15.Uma pesquisa realizada com 280 pessoas fez o levantamento da frequência anual de visitas ao dentista. Os resultados aparecem na tabela a seguir:
Número de
visitas ao
dentista por ano
Número de
pessoas
0
63
1
105
2
39
3
47
4
16
5 ou mais
10
Total
280
Qual é o número mediano de visitas anuais ao
dentista?
A)1.
C)2.
E)3.
B) 1,5.
D)2,5.
Os gráficos mostram que, a respeito do consumo de
energia elétrica no Brasil, é válido afirmar que
A) o setor de metais consome menos que o comercial.
B) o setor público consome menos que o de alimentos.
C) o setor residencial consome menos que o químico e
o de metais juntos.
D) o setor de papel consome 4,1% do total de energia.
E) o setor químico e o de alimentos consomem juntos
menos que o residencial.
17.Os dados seguintes referem-se à mortalidade infantil dos estados da região Nordeste no início do
século XXI e indicam o número de crianças que
morrem no primeiro ano de vida entre 1.000 crianças nascidas vivas.
Alagoas
64,4
Pernambuco
57,5
Bahia
44,7
Piauí
44,4
Ceará
51,6
Rio Grande do Norte 47,9
Maranhão
52,8
Sergipe
Paraíba
59,4
44,5
A variância dos dados apresentados é igual a 47 (valor aproximado). Admitindo que um programa de governo consiga reduzir em 10% as taxas de mortalidade
infantil em todos os estados do Nordeste, qual será o
valor aproximado do desvio-padrão dos novos resultados obtidos? (Use, se necessário,
A)6,21
C)7,59
E)47
47 ≅ 6,9)
B) 6,90
D)42,30
Universidade Aberta do Nordeste
141
18. Uma companhia telefônica deseja saber se as reclamações dos clientes sobre o tempo de espera no
atendimento telefônico de clientes são justificáveis
ou não. Uma relação de 15 chamadas registra os
seguintes tempos de espera:
Cliente
1
Tempo de espera (min)
Cliente
5,5
2
3
10,3 6,6
9
4
5
6
6,8
9,5 6,7
10
11
7
8
Tempo de espera (min)
0,5
9,2
7,6 10,7
Cliente
13
14
15
Tempo de espera (min)
6,0
8,6
4,5
A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
B) Marco, pois obteve menor desvio-padrão.
C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19
em Português.
D) Paulo, pois obteve maior mediana.
E) Paulo, pois obteve maior desvio-padrão.
12
9,2 2,9
A média e o desvio-padrão dessa relação são, respectivamente, 6,37 e 3,25.
As informações fornecidas revelam que
A) para uma espera média de 6 minutos e 22 segundos aproximadamente, os tempos de espera de cada
cliente variam, em média, 3 minutos e 15 segundos
em torno do tempo médio de espera.
B) o tempo mais frequente de espera foi de 10,7 minutos.
C) o tempo mediano foi de 6,7 minutos.
D) o tempo de espera do cliente 10 está distanciado
do tempo médio de espera em menos de 1 desvio-padrão.
E) existe pelo menos 1 cliente dessa amostra, cujo tempo de espera está distanciado do tempo médio de
espera, em mais de 2 desvios-padrão.
20. Em um cenário ainda calmo na manhã de domingo,
um grupo chamava atenção dos frequentadores da
Praia do Futuro com luvas, sacolas em mãos e olhos
atentos para o lixo deixado na areia.
O mutirão de limpeza da Praia do Futuro, fruto das
mobilizações realizadas pelo grupo Consciência Limpa,
reuniu pessoas interessadas em compartilhar a ideia de
que a ação e o exemplo são poderosos para o hábito de
cuidar da cidade.
Fonte: Jornal o Povo. Edição no 28.099, de 7/5/2012.
Em uma amostra com 15 voluntários, a quantidade
de sacolas que cada um deles utilizou no recolhimento
do lixo está exibida na tabela a seguir:
19. Marco e Paulo foram classificados em um concurso.
Para classificação no concurso, o candidato deveria
obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular.
No quadro a seguir, são apresentados os pontos
obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio-padrão dos dois candidatos.
Matemática Português Conhecimentos
Gerais
Marco
14
15
16
Paulo
8
19
18
Média
Mediana
Desvio-Padrão
Marco
15
15
0,81
Paulo
15
18
4,43
O candidato com pontuação mais regular, portanto
mais bem classificado no concurso, é
142
Voluntário No
Quantidade de
sacolas utilizadas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10
4
8
3
3
5
8
6
6
5
6
4
6
4
7
A mediana do número de sacolas utilizadas por voluntário da amostra é igual a
A)4
B)5
C)6
D)7
E)8
Bibliografia CONSULTADA
BARROSO, Juliane Matsubara, 2008. Matemática, Construção e significado 3, Edi Moderna.
IEZZI, Gelson, 1939. Fundamentos de Matemática
Elementar 2, Atual Editora.
LARSON, Ron 2010. Elementary Statistics. Editora
Pearson.
PAIVA, Manoel Rodrigues, 2009. Matemática 1, 2 e 3.
Editora Moderna.
GABARITO FASCÍCULO 5
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Para aprender mais!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E
D
D
C
D
B
D
D
B
E
11
12
13
14
15
16
17
18
19
C
C
D
Ampliando conhecimentos para o Enem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
B
A
B
B
A
D
C
11
12
13
14
15
16
A
A
D
B
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o Enem no www.fdr.com.br/enem2012
Expediente
Presidente: Luciana Dummar
Coordenação da Universidade Aberta do Nordeste: Eloisa Vidal
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Promoção
Universidade Aberta do Nordeste
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