REGRA DA CADEIA
( ( ))
( )
( )
ou
Enunciado: A derivada de uma função que contém outra é dada pela derivada da interna
multiplicada pela derivada da externa.

Como identificar as funções?
o A identificação é arbitrária, não existe uma regra rígida. A princípio, a ideia
é sempre procurar por funções cuja derivação é conhecida. Então, procure
por:
 polinômios
 seno e cosseno
 exponencial e ln
 se houver termos que se somam:
 na parte externa, considere os termos independentes.
 na parte interna, englobe todos os termos na função
interna.
 multiplicação e divisão: não esqueça de aplicar a regra do produto e
do quociente.

Exemplo: calcule a derivada da função
Primeiro identificamos a função interna, obtendo duas funções fáceis de serem derivadas:
( )
( )
Aplicamos a fórmula:
(
)
O resultado ainda não está completo, pois está dependente de duas variáveis (u e x). Como
sabemos que ( )
, temos:
(
)
REGRA DA CADEIA – APLICAÇÕES.
Exemplo: O raio r de uma esfera está variando com o tempo, a uma taxa constante de 3
cm/s. Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em que r = 2 cm?
O problema quer saber qual é a taxa de variação do volume com o tempo. Ou seja:
No entanto, não sabemos ainda qual é a fórmula do volume em relação ao tempo,
de modo que não podemos partir direto para a derivação.
O enunciado fornece a informação de que a esfera está variando com o tempo, a
uma taxa de 3 cm/s. ou seja:
Sabemos também a fórmula do volume de uma esfera, que é dada por:
Note que nesta fórmula, não há t, somente temos a variável r. Então como sabemos
a derivada em relação à t? Aplicamos a regra da cadeia, da seguinte forma:
A derivada de V em relação à r é possível calcular:
Assim:
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIO DE RECAPIT ULAÇÃO
1. Derive as seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
( )
√
EXERCÍCIOS SOBRE REGRA DA CADEIA
2. Usando a regra da cadeia, derive as funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(
√
⌈ ( )
)
⌉
(
)
( )
3. O raio r de um cilindro de altura
está variando com o tempo, a uma taxa
constante de 5 cm/s. Com que taxa estará variando o volume do cilindro no
instante em que r = 4 cm? (obs:
.
4. Um tanque de formato cúbico está sendo preenchido com água. A altura (z) do
nível da água varia a uma taxa de 2 cm/s. Qual é a taxa de variação do volume de
água no tanque, sabendo que ele tem largura
e comprimento
?
5. A equação da voltagem real (V) em um indutor (L) submetido a uma corrente
alternada (I), é dada por:
( )
onde I, em função do tempo, é dada por:
( )
(
)
I0 é a amplitude máxima atingida pela corrente e  é a frequência angular e as duas são
constantes, ou seja, não dependem do tempo. Resolvendo a derivada da 1ª equação, qual
será a fórmula da voltagem real em um indutor?