O QUADRADO MÁGICO: O LÚDICO CONTRIBUINDO
NO PROCESSO ENSINO APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA
Josiane de Fátima Kolodzieiski
UFPR
[email protected]
Maristel do Nascimento
UTFPR-Ponta Grossa
[email protected]
Resumo
Considerado
como
um
elemento
que
atua
internamente
no
sujeito
possibilitando novas estruturas do pensamento, o jogo, tem sido utilizado
visando contribuir para o processo ensino-aprendizagem. Este artigo tem por
finalidade de verificar as possibilidades de aprendizagem de conceitos
matemáticos a partir de uma experiência, utilizando-se de uma atividade lúdica,
um jogo de estratégia e raciocínio lógico, “O Quadrado Mágico”. Esta atividade
foi desenvolvida com alunos das séries finais do Ensino Fundamental em uma
escola estadual da rede pública da cidade de Ponta Grossa, Paraná.
Utilizando-se do lúdico, o jogo do quadrado mágico, explorar os conhecimentos
prévios dos educando, motivando-os a pensar, desenvolvendo o interesse e
ampliando os saberes matemáticos. Com esta atividade pode-se perceber, que
é possível desenvolver um trabalho de forma a levar os alunos a construírem
conceitos matemáticos e participarem ativamente das aulas, a abordagem dos
conteúdos de forma reflexiva e contextualizada contribuem positivamente para
o desenvolvimento integral do aluno, como também possibilita ao professor
trazer a História da Matemática para o contexto de suas aulas, mostrando ao
educando a matemática como construção humana.
Palavras-chave: Jogos; atividades lúdicas; quadrado mágico; ensinoaprendizagem.
Abstrat
Considered as an element that operates domestically on the subject possible
new structures of thought, the game has been used to contribute to the
teaching-learning process. This article aims to report the possibilities of learning
mathematical concepts from an experiment using a leisure activity, a game of
strategy and logical thinking, "The Magic Square". This activity was developed
with students of final grades of elementary school in a state school in the public
network of the city of Ponta Grossa, Paraná. Using the play, the game's magic
square, exploring the prior knowledge of educating, motivating them to think,
developing and expanding interest mathematical knowledge. This activity can
be seen, it is possible to develop a work to lead students to construct
mathematical concepts and participate actively in lessons, the approach of the
contents of the reflexive form and context contribute positively to the
development of the student, but also enables the teacher to bring the history of
mathematics into the context of their classes, showing the student mathematics
as a human construction.
Keywords: games, play activities, magic square, teaching and learning.
Introdução
A matemática é fruto da criação humana, da qual fazem parte erros e
acertos, a criatividade, o raciocínio lógico, o cognitivo, as estratégias,
suposições e críticas. A matemática como qualquer outra ciência não deve ser
tratada de maneira complexa, mas de uma maneira para que esta seja
aprendida por todas as pessoas, e não apenas pelas mais talentosas. O
importante é perceber que a matemática pode ajudar a desenvolver as
capacidades como as de generalização, projeção, da abstração para a
construção do conhecimento, entre outras, em que essas capacidades
contribuem para o desenvolvimento do raciocínio lógico e do pensamento
criativo.
As atividades lúdicas, como os jogos são recursos que contribuem de
maneira considerável no processo ensino-aprendizagem para que os alunos
aprofundem e ampliem os significados e conceitos matemáticos. Este
possibilita exercitar o aprendizado do conteúdo, pois contempla vários
problemas, com diferentes características, onde são exigidos condutas e
comportamentos capazes de influenciar positivamente ou negativamente rumo
ao objetivo final. A utilização do jogo em sala de aula, quando bem elaborado e
com planejamento contribui significativamente no ensino-aprendizagem da
matemática, na medida em que coloca todo o conhecimento, habilidades,
atitudes e os procedimentos dos alunos de maneira espontânea e com
naturalidade, livre da interferência direta do professor.
O uso do jogo permite também avaliar diversas capacidades dos
educando entre elas a organização, a formulação de hipótese, tomada de
decisão, obediência as regras e a sociabilização entre os indivíduos, pois o
jogo possibilita ao educando a construção do conhecimento pelo pensar, criar e
fazer, o reconhecimento da validade dos resultados, onde o objetivo é
encontrar a solução sem o uso de fórmulas padronizadas.
Nesse sentido, a metodologia através de jogos e atividades lúdicas pode
ser um recurso interessante que vem a contribuir no processo ensinoaprendizagem da matemática, no desenvolvimento do cognitivo, e na tomada
de decisão dos alunos. Este trabalho tem por finalidade apresentar algumas
discussões a partir de atividades desenvolvidas com o quadrado mágico e o
ensino dos conteúdos matemáticos. As quais foram desenvolvidas nas séries
finais do Ensino Fundamental em uma escola da rede pública da cidade de
Ponta Grossa, no Estado do Paraná.
O Jogo como Recurso Metodológico e sua Contribuição no EnsinoAprendizagem
Entre os diversos recursos usados em sala de aula para tornar a
matemática mais interessante, atrativa e prazerosa, os jogos são indicados por
vários autores como uma metodologia que pode contribuir no processo ensino
aprendizagem da matemática.
Para Smole (2005), os jogos podem ser comparados a problemas, pois
na busca do objetivo de ganhar, o educando testa as habilidades, onde estão
envolvidas a investigação, a tentativa, o erro, as hipóteses e o raciocínio lógico.
O jogo além de tornar a matemática atrativa, permite aprender conceitos
matemáticos, conteúdos culturais, favorecendo este a estabelecer relações
qualitativas ou lógicas para atingir os objetivos e executar as jogadas, levando
a avaliar e refletir sobre os erros e os resultados válidos obtidos, pois inerente
ao jogo, estão envolvido mais do que a sorte, mas situações de procedimentos
cotidianos e características relevantes e necessárias para a construção de
novos conhecimentos.
A associação do jogo e educação sob uma nova perspectiva de ensinar
é válida, quando este é encarado como uma atividade séria, com objetivos bem
definidos, e não o jogo pelo jogo, de modo que esta venha a favorecer o
ensino-aprendizagem da matemática de uma forma diferenciada e significativa.
Krulik defende essa metodologia quando afirma que:
Vários campos da matemática, hoje altamente desenvolvidos,
começaram
como
atividades
puramente
recreativas:
combinatória, teoria dos jogos, teoria dos números e topologia.
Na verdade, praticamente todo campo da matemática tem
aspectos recreativos (...). A resolução de problemas é o único
tema comum a maioria dos tópicos da matemática recreativa.
(Krulik, 1997, p. 235)
Os jogos e atividades lúdicas são por sua vez desafiadores e instigantes,
fazendo com que o educando se envolva no contexto do jogo, superando os
obstáculos e favorecendo a construção do conhecimento matemático de
maneira natural, espontânea e divertida. O jogo funciona como um elemento
motivador, que estimula o aluno a desenvolver o gosto pela aprendizagem
matemática. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasil,
(2001,p.46) “Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas,
pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecendo a
criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções.”
Os diferentes tipos de jogos, são recursos importantes e motivadores para
o desenvolvimento do educando, sendo que este ao ser utilizado em sala de
aula propõe a realização de atividades sem imposição e obrigações,
valorizando competências importantes até mesmo para inserção do educando
no mundo do trabalho, visto que este o coloca diante de restrições e limites,
favorecendo a socialização, pois na vida o indivíduo tem que conviver com
regras e limites impostos pela sociedade.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais ainda citam uso de jogos no
ensino: Brasil (2001, p.47) “Os jogos podem contribuir para um trabalho de
formação de atitudes- enfrentar desafios lançar-se à busca de soluções,
desenvolvimento da crítica, da intuição, da criação de estratégias.”
Todo e qualquer recurso é importante quando se trata de aprimorar e
melhorar as práticas pedagógicas em sala de aula de forma a favorecer o
aprendizado, estabelecer relações de diálogo, promover a proximidade entre
professor e aluno, além de exigir do mesmo a sua participação ativa.
A Mágica do Quadrado Mágico
2
Um quadrado mágico de ordem n é um quadrado de n inteiros distintos
dispostos de tal maneira que os números de um linha qualquer, de uma coluna
qualquer ou diagonal principal têm a mesma soma, chamada de constante
2
mágica do quadrado. O quadrado mágico se diz normal se os n números que
2
o formam são os n primeiros números inteiros positivos. E a constante
mágica é dada pela equação CM =
No livro Matemática Divertida e Curiosa o professor Júlio César de Mello e
Souza
(Malba Tahan) apresenta uma definição de Quadrados Mágicos:
Tomemos um quadrado e dividamo-lo em 4, 9, 16 …quadrados
iguais – os quais denominamos casa. Em cada uma dessas
casas, coloquemos um número inteiro. A figura obtida será um
Quadrado Mágico quando a soma dos números que figuram
numa coluna, numa linha ou sobre uma diagonal for sempre a
mesma. Esse resultado invariável é denominado constante do
quadrado, e o número de casas de uma linha é o módulo do
quadrado. (Mello e Souza, 1995, p.131)
Um exemplo de Quadrado Mágico de ordem 3x3 pode se observado no quadro
1 tendo 15 como constante mágica
QUADRO - 1 – QUADRADO MÁGICO
FONTE: O Autor
Existem várias histórias da origem dos Quadrados Mágicos, a mais
conhecida, segundo Januario (2006), é a chinesa , “Diz a lenda que o primeiro
a vê-lo foi o imperador Yu, da dinastia de Hsia, por volta de 2200 a.C,
decorando a carapaça de um tartaruga divina, considerado um animal sagrado
para os chineses, que lhe apareceu às margens do rio Amarelo. Na figura o
quadrado mágico é um arranjo quadrado de numerais expressos por nós em
cordas: nós pretos para os números pares e brancos para números ímpares.
Presente na maioria das abordagem matemáticas chinesa antiga o Quadrado
Mágico denominado lo-shu. Um dos clássicos matemáticos mais antigos é o IKing ou livro das Permutações. Nele aparece um diagrama numérico conhecido
como lo-shu ou ordem interior do Mundo. Que trata do exemplo mais antigo de
quadrado mágico.
FIGURA 1- QM LO-SHU
FONTE : MALBA TAHAN
FIGURA 2- MELANCOLIA
Alguns historiadores acreditam que os Quadrados Mágicos foram
inventados na Índia, chegando à Arábia no século IX, e espalhando-se pelo
Japão e Oriente Médio, onde eram associados à astrologia, para cálculo dos
horóscopos.
Em 1514, o pintor alemão Albrecht Dürer (1471-1528), pintou um
Quadrado Mágico em sua gravura intitulada Melancolia I ( figura 2), ligada a
influências astrais do planeta Júpiter. Para Boyer (1974) “[...] esse é
considerado o primeiro uso do quadrado mágico no Ocidente”
A relação dos Quadrados Mágicos aos planetas provavelmente tenha
sido iniciada pelos sabeístas, que eram adoradores do fogo.
A relação entre os quadrados mágicos com os planetas e os
metais é citada por et al ( JANUARIO, 2006), aproximadamente
em 1533, que Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim
(1486-1535), que era mago, escritor, astrólogo, alquimista,
cabalista, médico, filósofo e físico, estabeleceu uma relação
dos quadrados mágicos com os planetas e os metais.
(JANUARIO, 2006).
Segundo Januario (2006), os estudos de Agrippa influenciaram o uso dos
Quadrados Mágicos como amuleto em metal, acredita-se Agrippa foi o primeiro
a construir um amuleto com sete quadrados, no qual relacionava os sete
planetas com esses quadrados, sendo que os cientistas da época só tinham
conhecimentos de sete planetas, nos quais o Sol e a Lua também eram
considerados como sendo planetas.
Estes amuletos segundo a lenda eram utilizados como proteção contra
doenças, pestes e forças do mal. E a relação destes com os planetas pode-se
observar em Januario (2006):
• 9 elementos, em chumbo, simbolizando Saturno;
• 16 elementos, em estanho, simbolizando Júpiter;
• 25 elementos, em ferro, simbolizando Marte;
• 36 elementos, em ouro, simbolizando o Sol;
• 49 elementos, em cobre, simbolizando Vênus;
• 64 elementos, em liga de prata, simbolizando Mercúrio;
• 81 elementos, em prata, simbolizando a Lua [...].
(JANUARIO et al, 2006, p. 24).
Porém, além de serem estudados pela magia e astrologia, que davam
uma característica mística, de acordo com Santinho e Machado (2006), os
Quadrados Mágicos, despertaram também interesse em alguns matemáticos,
pelos problemas difíceis que originaram, em relação à construção, classificação
e enumeração, dos quadrados de uma dada ordem. Bernard Frénicle de Bessy
(1602-1675), Claude-Gaspar Bachet (1581-1638), Pierrede Fermat (1601-1665)
e Leonhard Euler (1707-1783) estudaram Quadrados Mágicos e Cubos
Mágicos.
Existem muitas maneiras de construir Quadrados Mágicos, a mais
simples é seguir as determinadas configurações/ fórmulas. Os Quadrados
Mágicos existem para todos os valores de n, com somente uma exceção, é
impossível construir um Quadrado Mágico de ordem 2.
O livro “Matemática - Oficinas de Conceitos”, volume 1 de Walter Spinelli
& Maria Helena Souza
apresenta uma forma prática e fácil de construir
Quadrados Mágicos.
O segredo dos quadrados mágicos
15
Soma
mágica
1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
QUADRO 2- CONSTRUÇÃO DO QUADRADO MÁGICO
FONTE: SPINELLI & SOUZA (2002)
Se no centro do quadrado colocamos um número ímpar, nos cantos
temos que colocar números pares. Vão experimentando e depois os espaços
que sobram completamos com números ímpares.
Se pegarmos outra sequência de números para formar outro quadrado
mágico, o padrão se dá da mesma forma.
Complete um quadrado mágico com os números de 4 a 12.
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
A soma mágica é 4 + 8 + 12 = 24, Logo em todas as linhas, colunas e
diagonais a soma deve ser igual a 24

No centro o número que ocupa a posição central da sequência em
ordem crescente;

Se no centro foi utilizado um número par, nos cantos vamos colocar
ímpares;

Agora finalmente complete com os números pares adequados.
5
8
9
8
7
11
5
10
9
12
8
4
7
6
11
O jogo no desenvolvimento social do educando
A partir de 2008 com a publicação das Diretrizes Curriculares do Paraná
como documento que orienta os ensino das diversas disciplinas nas escolas
da rede estadual, e que assume a "Educação Matemática como campo de
estudos" (Paraná, 2008, p. 48) e que traz como objetivo:
Um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões,
conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de ideias.
Aprende-se Matemática não só por sua beleza ou pela
consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o
homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua
para o desenvolvimento da sociedade. (Paraná, 2008, p.48).
Neste sentido, cabe ao professor buscar em sua prática diária, ações
que apontem para uma matemática, resultado da colaboração de todos, ligada
às necessidades sociais. Autores como Miguel (2005) Struik (1998) defendem o
ensino de matemática para seu aspecto social, buscar através da história da
matemática, romper com a visão platônica, apresentar uma matemática com
um ciência social, fruto das necessidades humana.
Assim, situações envolvendo Jogos matemáticos, na abordagem dos
conteúdos possibilitam ao educando, uma visão reflexiva do próprio
conhecimento matemática, tanto no seu aspecto cognitivo no social. “Isso torna
relevante o ensinar e aprender como o desenvolvimento histórico da
matemática, tende em vista, que o ensino de matemática deixa de ser aquele,
proveniente das engenharias que prescrevia métodos puramente sintéticos
pautados no rigor das demonstrações". (Paraná 2008, p. 47)
Trazer
o
lúdico,
através
dos
jogos
matemáticos,
favorece
o
desenvolvimento de habilidades de resolução de problemas ao mesmo tempo
em que ao lidar com regras e normas os jogos desenvolvidos em grupos
permitem o tratamento afetivo e contribuem para a formação de atitudes do
trabalho coletivo.
Metodologia
A metodologia com jogos possibilita uma maior aproximação dos alunos
com o conteúdo em questão, promovendo uma forma desafiadora de aprender.
Os sujeitos que participaram ativamente das atividades foram alunos das séries
finais do Ensino Fundamental (6º ano ao 9º ano) de um colégio da rede pública
estadual da cidade de Ponta Grossa, Paraná.
Para o desenvolvimento da atividade com os alunos foi elaborada uma
Sequência Didática, tendo em vista que “Uma Sequência Didática é formada
pelas múltiplas relações pedagógicas estabelecidas entre professor, aluno e o
saber, com a finalidade de desenvolver atividades voltadas para o ensino e
para a aprendizagem de um conteúdo”.
Sequência Didática:
Título: Investigando os Quadrados Mágicos
Objetivos: Refletir sobre o contexto histórico do aparecimento do quadrado
mágico; obter a constante mágica dos quadrados de ordem
n;
rever
conteúdos básicos da geometria plana.
Conteúdos abordados: Sequência Numérica; polígonos; perímetro e área.
Ano: 6º ao 9º ano
Tempo Estimado: 4 aulas
Desenvolvimento:
1ª Etapa
Inicialmente distribua uma folha de papel A4 para cada aluno. Discuta
coletivamente o formato da folha, de maneira que os alunos cheguem a figura
retangular. Em seguida, proponha que construam o maior quadrado possível na
folha, utilizando dobradura, no coletivo discuta as características do quadrado,
levando-o a concluir que o maior quadrado terá o lado igual ao lado menor do
retângulo. Solicitar aos alunos que respondam a questão: (lembrar para que os
alunos registrem as respostas no caderno)
 Um quadrado é um retângulo? Ou um retângulo é um quadrado?
2ª Etapa
Continue trabalhando com o quadrado construído. Peça aos alunos
dobrarem o quadrado dividindo-o em três partes iguais nos sentidos verticais e
horizontais, marcando as linhas de divisão. A seguir solicitem que respondam:
 Quantos quadrados têm na figura? Discuta coletivamente as respostas,
para que a turma chegue a uma conclusão.
Explore os conceitos de linhas verticais, horizontais e diagonais,
perímetro e área, fazendo a equivalência que o lado de cada quadrado
pequeno vale 1 cm. (Acompanhe o trabalho, fazendo observações sobre os
registros, pois eles são indicadores de como os alunos pensam e ajudam a
reconhecer as dificuldades em relação a conceitos básicos.
3ª Etapa
O quadrado construído é o tabuleiro do jogo, cada quadrado menor é
denominado “casa”, distribua nove pequenos círculos de papel para cada
aluno. Peça que escrevam de 1 a 9, cada número em um círculo (peças do
jogo), em seguida, proponha que, distribuam os números no quadrado, um
número em cada “casa” de modo que ao somar os números das linhas, colunas
e diagonais o resultado seja 15. (Quadrado Mágico).
4ª Etapa
Trazer a história dos Quadrados Mágicos, construírem outros, 4x4, 5x5.
Mostrar o processo de construção de um Quadrado Mágico. Solicitar aos
alunos a construção de um Quadrado Mágico 3X3 com qualquer sequência,
utilizando o processo das diagonais. Apresente e discuta a equação da
constante mágica: CM =
Avaliação:
Para que os alunos estabeleçam relações e realizem generalizações peça que
individualmente, construam em seu caderno um quadrado mágico, (você pode
indicar, para cada fila construir uma sequência diferente) encontrem a
constante mágica e verifiquem a veracidade da equação C M =
Outras atividades para exploração dos Quadrados Mágicos podem ser
encontrados no livro Jogos e Atividades Matemáticas do Mundo Inteiro de
Claudia Zaslavsky da editora Artmed.
Resultados e Discussões
Durante o desenvolvimento da atividade percebeu-se o envolvimento
dos alunos, mesmos os alunos que normalmente não manifestam suas
opiniões, durante as discussões coletivas apresentavam seus resultados e
interagiam com os demais.
Pelos comentários dos alunos foi possível verificar que eles gostaram da
atividade, acharam a forma de ensinar matemática diferente e interessante,
segundo o aluno A1 “... nem parece aula de matemática, aprendemos e
também nos divertimos”. Observa - se por este comentário que mesmos os
alunos pensam que as aulas de matemática precisam ser sofridas e difíceis.
Com relação à compreensão dos conteúdos abordados verificou-se a
dificuldade já na primeira questão proposta, “Um quadrado é um retângulo? Ou
um retângulo é um quadrado?” a dificuldade em comparar as duas figuras,
deixando claro, que mesmo sabendo as características de cada figura, em
nenhum momento da vida escolar tinham feito relações entre elas, comentário
do aluno A2 “... quadrado é quadrado e retângulo é retângulo”. Sendo
necessária neste momento a intervenção do professor, desenhar as duas
figuras, escrever as características de cada uma, e no coletivo discutir qual
figura pode ser as duas. O entendimento veio no relato do aluno A2 “... O
retângulo não pode ser quadrado pois lados iguais dois a dois não significa que
os quatro são iguais, já o quadrado também é um retângulo pois os lados são
iguais dois a dois”.
Durante a realização das atividades da 3ª etapa da sequência didática,
foi interessante observar as discussões entre os alunos, pois várias respostas
diferentes foram conseguidas, existem oito quadrados mágicos que empregam
os números de 1 a 9 exatamente uma vez cada.
Com relação a atividade da 4ª etapa, percebeu-se que os alunos desta
faixa etária, 10 a 14 anos, gostam muito e se interessam pelo aspecto histórico
do conhecimento, deixando claro, a importância o professor desta série trazer a
história da matemática no sentido de contextualizar o conteúdo matemático.
Com avaliação realizada da atividade, foi possível perceber que os
alunos conseguiram entender a lógica e construir com sucesso, diferentes
Quadrados Mágicos, utilizando a explicação dada por Spinelli e Souza.
Considerações
A pesquisa revelou que os alunos desta faixa etária, possuem um grande
potencial para atividades práticas que utilizem desafios, eles são capazes de
compreender regras e segui-las de forma satisfatória, assim é necessário que o
professor destes anos, busque novas maneiras de explorar o ensino da
matemática, tornando as aulas desta disciplina mais atrativa.
Percebeu-se também que através desta metodologia, relacionada à
resolução
de
situações
problema,
favorece
o
processo
de
ensino-
aprendizagem da matemática e os motiva a busca de novos conhecimentos.
Após a conclusão de cada atividade e no decorrer das aulas pode-se verificar
que os alunos conseguiram identificar com maior facilidade os conceitos
matemáticos envolvidos, como também despertou nestes o gosto em aprender
matemática, visto que o jogo quando bem planejado e com objetivos claros a
serem atingidos, além de chamar a atenção do educando torna as aulas mais
divertidas, favorecendo a construção de conhecimentos por permitir a
manipulação e compreensão dos procedimentos realizados, permitindo ao
aluno, pensar, se organizar dar maior significado as descobertas e a
aprendizagem da matemática.
Assim dessa forma, todo e qualquer recurso é relevante quando trata de
aperfeiçoar, e melhorar o desenvolvimento das ações pedagógicas no contexto
escolar de maneira a favorecer a aprendizagem, propiciar momentos de
reflexão e diálogo, estreitar a relação entre professor e aluno, além de
promover a sociabilização e cooperação mútua entre os mesmos.
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