Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Eletrostática Antonio Carlos Siqueira de Lima Universidade Federal do Rio de Janeiro Escola Politécnica Departamento de Engenharia Elétrica Agosto 2008 Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância 1 Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss 2 Potencial Elétrico 3 Condutores Imagens Alguns Exemplos 4 Capacitância Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Lei de Coulomb Qual a força que atua sobre uma carga Q devido a uma carga pontual q estacionária a uma distância r , supondo que o meio que envolve ambas as cargas é o vácuo F= 1 qQ 4πε0 r 2 Lima, A. C. S. r̂ ELETROSTÁTICA (1) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Campo Elétrico Se tivermos diversas cargas qi , a distâncias ri , (i , 1, · · · n) de uma carga Q A força total em Q é dada por n F= n Q qi ∑ Fi = 4πε0 ∑ r 2 r̂i i =1 (2) i =1 i ou simplesmente F = QE (3) onde E= 1 n qi ∑ r 2 r̂i 4πε0 i =1 i Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA (4) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Distribuições contı́nuas de cargas A solução anterior supõe cargas conhecidas qi Caso a carga seja distribuı́da continuamente sobre alguma região o somatório se torna uma integral E= 1 4πε0 Lima, A. C. S. Z 1 r2 r̂ dq ELETROSTÁTICA (5) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Distribuição Linear de Carga Se a carga for distribuı́da uniformemente ao longo de uma linha, com uma carga por unidade de comprimento λ, o diferencial de carga é dado por (dl ⇒ diferencial de comprimento) dq = λ dl E= 1 4πε0 Lima, A. C. S. Z λ r2 (6) r̂ dl ` ELETROSTÁTICA (7) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Distribuição Superficial de Carga Densidade superficial de carga σ dq = σ ds E= 1 4πε0 Lima, A. C. S. ZZ S σ r2 (8) r̂ ds ELETROSTÁTICA (9) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Densidade Volumétrica Densidade volumétrica de carga ρ dq = ρ dv E= 1 4πε0 Lima, A. C. S. ZZZ ρ r2 r̂ dv V ELETROSTÁTICA (10) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Exemplo 1 Considere um segmento de reta de comprimento 2L que possui uma densidade de carga λ. Calcule o potencial elétrico a uma distância z acima do ponto médio do segmento de reta (ponto P na figura abaixo) z Pela simetria do problema é possı́vel perceber que os componentes na direção x se cancelem P r No ponto P temos x dE = 2 4πε0 λ dx r2 onde cos θ = z /r Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA cos θẑ (11) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Exemplo 1 – cont. A intensidade do campo elétrico é obtida pela integração de (11) com x variando de 0 a L. Z L 2λ z 1 2λ L 1 √ dx = (12) E= 4πε0 0 (z 2 + x 2 )3/2 4πε0 z z 2 + L2 Para pontos muito afastados do segmento de reta condutor z L, temos E≈ 1 2λ L 4πε0 z 2 (13) E portanto a reta condutora se comporta como uma carga pontual! No caso de uma reta infinita L → ∞ 1 2λ E≈ (14) 4πε0 z Nesse caso z é a distância do ponto ao fio Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Linhas de Fluxo & Lei de Gauss Com o ferramental apresentado temos todos os dados para resolver a maioria dos problemas de eletrostática, admitindo-se que é possı́vel resolver a integral As linhas de fluxo podem ser úteis na visualização e na identificação do comportamento do campo elétrico. É possı́vel calcular as linhas de fluxo pelos tubos de força ou pela solução da equação diferencial que define o campo em todo o espaço Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Lei de Gauss O Fluxo é uma forma de “medir” o número de linhas de campo passando por uma superfı́cie. O Fluxo por qq superfı́cie fechada é uma medida da carga total armazenada dentro dessa superfı́cie I E · ds = S 1 ε0 Qdentro (15) ZZZ Qdentro = ρdv (16) V Na forma diferencial obtemos (a partir do teorema de Green) ∇· E = Lima, A. C. S. ρ ε ELETROSTÁTICA (17) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Exemplo 2 Calcule o campo exterior a uma esfera sólida uniformemente carregada de raio r e carga total q. Pela aplicação direta da definição de fluxo de campo elétrico I Eds = E 4π r 2 (18) S Logo E 4π r 2 = q /ε0 E= Lima, A. C. S. 1 q 4πε0 r 2 ELETROSTÁTICA (19) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Rotacional do Campo Elétrico Vamos supor uma carga pontual na origem. A integral de linha do campo devido por essa carga pontual é dada por Z b E · dl = a q 4πε0 1 ra − 1 rb (20) onde ra e rb são as distâncias entre os pontos a e b. No caso da integral de linha temos I E · dl = 0 (21) Aplicando o teorema de Stokes temos ∇× E = 0 Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA (22) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Potencial Elétrico O campo elétrico (devido a Cargas Estacionárias) é conservativo O fato do rotacional do campo elétrico ser nulo implica na existência de uma função potencial Z r V (P ) = φ = − E · dl (23) P Se o ponto P for levado ao infinito, o potencial no ponto r depende apenas do ponto, fazendo o caminho “inverso” E = −∇φ (24) Há algumas vantagens em usar (24), derivaadas são fáceis de calcular, e potenciais são usualmente fáceis de medir (De um escalar calcula-se um vetor!!) Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Potencial Elétrico O rotacional nulo implica também em relação entre os componentes do campo elétrico ∂Ey ∂Ex = ∂y ∂x ∂Ey ∂Ez = ∂y ∂z ∂Ex ∂Ez = ∂z ∂x (25) Mudança de referencial implica na adição de uma constante ao potencial V1 = φ1 = − Z P E · dl − Z O r P E · dlV1 = k + V (P ) (26) Mas não muda o campo elétrico.... ∇V1 = ∇V Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA (27) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Potencial de uma distribuição de carga O potencial de uma carga pontual é dado por Z r1 q 1 q 1 dr = V =− 2 4πε0 ∞ r 4πε0 r1 (28) Para um conjunto de cargas V= 1 n q ∑ ri 4πε0 (29) i =1 Para uma distribuição linear λ de cargas Z 1 λ V= dl 4πε0 r No caso de uma distribuição volumétrica ZZZ 1 ρ V= dV 4πε0 r As integrais em são mais simples que as do campo elétrico Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA (30) (31) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Potencial & Polaridade Apesar de ser escalar, a polaridade da tensão implica em indicativo de direção do campo elétrico 0 V V Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Carga Pontual + Plano Infinito No caso de uma carga pontual q colocada a uma distância a de um plano infinito (aterrado), a imagem será a carga −q, colocada a uma distância −a desse plano. Se o plano separa os meios, a inclusão da imagem implica em um meio apenas, sendo esse meio o qual está a carga original V = φ(x , y ) = q 4πε0 1 r1 − 1 r2 (32) r1 é a distância do ponto onde é efetuado a medição do potencial até a carga positiva r2 é a distância do ponto onde é efetuado a medição do potencial até a carga imagem Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Carga Pontual + Plano Infinito Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Linha de Carga +Plano Infinito Há uma linha de carga a uma altura h do solo, com densidade linear constante Supondo o plano infinito aterrado, surge uma imagem com densidade de carga negativa a uma distância −h A inclusão da imagem implica em um meio apenas, sendo esse meio o qual está a carga original V =φ= q 2πε0 s ln x 2 + (y + h)2 x 2 + (y − h)2 ! = q 4πε0 ln x 2 + (y + h)2 x 2 + (y − h)2 (33) A projeção bidimensional desse caso é idêntica ao do caso com cargas pontuais Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Linha de Carga + Cilindro Se uma carga linear paralela a um cilindro condutor, supondo o comprimento de ambos infinito. A carga imagem pode ser obtida através da tangente a seção trasnversal do cilindro que passa no ponto onde está a carga real A posição da carga imagem é dada pela razão R2 (34) b onde R é o raio do cı́rculo que forma a seção reta do cilindro, e b é a distância que separa o centro do cilindro ao ponto onde se encontra a carga. Se o cilindro for dielétrico, muda alguma coisa? Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Imagem em Condutor Esférico R r2 r1 q1 d qimag b é a distância que separa os centros, V na superfı́cie da esfera devido a q é V= q1 (35) 4πε0 r2 V 0 devido a carga imagem qimag é V0 = 1 qimag 4πε0 r1 = Lima, A. C. S. qimag 4πε0 √ b/R R 2 + b2 − 2Rb cos θ ELETROSTÁTICA (36) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Imagem em Condutor Esférico Para que a esfera esteja aterrada os potenciais gerados pelas duas cargas deve ser iguais e opostos, V + V 0 = 0 Logo, a carga imagem deve ser qimag = q R (37) b O potencial em qualquer ponto passa a ser Vt = q 4πε0 √ 1 r 2 + b2 − 2b r cos θ −√ R b2 r 2 + R 4 − 2R 2 b r cos θ (38) Qual é a densidade superificial de carga na superfı́cie da esfera? Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Anel Circular com Distribuição Linear de Carga Condutor cilı́ndrico de raio a e comprimento ` e com carga total Q em um anel circular de raio R, sendo R a. z P D x A função potencial φ num ponto genérico P de coordenadas (x , y , z) é y φ(x , y , z ) = 1 4πε Z q D d dl (39) sendo q = Q /(2πR ) a densidade linear de carga Projeções da espira condutora no plano y = 0 e no plano z = 0 Lima, A. C. S. r Α ` ELETROSTÁTICA P’ R x Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Anel Circular — cont. Utilizando a transformação de variável α = π − 2ϕ o diferencial de comprimento pode ser expresso por dl = |R d α| = 2|R d ϕ| a distância entre um ponto na superfı́cie da espira e o ponto P 0 é d= p R 2 + r 2 − 2Rr cos α e a distância entre o centro da espira ao mesmo ponto é dada por r= p x2 + y2 distância entre um ponto na superfı́cie da espira e o ponto P é D= p Lima, A. C. S. d 2 + z2 ELETROSTÁTICA (40) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Anel Circular — cont. Utilizando a relação trigonométrica cos α = −1 + 2 sin 2 ϕ é possı́vel escrever a distância D como D= p (R + r )2 + z 2 − 4Rr sin 2 ϕ logo o potencial eletrostático pode ser dado por φ= Q 2 4πε 2π Z π 0 dϕ p (R + r )2 + z 2 − 4Rr sin 2 ϕ Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA (41) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Anel Circular – Integral Elı́ptica Fazendo k = φ= q 4Rr (R +r )2 +z 2 é possı́vel rescrever (41) como Z π/2 Q 2 4π2 ε p (R + r )2 + z 2 dϕ p 1 − k 2 sin 2 ϕ 0 = Q 2π2 ε F (k ) p (R + r )2 + z 2 (42) A função F (k ) é conhecida como integral elı́ptico completo de primeira espécie definida por Z π/2 F (k ) = 0 Lima, A. C. S. dϕ p 1 − k 2 sin 2 ϕ ELETROSTÁTICA (43) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Imagens Alguns Exemplos Para o cálculo do potencial na superfı́cie do condutor consideremos como representativo um ponto de coordenadas x = R, y = 0, z = a, neste caso r k= 4R 2 4R 2 + a2 =q 1 a 2R 1+ Como 2 2 ⇒ k = 1 1+ a 2R ∼ 1− 2 = a 2 2R a 2 1 2R É possı́vel obter uma solução para integral na forma de F (k ) = ln 4 √ 8R ∼ = ln a 1 − k2 logo, o potencial na superfı́cie do condutor φc é aproximadamente ∼ φc = Q 4π2 εR Lima, A. C. S. ln 8R a ELETROSTÁTICA (44) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Capacitância Um capacitor consiste de dois condutores carregando cargas de sinais iguais e contrários, separados por um meio dielétrico. A capacitância C pode ser definida por H εE · dS Q S C= =− RB (45) V A E · dl Nada mais é que uma constante relacionando carga e potencial. É sempre positiva A relação inversa é dada pela Elastância S Q = C (V1 − V2 ) Lima, A. C. S. V1 − V2 = S Q ELETROSTÁTICA (46) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Capacitância Em diversos casos simples podemos obter a capacitância de um dispositivo através da Lei de Gauss. Vamos ver alguns exemplos: Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Capacitor de placas paralelas Considere duas placas paralelas de área A separados de uma distância d. O campo elétrico é normal a superfı́cie (desprezando efeitos de ponta) Uma densidade de carga σ numa das placas implica em −σ na outra placa A intensidade do campo entre as placas é E = σ/ε, já a diferença de potencial é V = E d, e a carga total Q = σ A, logo a capacitância entre as placas é C= A σA =ε σ d /ε d Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA (47) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Capacitor de esferas concêntricas Considere duas esferas concêntricas de raios r1 e r2 , sendo r2 > r1 , possuindo cargas Q e −Q respectivamente O campo é radial e orientado para o centro da esfera menor como se a carga estivesse no centro e de valor dado por E= Q (48) 4πε r 2 A diferença de potencial entre as esferas é V =− Z r2 r1 Q dr 4πε r 2 C= = Q 4πε 1 r1 − 4πε 1/r1 − 1/r2 Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA 1 r2 (49) (50) Campo Elétrico Potencial Elétrico Condutores Capacitância Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Capacitor de cilindros concêntricos Considere dois cilindros concêntricas de raios r1 e r2 , sendo r2 > r1 e de comprimento L. O condutor interno possui carga −Q e o externo Q. O campo elétrico é dado pela Lei de Gauss e de intensidade E =− Q /L 1 2πε r (51) O potencial entre os cilindros é dado por V= Q /L 2πε ln r2 r1 (52) e a capacitância entre os cilindros é C= 2πε L ln (r2 /r1 ) Lima, A. C. S. ELETROSTÁTICA (53)
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